Auswertung. Quanten-Hall-Effekt

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1 Auswertung zum Versuch Quanten-Hall-Effekt im Rahmen des Fortgeschrittenen-Praktikums zur Einführung in die Festkörperphysik an der Leibniz Universität Hannover von Jule Heier ( ) und Alexander Fufaev ( )

2 Inhalt 1 Einleitung Theoretische Grundlagen Klassischer Halleffekt Zweidimensionales Elektronengas (2DEG) Magnetotransport im 2DEG Hall-Plateaus und Shubnikov-de Haas-Oszillationen (de)lokalisierte Zustände und Randkanalbild (de)lokalisierte Zustände Randkanalbild Elektronenkonzentration und -beweglichkeit Messaufbau Bond-Schemata der Proben Messungen und Auswertung Magnetotransportmessungen Messergebnisse der Magnetotransportmessungen Bestimmung der Elektronenkonzentration Bestimmung der Elektronenbeweglichkeit Fraktionale Füllfaktoren Dauerhafter Photoeffekt Messergebnisse nach Beleuchtung Elektronenkonzentration und beweglichkeit nach Beleuchtung Zusammenfassung Literaturverzeichnis

3 1 Einleitung In diesem Bericht wird der Quanten-Hall-Effekt (QHE) sowie der Einfluss des Photoeffekts auf diesen untersucht. Außerdem werden mithilfe des QHE die Eigenschaften der verwendeten Proben (Elektronenmobilität und Elektronenkonzentration) bestimmt. Der Quantenhalleffekt wurde 1980 von Klaus von Klitzing entdeckt, wofür dieser 1985 den Nobelpreis für Physik erhielt. Das Interessante an diesem Experiment ist, dass aufgrund der Verwendung eines zweidimensionalen Elektronengases und starker Magnetfelder andere physikalische Zusammenhänge zum Vorschein kommen, als beim klassischen Hall-Effekt. Bei diesem wird nämlich ein linearer Zusammenhang zwischen dem Querwiderstand und der magnetischen Flussdichte erwartet, sowie ein konstanter Längswiderstand über den ganzen Magnetfeld-Wertebereich. Bei Einschränkung der Elektronenbewegung auf zwei Dimensionen sowie Verwendung starker Magnetfelder jedoch, bilden sich Plateaus (konstante -Werte) im Querwiderstand für bestimmte Wertebereiche des Magnetfeldes aus, genannt Hall-Plateaus. Und der Längswiderstand bleibt bei Änderung des Magnetfeldes überhaupt nicht konstant, sondern oszilliert, wobei er immer dann ein Minimum annimmt, wenn auch ein neues Hall-Plateau auftritt. Abbildung 1: Verlauf von spezifischem Längs- und Querwiderstand beim klassichen Hall-Effekt Abbildung 2: Verlauf von spezifischen Längs- und Querwiderstand beim Quanten-Hall-Effekt 3

4 2 Theoretische Grundlagen 2.1 Klassischer Halleffekt Beim klassischen Hall-Effekt wird ein dreidimensionales Plättchen (z.b. aus Halbleitermaterial) benutzt, an dessen beiden Enden eine Spannung angelegt wird, die einen konstanten elektrischen Strom verursacht. Senkrecht zum Plättchen wird ein homogenes Magnetfeld angelegt, welches die Ladungsträger (Elektronen oder Löcher) aufgrund der magnetischen Kraft zu einer Kreisbewegung zwingt. Bei schwachem B-Feld und aufgrund der endlichen Breite des Plättchens bildet sich keine Kreisbewegung aus, sondern die Ladungsträger werden je nach ihrem Vorzeichen zum oberen bzw. unteren Rand des Plättchens abgelenkt. Dadurch entsteht ein Ladungsträgerunterschied zwischen den beiden Rändern, weshalb sich ein elektrisches Feld (Hall-Feld) senkrecht zur Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger ausbildet. Die daraus resultierende elektrische Kraft wirkt solange entgegen der magnetischen Kraft, bis sich ein Kräftegleichgewicht einstellt: Eine elektrische Spannung quer zur Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger kann nun zwischen den beiden Rändern des Plättchens gemessen werden. Diese wird Hall-Spannung genannt und kann aus der Beziehung mit dem Drude-Modell - hergeleitet werden: : Hall-Konstante, : Dicke des Plättchens, : Strom in Längsrichtung Mit Driftgeschwindigkeit, sowie und folgt mit für die elektrische Resistivität: Außerdem kann im Rahmen des Drude-Modells gezeigt werden, dass für den Längswiderstand (el. Resistivität entlang des Plättchens) folgt: An und und ist zu erkennen, dass beim klassischen Hall-Effekt sich mit dem B-Feld nicht ändert. linear mit dem B-Feld ansteigt Diese theoretisch hergeleiteten Beziehungen lassen sich im Experiment beobachteten, solange die Probe nur schwachen B-Feldern ausgesetzt ist. 4

