X = x i P = x i 0,09 0,18 0,09 0,24 0,24 0,16

Transkript

1 Aufgabe c) W ist ein sechsseitiger Würfel, der {, 4, 4,,, } als Augenzahlen hat Bei der Flugplatz-arty haben Sie die Wahl ob Sie uro intritt bezahlen oder den intrittspreis mit einem normalen Würfel würfeln. ntscheiden Sie anhand des rwartungswertes, welche Variante Sie wählen würden. Aufgabe In einer Urne befinden sich Kugeln mit der Aufschrift +, + und -7. Jeweils 0 % der Kugeln haben die Aufschrift + und +. Aufgabe Tom ist ein begeisterter Fantasy-Abenteuer-Spieler. Bei diesen Spielen werden auch Würfel benutzt, aber diese unterscheiden sich deutlich von normalen Würfeln. Berechnen Sie die jeweiligen rwartungswerte. in Spieler zieht zweimal hintereinander eine Kugel mit Zurücklegen und notiert jeweils ihre Zahl. Die Summe dieser beiden Zahlen (unter Berücksichtigung des Vorzeichens) geben an, wie viel uro der Spieler ausbezahlt bekommt (bei positivem Vorzeichen) bzw. was der Spieler bezahlen muss (bei negativem Vorzeichen). a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler bei einem Spiel Geld gewinnt. a) W7 ist ein siebenseitiger Würfel, wobei die Augenzahlen aus der und den ersten sechs rimzahlen bestehen b) W ist ein zwölfseitiger Würfel, wobei die Augenzahlen die ersten zwölf ungeraden Zahlen sind X (" Gewinn" ) ( X 0 ) , + 09

2 b) Weisen Sie nach, dass dieses Spiel nicht fair ist. Wie viele Spiele müssen gespielt werden, damit der Spielanbieter mit innahmen von 000 rechnen kann? ALTRNATIV Sei k der zu zahlende insatz: ,, 4 Im langfristigen Mittel hat also jeder teilnehmende Spieler einen Verlust von,40 zu erwarten (der Spielanbieter somit einen entsprechenden Gewinn). (4 k) + (9 k) + ( k) + (49 k) (0 k) (4 k) + (9 k) + ( k) + (49 k) (0 k) 0 4 k + 9 k + k + 49 k 0 k 0 7 k 0 + k 0 : in Gewinn von 000 für den Spielanbieter ergibt sich somit nach ca , Spielen. 7 k 7,4 k : Aufgabe 4 in symmetrisches Glücksrad enthält die ersten vier rimzahlen und die Null. rscheint eine rimzahl, so erhält der Spieler das Quadrat der Zahl in, erscheint die Null, so zahlt er 0. Die Zufallsvariable X ordnet jedem rgebnis den Gewinn des Spielers zu. a) Fertigen sie hierzu die zugehörige Tabelle an und berechnen sie den rwartungswert (und die Varianz) dieser Zufallsvariablen. V s Zahlen , 4 ( 4 7,4 ) + ( 9 7,4 ) + ( 7,4 ) + ( 49 7,4 ) + ( 0 7,4 ) 49, 49, 7, 4 b) Welchen Betrag müssten sie als Spieler vor Beginn des Spieles (als insatz) einzahlen, damit das Spiel fair ist? Der langfristig zu erwartende Auszahlungsbetrag muss durch den intritt ausgeglichen werden. Da 7, 4 müssten 7,4 gezahlt werden. c) Welchen Betrag muss der Spieler bei einer Null zahlen (ohne insatz), damit das Spiel fair ist? 7,4 K 0 7,4 K 0 7,4 K 7 K + K : d) Würden sie das Spiel machen, wenn es sich um ein Glücksrad mit den ersten rimzahlen und drei Nullen handeln würde? (Kein insatz) Zahlen , Wie viele Nullen müssen (zu den ersten rimzahlen) hinzugefügt werden, damit sich das Spiel für den Anbieter lohnt? ,. Bei 4 Nullen gilt: Bei Nullen gilt: ,. 4

