Der Quanten-Hall-Effekt

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1 Der Quanten-Hall-Effekt von Kai Frye im Rahmen des Seminars Probleme der Quantenmechanik bei Prof. G. Wolschin Im Jahr 1980 beobachtete Klaus von Klitzing beim Hall- Effekt das Verschwinden des Längswiderstandes und das Einstellen von Plateaus beim Hall-Widerstand (Abbildung 1). Er verwendete dazu starke Magnetfelder (15T) und tiefe Temperaturen (1,5K). Für diese Entdeckung wurde Klitzing bereits 1985 mit dem Nobelpreis ausgezeichnet. Der klassische Hall-Effekt In einem Hall-Plättchen fließe der Strom in Querrichtung. Von außen wird ein Magnetfeld B angelegt. Die Ladungsträger, hier die Elektronen, werden durch die Lorentz Kraft nach unten abgelenkt. Durch die Änderung der Ladungsträgerdichte am unteren Ende entsteht zwischen der oberen und unteren Seite ein Potentialgefälle, was wir dann als Hall-Spannung U H messen. Die Bewegungsgleichung der Elektronen, unter Berücksichtigung von Streuung und Störfeldern im Kristall, Abbildung 1: Beobachtungen der Längsspannung U pp und der Gatespannung U G in einem MOSFET (oben rechts). (1) mit der Zyklotronfrequenz, der effektiven Masse und der Relaxationszeit wird im statischen Grenzfall (F=0) durch ( ) ( ) ( ) (2) gelöst (Die 3. Komponente vernachlässigen). Mit der spezifischen Leitfähigkeit und der Stromdichte kann Gleichung (2) in die Form des ohmschen Gesetzes umgeschrieben werden: ( ) ( ) ( ) (3) Man erhält damit für den spezifischen Widerstand in Längs- und in Querrichtung (4) mit der Hall-Konstanten. Nun kann man verstehen, warum Abbildung 2 so verwunderlich ist dimensionale Elektronengase Um den QHE beobachten zu können, braucht man ein sog. 2-dimensionales Elektronengas (2DEG). Man sperrt die Elektronen in einen Potentialtopf, der in x- und y-richtung unbeschränkt ist und nur in z- Richtung Potentialwände hat, so dass nur eine Mode für die Elektronen erlaubt ist. Von Klitzing benutzte zur Erzeugung dieses 2DEG sog. MOSFETs (Abbildung 4). Heutzutage verwendet man aber sog. Heterostrukturen, z.b. n-dotiertes AlGaAs und GaAs Abbildung 2: Eine typische Messung mit AlGaAs/GaAs. Der spezifische Hall-Widerstand pxy (blaue Kurve) bildet für große Magnetfelder Plateaus aus.und der Längswiderstand pxx (rote Kurve) oszilliert erst und dann verschwindet er für bestimmte Magnetfeldstärken.