5 2.2 Zweidimensionales Elektronengas (2DEG) Beim 2DEG handelt es sich, wie der Name schon sagt, um ein Elektronengas, dessen Bewegung durch Potentialbarrieren auf eine zweidimensionale Ebene eingeschränkt ist. Diese Einschränkung wird experimentell mithilfe einer Halbleiter-Heterostruktur realisiert. Dabei bildet sich das 2DEG an der Grenzfläche zwischen zwei Halbleitern unterschiedlicher Bandlücke aus. Bei der quantenmechanischen Betrachtung des zweidimensionalen Elektronengases in einem externen Magnetfeld in -Richtung ist die Elektronenbewegung anders als in der klassischen Sichtweise auch in der -Ebene quantisiert. Die Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger- Gleichung eines freien Ladungsträgers im externen Magnetfeld liefert folgende Energiezustände [Gro14]: wobei der erste Summand in die Energieniveaus eines harmonisches Oszillators mit der Zyklotronfrequenz in der -Ebene darstellt und der zweite Summand die kinetische Energie in B- Feld-Richtung. Die Energiezustände aus bilden in Abhängigkeit von der Wellenzahl parabelförmige Subbänder, die aufgrund des externen B-Feldes in diskrete Energieniveaus, sogenannte Landau-Niveaus aufgespalten sind, die einen Abstand von zueinander haben. Diese erstrecken sich beim absoluten Temperaturnullpunkt bis zur Fermi-Energie des Elektronengases. Während die Zustandsdichte eines freien 2DEG für beliebige Energien konstant ist, weist die Zustandsdichte freier Ladungsträger im Magnetfeld -Peaks auf, die bei Vorhandensein von Gitterdefekten gaußförmig verbreitert sind. 2.3 Magnetotransport im 2DEG Da die Elektronenbewegung im 2DEG auf die -Ebene beschänkt ist, sind Leitfähigkeit und spezifischer Widerstand Tensoren zweiter Stufe. Beachtet man, dass das 2DEG isotrop ist, so können sie in der Form dargestellt werden können. Die Größen und können experimentell über den Längswiderstand und den Querwiderstand bestimmt werden. Durch Betrachtung der auftretenden Spannungen an der Hallgeometrie findet man folgende Zusammenhänge [Tng16]: 5