3 Aufgabe Aufgabe Herr Hünermann wirbt an seinem Stand auf dem Markt in Marienstadt mit einer besonderen Aktion. r verspricht dem Käufer eine rämie von für jedes i in einer 0er-Schachtel, das angeschlagen oder ausgelaufen ist. a) Lohnt es sich bei Hünermann zu kaufen, wenn er die 0er-Schachtel 0 teurer verkauft als die Konkurrenz am Nachbarstand? Die Zufallsvariable sei der Vorteil für den Käufer. Aus rfahrung weiß Hünermann, dass in 7% der Schachteln ein i angeschlagen ist, in % der Schachteln ier und in % der Schachteln ier. (Mehr defekte ier kommen nicht vor). Herr in Lebensmittelgeschäft kauft an jedem Wochenende Käse-Sahne-Torten zu je und verkauft sie zu je gemäß folgender Verteilungstabelle: Anzahl verkaufter Torten 4 Wahrscheinlichkeit a) Berechnen Sie (Y) mit Y: Zahl der verkauften Torten Zahl der angeschlagenen ier 0 ( Y ) , (Vorteil in ) - 4, 9, 4, a) Sei X der Gewinn am Wochenende bei bestellten Torten. Fertigen Sie eine Verteilungstabelle zu X an und berechnen Sie (X). ( 0, ) , , 0 + 4, Die Käufer haben also im langfristigen Mittel einen reisvorteil von,7 Cent. b) Variieren Sie die rämie so, dass das Angebot fair wird. ( ) ( p ) 07 + ( p ) 0 + ( p ) 00 0 Anzahl verkaufter Torten (Gewinn in ) p p p 00 0 ( ) + ( 4) + ( ) , 4 + 7p 0 + Bei bestellten Torten wird im langfristigen Mittel ein Verlust von,4 gemacht. 07, p : 7 p 4, c) Variieren Sie den reisaufschlag so, dass das Angebot fair wird. Der in a) berechnete rwartungswert muss ausgeglichen werden, somit muss der reisaufschlag 7 ( + 07 ) betragen, d.h. gerundet 9 oder 9 Cent. b) Wie groß ist der zu erwartende Gewinn, wenn man dem Vorschlag des Verkäufers Bender folgt und nur noch 4 Torten an jedem Wochenende bestellt? (X : Gewinn bei 4 bestellten Torten; Verteilungstabelle entsprechend ändern) Anzahl verkaufter 4 4 () 4 () Torten zusammenfassen

4 Anzahl verkaufter Torten (Gewinn in bei 4 Torten) ( 0) + ( ) , Bei 4 bestellten Torten wird im langfristigen Mittel ein Gewinn von erzielt. Aufgabe s wird ein Spiel nach den folgenden Regeln gespielt: Der insatz pro Spiel beträgt. Der Spieler setzt zuerst eine der Zahlen,,,...,. Anschließend wirft er dreimal einen Würfel. Fällt die gesetzte Zahl nicht, ist der insatz verloren. Fällt die gesetzte Zahl einmal, so erhält er seinen insatz zurück. Fällt die gesetzte Zahl zweimal, so erhält er den doppelten insatz. Fällt die gesetzte Zahl dreimal, so erhält er den dreifachen insatz. ine Zufallsgröße X soll den tatsächlichen Gewinn (Gewinn beim Spiel abzgl. insatz) beschreiben. Stellen Sie eine Verteilungstabelle für die Zufallsvariable X auf und berechnen Sie den rwartungswert (X). Handelt es sich um ein faires Spiel? Z bedeutet hier: ausgewählte Zahl nz : nicht die gewählte Zahl Aufgabe 7 in Spieler zahlt, um an dem folgenden Spiel teilzunehmen. Würfelt er mit einem Standardwürfel eine gerade Augenzahl, so muss er den Betrag der Augenzahl in an die Bank zahlen. Würfelt er ein ungerade Augenzahl, so erhält er das Doppelte der Augenzahl von der Bank als Gewinn. Die Zufallsvariable X gibt den Gewinn bzw. Verlust des Spielers bei der Augenzahl an. a) Stellen Sie eine Verteilungstabelle für die Zufallsvariable X auf und berechnen Sie den Gewürfelte Augenzahl rwartungswert (X). X x i (Gewinn) x i 0, 7 0, 7 0, 7 0, 7 0, 7 0, 7 ( 0) + ( 4) ( ) + + ( ) ( ) ( ) S Anzahl ausgewählte Zahl. Wurf. Wurf. Wurf Z nz Z nz Z nz Z nz Z nz Z nz Z nz rgebnis Wahrscheinlichkeit Z/Z/Z Z/Z/W Z/W/Z Z/W/W W/Z/Z W/Z/W W/W/Z W/W/ 0 b) Korrigieren Sie den insatz so, dass das Spiel fair wird. Der in a) berechnete rwartungswert muss ausgeglichen werden, somit muss der neue insatz betragen. X (Gewinn)

