Übungsaufgaben Stochastik II. Übungsaufgaben Stochastik II

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1 Aufgabe 1 Bei der Flugplatz-Party haben Sie die Wahl ob Sie 3 Euro Eintritt bezahlen oder den Eintrittspreis mit einem normalen Würfel würfeln. Entscheiden Sie anhand des Erwartungswertes, welche Variante Sie wählen würden. c) Welchen Betrag muss der Spieler bei einer Null zahlen (ohne Einsatz), damit das Spiel fair ist? d) Würden sie das Spiel machen, wenn es sich um ein Glücksrad mit den ersten 5 Primzahlen und drei Nullen handeln würde? (Kein Einsatz) Aufgabe 2 Tom ist ein begeisterter Fantasy-Abenteuer-Spieler. Bei diesen Spielen werden auch Würfel benutzt, aber diese unterscheiden sich deutlich von normalen Würfeln. Berechnen Sie die jeweiligen Erwartungswerte. a) W7 ist ein siebenseitiger Würfel, wobei die Augenzahlen aus der 1 und den ersten sechs Primzahlen bestehen. b) W12 ist ein zwölfseitiger Würfel, wobei die Augenzahlen die ersten zwölf ungeraden Zahlen sind. c) W6 ist ein sechsseitiger Würfel, der {2, 4, 4, 6, 6, 6} als Augenzahlen hat Aufgabe 3 In einer Urne befinden sich Kugeln mit der Aufschrift + 2, +5 und -7. Jeweils 30 % der Kugeln haben die Aufschrift + 2 und +5. Ein Spieler zieht zweimal hintereinander eine Kugel mit Zurücklegen und notiert jeweils ihre Zahl. Die Summe dieser beiden Zahlen (unter Berücksichtigung des Vorzeichens) geben an, wie viel Euro der Spieler ausbezahlt bekommt (bei positivem Vorzeichen) bzw. was der Spieler bezahlen muss (bei negativem Vorzeichen). a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler bei einem Spiel Geld gewinnt. b) Weisen Sie nach, dass dieses Spiel nicht fair ist. Wie viele Spiele müssen gespielt werden, damit der Spielanbieter mit Einnahmen von 1000 rechnen kann? Aufgabe 5 Herr Hünermann wirbt an seinem Stand auf dem Markt in Marienstadt mit einer besonderen Aktion. Er verspricht dem Käufer eine Prämie von 5 für jedes Ei in einer 10er-Schachtel, das angeschlagen oder ausgelaufen ist. a) Lohnt es sich bei Hünermann zu kaufen, wenn er die 10er-Schachtel 0,50 teurer verkauft als die Konkurrenz am Nachbarstand? Die Zufallsvariable sei der Vorteil für den Käufer. Aus Erfahrung weiß Hünermann, dass in 7% der Schachteln ein Ei angeschlagen ist, in 2% der Schachteln 2 Eier und in 0,25% der Schachteln 3 Eier. (Mehr defekte Eier kommen nicht vor). b) Variieren Sie die Prämie so, dass das Angebot fair wird. c) Variieren Sie den Preisaufschlag so, dass das Angebot fair wird. Aufgabe 6 Herr Ein Lebensmittelgeschäft kauft an jedem Wochenende 6 Käse-Sahne-Torten zu je 8 und verkauft sie zu je 12 gemäß folgender Verteilungstabelle: Anzahl verkaufter Torten Wahrscheinlichkeit 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1 Aufgabe 4 Ein symmetrisches Glücksrad enthält die ersten vier Primzahlen und die Null. Erscheint eine Primzahl, so erhält der Spieler das Quadrat der Zahl in, erscheint die Null, so zahlt er 50. Die Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis den Gewinn des Spielers zu. a) Fertigen sie hierzu die zugehörige Tabelle an und berechnen sie den Erwartungswert (und die Varianz) dieser Zufallsvariablen. a) Berechnen Sie E(Y) mit Y: Zahl der verkauften Torten a) Sei X der Gewinn am Wochenende bei 6 bestellten Torten. Fertigen Sie eine Verteilungstabelle zu X an und berechnen Sie E(X). b) Wie groß ist der zu erwartende Gewinn, wenn man dem Vorschlag des Verkäufers Bender folgt und nur noch 4 Torten an jedem Wochenende bestellt? (X* : Gewinn bei 4 bestellten Torten; Verteilungstabelle entsprechend ändern) b) Welchen Betrag müssten sie als Spieler vor Beginn des Spieles (als Einsatz) einzahlen, damit das Spiel fair ist? 1 2

2 Aufgabe 7 Ein Spieler zahlt 2, um an dem folgenden Spiel teilzunehmen. Würfelt er mit einem Standardwürfel eine gerade Augenzahl, so muss er den Betrag der Augenzahl in an die Bank zahlen. Würfelt er ein ungerade Augenzahl, so erhält er das Doppelte der Augenzahl von der Bank als Gewinn. Die Zufallsvariable X=xi gibt den Gewinn bzw. Verlust des Spielers bei der Augenzahl xi an. a) Stellen Sie eine Verteilungstabelle für die Zufallsvariable X auf und berechnen Sie den Erwartungswert E(X). b) Korrigieren Sie den Einsatz so, dass das Spiel fair wird. Aufgabe 10 Bei einem Glücksspiel wird das Glücksrad aus der nebenstehenden Abbildung dreimal gedreht (1/4 der Fläche ist blau ). Der Einsatz beträgt einen. Wenn einmal blau