2 Abbildung 3: n-dotierte AlGaAs/GaAs-Heterostruktur. Durch das Verschieben von Donatorelektronen entsteht ein Dreieckspotential, in dem sich ein 2DEG ausbilden kann. Abbildung 4: MOSFET-Schaltung (Abbildung 3), die aufgrund ihrer sehr reinen Kristallstruktur eine höhere Elektronen-Beweglichkeit liefern. Im Metal-Oxide-Semiconducter-Fieldeffect-Transistor oder auch MOSFET existiert ein 2DEG im n-kanal. In das p-dotierte Silizium-Halbleiter-Plättchen ( Bulk ) werden an zwei Stellen n-dotierte Gebiete mit hoher Leitfähigkeit erzeugt. Sie werden Source (Quelle) und Drain (Senke) genannt und dienen als Stromkontakte. Gate-(Isolator)-Bulk bilden einen Kondensator. Legt man eine Gate-Spannung U G zwischen Gate und Bulk an, so werden Elektronen in die n-kanal bezeichnete Grenzfläche zwischen Isolator und Bulk influenziert. Es gilt:. Der Strom zwischen Source und Drain lässt sich über die Gate-Spannung steuern und bei geeigneter Spannung U G ist der n-kanal so klein, dass sich ein 2DEG bildet. 3. Der integrierte QHE Wirkt nun senkrecht zur Kanaloberfläche ein Magnetfeld, so kann an den orthogonal zum Magnetfeld angebrachten Elektroden eine Hall-Spannung U H gemessen werden. Da müsste eigentlich folgen, dass gilt, was Abbildung 1 aber nicht zeigt. Der durch definierte Hall-Leitwert nimmt unabhängig von der Geometrie des 2DEGs und unabhängig vom Wert des B-Feldes Plateau- Werte im immer selben Abstand an: Man nennt die Zahl l auch Füllfaktor. Im spinentarteten Fall ist der Füllfaktor allerdings. Da der Längswiderstand an genau diesen Plateaus Null wird, folgt anhand der elektrischen Leitfähigkeit, dass die mittlere Stoßzeit unendlich wird. D.h., dass gar keine Streuungen mehr auftreten und das Elektronengas dann wechselwirkungsfrei ist. Die Idee zur Erklärung dieses Effektes ist, dass die Elektronen auf Kreisbahnen gezwungen werden. Das Magnetfeld muss so groß sein, dass Streuungen die Kreisbahnen nicht wesentlich stören. Die Schrödingergleichung für Elektronen im elektromagnetischen Feld ( ) (6) (5) liefert mit dem Ansatz nach Landau die Energiezustände ( ) ( ) (7) wobei u(x) eine Schwingung in x-richtung eines harmonischen Oszillators mit der Kreisfrequenz an einem beliebigen Zentrum der Oszillation entspricht. u(x) sind also die Hermite- Polynome. Die Zustandsdichte entspricht dann also Delta-Funktionen im Abstand von.

3 Das 2DEG befindet sich in der x-y-ebene, das Magnetfeld zeigt in positive z-richtung und die Hall- Elektroden sind auf der y-achse angebracht. Das System ist entartet, weil die -Funktion zwar von k y abhängt, aber die Energie der Landau-Niveaus nicht. L x, bzw. L y sind die Abmessungen des Kanals in x-, bzw. in y-richtung. Für k y sind die möglichen Werte ganzzahlige Vielfache von. Wir wollen die Anzahl aller möglichen Schwingungen. Dafür wählen wir den größten Abstand für die Zentrumskoordinaten x 0 aus, welcher ist. Man erhält dann. Damit ergibt sich die maximal mögliche Anzahl von Elektronen in einem Landau-Niveau, also der Entartungsgrad: Man kann durch die Verwendung von starken Magnetfeldern und niedrigen Temperatur erreichen, dass die Elektronen die Energetische Lücke zwischen zwei benachbarten Landau-Niveaus nicht mehr überwinden können. Die Landau-Niveaus werden dann sukzessive von den niedrigsten Energiewerten an mit Elektronen besetzt. D.h., dass das oberste besetzte Landau-Niveau die Fermi-Energie E F des 2DEGs ist. Sind alle Niveaus bis zum l-ten vollständig besetzt, dann erhält man die Elektronendichte (8) (9) Damit erhalten wir mit den Hall-Leitwert: Bei kleineren Magnetfeldern, <6 Tesla, beobachtet man immer die doppelte Anzahl an Elektronen pro Fläche, weil die Spin-Niveaus nicht aufgelöst werden können. Wir haben es also mit einer Spin-Entartung zu tun. Am Ladungstransport nehmen nur Elektronen nahe der Fermi-Kante teil. Daraus könnte man schließen, dass der Widerstand am kleinsten ist, wenn die Fermi-Energie in ein Landau-Niveau fällt. Beim QHE beobachtet man aber das genaue Gegenteil (Abbildung 1 und 2). Um diesen genauer Effekt zu verstehen müssen wir die endliche Ausdehnung der Probe in der Schrödinger-Gleichung berücksichtigen. Man addiert dazu ein Kastenpotential U(x) in die Schrödinger- Gleichung (6). Um diese Gleichung zu lösen, benutzt man Störungsrechnung bis zur ersten Ordnung: (10) ( ) (11) Die Zustände sind die Wellenfunktionen um das Zentrum. Wir nehmen an, dass U(x) entlang der Ausdehnung der Zustände annährend konstant ist, da die Radien der Kreisbewegungen sehr klein sind: Damit sind die Landau-Niveaus nicht mehr konstant, sondern werden an den Rändern nach oben gebogen. Am Rand entstehen dann kontinuierliche Zustände, die die Fermi-Energie kreuzen und Strom leiten. ( ) (12) Man kann nun die Gruppengeschwindigkeit der Elektronen aufstellen: Abbildung 5: Links: Potentialterm. Rechts: Die Energie der Landau- Niveaus schneidet die Fermi-Energie.