5 ( ) + ( 0) 7 + ( ) + ( 4) ( ) ( ) 4 s handelt sich NICHT um ein faires Spiel, da der erwartungswert nicht gleich Null ist. OK defekt Aufgabe 9 Bei der roduktion von Reifen fallen Kosten pro Reifen an. Die Reifen werden für 4 an einen Reifenhändler verkauft. Bei % der Reifen treten verschiedene Mängel auf, die der Händler alle entdeckt und reklamiert. Der Reifenhersteller nimmt diese mangelhaften Reifen zurück und erstattet den Kaufpreis. Auch die Kosten für die Rücksendung von 4 pro Reifen werden übernommen. a) Bestimmen Sie den Gewinn, den der Reifenhersteller langfristig erzielen kann. Um die Aufgabe zu lösen, wird zunächst berechnet, wie viel Gewinn (oder gegebenenfalls Verlust) der Hersteller langfristig zu erwarten hat ohne die Kosten für das testverfahren zu berücksichtigen. Die tatsächlichen Kosten dürfen dann die potentielle Gewinnsteigerung nicht überschreiten. Reifenzustand OK defekt X (Gewinn) , 7 0, ( ) 7 + ( ) 9 Der Hersteller kann somit (langfristig) einen durchschnittlichen Gewinn von 9 pro Reifen erwarten. Durch ein rüfverfahren könnte der Hersteller 90 % der mangelhaften Reifen vor der Auslieferung entdecken und kostenfrei entsorgen. Die einwandfreien Reifen werden zu 00 % identifiziert. Reifenzustand OK T + OK T defekt T + defekt T X (Gewinn) , 7 0 0, 0 0, ( ) 7 + ( ) 0 + ( ) 0 + ( ) 9, 9 Der langfristige Gewinn (pro Reifen) könnte nun maximal 9,9 betragen. Damit tatsächlich mehr Gewinn erzielt werden kann, dürfen die Kosten 9 nicht erreichen (das rüfverfahren darf also maximal 9 Cent betragen. b) Legen Sie ein Baumdiagramm zu dieser Situation an und ermitteln Sie, wie viel dieses rüfverfahren maximal kosten darf, wenn der Hersteller langfristig seinen Gewinn steigern will. 9 0

