r (α (m) jk xm ) m=0 ist ein Algebren Isomorphismus; daher identifiziert man K n n [x] mit K[x] n n, z. B.

Transkript

1 Kapitel 10 Normalformen 10.1 Der Satz von Cayley Hamilton Dieser schöne Satz der linearen Algebra besagt, dass das Minimalpoynom stets ein Teiler des charakteristischen Polynoms ist; mit anderen Worten, dass jede quadratische Matrix als Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms aufgefasst werden kann Bemerkungen. (1) Wie schon früher erwähnt, lassen sich Matrizen, Determinanten, Polynome etc. ebenso über Ringen wie über Körpern definieren. Zum Beispiel gilt für jede n n Matrix A über einem kommutativen Ring mit 1 und die Adjunkte A = (α ij ) mit α ij := det A i(e j ) = ( 1) i+j det A ji (wobei A ji aus A durch Streichen der j ten Zeile und i ten Spalte entsteht): A A = A A = (det A) E (vgl. Kapitel 5.3). Im nicht-kommutativen Fall gibt es allerdings einige Probleme. (2) Die Abbildung I : K n n [x] K[x] n n, (α (m) jk ) xm ( α (m) jk xm ) m=0 m=0 ist ein Algebren Isomorphismus; daher identifiziert man K n n [x] mit K[x] n n, z. B. ( ) ( ) ( ) 1 0 α β x α β xe A = Ex A = x = für A K γ δ γ x δ (3) Ist R eine K Algebra, so ist M e : K R, α αe ein injektiver Algebren Homomorphismus. Man kann deshalb o. B. d. A. annehmen, dass K eine Unteralgebra von R mit e = 1 ist. (4) Für Elemente a, b eines Ringes R schreiben wir a b, falls es ein q R mit q a = b gibt. Im nicht-kommutativen Fall bedeutet dies etwas anderes als a q = b! 106

2 KAPITEL 10. NORMALFORMEN 107 Wir rekapitulieren ein Lemma, das wir schon in Kapitel 6 kennengelernt haben: Lemma. (Divisionslemma) Für Elemente a eines Ringes R und Polynome p R[x] gilt: p(a) = 0 (x a) p, d. h. es gibt ein q R mit p = q (x a). Die Koeffizienten von q liegen in dem von a und den Koeffizienten von p erzeugten Unterring Folgerung. (Linearfaktoren von Polynomen) Für eine K Algebra R und ein algebraisches a R sowie p K[x] R[x] gilt: (x a) p in R[x] (x a) p in K[a][x] µ a p in K[x]. Dabei ist K[a][x] eine kommutative Unteralgebra von R[x] Satz. (Cayley Hamilton für Matrizen) Sei K ein kommutativer Ring mit 1. Für jede Matrix A K n n gilt dann χ A (A) = 0. Ist K ein Körper, so gilt sogar χ A = δ A µ A, wobei δ A der ggt aller (n 1) reihigen Unterdeterminanten von xe A ist; insbesondere µ A χ A. Umgekehrt ist χ A ein Teiler von µ A n. Ist χ A = p n j j eine Zerlegung in irreduzible Faktoren p j, so gilt µ A = p m j j mit 1 m j n j Folgerung. (Cayley Hamilton für Endomorphismen) Für jeden Endomorphismus F eines n dimensionalen Vektorraumes V gilt χ F (F ) = 0. Das Minimalpolynom µ F ist also ein Teiler des charakteristischen Polynoms χ F Folgerung. Zu A GL (n, K) gibt es ein eindeutiges Polynom r K[x] (n 1) ten Grades mit x r(x) = 1 χ A (0) 1 χ A (x) und r(a) = A Satz. (Minimalpolynom trigonalisierbarer Matrizen) Ist A trigonalisierbar, so gilt r χ A (x) = (x λ j ) n j mit paarweise verschiedenen λ j ( den Eigenwerten von A), µ A (x) = r (x λ j ) m j für geeignete m j mit 1 m j n j. Ist A sogar diagonalisierbar, so gilt m j = 1 für alle j r. ( ) ( ) ( ) α β x α β x δ β Beispiel. A =, xe A =, (xe A) =, γ δ γ x δ γ x α δ A = x α, falls A = αe, und δ A = 1 sonst, µ A = x α, falls A = αe, und µ A = χ A sonst.

