Quanten Hall Effekt. in die das Energiesubband aufspaltet, genannt Landauniveaus,

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1 Betreuer: Dr. Carsten Deibel Quanten Hall Effekt Tilman Birnstiel und Sebastian Lange Universität Würzburg Physikalisches Institut (Datum: 4. April 6) Bei diesem Versuch wurde der Quanten-Hall-Effekt an einer GaAs-AlGaAs Heterostruktur bei Temperaturen von 4. bis.5 K untersucht. Es konnten hierbei sowohl die Hallplateaus in der Hallwiderstandskurve als auch die Shubnikov-de Haas-Oszillationen beobachtet werden. Hieraus lassen sich Aussagen zu verschiedenen Materialeigenschafen wie Oberflächenladungsdichte (.9 5 m ) sowie eine Abschätzung der von Klitzing-Konstanten treffen. Hierbei wurde die Klitzingkonstante zu (434 ± 69) Ω bestimmt. Versuchsdatum: 4. März 6 Protokollabgabe: 4. April 6 I. EINLEITUNG Wenn senkrecht zum Stromfluss in einem Leiter ein Magnetfeld wirkt, so werden die Ladungsträger abgelenkt, wodurch die klassische Hallspannung aufgebaut wird. Klaus von Klitzing entdeckte jedoch bei tiefen Temperaturen (wenige Kelvin) und starkten Feldern (einige Tesla) das Auftreten von Quanteneffekten, die in diesem Versuch untersucht werden sollen. Es treten hierbei Plateaus in der Hallgeraden und Oszillationen des Längswiderstands auf (Shubnikov-de Haas-Oszillationen). Aus den gemessenen Hall- und Längsspannungen können sowohl Aussagen über Materialeigenschaften wie Zyklotronmasse, Fermi-Energie, - wellenvektor und -Geschwindigkeit getroffen weren, als auch die Klitzing-Konstante bestimmt werden. In diesem Praktikumsversuch wurden hierzu Magnetfelder bis 9 T und Temperaturen bis.5 K erzeugt. Als wichtigste Ergebnisse sind hierbei die Zyklotronmasse von (.5±.4)m e, die mittlere Oberflächenladungsdichte von etwa 3 5 m und die Klitzingkonstante von (434 ± 69) Ω hervorzuheben. II. THEORIE Zur Erzeugung eines zweidimensionalen Elektronengases wurde eine GaAs-AlGaAs Heterostruktur verwendet. Hierbei fließen die Elektronen vom Silizium-dotierten AlGaAs durch den Spacer (nicht dotiertes AlGaAs) zum GaAs. Die Elektronen sind somit in einem schmalen Potentialtopf am Übergang zwischen AlGaAs und GaAs eingesperrt. Aus der schmalen Begrenzung in y- Richtung resultiert eine Quantisierung der Energieniveaus (Energiesubbänder). Beim Anlegen eines Magnetfeldes können außerdem nur bestimmte Zustände besetzt werden. Aus der Lösung der entsprechenden Eigenwertgleichung erhält man die möglichen Energieeigenwerte E n = (n + ) ω c, () in die das Energiesubband aufspaltet, genannt Landauniveaus, wobei ω c = e B m c () die Zyklotronfrequenz darstellt und n =,,,... ist. Der Abstand zweier Landauniveaus beträgt damit E = ω c. Jedes Landauniveau ist nicht nur von einem einzelnen Elektron besetzt, sondern weist eine Entartung von N L = e B h (3) auf, die proportional zum Magnetfeld B ist. Man definiert den Füllfaktor ν als Verhältnis aus Oberflächenladungsträgerdichte und Entartungsgrad der Landauniveaus: ν = N s N L. (4) Meist sind die Landauniveaus spinentartet, bei starken Magnetfeldern (B 6 T) und niedrigen Temperaturen (T.5 K) wird diese Entartung aufgehoben sofern die Ladungsträgerbeweglichkeit hoch genug ist. Erst unter diesen Bedinungen ist die Spinaufspaltung g µ g B vergleichbar mit dem Abstand der Landauniveaus ω c. Bereits in Gl. tritt m c, die Zyklotronmasse, auf, die nach [] im Falle hinreichend schwach ausgeprägter SdH- Oszillationen bestimmt werden kann, wenn die Streuzeit τ nicht stark mit der Temperatur variiert. Bei einem Temperaturverhältnis von T = T erhält man nach []: m c = e B ( ) A(B, T, τ) m e m e π arcosh. (5) k B T A(B, T, τ) Die Minima der SdH-Oszillationen treten auf, wenn sich die Fermienergie E F zwischen zwei benachbarten Niveaus befindet. Dies ist zu verstehen, wenn man das Randpotential berücksichtigt (vgl. [3]). Durch das Randpotential, das im Randbereich der Probe ansteigt, werden die Landauniveaus angehoben, wobei Zustände an