6 Aufgabe 0 Bei einem Glücksspiel wird das Glücksrad aus der nebenstehenden Abbildung dreimal gedreht (/4 der Fläche ist blau ). Der insatz beträgt einen. Wenn einmal blau erscheint, erhält man ausgezahlt, bei zweimal blau und bei dreimal blau. rstellen Sie eine Tabelle mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X, die den zu erwartenden Gewinn angibt und überprüfen Sie, ob es sich um ein faires Spiel handelt. a) rstellen Sie ein Baumdiagramm und eine Vierfeldertafel zu dieser Situation.. rüfung Wiederholer Anhand eines Baumdiagrammes (siehe Aufgabe ) oder anhand von kombinatorischen Überlegungen ergibt sich, dass es jeweils Möglichkeiten (Wege) gibt, bei denen einmal blau bzw. zweimal blau auftritt ( Regel von Bernoulli). Anzahl blau X (Gewinn) T + T. rüfung 44 Wiederholer 04 7 ( ) 49 + ( 0) 49 + ( ) 40 + ( ) 0 07 Dies bedeutet, dass langfristig jeder Spieler durchschnittlich,7 Cent also ca. Cent verliert. Das Spiel ist somit nicht ganz fair. Die Studierenden müssen bei der rstanmeldung zur rüfung einen rüfungsgebühr von 0 zahlen. Die Wiederholer müssen lediglich 0 zahlen. Diejenigen, die nicht zur rüfung antreten, erhalten ihr Geld bis auf eine Bearbeitungsgebühr von zurück. b) Stellen Sie eine Verteilungstabelle für die Zufallsvariable X auf, die die zu erwartenden innahmen der Uni angibt und berechnen Sie den rwartungswert (X). T +. T + W T. T W Aufgabe Bei den Abschlussprüfungen an einer rivatuniversität sind erfahrungsgemäß 0 % der angemeldeten rüflinge Wiederholer, die zuvor bereits diese rüfung nicht bestanden haben. Von diesen Wiederholern treten nach den rfahrungen des Sekretariates % von der rüfung. Insgesamt treten, % der angemeldeten Studenten zur rüfung an. X 0 0 (innahmen) ( 0 ) + ( 0) 04 + ( ) 44 + ( ) 7, 7

7 Aufgabe Im Marienhospital befinden sich atienten mit der gleichen Krankheit. Sie werden mit einem Medikament behandelt, bei dem erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 % eine vollständige Heilung der atienten erfolgt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau atient geheilt wird? ( X ) 7 ( 7) 7 00 b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau atienten geheilt werden? 4 ( X ) 7 ( 7) 7 09 c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein atient geheilt wird? 0 0 ( X 0) 7 ( 7) 0007 d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle atienten geheilt werden? ( X ) 7 ( 7) 7 7 e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens atient geheilt wird? ( X ) ( X 0) f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 4 atienten geheilt werden? ( X ) 7 ( X ) 7 ( 7 ) 7 0 ( X > 4 ) ( X ) + ( X ) Somit: Alternativ: ( X > 4 ) ( X 4) (siehe Tabelle) Aufgabe in Multiple-Choise-Test besteht aus 0 Fragen, für die jeweils 4 Antworten angegeben werden. Für jede Frage ist genau eine Antwort richtig. in völlig unvorbereiteter Testteilnehmer kreuzt bei allen Fragen rein zufällig eine Antwort an. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau richtige Antworten ankreuzt? 0 0 ( X ) ( ) 7 04 b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau richtige Antworten ankreuzt? ( X ) ( ) c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er keine richtige Antworten ankreuzt? ( X 0) ( ) 7 0 d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er nur richtige Antworten ankreuzt? ( X 0) ( ) e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er höchstens richtige Antworten ankreuzt? ( X ) ( X 0) + ( X ) , 44 f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens richtige Antworten ankreuzt? ( X ) ( X 0) g) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er höchstens richtige Antworten ankreuzt? ( X ) ( X 0) + ( X ) + ( X ) (siehe Tabelle) h) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens richtige Antworten ankreuzt? ( X ) ( X )