3 KAPITEL 10. NORMALFORMEN Zerlegungen für Endomorphismen und Matrizen Im Folgenden betrachten wir Endomorphismen eines endlich-dimensionalen K-Vektorraums V. Die entsprechenden Aussagen über Matrizen sind leicht zu ergänzen. Aus dem Kapitel 8.3 über Zerlegungen in beliebigen K-Algebren können wir direkt einige der wichtigsten Sätze über die K-Algebren End K (V ) und K n n übernehmen. Zunächst erinnern wir daran, dass die Eigenwerte eines Endomorphismus F End K (V ) genau die Nullstellen des Minimalpolynoms µ F sind. Dieses hat also die gleichen Nullstellen wie das charakteristische Polynom, allerdings möglicherweise mit geringerer Vielfachheit (Satz von Cayley Hamilton). Für die zerfallenden bzw. halbeinfachen Elemente der Algebra End K (V ) gibt es eine besonders einprägsame Charakterisierung: Satz. (Zerfallende und halbeinfache Endomorphismen) Die trigonalisierbaren Endomorphismen sind genau die zerfallenden Elemente von End K (V ). Die diagonalisierbaren Endomorphismen sind genau die halbeinfachen Elemente von End K (V ) Bemerkung. Eine Projektion ist ein idempotentes Element des Endomorphismenringes End K (V ). Mit H ist auch id V H eine Projektion (auf einen zu H + (V ) komplementären Unterraum), und {H, id V H} ist eine Spektralschar, sofern 0 H id V. Allgemeiner gilt: Satz. (Spektralscharen und direkte Summen) (1) Für jede Spektralschar {H 1,..., H r } in End K (V ) ist H j die Projektion auf den Unterraum U j := H j + (V ) {0}, und V ist die direkte Summe dieser Unterräume: r V = U j. (2) Umgekehrt gibt es zu jeder direkten Summenzerlegung r V = U j in Unterräume U j {0} genau eine Spektralschar {H 1,..., H r } mit H + j (V ) = U j. Es besteht also eine bijektive Zuordnung zwischen Spektralscharen in End K (V ) und direkten Summenzerlegungen von V in von Null verschiedene Summanden Satz. (Spektralzerlegung für diagonalisierbare Endomorphismen) Die folgenden Aussagen über einen Endomorphismus F End K (V ) sind äquivalent: (a) F ist diagonalisierbar. (b) µ F zerfällt in paarweise verschiedene Linearfaktoren. (c) F besitzt eine (eindeutige) Spektralzerlegung. (d) Es gibt eine Spektralschar {H 1,..., H r } in End K (V ) mit H + j (V ) = V (F, λ j). In der Spektralzerlegung F = r λ j H j sind die λ j die verschiedenen Eigenwerte von F, und die H j sind die Projektionen auf die zugehörigen Eigenräume V (F, λ j ).

4 KAPITEL 10. NORMALFORMEN Bemerkung. Für Diagonalmatrizen Λ = diag (λ 1,..., λ n ), wobei λ 1,..., λ r verschieden sind und {λ 1,..., λ n } = {λ 1,..., λ r } gilt, ist die Spektralzerlegung leicht zu bestimmen: { 1, falls λj = λ Λ = λ j H j mit H j = diag (ε j1,..., ε jn ), ε jk = k. 0, sonst Für eine diagonalisierbare Matrix A = CDC 1 ist dann die Spektralzerlegung A = λ j CH j C 1, und für beliebige Polynome p K[x] ergibt sich die Spektralzerlegung von p(a) aus p(a) = p(λ j ) CH j C 1 durch Zusammenfassung der Summanden mit gleichen Koeffizienten p(λ j ) Satz. (Jordan Chevalley Zerlegung für Endomorphismen) Für einen Endomorphismus F End K (V ) sind äquivalent: (a) F ist trigonalisierbar. (b) µ F zerfällt in Linearfaktoren. (c) F besitzt eine (eindeutige) Minimalzerlegung. (d) F besitzt eine (eindeutige) Zerlegung F = H + N in einen diagonalisierbaren Endomorphismus H und einen nilpotenten Endomorphismus N mit H N = N H Folgerung. Jede trigonalisierbare Matrix A K n n besitzt eine eindeutige Zerlegung A = H + N in eine diagonalisierbare Matrix H und eine nilpotente Matrix N mit HN = N H, und H besitzt eine Spektralzerlegung H = λ j H j, wobei die λ j sowohl die Eigenwerte von H als auch die von A sind Bemerkung. Wir betonen nochmals, dass ohne Forderung der Vertauschbarkeit eine Zerlegung A = λ j H j + N mittels einer Spektralschar {H 1,..., H r } und einer nilpotenten Matrix N nicht notwendig die Minimalzerlegung von A ist, selbst wenn die λ j die verschiedenen Eigenwerte von A sind. Darüberhinaus braucht A nicht einmal zu zerfallen, wenn eine solche Zerlegung existiert.