2 der Fermikante entstehen. Hierdurch entstehen die sogenannten Randkanäle. Die Leitung erfolgt durch diejenigen Landauniveaus, welche unterhalb der Fermikante liegen. Da somit die Leitung ausschließlich am Rand erfolgt, sind die SdH-Oszillationen klassisch zu verstehen: die leitenden Elektronen bewegen sich ausschließlich am Rand der Probe, dort führen sie halbe Kreisbahnen aus, bis sie am Rand auftreffen, reflektiert werden und erneut eine halbe Zyklotronbahn durchlaufen. Rückstreuung ist hierbei durch die räumliche Trennung unterdrückt. Dieses Modell nennt man Skipping Orbits. Das Randkanalmodell kann durch den Landauer- Büttiger-Formalismus beschrieben (vgl. [3]). Dieser berechnet die Leitung zwischen mehreren Kontakten verschiedener Potentiale per Transmissions- und Reflektionskoeffitienten. Wendet man diesen Formalisumus auf eine Vierkanalmessung an, so erhält man ein Gleichungssystem für die verschiedenen Ströme; hieraus kann der Hallwiderstand berechnet werden. Man erhält nach [3] R ν = a ν h e, (6) wobei ν =,, 3,... ist. Der Faktor a ist im Falle von der Spinentartung, ist diese aufgehoben, so beträgt er. Wie oben bereits erwähnt, treten die Minimas der SdH- Oszillationen und die Hallplateaus auf, wenn die Fermienergie zwischen zwei Landauniveaus liegt. Dies wird durch Störpotentiale (von Störstellen) im inneren der Probe ermöglicht. Im Falle von n besetzten (spinentarteten) Landauniveaus ergibt sich somit aus den Gleichungen 3 und 4 für die Ladungsträgerdichte N s = n e B h (7) Für zwei nebeneinander liegende Minima ergibt sich die Beziehung: ( ) e = B N s h, (8) die SdH-Oszillationen sind also periodisch in /B. Aus dem klassischen Halleffekt und der Probengeometrie (W/L = ) erhält man nach [3] für die Materialgrößen und N s = I e µ = U H B (9) e N s R xx () Weitere zu bestimmende Größen stellten die Fermi- Energie, der Fermi-Wellenvektor und die Fermi- Geschwindigkeit dar. Die Fermienergie berechnet sich nach [3] zu E F = π N s m. () Der Fermi-Wellenvektor ergibt sich zu und die Fermigeschwindigkeit beträgt III. k F = π N s () v F = m π Ns. (3) EXPERIMENT Die Messung der Längsspannung U xx und der Querspannung U xy erfolgt an einer Hallbar (siehe Abb. ). An den Kontakten und wird der konstante Probenstrom I P =. µa angeschlossen. An den Kontakten 3 und 4 bzw. 5 und 6 kann die Längsspannung gemessen werden, an 3 und 5 bzw. 4 und 6 die Querspannung. Das Hallbar befindet sich in einem Heliumkryostaten, wo es in der flüssigen Phase des Heliums plaziert wurde. Die Temperatur ist somit kleiner oder gleich der Siedetemperatur des Heliums. Durch Abpumpen der heißeren Gasphase kann dem System Wärme entzogen werden, wodurch Temperaturen bis etwa.5 K erreicht werden können. Hierzu wurde eine Vorvakuumpumpe mit Flussregelung verwendet. 