8 Aufgabe 4 Aufgabe ine Firma stellt preiswerte Lampen her. rfahrungswerte haben ergeben, dass mit einer Wahrscheinlkichkeit von 0 % eine der Lampen defekt ist. Die Firma verkauft die Lampen in Kisten mit je 0 Lampen an die Händler. Die Firma überprüft eine der Kisten und untersucht alle 0 Lampen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei a) genau zwei Lampen defekt sind? 0 0 ( X ) ( ) 90 0, 9 b) höchstens Lampen defekt sind? ( X ) ( X 0) + ( X ) + ( X ) + ( X ) c) mindestens Lampen defekt sind? ( X ) ( X ) ( X 0)... 0 Alternativ: ( X ) ( X ) 97 0 in Händler hat beschlossen, eine gelieferte Kiste dann zurückzuschicken, wenn mehr als Lampen defekt sind. d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Kiste nicht zurückschickt? Der Käufer würde die Kiste nicht zurückschicken, wenn höchstens Lampen defekt sind. ( X ) 79 ine Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den arametern n 0 und p /. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: 0 0 a) ( X ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) b) ( X ) ( ) ( ) 04 ( ) ( ) c) ( X ) ( ) ( ) 04 ( ) ( ) 000 d) ( X ) 97 (Tabelle) e) ( X ) 99 (Tabelle) f) ( X ) (Tabelle) g) ( X ) ( X 4) 4 h) ( X 0 ) ( X 9) e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von 00 Kisten mindestens eine zurückschickt? Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kiste zurückgeschickt wird beträgt: ( X ) 79 0, Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Kiste von 00 zurückgeschickt wird beträgt: 0 ( X ) ( X 0) ( ) ( 79 ), i) ( X ) ( X 0) j) ( X 0) ( X 0) ( X 4) k) ( 0 X 0) ( X 0) 94 l) ( X < 0) ( X 9) ( X 4) 90 7 m) ( < X < 0) ( X 9) ( X ) n) ( < X 0) ( X 0) ( X ) 94 97

9 Aufgabe Nur noch in ca. 0 % der Haushalte ist ein Viedorekorder vorhanden. Im Rahmen einer Marktuntersuchung werden 00 Haushalte zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man in a) genau Haushalten einen Videorekorder? ( X ) ( ) ( ), 4 ( ) ( 7) 049 a) genau Haushalten einen Videorekorder? g) genau Haushalten keinen Videorekorder? ( X ) ( 7) ( 7) 400, ( 7) ( ) 077 h) weniger als 7 Haushalten keinen Videorekorder? ( X < 7 ) ( X 70) 4 77 i) höchstens Haushalten keinen Videorekorder? ( X 7 ) 7 (Tabelle) (Tabelle) ( X ) ( ) ( ) 490 ( ) ( 7), 94 0 b) mindestens Haushalt einen Videorekorder? j) mindestens 7 Haushalten keinen Videorekorder? ( X 7 ) ( X 70) ( 77 ) 4 (siehe h) 0 ( X ) ( X 0) ( ) ( ) ( 7 ), 0 c) mindestens Haushalten einen Videorekorder? ( X ) ( X ) 0000 d) höchstens 7 Haushalten einen Videorekorder? ( X 7 ) 947 (Tabelle) 00 0 (Tabelle) Aufgabe 7 in Student kauft eine ackung mit 0 DVD-Rohlingen, bei denen der Brennvorgang erfahrungsgemäß in 90 % der Fälle gelingt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender reignisse: a) Alle Brennvorgänge sind erfolgreich ( X 0) ( 9) ( 9) ( 9) 00 ( X 40 ) b) Höchstens 40 Brennvorgänge sind erfolgreich. (Tabelle) e) mehr als 0 Haushalten einen Videorekorder? ( X > 0 ) ( X 0) (Tabelle) c) Mehr als 4 Brennvorgänge sind erfolgreich. ( X > 4 ) ( X 4) ( 4 ) 4 f) mehr als 4, aber weniger als Haushalten einen Videorekorder? ( 4 < X < ) ( X 7) ( X 4) 94 Hier gilt: d) Mindestens, aber höchstens Brennvorgänge schlagen fehl. p. ( X ) ( X ) ( X ) Hier gilt: e) Mindestens Brennvorgang schlägt fehl p. ( X 0) ( ) ( )