6 wobei die Breite der Hallbar in -Richtung und der Abstand der beiden Kontakte ist, an denen in Längsrichtung gemessen wird. Der Fall kleiner Magnetfelder wurde bereits beim klassischen Hall-Effekt behandelt. Beim Quanten- Hall-Effekt treten andere Erscheinungen auf. 2.4 Hall-Plateaus und Shubnikov-de Haas-Oszillationen Bei auseichend starken Magnetfeldern steigt der Querwiderstand nicht mehr linear mit dem Magnetfeld an, sondern es tauchen Plateaus auf, die Hall-Plateaus genannt werden. Sie treten bei ganz bestimmten Werten von auf: wobei der bei allen Probematerialien gleiche Elementarwiderstand und eine ganze positive Zahl ist. Die Zahl wird Füllfaktor genannt. Auch der Längswiderstand verhält sich anders. Anstatt konstant zu bleiben bei Veränderung des Magnetfeldes, beobachtet man Oszillationen, die genau dann Minima annehmen, wenn am Querwiderstand die Hall-Plateaus auftreten. Diese Oszillationen werden Shubnikov-de Haas- Oszillationen (SdH-Oszillationen) genannt. 2.5 (de)lokalisierte Zustände und Randkanalbild Um das Auftreten der Hall-Plateaus und der Shubnikov-de Haas-Oszillationen zu erklären, werden zwei Modelle herangezogen: (de)lokalisierte Zustände Die möglichen Energiezustände der Elektronen werden in zwei Kategorien unterteilt, delokalisierte und lokalisierte. Die delokalisierten Zustände sind in der Mitte der verbreiterten -Peaks der Zustandsdichte zu finden. Dies sind Quantenzustände, bei denen die Wellenfunktion über den ganzen Halbleiter ausgedehnt ist und die somit zum Stromtransport beitragen. An den verbreiterten Rändern der Delta-Peaks befinden sich die lokalisierten Zustände. Sie sind aufgrund der Streuung an Kristalldefekten u.ä. relativ beschränkt auf einen Aufenthaltsort und tragen daher nicht zum Stromtransport bei. Dieses Bild erklärt nun den Quanten-Hall-Effekt auf folgende Art: Durch Veränderung des Magnetfeldes verschiebt sich die energetische Lage der -Peaks in der Zustandsdichte. Somit durchlaufen abwechselnd lokalisierte und delokalisierte Zustände die Fermi-Energie. Da Ladungstransport im Wesentlichen nur am Ferminiveau stattfindet, verändert sich somit auch die Leitfähigkeit. Immer, wenn sich ein lokalisierter Zustand an der Fermi-Energie befindet, geht die Leitfähigkeit gegen Null und damit auch der Längswiderstand. Es kommt zu einem Minimum in und einem Hall-Plateau in. 6

7 2.5.2 Randkanalbild Das Randkanalbild bietet eine klassische und eine quantenmechanische Weise zum Verständnis des QHE an. Eine quantitative Beschreibung liefert nur letztere, daher wird sie hier nun näher erläutert. Die Hallbar hat nur eine endliche Ausdehnung. Wird dies berücksichtigt, so müssen an den Probenränder hohe Potentialwände vorliegen. Dadurch werden die Landau-Niveaus an den Rändern der Hallbar hochgebogen. Diese Krümmung führt dazu, dass die Landau-Niveaus, die vorher unterhalb des chemischen Potentials lagen, dieses nun schneiden. So entstehen an den Schnittpunkten der Energien eindimensionale Leitungskanäle, die sogenannten Randkanäle. Ihre Anzahl hängt von dem Magnetfeld ab, da dies die Lage des chemischen Potentials beeinflusst und somit die Anzahl von Landau-Niveaus, die unterhalb davon liegen. Da jeder Kanal mit zur Leitfähigkeit beiträgt [Gro14], können hiermit die Hall-Plateaus erklärt werden. Die genaue mathematische Berechnung erfolgt mit dem Landauer-Büttiker-Formalismus, auf den hier nicht näher eingegangen wird. 2.6 Elektronenkonzentration und -beweglichkeit Der Quanten-Hall-Effekt kann genutzt werden, um die Eigenschaften der Probe zu charakterisieren. Im Folgenden sollen drei Methoden vorgestellt werden, wie die Elektronenkonzentration aus Messgrößen bestimmt werden kann, sowie eine Formel zur Bestimmung der Elektronenbeweglichkeit. 1. Methode: Beim klassischen Halleffekt haben wir gesehen, dass der spezifische Widerstand mit der Elektronenkonzentration im 2DEG über zusammenhängt (siehe ). Setzt man für nun die Definition des Füllfaktors ein (Gl. ), so erhält man die Formel: Damit ist nun die Bestimmung der Elektronenkonzentration mittels B-Feld und Füllfaktor an den Hall- Plateaus möglich. 2. Methode: Ist das SdH-Minimum zu breit für eine genaue Bestimmung des Magnetfelds, dann kann die Elektronenkonzentration aus der Periodizität der 1/B-Oszillationen berechnet werden: wobei der Magnetfeld-Wert am Maximum bzw. Minimum ist und der Magnetfeld-Wert am benachbarten Maximum bzw. Minimum. Diese Beziehung resultiert daraus, dass die Delta-Peaks in der Zustandsdichte äquidistant sind, und sich ihr Abstand mit steigendem Magnetfeld gleichmäßig verändert. Daher ergibt sich für die SdH-Oszillationen, dass der Abstand der Minima bzw. Maxima in ebenfalls äquidistant ist. Aus diesem Abstand kann dann die der obige Zusammenhang mit der Elektronenkonzentration hergeleitet werden. 7