4 Da die Ableitung nur am Rand nicht verschwindet, findet der Stromtransport nur hier statt. Die Stromkanäle sind räumlich voneinander getrennt und wenn die Fermi-Energie zwischen zwei Landau- Niveaus liegt, dann können keine Elektronen von der einen Seite zur anderen Seite streuen. Wenn keine Streuung mehr Auftritt, dann sinkt natürlich der Widerstand auf 0. Landauer-Büttiker-Formalismus Verschiedene Kontakte liegen auf unterschiedlichen chemischen Potentialen µ. Der Strom werde durch Randkanäle getragen. Die Transmissionswahrscheinlichkeit sei T ml (vom Kontakt l in Kontakt m) und die Reflexionswahrscheinlichkeit sei R mm. Wir gehen wieder von idealen Bedingungen aus. (13) Für die Zustandsdichte in 1-dim. Leitern gilt: ( ) (14) g s: Spinentartungsgrad (Hier =2), v(e): Gruppengeschwindigkeit der Elektronen. Für den Strom zwischen den Kontakten 1 und 4 erhalten wir dann: ( ) (15) Für den Fall von i Randkanälen können wir dann allgemein für I m schreiben: Abbildung 6: Hall-Kreuz im Landauer-Büttiker-Formalismus ( ) ( ) ( ) (16) Nun legt man eine Spannung zwischen µ 1 und µ 3 an und schaltet ein Magnetfeld ein, so dass man eine Hall-Spannung an µ 2 und µ 4 messen kann. Es gibt aber beim Messen der Hall-Spannung keine Stromsenke oder Stromquelle, so dass gilt. Daraus folgt dann aus dem Gleichungssystem: Außerdem findet man leicht: Damit erhält man für den Hall-Widerstand (17) (18) (19) i kann zwar ungradzahlig sein, aber für kleine Felder beobachtet man nur den spinentarteten Fall und deswegen beobachtet man nur jedes zweite Landau-Niveau. Mit dem gleichen Formalismus kann man das Verschwinden des Längswiderstandes erklären. Es wird eine Spannung zwischen den Kontakten 1 und 4 angelegt und zwischen den Kontakten 2 und 4 abgegriffen. Daher gilt und man erhält durch Auswerten des Gleichungssystems Abbildung 7: Messung des Längswiderstandes (20)

5 D.h. also, dass die Elektronen die aus Kontakt 1 kommen keinen Widerstand spüren, weil an Kontakt 2 und 3 keine Spannung abfällt. Der Längswiderstand verschwindet also, wenn die Fermi-Energie zwischen zwei Landau-Niveaus liegt. Dies war gerade die Voraussetzung, dass sich Randkanäle bilden können. Lokalisierte Störzustände Bisher sind wir immer davon ausgegangen, dass die Fermi-Energie zwischen zwei Zuständen liegt. In einer idealen Probe ist dies allerdings nicht möglich, denn da liegt die Fermi-Energie immer auf dem höchsten Landau-Niveau. Wenn man jetzt das Magnetfeld vergrößert, dann steigt auch die Energie der einzelnen Landau-Niveaus und damit auch die Fermi-Energie. Aber gleichzeitig steigt auch der Entartungsgrad an und mehr Elektronen können die untersten Energie-Niveaus bevölkern. Irgendwann ist dann das oberste