5 KAPITEL 10. NORMALFORMEN Beispiel. Die Zerlegung ( ) ( A = = ) ( ) = H + N, ist keine Jordan-Chevalley Zerlegung: H ist halbeinfach und N ist nilpotent, aber A ist nicht zerfallend über R, da µ A = x 2 3x + 3 keine reellen Nullstellen hat. Hier gilt HN NH! Definition. Ein Unterraum U von V heißt F -invariant, falls F + (U) U gilt. In diesem Fall ist F U : U U, u F (u) ein Endomorphismus von U. Die Menge der F invarianten Unterräume von V bezeichnen wir mit U F Bemerkung. Summen und Durchschnitte beliebig vieler F invarianter Unterräume sind wieder F invariant, d. h. U F ist gegen Summen und Durchschnittbildung abgeschlossen Satz. (Begleitmatrizen) Für festes v V und F End K (V ) sei G : K[x] V definiert durch G(p) = p(f )(v). (1) G ist ein Vektorraum Homomorphismus (d. h. K linear). (2) Kern G = {p K[x] p(f )(v) = 0} ist ein Hauptideal in K[x], also von der Form q K[x] für ein eindeutiges normiertes Polynom q = k j=0 q j x j K[x]. (3) Bild G =: U ist ein F invarianter Unterraum von V, d. h. F + (U) U. (4) B = (v, F (v),..., F k 1 (v)) ist eine geordnete Basis von U. (5) Bezüglich B hat F U : U U die Darstellungsmatrix (sogenannte Begleitmatrix ) q C = C F,v = q k 1 (6) q = χ C = χ F U = µ F U ist ein Teiler von χ F Definition. Für Matrizen A j K n j n j (n j r) bezeichnen wir mit [A 1,..., A r ] die Diagonal Kästchenmatrix A 1 0 A =... Kn n (n = n j ). 0 A r Die Verkettung zweier Tupel B 1 = (b 1,..., b m ) und B 2 = (b m+1,..., b n ) definieren wir durch B 1 B 2 = (b 1,..., b m, b m+1,..., b n ). Die Verkettung endlich vieler Tupel B 1,..., B r entsteht durch Hintereinanderschreiben : B 1 B r = B 1 (B 2 B r ).