10 Aufgabe in Betrieb mit 0 Mitarbeitern richtet einen überdachten Fahrradparkplatz ein. Zur Zeit kommen durchschnittlich 40% der Beschäftigten mit dem Fahrrad zur Arbeit. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit reichen 0 arkplätze? Die arkplätze reichen aus, wenn höchstens 0 Beschäftigte mit dem Fahrrad zur Arbeit kommen. ( X 0 ) 0 (Tabelle) Diese arkplätze reichen also mit einer Wahrscheinlichkeit von etwas mehr als 0 %, genau, %. Aufgabe 9 ine Gärtnerin kauft 00 Blumensamen und sät sie aus. Ihr wurde beim Kauf versichert, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Samenkorn nicht aufgeht 0 % beträgt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) genau Samenkörner nicht aufgehen? b) höchstens Samenkörner nicht aufgehen? c) mindestens Samenkörner nicht aufgehen? d) zwischen und Samenkörner nicht aufgehen? b) Wie viele arkplätze müssen zur Verfügung gestellt werden, damit diese mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % ausreichen? Die arkplätze sollen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % ausreichen. Somit ist das kleinste k gesucht, bei dem die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens k Beschäftigte mit dem Fahrrad zur Arbeit kommen größer als 99 ist. ( X 7 ) 94 und ( X ) 994 Somit müssen arkplätze angelegt werden. (Tabelle) c) Durch die inrichtung der überdachten Fahrradparkplätze erhöht sich der Anteil der Radfahrer auf 0 %. Wie viele arkplätze müssen jetzt zur Verfügung gestellt werden, damit diese mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % ausreichen? e) Wie viele Samenkörner muss man mindestens pflanzen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 9 % mindestens ein Samen nicht aufgeht? Die arkplätze sollen hier ebenfalls mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % ausreichen. Allerdings ist nun p. ( X 7 ) 97 und ( X ) 994 (Tabelle) Somit müssen nun arkplätze angelegt werden. 9 0

11 f) Wenn mehr als 4 Samenkörner nicht aufgehen, will sich die Gärtnerin beschweren. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass sie sich zu Unrecht beschwert, d.h. dass die Wahrscheinlichkeit für das Aufgehen der Samen trotzdem 0 % beträgt? Aufgabe 0 Das Unternehmen Müsli-4-you lässt eine Studie zu den rnährungsgewohnheiten von Jugendlichen durchführen. Bei einer Befragung von 000 ersonen im Alter von Jahren gaben 0 % an, am Morgen regelmäßig zu frühstücken. Von diesen Früstückern waren / berufstätig. 9 % aller Befragten waren nicht berufstätige, die am Morgen normalerweise nicht frühstücken. a) rstellen Sie ein Baumdiagramm und eine Vierfeldertafel für diese Situation. frühstücken / nicht frühstücken F + / F berufstätig / nicht berufstätig B + / B g) Sie schenkt ihrer Tochter Samenkörner. Wie groß müsste die Wahrscheinlichkeit für das Aufgehen der Samenkörner sein, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Samen aufgehen mehr als 0 % beträgt? Die Wahrscheinlichkeit für das Aufgehen der Samen beträgt nun nicht mehr p 9, sondern muss neu bestimmt werden. Für die Wahrscheinlichkeit, dass von Samen aufgehen gilt allgemein: 0 ( X ) p ( p) p ( p) p Somit erhält man: p p ( X ) Die Wahrscheinlichkeit für das Aufgehen der Samenkörner muss also mindestens % betragen, damit alle Samen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0 % aufgehen. B + B F + 4 F b) rläutern Sie anhand ihrer rgebnisse, dass der Anteil der nicht berufstätigen Frühstücker unter den befragten Jugendlichen 40 % beträgt. Die nicht berufstätigen Frühstücker findet man auf dem fad F + B. F + B, was man sowohl im Baumdiagramm, als Dafür gilt: ( ) 4 auch in der Vierfeldertafel ablesen kann.