8 3.Methode: Bei kleinen Magnetfeldern oder hohen Temperaturen kann die Steigung des Querwiderstands benutzt werden, um Elektronenkonzentration zu berechnen, da dort näherungsweise nur der klassische Hall-Effekt auftritt. Dieser liefert wie in Kap. 2.1 gezeigt. Im Falle eines Verlaufs mit ist und kann daher im klassischen Bereich hierdurch ersetzt werden. Damit folgt: wobei hier wie gesagt nur der Bereich des Querwiderstandes bei kleinen Magnetfeldern betrachtet werden darf. Für die Elektronenbeweglichkeit lässt sich ebenfalls eine Formel herleiten, die die Bestimmung mit Messgrößen ermöglicht. Es gilt. Nach dem Drude-Modell gilt außerdem für die Leitfähigkeit. Setzt man in ein und formt nach um, so ergibt sich: Nach hängt der spezifische Längswiderstand durch einen Geometriefaktor mit dem Längswiderstand zusammen. Setzt man dies in ein, so ergibt sich: Dabei wurde beachtet, dass dieser Zusammenhang nur im klassischen Bereich, d.h idealerweise bei gilt. 3 Messaufbau Zur Messung des integralen Quanten-Hall-Effekts wurde eine Hallbar eingesetzt. Eine Hallbar ist eine Halbleiterheterostruktur, d.h. sie wird aus aufeinander aufgedampften Halbleitern unterschiedlicher Bandlücke hergestellt, zwischen denen sich ein zweidimensionales Elektronengas ausbildet. In diesem Versuch beträgt die Breite der Hallbar. An der Halbleiter-Probe, die in einem Probenhalter angeklebt ist, befinden sich Ohmsche Kontakte, die mit den Kontakten des Probenhalters durch einen Golddraht verbunden sind. Zwei benachbarte Längskontakte haben einen Abstand von. An diesen Kontakten wird der elektrische Strom und die Spannung in Längsrichtung gemessen; an gegenüberliegenden Kontakten wird die Hallspannung in Querrichtung gemessen. Damit der integrale Quanten-Hall-Effekt überhaupt nachgewiesen kann, werden tiefe Temperaturen und hohe externe Magnetfelder gebraucht. Um diese extremen Bedingungen zu gewährleisten, wird zuerst der Probenhalter, auf dem sich die Hallbar befindet, ans Ende eines Probenführungsrohrs gesteckt, welches anschließend in einen Magnetprobenstab hineingebracht wird. Am Ende des Magnetprobenstabs befindet sich eine Spule, durch die bei der Versuchsdurchführung ein 8