6 KAPITEL 10. NORMALFORMEN Lemma. (Matrixdarstellung mittels direkter Summanden) Für j r sei V j ein n j dimensionaler Unterraum des Vektorraums V und B j eine geordnete Basis von V j sowie B = B 1 B r. Dann sind die folgenden drei Aussagen über einen Endomorphismus F End K (V ) äquivalent: (a) Jedes V j ist F invariant, und V ist direkte Summe der V j. (b) F + (B j ) V j (j r), und B ist eine geordnete Basis von V. (c) A = M B B (F ) ist eine Diagonal Kästchenmatrix [A 1,..., A r ] mit A j K n j n j. In diesem Fall sind die A j die Darstellungsmatrizen der Einschränkungen von F auf V j : A j = M B j B j (F Vj ). Dieses Lemma legt nahe, V in geeignete F invariante Unterräume zu zerlegen, um eine möglichst einfache Matrixdarstellung für F zu erhalten. Im Idealfall eines diagonalisierbaren Endomorphismus F gelingt eine direkte Summenzerlegung in eindimensionale Unterräume mit Hilfe einer Basis aus Eigenvektoren (siehe Kapitel 6) Satz. (Vertauschbare Endomorphismen) Für F, G End K (V ) mit F G = G F ist V (G, λ) = Kern (G λ id V ) ein F invarianter Unterraum. Sind F und G diagonalisierbar, so besitzt V eine Basis aus gemeinsamen Eigenvektoren von F und G. Insbesondere sind dann auch F + G, F G und F G diagonalisierbar Folgerung. Für jeden Endomorphismus F End K (V ) und jedes Polynom p K[x] ist Kern p(f ) ein F invarianter Unterraum von V. Wir präzisieren nun die Zusammenhänge zwischen Kernen und Minimalpolynomen: Satz. (Galois Verbindung zwischen Polynomen und Unterräumen) Für jeden Endomorphismus F End K (V ) erfüllen die Abbildungen κ : K[x] U F, p Kern p(f ) und µ : U F K[x], U µ F U die Äquivalenz Es gilt (0) µ(u) p U κ(p). (1) U κ µ(u), (2) µ κ(p) p, (3) p q = κ(p) κ(q), (4) U W = µ(u) µ(w ), (5) µ F U µ F, (6) κ(ggt (p, q)) = κ(p) κ(q), (7) κ(kgv (p, q)) = κ(p) + κ(q), (8) κ(p q) = κ(p) κ(q).

7 KAPITEL 10. NORMALFORMEN 112 Wie die nachfolgenden Zerlegungssätze zeigen werden, entsprechen den Produktzerlegungen von Polynomen direkte Summenzerlegungen eines Vektorraumes in invariante Unterräume Satz. (Erster Zerlegungssatz) Ist F End K (V ) und U die direkte Summe F invarianter Unterräume U 1,..., U r, so gilt: r µ F U = kgv (µ F Uj : j = 1,..., r) und χ F U = χ F Uj. Sind die Polynome µ F Uj µ F U = µ F Uj und χ F U = χ F Uj Satz. (Zweiter Zerlegungssatz) Für F End K (V ) und q = r q j K[x] sei paarweise teilerfremd, so gilt insbesondere: U := Kern q(f ) und U j := Kern q j (F ). Dann ist U die direkte Summe der F invarianten Unterräume U j : r U = U j, und entsprechende Zerlegungen gelten für Minimalpolynom und charakteristisches Polynom: µ F U = µ F Uj und χ F U = χ F Uj Bemerkung. Wie man leicht zeigen kann, sind für Polynome h j aus dem Zerlegungslemma die Endomorphismen H j = h j (F ) U = h j (F U ) gerade die Projektionen von U auf die Kerne U j = Kern q j (F ). So erhält man unter Verwendung von einen Beweis für den zweiten Zerlegungssatz Satz. (Dritter Zerlegungssatz) Für F End K (V ) sei µ F = p m j j die Zerlegung in normierte irreduzible Faktoren p j, und U j := Kern p j (F ), U m j := Kern p j (F ) m (m N), V j := U m j j. Dann ist V die direkte Summe der F invarianten Unterräume V j, und es gilt: (1) m m j µ F U m j = p m j j (2) m m j µ F U m j = p m j. U m j = U m+1 j U m j = V j,