3 5 Abb. : Schematische Abbildung des Hallbars. Die nummerierten Flächen stellen die Kontakte dar. Der Probenstrom wird an die Kontakte und angelegt. An 3 und 4 bzw. 5 und 6 kann die Längsspannung gemessen werden, an 3 und 5 bzw. 4 und 6 die Querspannung. Das Magnetfeld steht senkrecht zur Zeichenebene. Des Weiteren befand sich im Kryostaten ein 9/-T- Magnetsystem, das durch eine supraleitende Magnetspule Felder bis 9 T generieren kann. Der Spulenstrom wurde hierbei automatisch linear durch ein Cryogenic-Netzteil variiert. Die Temperatur wurde mittels eines geeichten Allen-Bradley-Widerstandes gemessen. Durch die Eichtabelle in [] kann aus der am Allen-Bradley abfallenden Spannung die Temperatur bestimmt werden. Für den letzten Versuchsteil befindet sich auch eine Lampe im Kryostaten, die die Probe beleuchtet und somit einen bei tiefen Temperaturen persistenten Photoeffekt erzeugt. Als Spannung wurde.5 V gewählt, höhere Werte hätten eine weitere Erhöhung der Temperatur zur Folge. 4 6

3 3 Wie oben bereits erwähnt, wurden im Versuchsverlauf Längsspannung und Hallspannung gemessen, wobei das Magnetfeld zunächst von bis 9 T linear erhöht wurde. Anschließend wurde die Messung mit abnehmendem Magnetfeld (9 - T) wiederholt. Dies wurde bei den Temperaturen 4. K, 3 K,. K und.5 K durchgeführt. Bei.5 K wurde anschließend erneut bei an- und abfallendem Magnetfeld gemessen, wobei nun auch die Lampe mit Spannung versorgt wurde. Das Magnetfeld wurde anhand der Spannung, die an einem -MΩ-Widerstand abgegriffen wurde, gemessen. Die Messungen wurden mit Hilfe der beiden Lock-in Versärker durchgeführt und über die DAQ-Karte an den Computer übertragen. U [mv] U H Best-Fit B [T] IV. AUSWERTUNG Aufgabe : Für die ohne Probenbeleuchtung durchgeführten Messungen wurden die Hallniveaus bestimmt. Da R ν indirekt proportional zu ν ist (siehe Gl. 6) ist das Produkt R ν ν konstant und entspricht gerade der Klitzing-Konstanten. Ein repräsentativer Plot der Messungen ist in Abb. dargestellt. Die abgelesenen Hallspannungen R ν, die zugehörigen Füllfaktoren ν und die daraus ermittelten Klitzingkonstanten sind im Anhang unter Tab. I angegeben. Die gemittelten Konstanten sind in Tab. II angegeben, als Mittelwert aller Messungen erhalten wir U [mv] R K,mean = (434 ± 69) Ω B [T] U H U xx Abb. : Gemessene Hallspannung U xy (oberer Graph) und Längsspannung U xx (unterer Graph) bei 4. K und ansteigendem Magnetfeld. Man kann erkennen, dass die Plateaus der Hallspannung mit den Minimas der SdH- Oszillationen der Längsspannung übereinstimmen. Die Längsspannung wurde der Übersichtlichkeit halber mit dem Faktor gestreckt. Abb. 3: Gemessene Hallspannung U xy (oberer Graph) und Längsspannung U xx (unterer Graph) bei 4. K und ansteigendem Magnetfeld. Die Ausgleichsgerade stellt den Best-Fit bei schwachen Oszillationen dar, aus dem die Oberlfächenladungsträgerdichte bestimmt wird (siehe Aufgabe a). Aufgabe : Anschließend sollte die Oberflächenladungsträgerdichte auf drei verschiedene Methoden bestimmt werden: a) Aus der Steigung der Ausgleichsgeraden durch die Hallspannungen bei kleinen Magnetfeldern. Der Fehler bestimmt sich aus der größten und der niedrigsten möglichen Steigung. b) Aus den Hall-Plateau-Positionen und den zuvor zugeordneten Füllfaktoren ν lässt sich nach Gl. 7 N s berechnen. c) Aus einer ( Fouriertransformation der geglätteten Kurve U xx B). Die Längsspannung Uxx ist hierbei gegen B aufgetragen, da die SdH-Oszillationen nach Gl. 8 periodisch in B sind. Aus der Grundfrequenz kann man somit Oberflächenladungsdichte ausrechnen. Vor der Fouriertransformation werden die Daten zunächst abgeleitet, um den einfluss des nicht oszillierenden