9 elektrischer Strom fließen wird, um ein Magnetfeld zu erzeugen. Im Inneren der Spule wird sich dann die - mittels des Probenführungsrohrs hineingebrachte - Hallbar befinden. Anschließend wird der Magnetprobenstab in eine Kanne eingetaucht, die flüssiges Helium bei einer Temperatur um enthält. Durch niedrige Temperaturen wird die Magnetspule supraleitend und kann Magnetfelder - in diesem Messaufbau - bis zu 5 Tesla erzeugen. Der Magnetprobenstab wird mit dem Keithley 2400 verbunden, der bei Versuchsdurchführung als eine konstante Stromquelle dienen soll. Außerdem wird der Stab zur Messung der Hall- und Längsspannung mit zwei Spannungsmessern vom Typ Keithley 2000 vernetzt. Die beiden Messgeräte werden dann die aktuelle Quer- und Längsspannung anzeigen, die an der Hallbar entstehen. Durch die Vier-Punkt-Messung der beiden Spannungen werden Kontakt- und Leitungswiderstände vernachlässigbar klein. Um nun die aktuellen Spannungsmesswerte abzuspeichern, werden das Keithley 2400 und die beiden Keithley 2000 mit dem PC verbunden. An diesem wurde ein LabView-Programm erstellt, das die Daten der Messgeräte empfängt, diese in Widerstandswerte umwandelt und in einer Textdatei abspeichert. Außerdem wird mit dem Programm der Strom I und die Sweep-Rate, also die Änderungsrate des Abbildung 3: Einblick in das verwendete LabVIEW-Programm, welches den Messablauf Magnetfeldes, eingestellt. steuert. Das hier vermessene Probenmaterial besteht aus einer Verbindung von Elementen der III. und V. Hauptgruppe des Periodensystems, und zwar. Bei diesem Halbleiter ist es möglich, durch Variation des Aluminium-Anteils einen direkten Halbleiter mit einer relativ großen Bandlücke zu realisieren. Dies ermöglicht einfache Untersuchungen zum Photoeffekt. 9

10 3.1 Bond-Schemata der Proben Bevor mit den Messungen begonnen wird, muss die Kontaktierung der Proben ermittelt werden. Dazu wurden Aufnahmen mit dem Mikroskop gemacht und Bond-Schemata angefertigt. Es wurden drei Proben angeschaut, wobei nur zwei davon später für Messungen verwendet wurden. Probe 4 (keine Messungen): Abbildung 4: Mikroskopaufnahme von Probe 4 Abbildung 5: Mikroskopaufnahme der Kontakte von Probe 4 Abbildung 6: Bond-Schema für Probe 4 10

11 Probe 6: Abbildung 7: Mikroskopaufnahme von Probe 6 Abbildung 8: Mikroskopaufnahme der Kontakte von Probe 6 Abbildung 9: Bond-Schema für Probe 6 Die Mikroskopaufnahmen lassen vermuten, dass Kontakt 07 beschädigt ist (Abb. 8). Dies bestätigte sich später bei den Messungen. Es wurde ebenfalls festgestellt, dass Kontakt 17 defekt ist. 11

12 Probe 7: Abbildung 10: Mikroskopaufnahme von Probe 7 Abbildung 11: Mikroskopaufname der oberen Kontakte von Probe 7 Abbildung 12: Bond-Schema für Probe 7 Die Mikroskopaufname in Abb. 11 zeigt, dass der Bond-Draht zu Kontakt 02 abgerissen ist, und der Kontakt somit defekt ist. Dies bestätigte sich bei den Messungen. 12

