Advanced Physics of Nanosystems

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1 Graphen ist ein Material mit einer Reihe außergewöhnlicher Eigenschaften. Einige davon werden in K. S. Novoselov et al., Nature 438, 197 (2005) vorgestellt, darunter auch der Quanten-Hall-Effekt. a) Was ist Graphen, und wie wird es in der genannten Arbeit hergestellt? b) Für die elektronischen Eigenschaften von Graphen spielt die Dispersionsrelation eine bedeutende Rolle. Wie lautet sie? Und inwieweit unterscheidet sie sich von Elektronen in einem zweidimensionalen Elektronengas? Welche Konsequenz hat die ungewöhnliche Dispersionsrelation (d.h. durch welche Quasiteilchen werden die Ladungsträger in Graphen beschrieben)? c) Mit welcher Messung weisen die Autoren die Dispersionsrelation von Graphen experimentell nach? d) Vergleichen Sie die Signatur des Quanten-Hall-Effekts für ein zweidimensionales Elektronengas mit der von ein- und zweilagigem Graphen. Wie kann das Verhalten qualitativ erklärt werden? e) Welche Unterschiede zu herkömmlichen zweidimensionalen Elektronengasen beobachten die Autoren zusätzlich? Nennen Sie zwei weitere Beispiele.

2 a) Was ist Graphen, und wie wird es in der genannten Arbeit hergestellt? Graphen: Einzel-Lage Graphit, d.h. ein hexagonales Gitter aus Kohlenstoffatomen, das genau eine Atomlage dünn ist. Herstellung durch mechanische Exfoliation: Mechanisches Spalten von Graphit, eine saubere Graphitoberfläche wird gegen einen zweiten Chip (das Substrat) gerieben. Die dabei abgeriebenen Flocken bestehen zu großen Teilen aus einzelnen Atomlagen, die z.b. im optischen Mikroskop identifiziert werden. Die ausgewählte Graphen-Flocke wird anschliessend mit herkömmlichen Methoden der Mikrofabriation strukturiert und mit Elektroden kontaktiert. Alternative Techniken zur Graphen-Herstellung: Tesafilm-Methode oder seit einigen Jahren auch CVD-Wachstum.

3 b) Für die elektronischen Eigenschaften von Graphen spielt die Dispersionsrelation eine bedeutende Rolle. Wie lautet sie? Und inwieweit unterscheidet sie sich von Elektronen in einem zweidimensionalen Elektronengas? Welche Konsequenz hat die ungewöhnliche Dispersionsrelation (d.h. durch welche Quasiteilchen werden die Ladungsträger in Graphen beschrieben)? Dispersionsrelation von Graphen: Dispersionsrelation eines 2DEG: * E = c k E k = 2m 2 2 * Ladungsträger in Graphen sind 2D Dirac Fermionen, also relavistische, masselose Teilchen.

4 c) Mit welcher Messung weisen die Autoren die Dispersionsrelation von Graphen experimentell nach? Shubnikov-de Haas Effekt: Oszillation des Längswiderstands als Funktion von Ladungsträgerdichte (oder Magnetfeld) Die Oszillationen zeigen die Abhängigkeit der Fermienergie von der Zahl der besetzten Ladauniveaus. Für jede untersuchte Ladungsträgerdichte (~V g ) wird die Periode der SdH-Oszillationen B F (~1/B) bestimmt und in ein Diagramm eingetragen. Mit einem semiklassischen Modell folgt die lineare Dispersionsrelation E~k. aus a) aus b) 2 h S mc = 2πe 2πe 4e 2 π E 2 B = F S(E) = π k = n n

5 d) Vergleichen Sie die Signatur des Quanten-Hall-Effekts für ein zweidimensionales Elektronengas mit der von einund zweilagigem Graphen. Wie kann das Verhalten qualitativ erklärt werden? Graphen: Doppellage Graphen: Phasenverschiebung (Plateaus bei halbzahligem Füllfaktor!) Entartung 4 (2 für Spin, 2 für Valley) Plateaus bei ganzzahligem Füllfaktor, wie im 2DEG Entartung 4 (2 für Spin, 2 für Valley)

6 d) Vergleichen Sie die Signatur des Quanten-Hall-Effekts für ein zweidimensionales Elektronengas mit der von einund zweilagigem Graphen. Wie kann das Verhalten qualitativ erklärt werden? Qualitatives Verhalten des QHE für Graphen: niedrigstes LL bei E = 0 wird von Elektronen und Löchern geteilt und tritt daher beim halben Wert des erwarteten Füllfaktors auf ein Blick auf die Formel bestätigt diese Interpretation 1 1 E N ~ N+ ± 2 2 da nur einer der beiden Pseudospins von Graphen (nämlich Minus zum niedrigsten LL bei E = 0 beiträgt).

7 e) Welche Unterschiede zu herkömmlichen zweidimensionalen Elektronengasen beobachten die Autoren zusätzlich? Nennen Sie zwei weitere Beispiele. Leitwert: Auftreten eines Leitwertquantums von h/(4e 2 ). Der spezifische Widerstand überschreitet dieses Quantum nicht, auch wenn die Ladungsträgerdichte bei V g = 0 gegen Null geht. Masse Zyklotronmasse beschrieben durch E = m c c 2