Widerstandshintergrunds zu unterdrücken. Der Fehler dieser Methode bestimmt sich aus der Ableseungenauigkeit der Grundfrequenz. Die gemessenen Oberflächenladungsträgerdichten sind in Tab. III aufgeführt. Die über alle drei Methoden gemittelten Ergebnisse sind in Tab. IV zu finden. Aufgabe 3: Es sollten nun die Leitfähigkeit σ bei B =, der Hall- Faktor R H und die Elektronenbeweglichkeit für die Messungen ohne Probenbeleuchtung berechnet werden. Hierzu wurde die Längsspannung bei B = abgelesen und hieraus mittels σ = ρ xx = R xx L W L W = = R xx (4)

4 4 nach Gl. 4 die Leitfähigkeit σ berechnet. Die Hallkonstante kann aus R H = N s e (vlg. [4]) berechnet werden wobei N s verwendet wird, das zuvor bereits bestimmt wurde (siehe oben). Die Beweglichkeiten können mittels Gl. aus R xx und N s bestimmt werden. Die Ergebnisse finden sich in Tab. V wieder. Aufgabe 4: Aus den temperaturabhängigen Amplituden der Oszillationen in der Längsspannung sollte die Zyklotronmasse bestimmt werden. Für die Amplitude der Oszillationen gilt nach [] A(B, T, τ) = 4 π k B T (ω c τ) ω c + (ω c τ) (5) ( π ) k B T csch e π ωc τ ω c Gl. 5 wurde auf ihre Gültigkeit überprüft, es lässt sich nun hieraus die Zyklotronmasse bestimmen. Die Zyklotronmasse kann aus den Messungen somit für die Temperaturen 4./. und für 3./.5 ermittelt werden. Die Ergebnisse lauten auf Elektronenmassen normiert und m c = (.54 ±.3) m e für 4./. K m c = (.5 ±.4) m e für 3./.5 K. Aufgabe 5: Anschließend wurden Fermienergie E F, Fermiwellenvektor k F und Fermigeschwindigkeit v F bei den verschiedenen Temperaturen bestimmt. Hierzu werden die Gleichungen, und 3 genutzt, wobei als m der Literaturwert aus [5] von.67 m e verwendet wurde, da der in Aufgabe 4 ermittelte Wert hiervon deutlich abweicht. Die fehlerhafte Größe ist bei all diesen Berechnungen nur N s. Die berechneten Werte befinden sich in Tab. VI Aufgabe 6: Aus den geglätteten Graphen von U xx ( B ) wurden die B-Werte der Maxima bestimmt. Dies wurde bei den.5 K Messungen mit und ohne Probenbeleuchtung durchgeführt. Anschließend werden diese Werte gegen natürliche Zahlen aufgetragen (siehe 5). Dabei ist zu beachten, dass die Spinaufspaltung berücksichtigt wird und die gleiche Landauzahl erhält. Es lässt sich nun eine Ausgleichsgerade durch die Messwerte ohne Spinaufspaltung legen und eine dazu parallele Gerade durch die Spinaufspaltungswerte. Nach [] lässt sich hieraus durch Extrapolation der beiden Ausgleichsgeraden für B aus der Differenz der Horizontalschnittpunkte der Betrag der relativen Spinaufspaltung M bestimmen. Des Weiteren ergibt sich daraus die Nummerierung der Landauniveaus (siehe Abb. 4). Man kann nun die Oberflächenelektronendichte aus der Steigung und den g-faktor aus den Schnittpunkten mit der Horizontalen bestimmen. Der g- Faktor berechnet sich nach [] aus und die Oberflächenladungsdichte aus wobei a die Geradensteigung darstellt. U xx [mv] g = M m c (6) N s = e h a, (7) /B [/T] Messrichtung down Abb. 4: Landaunummerierung der Maximas der SdH- Oszillationen. Hierbei ist die Spinaufspaltung deutlich zu erkennen, der nur eine Landauzahl zuzuordnen ist. Hierbei wurde die Messung ohne Beleuchtung als repräsentativer Graph gewählt. /B [/T] Oszillationen bei Beleuchtung mittlere Spinaufspaltung Fit Spingerade Abb. 5: Berechnete B-Werte der Shubikov-de Haas- Oszillationen, gegen natürliche Zahlen n aufgetragen. Die Berechnung der Oberflächenladungsträgerdichte ergibt N s = (3.76 ±.96) 5 m n