Energie-Niveau nicht mehr bevölkert und die Fermi-Energie sinkt sprungartig auf das nächstniedrigere Niveau. Für den oben betrachteten Landauer-Büttiker- Formalismus muss die Fermi- Energie aber zwischen den Landau-Niveaus sein. Da die Fermi-Energie nicht durch die wenigen Randkanäle stabilisiert werden kann, kann die Fermi-Energie nur durch Störpotentiale von Verunreinigungen in einer realen Probe zwischen die Landau-Niveaus gelangen. Es treten deutliche Fluktuationen im Potential auf. Dadurch verbreitern sich die -förmigen Landau- Niveaus zu Glockenkurven. Die ausgedehnten Zustände sind delokalisiert und können am Ladungstransport teilnehmen. Aber es gibt noch andere Zustände an den Flanken der Glockenkurve, die die Fermi-Energie stabilisieren und als Leitungskanäle fungieren. Diese Kanäle sind geschlossen, da die Elektronen um die Äquipotentiallinien des elektrischen Feldes kreisen. Sie sind also lokalisiert und liefern keinen Beitrag zum Ladungstransport, weswegen man in dem Bereich, in dem die lokalisierten Zustände auf der Höhe der Fermi-Energie sind, keinen Längswiderstand und einen konstanten Querwiderstand beobachten kann. Abbildung 8: Links: Potentialterm mit Störungen. Rechts: Verbreiterung der Landau-Niveaus Betrachten wir Abbildung 9, bei der das B-Feld von a) nach d) zunehme: Im Bild (a) befindet sich die Fermi-Energie zwischen dem 3. und dem 4. Landau- Niveau, da man drei Randkanäle sieht. Außerdem sieht man lokalisierte Zustände, die hier noch nicht zum Ladungstransport beitragen, da die Stromkanäle geschlossen sind. Man würde hier also die Minima der Shubnikov-de Haas-Oszillationen und die Plateaus in der Hall-Spannung sehen. Im Bild (b) steigt das B-Feld weiter an und der innere Kanal wandert zum Inneren der Probe, da die Landau-Niveaus zur Fermi-Energie hinwandern, so dass im Bild (c) Streuung einsetzen kann. Im Bild (d) fällt nun die Fermi-Energie mit dem 3. Landau-Niveau zusammen. Der innerste Randkanal ist in lokalisierte Zustände aufgebrochen. Über die ganze Probe hinweg existieren kontinuierliche, erlaubte Zustände. Die Elektronen können also zwischen den verbleibenden 2 Randkanälen gestreut werden und der Längswiderstand nimmt ein Maximum ein. Außerdem wird dieser Widerstand umso größer, je weniger Randkanäle noch zum Transport übrig sind. Abbildung 9: Elektronenzustände an der Fermi-Energie bei zunehmendem B-Feld Wenn die Proben sehr niedrige Beweglichkeiten und viele Störstellen haben, dann kann man den QHE nicht beobachten, weil sich keine Landau-Niveaus bilden können. Wenn die Beweglichkeiten aber zu hoch sind und es wenig Störstellen gibt, dann können sich keine Plateaus bilden und der typische Verlauf des QHE ist nicht ausgeprägt.