13 4 Messungen und Auswertung 4.1 Magnetotransportmessungen Zuerst wurden Längs- und Querwiderstand bei zwei verschiedenen Proben an unterschiedlichen Kontaktpaaren über den gesamten Magnetfeldbereich gemessen. Die Kontaktpaare werden ab jetzt auf folgende Weise notiert: K 1 K 2 /K 3 K 4 /K 5 K 6 - dabei bezeichnen K 1 und K 2 das Kontaktpaar, an dem der Strom angeschlossen wird, K 3 und K 4 das Kontaktpaar, an dem der Längswiderstand R xx gemessen wird, und K 5 und K 6 das Kontaktpaar, an dem der Querwiderstand R xy gemessen wird. Es wurde zunächst versucht, folgende Proben und Kontaktpaare zu vermessen: Probe 6: 0313/1618/ /1817/ /0708/ /1716/1608 Probe 7: 1106/0907/ /0102/ /1213/ /2018/ /2014/ Messergebnisse der Magnetotransportmessungen Für Probe 6: Abbildung 2: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 0313/1618/1608 von Probe 6 Abbildung 14: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 0313/1716/1608 von Probe 6 Die Messung an den Kontakten 0313/1817/1807 ist hier nicht dargestellt, da bei der Durchführung aufgrund von extrem hohen Widerstandswerten ( ) festgestellt wurde, dass die Kontakte 17 und 07 defekt waren, wie man anhand der Mikroskopaufnahmen teilweise schon vermuten konnte. Deshalb wurde die Messung abgebrochen und auch die Messung an den Kontakten 0313/1716/1608 nicht mehr durchgeführt. 13

14 Für Probe 7: Abbildung 15: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 1106/0907/0901 von Probe 7 Abbildung 16: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 1115/1213/1814 von Probe 7 Abbildung 17: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 1115/2018/1913 von Probe 7 Abbildung 18: Messung der Widerstände an den Kontakten 1115/2014/1812 von Probe 7 Die Messung 1106/0102/0802 ist nicht dargestellt, da auch hier festgestellt wurde, dass Kontakt 02 defekt ist. Dies konnte man bereits am Mikroskopbild sehen der Bond-Draht ist vom Kontaktfeld abgerissen. In der letzten Messung (1115/2014/1218, Abb. 18) wurden nicht Längs- und Querwiderstand gemessen, sondern schräg über die Hallbar, was einer Überlagerung von beiden Widerständen entspricht. Diese Überlagerung ist am Diagramm sehr gut erkennbar, denn es treten sowohl ein fast linearer Anstieg als auch Oszillationen des Widerstands auf. Da die Richtungen, in die der Längsanteil des Widerstandes gemessen wurde, bei den beiden Kontaktpaaren 2014 und 1812 entgegengesetzt sind, oszillieren die Widerstandskurven auch in entgegengesetzte Richtungen. Die Richtung, in die der Queranteil des Widerstandes gemessen wurde, ist jedoch bei beiden Kontaktpaaren gleich, daher haben beide Kurven eine (im Mittel) positive Steigung. 14

15 An den anderen Messungen sind sehr gut die erwarteten Effekte erkennbar: Bei schwachem Magnetfeld (etwa unter ) verhalten sich die Widerstände noch klassisch: steigt proportional zum B-Feld, bleibt konstant. Bei stärkeren Feldern jedoch tritt der Quantenhalleffekt zutage: Es bilden sich Hall-Plateaus im Querwiderstand bei den Werten aus und Oszillationen im Längswiderstand. Für eine Messung (Probe 7, 1115/2018/1913, Abb. 14) sind beispielhaft einige der zugehörigen Füllfaktoren eingetragen. Der kleinste Füllfaktor, der im Rahmen dieser Messung beobachtet werden konnte, war Bestimmung der Elektronenkonzentration Um die Elektronenbeweglichkeit zu bestimmen, können (wie in Kapitel 2.6 beschrieben) drei verschiedene Methoden genutzt werden. Für jede Methode werden unterschiedliche Messgrößen gebraucht. Die Ergebnisse sind am Ende in Tabellenform aufgelistet. 1. Methode - mithilfe des Füllfaktors: Hierzu wurden aus den Messdaten die Werte der magnetischen Flussdichte bestimmt, bei denen der Längswiderstand ein Minimum annahm. Aus dem Querwiderstand wurde dann mittels der Füllfaktor bestimmt. Daraus errechnet sich dann die Elektronenkonzentration. Dies wurde pro Messung für mehrere Füllfaktoren durchgeführt. Das Messergebnis erhält man dann durch den Mittelwert und die Unsicherheit durch die Standardabweichung der verschiedenen errechneten Werte. Eine graphische Darstellung zu den Füllfaktoren findet man in Abb Methode - mithilfe der Periodizität der Shubnikov-de Haas-Oszillationen: Hierbei muss die Periode der Oszillationen des Längswiderstandes bestimmt werden. Dazu ist es unerheblich, ob der Abstand zwischen zwei Minima oder zwei Maxima ermittelt wird. Da in Methode 1 bereits die Minima bestimmt wurden, werden sie hier weiter verwendet. In der Graphik (Abb. 19) ist beispielhaft für eine Messung dargestellt, wie die Periodizität der Oszillationen ermittelt werden kann. Skaliert man die B-Achse reziprok, so sind die Abstände der Minima äquidistant. Daher konnten auch hier anhand der Messdaten Abbildung 19: zur Bestimmung der Elektronenkonzentration mehrere Abstände bestimmt werden, mithilfe der 1/B-Periodizität der SdH-Oszillationen. sodass das Endergebnis für die Elektronenkonzentrationen sich wieder aus dem Mittelwert und die Unsicherheit aus der Standardabweichung ergibt. 15