8 KAPITEL 10. NORMALFORMEN Folgerung. (Zerlegung von Minimal- und charakteristischem Polynom) Für jeden irreduziblen Faktor p j von µ F bzw. χ F sei V j der größte der Unterräume U m j := Kern p j (F ) m (m N). Dann gilt für m j = min{m : Uj m = Uj m+1 } und n j = dim V j /grad p j : V j = U m j j, µ F Vj = p m j j, µ F = V j = U n j j, χ F Vj = p n j j, χ F = p m j j, p n j j. Zusammenfassend erhalten wir nun ein besonders einprägsames Resultat, das die Korrespondenz zwischen Teilern des Minimalpolynoms und F invarianten Unterräumen verdeutlicht: Satz. (Isomorphiesatz für Minimalpolynome von Endomorphismen) Für F End K (V ) sei T F die Menge der normierten Teiler des Minimalpolynoms von F und K F := {Kern G G K[F ]}. Dann ist die Abbildung κ : T F K F, p Kern p(f ) ein Bijektion mit p q κ(p) κ(q), und die Umkehrabbildung ist µ : K F T F, U µ F U. T F und K F sind also isomorphe endliche geordnete Mengen Beispiel. µ F = x 2 (x 1)(x 2) V = U 2 0 U 1 U 2 µ F x 2 (x 1) x 2 (x 2) x(x 1)(x 2) x 2 x(x 1) x(x 2) (x 1)(x 2) x x 1 x 2 1 T F V U 2 0 U 1 U 2 0 U 2 U 0 U 1 U 2 U 2 0 U 0 U 1 U 0 U 2 U 1 U 2 κ K µ F U 0 U 1 U 2 {0}

9 KAPITEL 10. NORMALFORMEN Bemerkungen. Unter einem Verband versteht man eine halbgeordnete Menge, in der zu je zwei Elementen a, b eine kleinste obere Schranke, genannt Supremum, sowie eine größte untere Schranke, genannt Infimum, existiert. Besitzen sogar beliebige Teilmengen Suprema und Infima, so spricht man von einem vollständigen Verband. Beispielsweise ist jedes Hüllensystem ein vollständiger Verband, in dem das Infimum der Durchschnitt und das Supremum die Hülle der Vereinigung ist. In diesem Sinne ist das System U(V ) aller Unterräume von V, aber auch das System U F aller F invarianten Unterräume (für einen festen Endomorphismus F ) ein vollständiger Verband, desgleichen das System K F aller Kerne von Endomorphismen in K[F ]. Andererseits bilden die normierten Teiler des Minimalpolynoms µ F einen endlichen Verband T F mit der Teilbarkeitsrelation als Halbordnung, dem kgv als Supremum und dem ggt als Infimum. Der Isomorphiesatz besagt, dass die beiden Verbände T F und K F isomorph sind. Darüberhinaus beinhaltet Satz , dass die Abbildung κ : p Kern p(f ) vom Verband K 1 [x] aller normierten Polynome in den Verband U F aller F invarianten Unterräume ein Verbands Homomorphismus ist (d. h. Suprema und Infima bewahrt). Erinnern wir uns daran, dass wir für einen Endomorphismus G End K (V ) sinnvoll Potenzen des Unterraums U = Kern G definieren können: U m := Kern (G m ) (m N). Die Potenzschreibweise U m für Kern (G m ), falls U = Kern G, wird gerechtfertigt durch die Tatsache, dass für U, W K F das Produkt U W = Kern (G H) (U = Kern G, W = Kern H; G, H K[F ]) wohldefiniert, d. h. unabhängig von der Wahl der Endomorphismen G und H ist. Die Abbildung κ : K 1 [x] K F ist dann nicht nur ein Verbands Homomorphismus, sondern auch ein Homomorphismus zwischen den Halbgruppen K 1 [x] und K F, so dass gilt κ(p m ) = κ(p) m. Wir wollen den dritten Zerlegungssatz noch für die einfachere (wenn auch nicht immer halbeinfache) Situation eines zerfallenden Endomorphismus formulieren Satz. (Summenzerlegung in erhöhte Eigenräume) Ist F ein zerfallender, d. h. trigonalisierbarer Endomorphismus, also µ F = (x λ j ) m j und χ F = (x λ j ) n j, und bezeichnet U j den Eigenraum V (F, λ j ) = Kern (F λ j id V ), so ist V die direkte Summe der erhöhten Eigenräume V j = U m j j ; weiter ist n j die Dimension von V j, und m j = min{m U m j = U m+1 j } = min{m Rang (F λ j id V ) m = Rang (F λ j id V ) m+1 } Satz. (Endomorphismen mit minimalem charakteristischen Polynom) Für einen zerfallenden Endomorphismus F sind folgende Aussagen äquivalent: (a) µ F = χ F. (b) µ F U = χ F U für jeden F invarianten Unterraum U. (c) Zu jedem F invarianten Unterraum U gibt es genau ein p T F mit U = Kern p(f ). (d) dim Kern p(f ) = grad p für jeden Teiler p von µ F. (e) dim U m j = m für alle m N mit m m j.