6 4. Der fraktionierte QHE Tsui und Strömer beobachteten 1982 in AlGaAs/GaAs Proben bei sehr tiefen Temperaturen (0,1K) und sehr starke Magnetfelder (bis 30T) einen Quanten-Hall-Effekt bei gebrochenzahligen Füllfaktoren (21) Man nennt diesen Effekt anomaler oder fraktionierter QHE. Es gibt verschiedene Theorien zu diesem Effekt: Laughlin meinte, dass die Erklärung darauf beruhen müsste, dass man von der Einteilchennährung hin zur Vielteilchenphysik müsse. Dabei entstehe eine inkompressible Quantenflüssigkeit, die superfluide ist, wodurch das Verschwinden des Längswiderstandes erklärt werden kann. Laughlin machte einen Ansatz für eine Wellenfunktion dieses Vielteilchenzustandes, der analytisch nicht lösbar ist, durch Variationsprinzipien und erhielt die nach ihm benannte Laughlin-Funktion des Grundzustandes. Anregungen dieses speziellen Grundzustandes (Laughlin-Zustand) sind Quasiteilchen/Quasilöcher mit gebrochenzahliger Ladung und erklären damit die gebrochenen Füllfaktoren. Ein anderer Ansatz ist das Model der Composite Fermions. Es verbinden sich Elektronen mit einer geraden Anzahl von Quanten des magnetischen Feldes, um wiederum Quasi-Bosonen zu bilden die in einen Grundzustand kondensieren können. ist dabei die Verbindung von einem Elektron mit 2 Magnetfeldquanten. Bis jetzt beschreiben beide Theorien noch den FQHE und es gibt noch keine experimentelle Möglichkeit eine von den beiden Theorien, oder vielleicht beide Theorien, auszuschließen. Tsui, Strömer und Laughlin erhielten 1998 den Nobelpreis. Noch ungeklärt ist das Auftreten des FQHE mit. 5. Bedeutung des QHE Prinzipiell hat der QHE natürlich eine große Bedeutung für die Erforschung neuer Festkörper. Aufregendes Beispiel: Beweis der 2-Dimensionalität von Graphen. Dieser Effekt ist besonders geeignet für die Metrologie, da der Abstand der Hall-Plateaus unabhängig von Ladungsträgerbeweglichkeit, Probengeometrie, usw. ist. Es gibt sogar einige Beispiele, wo man gezielt lokal-unterschiedliche Ladungsträgerdichten erzeugt hat oder die Probe durchgeschnitten hat. Man hat immer wieder denselben Wert für den Hall-Widerstand gefunden. Verschiedene Messungen an verschiedenen Orten auf der Welt mit verschiedenen Proben fanden alle, dass zwischen l=2 und l=1 die Werte von Klitzings Widerstand mit einer Messgenauigkeit von übereinstimmten. Dies war eine damals noch nie zuvor erreichte Genauigkeit für einen Widerstand. Deswegen definierte man die von- Klitzing-Konstante als Widerstandnormal. Für die Feinstrukturkonstante gilt folgende Relation: ( ) ( ) ( ) (22) Da c und µ 0 beide Normgrößen sind, hat somit die Sommerfeld-Konstante die gleiche Messunsicherheit wie die von-klitzing-konstante. Damit kann man Festkörperphysik und QED, die diese Größe α auch vorhersagt, vergleichen. Sie stimmen innerhalb der Messgenauigkeit von 10^-7 überein und damit kann man das als Beleg für die Konsistenz dieser beiden Theorien sehen. Quellen: Hall-Effekt.pdf Siegfried Hunklinger, Festkörperphysik, Oldenbourg Verlag Physical Review Letter, Volume 45, Page 494, K.v. Klitzing, G. Dorda, M. Pepper Horst Hänsel / Werner Neumann - Physik. Moleküle und Festkörper Spektrum Akademischer Verlag GmbH D.Yoshioka: The Quantum Hall Effekt, Springer Der Quanten Hall Effekt. Klitzing, sdw 1986, S46 Klaus von Klitzing, Rolf Gerhardts und Jürgen Weis: 25 Jahre Quanten-Hall-Effekt, Physik Journal (2005) Nr. 6, Seite 37-44