16 3. Methode - mithilfe der Steigung des Hallwiderstandes im klassischen Bereich: Hierzu muss die Steigung im klassischen Bereich, d.h. bei schwachen Magnetfeldern, bestimmt werden. Hier wurde dafür der Bereich gewählt, da hier die Hall-Plateaus und Shubnikov-de HaasOszillationen noch kaum sichtbar ausgebildet sind. In diesem Wertebereich wurde dann ein linearer Fit an die Messwerte des Querwiderstandes angepasst und daraus die Steigung abgelesen. Dies ist beispielshaft in Abb. 20 dargestellt. Die mathematisch bestimmte Unsicherheit Abbildung 20: Zur Bestimmung der Elektronenkonzentration des Fits haben wir verwendet, um daraus die mithilfe der Steigung des Querwiderstandes Rxy(B) im Unsicherheit der Elektronenkonzentration zu klassischen Bereich berechnen. Ergebnisse: Messung P /1618/1608 P /1716/1608 P /0907/0901 P /1213/1814 P /2018/ ±33.0 ±68.3 ±6.5 ±6.7 ±12.8 aus Methode in ± ± ± ± ± ±35.2 ±377.6 ±52.6 ±16.9 ±25.7 Tabelle 1: Elektronenkonzentrationen der verschiedenen Proben und Kontaktpaare. Wie man sieht, sind die Messergebnisse nicht konsistent. Dies kann entweder auf systematische Fehler hindeuten oder darauf, dass die verwendeten Formeln nicht alle den physikalischen Zusammenhang genau beschreiben. Beispielsweise wurde zur Herleitung der Formel zu Methode 1 das Drude-Modell benutzt dies ist jedoch keine exakte Beschreibung des elektrischen Transports. Wie zu erwarten war, befindet sich die Elektronenkonzentrationen der einzelnen Proben etwa im gleichen Bereich, unabhängig davon, welche Kontakte verwendet wurden. Außerdem ist erkennbar, dass in Probe 6 eine höhere Elektronenkonzentration vorhanden ist als in Probe 7. 16