5 5 mit Beleuchtung und N s = (.78 ±.) 5 m ohne Beleuchtung. Für den g-faktor erhalten wir mit Beleuchtung und ohne Beleuchtung. g =.93 ±.8 g = 9. ±.8 Aufgabe 7: In der vergrößerten Darstellung in Abb. ist zu erkennen, dass auch schmalere Plateaus bei nicht ganzzahligen Füllfaktoren auftreten. Diese treten auch bei Messungen bei niedrigeren Temperaturen immer im Bereich hoher Felder auf, jedoch waren sie bei 4. K am deutlichsten ausgeprägt. V. ZUSAMMENFASSUNG Der Literaturwert für die Klitzingkonstante beträgt Ω, die berechneten Ergebnisse weichen hiervon um etwa 6% ab, was im Rahmen des Akzeptablen liegt. Die Fehler liegen hierbei eventuell an dem Offset der Messungen, der vermutlich durch die Verwendeten Lock- In-Primer verursacht wurde. Ein weiter Fehler ist darin begründet, dass die sich die Messkurven von up- und down-richtung unterscheiden. Dies liegt eventuell an Magnetisierungseffekten der Materialien (Remanenz). Es ist jedoch zu erkennen, dass die Klitzingkonstante im gemessenen Temperaturbereich keine signifikante Abhängigkeit von der Temperatur aufweist. Die ermittelten N s -Werte weisen - je nach verwendeter Methode - unterschiedliche Schwankungen auf, die gemittelten Oberflächenladungsdichten stimmen jedoch im Rahmen der Fehlergrenzen gut miteinander überein. Der nach [5] erwartete Wert beträgt 4 5 m. Da die gemessenen Werte jedoch wiederholt und in verschiedenen Methoden ermittelt worden sind, handelt es sich hierbei vermutlich die Ursache der im Folgenden besprochenen Abweichungen anderer Ergebnisse. Die Messungen zur Beweglichkeit liefern Werte im nach [5] zu erwartenden Bereich, genauere Aussagen können jedoch hierbei nicht gemacht werden, da es sich um probenspezifische Eigenschaften handelt und diese nicht der Literatur entnommen werden können. Die Zyklotronmasse liegt in der richtigen Größenordnung, weist jedoch eine Abweichung von 4% vom Literaturwert auf. Die berechneten Fermi-Energien liegen ebenfalls im erwarteten Größenbereich von über mev (4 mev nach [5]). Hierbei stellt der Unterschied zur erwarteten Oberflächenladungsträgerdichte (nach [5]) die Hauptursache der Abweichung dar. Die Ergebnisse der g-faktorbestimmung sind nicht mit dem in [] gegebenen Wert von g =.44 vereinbar. Dieser Wert stellt jedoch den theoretischen Wert für das Einteilchenbild dar. Tatsächlich wechselwirken die Elektronen jedoch miteinander, der experimentelle Wert kann die Einteilchentheorie hier somit nicht bestätigen. Die Abweichung der beiden g-faktoren untereinander rührt daher, dass die SdH-Oszillationen bei der beleuchteten Messung deutlich schlechter zu erkennen waren und somit einen größeren Fehler mit sich bringen. Wie bereits oben erwähnt sind die fraktionellen Plateaus bei allen Temperaturen in diesem Bereich zu sehen. Da die ursprünglichen Daten bereits geglättet wurden und die Plateaus ein mit den integralen Plateaus vergleichbares Aussehen aufweisen, vermuten wir, dass es sich hierbei tatsächlich um Hinweise auf fraktionelle Füllfaktoren handelt. [] Batke, E. ; Reinert, F.: Fortgeschrittenenpraktikum SS 6. 6 [] Ando, T.: Theory of quantum transport in a twodimensional electron system under magnetic fields. In: Phys. Soc. Japan 37 (974), Nr. 33 [3] Batke, Edwin: Quanten Hall Effekt. Universität Würzburg [4] Sze, S. M.: Physics of Semiconductor Devices. Wiley & Sons [5] Beenakker, C W J. ; Houten, H van: Quantum Transport in Semiconductor Nanostructures. In: SOLID STATE PHYSICS 44 (99), S.