10 KAPITEL 10. NORMALFORMEN Die Jordansche Normalform Wir sahen bereits, dass jede halbeinfache, d. h. diagonalisierbare Matrix zu genau einer Diagonalmatrix ähnlich ist. In diesem Abschnitt nehmen wir uns vor, zu jeder zerfallenden, d. h. trigonalisierbaren Matrix eine möglichst einfach gestaltete ähnliche Matrix zu finden. Genauer werden wir in jeder Ähnlichkeitsklasse eine im wesentlichen eindeutige Diagonal Kästchenmatrix bestimmen, deren Gestalt einer Diagonalmatrix ziemlich nahe kommt: In der Hauptdiagonalen stehen wie bisher die Eigenwerte, in der ersten Nebendiagonalen Nullen und Einsen, und alle anderen Koeffizienten sind Null Definition. Die nilzyklische Matrix vom Rang m 1 ist definiert durch { N m =... = (n jk ) K m m 1 für k = j + 1, mit n jk = 1 0 sonst. 0 0 Für λ K heißt λ J λ,m =... = λe m + N m 1 0 λ Jordan Kästchen zum (Eigen ) Wert λ. Speziell ist also N m = J 0,m. Eine Diagonal Kästchenmatrix [J 1,..., J s ] heißt Jordan Matrix, falls jedes J k ein Jordan Kästchen ist. Unser Ziel ist es, zu zeigen, dass jede trigonalisierbare Matrix zu einer solchen (bis auf Reihenfolge der Kästchen eindeutigen) Jordan Matrix ähnlich ist. Wie im vorigen Abschnitt erweist es sich als vorteilhaft, zunächst mit Endomorphismen statt mit Matrizen zu arbeiten. Im Folgenden sei F stets ein zerfallender Endomorphismus eines n dimensionalen Vektorraums V mit Minimalpolynom µ F = (x λ j ) m j und charakteristischem Polynom χ F = (x λ j ) n j Satz. (Allgemeine Jordan Form) (1) Für jeden Eigenwert λ j von F ist der erhöhte Eigenraum V j = V (F, λ j ) m j = Kern (F λ j id V ) m j ein F invarianter Unterraum der Dimension n j, und V ist die direkte Summe der V j.

11 KAPITEL 10. NORMALFORMEN 116 (2) Bezeichnet H j die Projektion von V auf V j, so hat F folgende Minimalzerlegung: F = λ j H j + N mit N Vj = (F λ j id V ) Vj = F Vj λ j id Vj. (3) Ist B j eine geordnete Basis von V j, so wird F bezüglich der Basis B = B 1 B r durch eine Diagonal Kästchenmatrix [λ 1 E n1 + M 1,..., λ r E nr + M r ] mit nilpotenten Matrizen M j K n j n j dargestellt. Wir wissen schon, dass bei geeigneter Wahl der Basen B j die nilpotenten Matrizen M j echte obere Dreiecksmatrizen werden. Es wird uns gelingen, die Basen B j so zu wählen, dass die M j sogar die zu Beginn beschriebene besonders einfach Gestalt (nur Einsen in der ersten Nebendiagonalen) haben. Dazu noch eine Definition. Für G End K (V ) und u V heißt der kleinste u enthaltende G invariante Unterraum der von u erzeugte G zyklische Unterraum Satz. (Zyklische Basis) Ist U der von u erzeugte G zyklische Unterraum von V, so gibt es ein m N, so dass C = (G m 1 (u),..., G(u), u) eine geordnete ( zyklische ) Basis von U ist. Weiter gilt: G U ist nilpotent (G U ) m = 0 G m (u) = 0 M C C (G U ) = N m Bemerkung. Bezüglich der geordneten Basis (u, G(u),..., G m 1 (u)) wird der nilpotente Endomorphismus G U durch die transponierte nilzyklische Matrix Nm T dargestellt Folgerung. (Nilzyklische Endomorphismen) Der Endomorphismus G End K (V ) wird genau dann bezüglich einer geeigneten Basis durch die nilzyklische Matrix N m dargestellt, wenn G nilpotent und V G zyklisch ist. Grundlegend für die Konstruktion einer geeigneten Jordan Basis, bezüglich der ein gegebener Endomorphismus F durch eine Jordan Matrix dargestellt wird, ist das folgende Lemma. (Stufenbasis für invariante Unterräume) Für F End K (V ), G K[F ] sei U m := Kern G m, m G := min{m U m =U m+1 }. Dann gilt: (1) G (U m ) = U m+1. (2) (U m ) ist eine aufsteigende Folge F invarianter Unterräume mit U m = U m G für m m G. (3) Es gibt Stufen S 1,..., S mg, so dass B m = S 1 S m für jedes m m G eine Basis von U m+1 ist. (4) Ist C U m+1 \ U m und B m C linear unabhängig in U m+1, so ist B m 1 G m (C) linear unabhängig in U m, kann also zu einer Basis von U m ergänzt werden. (5) Es gibt eine Treppe T 1,..., T mg, so dass B m 1 T m für jedes m m G eine Basis von U m ist und T m = G + (T m+1 ) Z m für geeignete Ergänzungen Z m gilt (wobei T mg +1 = ).