12 c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 0 angesprochenen Jugendlichen genau nicht berufstätige Frühstücker sind? Hier gilt: n 0 und p ( X ) 4 ( 4),40 0 4, 0 0 d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 0 angesprochenen Jugendlichen mehr als 0 nicht berufstätige Frühstücker sind? ( X > 0 ) ( X 0) e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 0 angesprochenen Jugendlichen weniger als 0 nicht berufstätige Frühstücker sind? ( X < 0 ) ( X 9) 000 Aufgabe ine Firma stellt ein Steuergerät für CNC-Fräsmaschinen her. rfahrungsgemäß sind 4 % der Geräte defekt. in Kunde kauft 0 Steuergeräte. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter diesen Geräten genau defekte? 0 0 ( X ) 04 ( 04) b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter diesen Geräten höchstens defekte? ( X ) 9 (siehe Tabelle) alternativ: ( X ) ( X ) + ( X ) + ( X 0) c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter diesen Geräten mehr als defekte? ( X > ) ( X ) f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 0 angesprochenen Jugendlichen mindestens nicht berufstätige Frühstücker sind? ( X ) ( X 4) d) Wie viele Geräte müsste ein Kunde abnehmen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % wenigstens ein defektes Gerät erhält? Hier müssen alle fade erfasst werden, in denen mindestens ein defektes Gerät g) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 0 angesprochenen Jugendlichen mehr als, aber höchsten nicht berufstätige Frühstücker sind? ( < X ) ( X ) ( X ) auftritt. Das bedeutet, dass lediglich der fad in dem kein defektes Gerät vorkommt nicht erfasst wird. Die Länge n der Bernoulli-Kette ist allerdings nicht bekannt. Sie wird hier gesucht. Daher gilt: ( X ) ( X 0).und n 0 n 0 0 n n ( X 0) 04 ( 04) Somit ergibt sich: 4

13 Aufgabe ( X ) 9 ( X 0) 9 ln() ln() ln( 9) n n n ln( 9) n,0 n 040,4 n 9 n n ln ( nat. Logarithmus anwenden) :ln(9) ACHTUNG : ln(9) < 0 Dies bedeutet, dass mindestens 7 Steuergeräte gekauft werden müssen. Um die Qualität ihrer rodukte auf einem möglichst hohen Niveau zu halten, hat sie ein Testverfahren entwickelt, das alle Geräte vor der Auslieferung durchlaufen. Dieses Testverfahren erkennt bei 9 % der defekten Geräte diesen Defekt korrekt. Allerdings werden auch, % der Geräte ohne Defekt, fälschlicherweise als defekt erkannt. e) rstellen Sie ein Baumdiagramm und eine Vierfeldertafel für diese Situation. Hinweis: Runden Sie Ihre rgebnisse auf drei Stellen. defekt / fehlerfrei NOK / OK Test zeigt defekt / Test zeigt in Ordnung T / T + T + T OK NOK f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät, das ausgeliefert wird (also als einwandfrei getestet wurde), tatsächlich defekt ist? T + ( NOK) T ( + NOK ) ( T + ) g) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät, das ausgeliefert wird (also als einwandfrei getestet wurde), tatsächlich in Ordnung ist? T + ( OK) T ( + OK ) ( T + ) h) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät als intakt getestet ist? ( T + ) 9 i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden unter 0 getesteten Geräten genau als intakt (OK) getestet? OK NOK 0 0 ( X ) 9 ( 9) j) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden unter 0 getesteten Geräten weniger als 0 als intakt (OK) getestet? ( X < 0 ) ( X 9) 0 k) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden unter 0 getesteten Geräten mehr als als intakt (OK) getestet? ( X > ) ( X ) ( 9) 9