6 6 Anhang A: TABELLEN Tabelle II: Gemittelte Werte der Klitzing-Konstanten bei der jeweiligen Temperatur und Messrichtung mit Standartfehler. Als Mittelwert aller Konstanten erhält man R K,mean = (434 ± 69) Ω. T/K Messrichtung R K,mean/Ω Tabelle I: Aus den Messungen ermittelte Hallwiderstände R ν, Füllfaktoren ν und Klitzingkonstanten R K = R ν ν. Bei jeder Temperatur wurde jeweils bei an- und absteigendem Magnetfeld gemessen. Die jeweilige Richtung ist durch up/down angegeben T/K Messrichtung R ν/ω ν R K/Ω 4. up 54±75 54±75 4. up 3± ±6 4. up 4± ±3 4. up 68±5 4 47± 4. up 44±5 488± 4. down 95± ±6 4. down 4±5 6 4±3 4. down 67±5 4 48± 4. down 35±5 47±.96 up 4±75 4±75.96 up 3± ±6.96 up 46± ±3.96 up 6±5 4 44±.96 up 9±5 458±.96 down 33±75 33±75.96 down 9± ±6.96 down 39±5 6 35±3.96 down 596± ±.96 down 5±5 43±. up 37±75 37±75. up 96± ±6. up 397±5 6 38±3. up 63±5 4 4±. up ±5 44±. down 35±75 35±75. down 9±75 8 3±6. down 39± ±3. down 594± ±. down 3±5 46±.5 up 35±75 35±75.5 up 95± ±6.5 up 399± ±3.5 up 598±5 4 39±.5 up 85± ±5.5 up 4±5 48±.5 down 8±75 8±75.5 down 88± ±6.5 down 388±5 6 38±3.5 down 59± ±.5 down 838±5 3 54±5.5 down 97±5 394± 4. up 489±6 4. down 445±77.96 up 43±6.96 down 3664±6. up 39±6. down 3596±6.5 up 4±74.5 down 364±74 Tabelle III: Ermittelte Oberflächenladungsdichten bei den drei Methoden und verschiedenen Temperaturen. Dabei entspricht das erste Ergebnis bei einer Temperatur jeweils der Messung bei zunehmendem Magnetfeld, das zweite der Messung bei abnehmendem Magnetfeld. T/K N s(a)/ 5 m N s(a)/ 5 m N s(a)/ 5 m ±.4.99 ± ± ±.4.8 ± ± ±.5.99 ± ± ±.5.8 ± ± ± ± ± ± ± ± ±.5.94 ± ± ±.5.79 ± ±.73 Tabelle IV: Über alle drei Methoden gemittelten Werte der in Tab. III angegebenen Oberflächenladungsdichten bei den jeweiligen Temperaturen. T/K N s/ 5 m ± ± ± ±.3 Tabelle V: Gemittelte Leitfähigkeiten σ in xx-richtung ohne Magnetfeld sowie gemittelte Hallfaktoren R H und Elektronenbeweglichkeiten µ für die ohne Beleuchtung durchgeführten Messungen. T/ K σ/ 3 S R H/m C µ/m V s ± ± ± ±.7 7 ± 7.74 ± ±. 36 ± 7.66 ± ±.9 49 ± ±.43

7 7 Tabelle VI: aus der Oberflächenladungsträgerdichte N s berechnete Fermienergie, Fermiwellenvektor und Fermigeschwindigkeit bei verschiedenen Temperaturen. T/K E F/ 4 ev k F/ 8 m v F/ms ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±.7.35 ± ± 83