erscheint, erhält man 1 ausgezahlt, bei zweimal blau 3 und bei dreimal blau 6. Erstellen Sie eine Tabelle mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X, die den zu erwartenden Gewinn angibt und überprüfen Sie, ob es sich um ein faires Spiel handelt. Aufgabe 8 Es wird ein Spiel nach den folgenden Regeln gespielt: Der Einsatz pro Spiel beträgt 2. Der Spieler setzt zuerst eine der Zahlen 1, 2, 3,..., 6. Anschließend wirft er dreimal einen Würfel. Fällt die gesetzte Zahl nicht, ist der Einsatz verloren. Fällt die gesetzte Zahl einmal, so erhält er seinen Einsatz zurück. Fällt die gesetzte Zahl zweimal, so erhält er den doppelten Einsatz. Fällt die gesetzte Zahl dreimal, so erhält er den dreifachen Einsatz. Eine Zufallsgröße X soll den tatsächlichen Gewinn (Gewinn beim Spiel abzgl. Einsatz) beschreiben. Stellen Sie eine Verteilungstabelle für die Zufallsvariable X auf und berechnen Sie den Erwartungswert E(X). Handelt es sich um ein faires Spiel? Aufgabe 9 Bei der Produktion von Reifen fallen Kosten 8 pro Reifen an. Die Reifen werden für 24 an einen Reifenhändler verkauft. Bei 25 % der Reifen treten verschiedene Mängel auf, die der Händler alle entdeckt und reklamiert. Der Reifenhersteller nimmt diese mangelhaften Reifen zurück und erstattet den Kaufpreis. Auch die Kosten für die Rücksendung von 4 pro Reifen werden übernommen. a) Bestimmen Sie den Gewinn, den der Reifenhersteller langfristig erzielen kann. Durch ein Prüfverfahren könnte der Hersteller 90 % der mangelhaften Reifen vor der Auslieferung entdecken und kostenfrei entsorgen. Die einwandfreien Reifen werden zu 100 % identifiziert. b) Legen Sie ein Baumdiagramm zu dieser Situation an und ermitteln Sie, wie viel dieses Prüfverfahren maximal kosten darf, wenn der Hersteller langfristig seinen Gewinn steigern will. Aufgabe 11 Bei den Abschlussprüfungen an einer Privatuniversität sind erfahrungsgemäß 20 % der angemeldeten Prüflinge Wiederholer, die zuvor bereits diese Prüfung nicht bestanden haben. Von diesen Wiederholern treten nach den Erfahrungen des Sekretariates 12 % von der Prüfung. Insgesamt treten 83,2 % der angemeldeten Studenten zur Prüfung an. a) Erstellen Sie ein Baumdiagramm und eine Vierfeldertafel zu dieser Situation. Die Studierenden müssen bei der Erstanmeldung zur Prüfung einen Prüfungsgebühr von 30 zahlen. Die Wiederholer müssen lediglich 20 zahlen. Diejenigen, die nicht zur Prüfung antreten, erhalten ihr Geld bis auf eine Bearbeitungsgebühr von 5 zurück. b) Stellen Sie eine Verteilungstabelle für die Zufallsvariable X auf, die die zu erwartenden Einnahmen der Uni angibt und berechnen Sie den Erwartungswert E(X). Aufgabe 12 Im Marienhospital befinden sich 6 Patienten mit der gleichen Krankheit. Sie werden mit einem Medikament behandelt, bei dem erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 % eine vollständige Heilung der Patienten erfolgt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 1 Patient geheilt wird? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 Patienten geheilt werden? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Patient geheilt wird? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Patienten geheilt werden? e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 Patient geheilt wird? f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 4 Patienten geheilt werden? 3 4

3 Aufgabe 13 Ein Multiple-Choise-Test besteht aus 10 Fragen, für die jeweils 4 Antworten angegeben werden. Für jede Frage ist genau eine Antwort richtig. Ein völlig unvorbereiteter Testteilnehmer kreuzt bei allen Fragen rein zufällig eine Antwort an. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau 5 richtige Antworten ankreuzt? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau 1 richtige Antworten ankreuzt? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er keine richtige Antworten ankreuzt? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er nur richtige Antworten ankreuzt? e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er höchstens 1 richtige Antworten ankreuzt? f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 1 richtige Antworten ankreuzt? g) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er höchstens 2 richtige Antworten ankreuzt? h) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 2 richtige Antworten ankreuzt? Aufgabe 15 Eine Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 20 und p = 1/3. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: a) P ( X = 1) f) P ( X 18) k) P ( 0 X 10) b) P ( X = 5) g) P ( X 5) l) P ( 5 X < 10) c) P ( X = 15) h) P ( X 10) m) P ( 5 < X < 10) d) P ( X 5) i) P ( X 1) n) P ( 5 < X 10) e) P ( X 12) j) P ( 5 X 10) Aufgabe 16 Nur noch in ca. 30 % der Haushalte ist ein Viedorekorder vorhanden. Im Rahmen einer Marktuntersuchung werden 100 Haushalte zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man in a) genau 25 Haushalten einen Videorekorder? Aufgabe 14 Eine Firma stellt preiswerte Lampen her. Erfahrungswerte haben ergeben, dass mit einer Wahrscheinlkichkeit von 10 % eine der Lampen defekt ist. Die Firma verkauft die Lampen in Kisten mit je 20 Lampen an die Händler. Die Firma überprüft eine der Kisten und untersucht alle 20 Lampen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei a) genau zwei Lampen defekt sind? b) höchstens 5 Lampen defekt sind? c) mindestens 2 Lampen defekt sind? Ein Händler hat beschlossen, eine gelieferte Kiste dann zurückzuschicken, wenn mehr als 2 Lampen defekt sind. d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Kiste nicht zurückschickt? e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von 100 Kisten mindestens eine zurückschickt? a) genau 2 Haushalten einen Videorekorder? b) mindestens 1 Haushalt einen Videorekorder? c) mindestens 12 Haushalten einen Videorekorder? d) höchstens 37 Haushalten einen Videorekorder? e) mehr als 30 Haushalten einen Videorekorder? f) mehr als 24, aber weniger als 28 Haushalten einen Videorekorder? g) genau 68 Haushalten keinen Videorekorder? h) weniger als 71 Haushalten keinen Videorekorder? i) höchstens 68 Haushalten keinen Videorekorder? j) mindestens 71 Haushalten keinen Videorekorder? 5 6

4 Aufgabe 17 Ein Student kauft eine Packung mit 50 DVD-Rohlingen, bei denen der Brennvorgang erfahrungsgemäß in 90 % der Fälle gelingt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: a) Alle Brennvorgänge sind erfolgreich. b) Höchstens 40 Brennvorgänge sind erfolgreich. c) Mehr als 45 Brennvorgänge sind erfolgreich. d) Mindestens 2, aber höchstens 8 Brennvorgänge schlagen fehl. e) Wie viele Samenkörner muss man mindestens pflanzen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens ein Samen nicht aufgeht? f) Wenn mehr als 14 Samenkörner nicht aufgehen, will sich die Gärtnerin beschweren. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass sie sich zu Unrecht beschwert, d.h. dass die Wahrscheinlichkeit für das Aufgehen der Samen trotzdem 10 % beträgt? g) Sie schenkt ihrer Tochter 5 Samenkörner. Wie groß müsste die Wahrscheinlichkeit für das Aufgehen der Samenkörner sein, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 5 Samen aufgehen mehr als 10 % beträgt? e) Mindestens 1 Brennvorgang schlägt fehl. Aufgabe 18 Ein Betrieb mit 50 Mitarbeitern richtet einen überdachten Fahrradparkplatz ein. Zur Zeit kommen durchschnittlich 40% der Beschäftigten mit dem Fahrrad zur Arbeit. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit reichen 20 Parkplätze? b) Wie viele Parkplätze müssen zur Verfügung gestellt werden, damit diese mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % ausreichen? c) Durch die Einrichtung der überdachten Fahrradparkplätze erhöht sich der Anteil der Radfahrer auf 60 %. Wie viele Parkplätze müssen jetzt zur Verfügung gestellt werden, damit diese mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % ausreichen? Aufgabe 19 Eine Gärtnerin kauft 100 Blumensamen und sät sie aus. Ihr wurde beim Kauf versichert, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Samenkorn nicht aufgeht 10 % beträgt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) genau 8 Samenkörner nicht aufgehen? b) höchstens 8 Samenkörner nicht aufgehen? c) mindestens 12 Samenkörner nicht aufgehen? Aufgabe 20 Das Unternehmen Müsli-4-you lässt eine Studie zu den Ernährungsgewohnheiten von Jugendlichen durchführen. Bei einer Befragung von 2000 Personen im Alter von 18 Jahren gaben 60 % an, am Morgen regelmäßig zu frühstücken. Von diesen Früstückern waren 1/3 berufstätig. 19 % aller Befragten waren nicht berufstätige, die am Morgen normalerweise nicht frühstücken. a) Erstellen Sie ein Baumdiagramm und eine Vierfeldertafel für diese Situation. b) Erläutern Sie anhand ihrer Ergebnisse, dass der Anteil der nicht berufstätigen Frühstücker - unter allen befragten Jugendlichen - 40 % beträgt. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 angesprochenen Jugendlichen genau 25 nicht berufstätige Frühstücker sind? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 angesprochenen Jugendlichen mehr als 10 nicht berufstätige Frühstücker sind? e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 angesprochenen Jugendlichen weniger als 10 nicht berufstätige Frühstücker sind? f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 angesprochenen Jugendlichen mindestens 25 nicht berufstätige Frühstücker sind? g) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 angesprochenen Jugendlichen mehr als 15, aber höchsten 25 nicht berufstätige Frühstücker sind? d) zwischen 8 und 12 Samenkörner nicht aufgehen? 7 8

5 Aufgabe 21 Eine Firma stellt ein Steuergerät für CNC-Fräsmaschinen her. Erfahrungsgemäß sind 4 % der Geräte defekt. Ein Kunde kauft 20 Steuergeräte. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter diesen Geräten genau 2 defekte? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter diesen Geräten höchstens 2 defekte? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter diesen Geräten mehr als 2 defekte? d) Wie viele Geräte müsste ein Kunde abnehmen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % wenigstens ein defektes Gerät erhält? Um die Qualität ihrer Produkte auf einem möglichst hohem Niveau zu halten, hat sie ein Testverfahren entwickelt, das alle Geräte vor der Auslieferung durchlaufen. Dieses Testverfahren erkennt bei 98 % der defekten Geräte diesen Defekt korrekt. Allerdings werden auch 6,3 % der Geräte ohne Defekt, fälschlicherweise als defekt erkannt. e) Erstellen Sie ein Baumdiagramm und eine Vierfeldertafel für diese Situation. Hinweis: Runden Sie Ihre Ergebnisse auf drei Stellen. f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät als intakt getestet wird? Hinweis: Runden Sie Ihre Ergebnisse hier auf 2 Stellen. g) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden unter 20 getesteten Geräten genau 15 als intakt (OK) getestet? ( h) h) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden unter 20 getesteten Geräten weniger als 10 als intakt (OK) getestet? i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden unter 20 getesteten Geräten mehr als 15 als intakt (OK) getestet? j) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden unter 20 getesteten Geräten mindestens 15, aber weniger als 20 als intakt (OK) getestet? k) Wie groß müsste die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test sein, damit die Wahrscheinlichkeit, dass von 20 getesteten Geräte alle als intakt (OK) getestet werden größer als 25 % ist Aufgabe 22 Eine zwölfte Klasse veranstaltet auf dem Schulfest am letzten Schultag das folgende Glückspiel. Gegen einen Einsatz von 1 darf jeder einmal würfeln. Fällt eine 6, so erhält er 6 von der Bank, bei allen anderen Zahlen erhält er nichts. Die Schulleitung genehmigt das Spiel, aber im Nachhinein melden die Eltern heulender Fünftklässler ethische Bedenken an. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass beim fünfmaligen würfeln nie, einmal, zweimal, dreimal, viermal oder fünfmal die 6 fällt. b) Legen Sie eine Verteilungstabelle für die Zufallsvariable X an, die die möglichen Gewinne oder Verluste nach 5 Durchgängen angibt. Zeigen Sie mit Hilfe des Erwartungswertes E(X), dass das Spiel auch bei 5 Durchgängen fair bleibt. c) Geben Sie das Pleiterisiko in den ersten 5 Spielen für einen Fünftklässler an, der sein gesamtes Taschengeld von 5 einsetzt. Aufgabe 23 In einer Versicherung werden zehn Sachbearbeiterinnen beschäftigt. Diese Sachbearbeiterinnen können ihre Telefongespräche über insgesamt drei Amtsleitungen führen. Durchschnittlich zwölf Minuten einer Arbeitsstunde muss jede von ihnen dienstlich telefonieren. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Leitungen ausreichen? b) Würde die Einrichtung einer weiteren Amtsleitung genügen, damit in höchstens 3% der Fälle keine freie Leitung verfügbar ist? c) Die Zahl der Mitarbeiter wird verdoppelt, es stehen aber weiterhin nur drei Amtsleitungen zur Verfügung. Dafür verringert sich die Telefontätigkeit auf durchschnittlich 10 Minuten pro Arbeitsstunde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält ein Mitarbeiter keine freie Amtsleitung? d) Wie viele Amtsleitungen müssen nun für die zwanzig Mitarbeiter bereitgestellt werden, damit diese in mindestens 90% aller Fälle ausreichen? 9 10

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