12 KAPITEL 10. NORMALFORMEN Definition. Für beliebige Endomorphismen G End K (V ) und deren Darstellungsmatrizen A sind Rang, Dimensions und Differenzenfolgen definiert durch r A = r G = (r m ) mit r m := Rang A m = dim Bild G m, d A = d G = (d m ) mit d m := n r m = dim V r m, s A = s G = (s m ) mit s m := d m d m 1 = r m 1 r m, z A = z G = (z m ) mit z m := s m s m+1 = r m 1 2r m + r m+1. A m hat bei fest gewähltem m für jede Darstellungsmatrix A von G den gleichen Rang! Mit den Bezeichnungen von gilt nun d m = B m = dim U m, s m = S m = T m, z m = Z m = s m s m Folgerungen. (Rang, Dimensions und Differenzenfolgen) Für jeden Endomorphismus G eines n dimensionalen Vektorraums V gilt: (1) Die Rangfolge r G = (r m ) ist monoton fallend und für m m G konstant. (2) Die Dimensionsfolge d G = (d m ) ist monoton wachsend und für m m G konstant. (3) Die Differenzenfolge s G = (s m ) ist monoton fallend, nichtnegativ, und s m =0 für m > m G. (4) Die zweite Differenzenfolge z G = (z m ) ist nichtnegativ, z mg > 0, und z m = 0 für m > m G. (5) Aus der Folge z G können die Folgen s G, d G, r G und m G zurückgewonnen werden: m G m s m = z k, d m = s k = n r m, k=m k=1 m G = max{m N 0 z m 0} = max{m N 0 s m 0}. Insbesondere gilt für nilpotentes G: n = dim V = r 0 = m G m=1 z m m, r m = 0 für m m G Definition. Für eine beliebige Folge z = (z m ) N [N] 0 sei m z := max{m z m 0}, n z = m z m=1 z m m, N z := [N mz,..., N mz,..., N m,..., N m,..., N 1,..., N 1 ] K nz nz, wobei für jedes m m z das nilzyklische Kästchen N m genau z m mal auftritt. Jetzt können wir die Ähnlichkeitsklassen nilpotenter Matrizen charakterisieren:

13 KAPITEL 10. NORMALFORMEN Satz. (Normalform nilpotenter Endomorphismen und Matrizen) (1) Für jeden nilpotenten Endomorphismus G End K (V ) ist V direkte Summe G zyklischer Unterräume, und G besitzt genau eine Darstellungsmatrix der Form N z mit z N [N] 0. (2) Jede nilpotente Matrix ist genau zu einer Matrix N z ähnlich. (3) Für je zwei nilpotente Matrizen A und B gilt: A B r A = r B d A = d B s A = s B z A = z B N za = N zb Bemerkung. Jede Folge z = (z m ) N [N] 0 kann durch eine einzige natürliche Zahl n z codiert werden: Bezeichnet (p m ) = (2, 3, 5,... ) die Folge der Primzahlen, so ist die Abbildung ν : N [N] 0 N, z n z = pm zm wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung bijektiv. Durch Kombination von und (Zusammensetzen der Jordan Basen für die einzelnen Summanden aus der Minimalzerlegung) gelangen wir schließlich zu der gewünschten Normalform für beliebige zerfallende Endomorphismen und Matrizen: Satz. (Jordansche Normalform) (1) Ein Endomorphismus ist genau dann zerfallend, wenn er durch eine bis auf die Reihenfolge der Kästchen eindeutige Jordan Matrix dargestellt werden kann. (2) Eine Matrix ist genau dann zerfallend (d. h. trigonalisierbar), wenn sie zu einer bis auf die Reihenfolge der Kästchen eindeutigen Jordan Matrix ähnlich ist. Zusammenfassend erhalten wir nun ein praktisches Ähnlichkeitskriterium mittels der Invariantenfunktion einer zerfallenden Matrix A: Definition. Für eine zerfallende Matrix A ist die Invariantenfunktion z(a) z(a) : K N N 0, (λ, m) z A λe (m) Bemerkung. Definitionsgemäß gilt λ ist Eigenwert von A d A λe 0 s A λe 0 z A λe Satz. (Invarianten und Ähnlichkeit) Für zwei zerfallende Matrizen A, B K n n sind folgende Beziehungen äquivalent: (a) A ist ähnlich zu B. (b) r A λe = r B λe für jedes λ K, d. h. A und B haben die gleichen Rangfolgen. (c) s A λe = s B λe für jedes λ K, d. h. A und B haben die gleichen Differenzenfolgen. (d) z A λe = z B λe für jedes λ K, d. h. A und B haben die gleiche Invariantenfunktion. (e) A und B haben die gleiche Jordansche Normalform. Unter Beachtung der Tatsache, dass über einem geeigneten Erweiterungskörper jedes Polynom in Linearfaktoren zerfällt, ergeben sich einige interessante

14 KAPITEL 10. NORMALFORMEN Folgerungen. (1) Zwei 2 2 Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn sie das gleiche Minimalpolynom haben. (2) Zwei 3 3 Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn sie das gleiche Minimalpolynom und das gleiche charakteristische Polynom haben. (3) Zwei nilpotente 3 3 Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn sie das gleiche Minimalpolynom haben. (4) Jede quadratische Matrix ist zu ihrer Transponierten ähnlich Algorithmus. (Bestimmung der Jordanschen Normalform) 1. Schritt: Charakteristisches Polynom χ A (x) = det(xe A) berechnen. 2. Schritt: Eigenwerte = Nullstellen von χ A bestimmen. 3. Schritt: Für jeden Eigenwert λ die Rangfolge r m = r A λe (m) = Rang (A λe) m z. B. durch elementare Umformungen bestimmen. Abbrechen, falls r m = r m+1 eintritt, und m λ = m setzen. 4. Schritt: Zweite Differenzenfolgen (Invariantenfunktion) z m = z A λe (m) = r m 1 2r m + r m+1 berechnen, sowie n λ = m λ m=1 z m m setzen. 5. Schritt: Die Jordansche Normalform von A ist die Diagonalkästchenmatrix [J λ1,..., J λr ], wobei λ 1,..., λ r die verschiedenen Eigenwerte von A sind und jede der Matrizen J λ = λe nλ + N za λe sich aus den Jordankästchen zum Eigenwert λ zusammensetzt: N za λe = [N mλ,..., N mλ,..., N m,..., N m,..., N }{{}}{{} 1,..., N 1 ]. }{{} z mλ mal z m mal z 1 mal n λ ist die algebraische, m λ die geometrische Vielfachheit von λ. Die Berechnung einer zugehörigen Jordan Basis ist wesentlich aufwendiger: Zunächst finde man Basen der erhöhten Eigenräume Kern (A λe) m und konstruiere dann daraus mittels geeignete Stufenbasen.