14 l) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden unter 0 getesteten Geräten mindestens, aber weniger als 0 als intakt (OK) getestet? a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass beim fünfmaligen würfeln nie, einmal, zweimal, dreimal, viermal oder fünfmal die fällt. ( X < 0) ( X < 0) ( X 4) ( X 9) ( X 4) ( ) ( 97) m) Wie groß müsste die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test sein, damit die Wahrscheinlichkeit, dass von 0 getesteten Geräte alle als intakt (OK) getestet werden größer als % ist? Die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test beträgt nun nicht mehr p 9, sie muss neu bestimmt werden ( X 0) ( ) ( ) ( ) 0, 409 ( X ) ( ) ( ) 0, 409 ( X ) ( ) ( ) 0, 0 ( X ) ( ) ( ) 0, ( X 4) ( ) ( ) 0, 00 4 ( X ) ( ) ( ) 0, 000 Für die Wahrscheinlichkeit, dass 0 von 0 Tests positiv sind gilt allgemein: ( X 0) p ( p) p ( p) p Somit erhält man: ( X 0) 0 0 p p 0 9 b) Legen Sie eine Verteilungstabelle für die Zufallsvariable X an, die die möglichen Gewinne oder Verluste nach Durchgängen angibt. Zeigen Sie mit Hilfe des rwartungswertes (X), dass das Spiel auch bei Durchgängen fair bleibt. Anzahl der Die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test muss mindestens 9, % betragen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass von 0 getesteten Geräte alle als intakt (OK) getestet werden, größer ist als %. 0, 409 ( ) ( ) + 0 ( 7) + 0 ( ) + 00 ( 9) ( ) 000 Das rgebnis würde einen durchschnittlichen Verlust von 000 (also 0 Cent) bedeuten. Man kann somit sagen, dass das Spiel fair ist. Aufgabe ine zwölfte Klasse veranstaltet auf dem Schulfest am letzten Schultag das folgende Glückspiel. Gegen einen insatz von darf jeder einmal würfeln. Fällt eine, so erhält er von der Bank, bei allen anderen Zahlen erhält er nichts. Die Schulleitung genehmigt das Spiel, aber im Nachhinein melden die ltern heulender Fünftklässler ethische Bedenken an. c) Geben Sie das leiterisiko in den ersten Spielen für einen Fünftklässler an, der sein gesamtes Taschengeld von einsetzt. Das leiterisiko entspricht der Wahrscheinlichkeit bei Versuchen keine zu würfeln. s beträgt somit 49 % (s.o.). 7

15 Aufgabe 4 In einer Versicherung werden zehn Sachbearbeiterinnen beschäftigt. Diese Sachbearbeiterinnen können ihre Telefongespräche über insgesamt drei Amtsleitungen führen. Durchschnittlich zwölf Minuten einer Arbeitsstunde muss jede von ihnen dienstlich telefonieren. zu c) bekannt: n 0 und X: Anzahl der gleichzeitig benötigten Telefonleitungen mit p 0/0 / und k (in Mitarbeiter erhält keine freie Leitung, wenn bereits mindestens drei Leitungen besetzt sind:) a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Leitungen ausreichen? b) Würde die inrichtung einer weiteren Amtsleitung genügen, damit in höchstens % der Fälle keine freie Leitung verfügbar ist? c) Die Zahl der Mitarbeiter wird verdoppelt, es stehen aber weiterhin nur drei Amtsleitungen zur Verfügung. Dafür verringert sich die Telefontätigkeit auf durchschnittlich 0 Minuten pro Arbeitsstunde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält ein Mitarbeiter keine freie Amtsleitung? d) Wie viele Amtsleitungen müssen nun für die zwanzig Mitarbeiter bereitgestellt werden, damit diese in mindestens 90% aller Fälle ausreichen? Obwohl die nun zwanzig Mitarbeiter weniger häufig telefonieren, werden sie in 4,% der Fälle keine freie Leitung erhalten. zu d) bekannt: (n, X, p siehe c) gesucht: k mit Lösung der Teilaufgaben a-d): zu a) bekannt: n 0 und X: Anzahl der gleichzeitig benötigten Telefonleitungen mit p /0 / und k (Die drei Leitungen reichen aus, wenn höchstens so viele Leitungen gleichzeitig benötigt werden, wie Telefonleitungen zur Verfügung stehen:) Man wird fünf Amtsleitungen einrichten, um annährend eine Verfügbarkeit von mindestens 90% für eine freie Leitung sicherzustellen. Die inrichtung einer sechsten Leitung erscheint unnötig (fast 90%). Die drei Leitungen reichen in 7,9% der Dienstzeit aus. zu b) bekannt: n, X, p (siehe a), k 4 Nein, auch vier Leitungen würden nicht genügen, da in,% der Fälle keine freie Leitung verfügbar wäre. 9 0