17 4.1.3 Bestimmung der Elektronenbeweglichkeit Zur Bestimmung der Elektronenbeweglichkeit haben wir Formel 16 verwendet. Für die Breite b der Hallbar haben wir eine relativ große Unsicherheit angenommen, da von der Hallbar kleine Arme zu den Kontakten führen, deren Länge wir nicht genau kennen. Daher ergibt sich eine große Unsicherheit für die Elektronenbeweglichkeit. Messung in in P /1618/1608 ±9 664 ±5 P /1716/1608 nicht möglich wegen defektem Kontakt P /0907/0901 ± ±5 P /1213/1814 ±54 79 ±5 P /2018/1913 ± ±5 Tabelle 2: Elektronenbeweglichkeiten in den verschieden Proben an verschiedenen Kontaktpaaren. An den Messergebnissen ist erkennbar, dass am vermessenen Kontaktpaar von Probe 6 eine vergleichsweise geringe Mobilität gegeben ist. Die Kontaktpaare von Probe 7 weisen im Rahmen der Messgenauigkeit in etwa dieselbe Elektronenmobilität auf. Sie liegt wesentlich höher als bei Probe Fraktionale Füllfaktoren Bestimmt man für alle Messungen die zu den Hall-Plateaus gehöreigen Füllfaktoren, so stellt man fest, dass der kleinste hier messbare Füllfaktor beträgt. Es lassen sich keine kleineren ganzzahligen oder gar fraktionalen Füllfaktoren beobachten. Dies liegt daran, dass dafür einfach noch wesentlich stärkere Magnetfelder nötig wären, als die in diesem Versuchsaufbau verwendeten. 4.2 Dauerhafter Photoeffekt Für diesen Versuchsteil wurde die Probe vor Beginn der Messungen bei B = 0 mit einer LED beleuchtet ( ) und anschließend etwa eine halbe Stunde abgewartet. Durch den persistenten Photoeffekt wird nun erwartet, dass sich die Elektronenkonzentration sowie die Elektronenbeweglichkeit erhöht. Wird die Messung zweimal durchgeführt mit unterschiedlichen Sweep-Raten, um festzustellen, ob diese einen Unterschied macht. 17

18 4.2.1 Messergebnisse nach Beleuchtung Abbildung 21: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 0313/1816/1608 von Probe 6 nach Beleuchtung bei einer Sweep-Rate von 0.35 T/min. Abbildung 22: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 0313/1816/1608 von Probe 6 nach Beleuchtung bei einer Sweep-Rate von 0.50 T/min. Es ist erkennbar, dass die Sweep-Rate keinen Einfluss auf den Verlauf von und hat. An den Graphen fällt auf, dass der Querwiderstand nicht mehr so hohe Werte erreicht wie ohne Beleuchtung. Was das über die Probeneigenschaften aussagt, sieht man nach Berechnung von Elektronenkonzentration und -beweglichkeit Elektronenkonzentration und beweglichkeit nach Beleuchtung Messung P /1816/1608-B035 P /1816/ 1608-B ± ±152.2 aus Methode in ± ± ± ±19.0 Tabelle 3: Elektronenkonzentration nach Beleuchtung für die Kontakte 0313/1816/1608 von Probe 6 nach Beleuchtung bei langsamer und schneller Sweep-Rate. Messung P /1816/1608-B035 P /1816/ 1608-B050 in 52.1 ± ±13.4 in 317 ±5 319 ±5 Tabelle 4: Elektronenbeweglichkeit nach Beleuchtung für die Kontakte 0313/1816/1608 von Probe 6 nach Beleuchtung bei langsamer und schneller Sweep-Rate. Wie erwartet wurde eine Erhöhung von Elektronenkonzentration und -beweglichkeit beobachtet. Beide erhöhten sich um etwa die Hälfte des vorherigen Wertes. 18

19 5 Zusammenfassung Es wurden Magnetotransportmessungen bei tiefen Temperaturen an zwei Proben durchgeführt, die eine Hallbar aus einer Halbleiterheterostruktur enthalten. Dabei konnte der integrale Quanten-Hall- Effekt beobachtet werden mit Füllfaktoren bis minimal. Mithilfe der Messungen wurden Elektronenkonzentration und -beweglichkeit in den Proben ermittelt. Dabei konnten Unterschiede in der Qualität der Proben festgestellt werden. Außerdem wurde der Einfluss des persistenten Photoeffekts auf die Probeneigenschaften untersucht. Es zeigte sich, dass nach Beleuchtung die Elektronenkonzentration sowie die Elektronenbeweglichkeit erhöht waren. 19

20 Literaturverzeichnis [Gro14] Rudolph Gross, Achim Marx; Festkörperphysik, de Gruyter, Berlin 2014 [Tng16] David Tong; The Quantum Hall Effect, TIFR Infosys Lectures, 2016, 20