Grenzwerte von Folgen
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- Albert Melsbach
- vor 5 Jahren
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1 Grenzwerte von Folgen Definition: g heißt Grenzwert der Folge a n > 0 n 0 N n n 0 : g a n < Schreibweise: g heißt Grenzwert der Folge a n g a n. Weisen Sie folgende Grenzwerte mit Hilfe einer -Umgebung nach: a) b) c) d) e) f) g) 3n n + 3 n n 0n n 3n 0 3n 3 0 n 3n 0 8n n +. Berechnen Sie die Grenzwerte der Folgen so weit vorhanden mit Hilfe der Grenzwertlehrsätze:
2 a) n 9 3n... b) 6n + 3n 3n + 3n 0... c) n n + 3 n n... d) n 3 n n n... e) n +... f) n + n 3 3n + n 0n 3... g) 6n 3 n 3n + 3n n...
3 Lösungen. Die richtigen Ergebnisse stehen ja schon da. Es kommt darauf an, dass der Beweis aufgeht mit n auf der größeren Seite des Zeichens <. Durchgerechnete Beweise stehen im Angang.. Lösungen zur Grenzwertbestimmung mit Grenzwertsätzen: a) b) c) d) e) f) g) n 9 3n 6n + 3n 3n + 3n 0 n n + 3 n n n 3 n n n existiert nicht! n + 0 n + n 3 3n + n 0n 3 6n 3 n 3n + 3n n 0 3
4 Anhang mit durchgerechneten Lösungen Aufgabe a Nachzuweisen ist: 3n n + 3 Es muss gezeigt werden, dass die Ungleichung g a n < für alle n ab einem Startwert n 0 erfüllt ist. 3 3n n + < 3(n + ) n + 3n n + < 3n + 3n + n + < 7 n + < Zähler und Nenner ist positiv 7 < (n + ) (Faktor positiv) n + 7 < (n + ) : (Teiler positiv) 7 < n + 7 < n n steht auf der größeren Seite des Ungleichungszeichens. Der Beweis ist erbracht.
5 Aufgabe b Nachzuweisen ist: n n Es muss gezeigt werden, dass die Ungleichung g a n < für alle n ab einem Startwert n 0 erfüllt ist. n n < (n ) n n n < n 0 n + n < 8 n < Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird die weitere Untersuchung auf alle n > eingegrenzt. In dem Bereich ist der Zähler negativ, der Nenner positiv. Beim Auflösen des Betrages muss also das Vorzeichen geändert werden. 8 < (n ) n 8 < (n ) : 8 < n < n : 8 < n + n steht auf der größeren Seite des Ungleichungszeichens. Der Beweis ist erbracht.
6 Aufgabe c Nachzuweisen ist: 0n n Es muss gezeigt werden, dass die Ungleichung g a n < für alle n ab einem Startwert n 0 erfüllt ist. 0n n < ( n) n 0n n < 7 0n + 0n n < 70 n < Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird die weitere Untersuchung auf alle n > 7 eingegrenzt. In dem Bereich ist der Zähler positiv, der Nenner negativ. Beim Auflösen des Betrages muss also das Vorzeichen geändert werden. 70 n < ( n) (Der Faktor ist negativ!) 70 > ( n) : 70 > n 70 > n : ( ) 70 < n n steht auf der größeren Seite des Ungleichungszeichens. Der Beweis ist erbracht. 6
7 Aufgabe d Nachzuweisen ist: 3n 0 Es muss gezeigt werden, dass die Ungleichung g a n < für alle n ab einem Startwert n 0 erfüllt ist. 0 3n < 3n < < (3n ) 3n < (3n ) : < 3n + + < 3n : 3 < n + 3 n steht auf der größeren Seite des Ungleichungszeichens. Der Beweis ist erbracht. 7
8 Aufgabe e Nachzuweisen ist: 3n 3 0 Es muss gezeigt werden, dass die Ungleichung g a n < für alle n ab einem Startwert n 0 erfüllt ist. 0 3n 3 < 3n 3 < Der Nenner des Bruches ist stets negativ, der Zähler positiv. Da noch vor dem Bruch ein Minuszeichen steht, ist der Betragsinhalt positiv. < ( 3n 3) (Achtung! Nenner negativ.) 3n 3 > ( 3n 3) : > 3n > 3n : ( 3) < n n steht auf der größeren Seite des Ungleichungszeichens. Der Beweis ist erbracht. 8
9 Aufgabe f Nachzuweisen ist: n 3n 0 Es muss gezeigt werden, dass die Ungleichung g a n < für alle n ab einem Startwert n 0 erfüllt ist. n 3n 0 < ( 3n 0) n 3n 0 3n 0 < n + 0 n + 3n 0 < 3n 0 < Der Nenner des Bruches ist stets negativ, der Zähler positiv. Daher kehrt sich beim Auflösen des Betrages das Vorzeichen um. 3n 0 < ( 3n 0) (Negativer Nenner!) > ( 3n 0) : > 3n > 3n : ( 3) < n n steht auf der größeren Seite des Ungleichungszeichens. Der Beweis ist erbracht. 9
10 Aufgabe g Nachzuweisen ist: 8n n + Es muss gezeigt werden, dass die Ungleichung g a n < für alle n ab einem Startwert n 0 erfüllt ist. 8n n + < ( n + ) 8n n + n + < 8n 8n + n + < 0 n + < Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird die weitere Untersuchung auf alle n > eingegrenzt. In diesem Bereich ist der Zähler und der Nenner negativ. Beim Auflösen des Betrages bleibt also das Vorzeichen erhalten. 0 n + < ( n + ) (Nenner negativ!) 0 > ( n + ) : 0 > n + 0 > n : ( ) 0 < n n steht auf der größeren Seite des Ungleichungszeichens. Der Beweis ist erbracht. 0
11 Aufgabe a Zu bestimmen ist: n 9 3n Da weder im Zähler noch im Nenner ein Teilgrenzwert existiert, muss der Bruch erst umgeformt werden, bevor man die Quotientenregel anwenden kann. Wir klammern im Zähler und im Nenner n aus und kürzen anschließend dadurch. Da stets n 0 ist, ist das möglich. n 9 3n n ( ) 9 n n ( 3 ) n 9 n 3 Quotientenregel n ( ) 9 n ( ) Summenregel 3 n 9 n n n n ( 3) n 9 3n 9 ( 3) Konstantenregel Grenzwerte einsetzen
12 Aufgabe b Zu bestimmen ist: 6n + 3n 3n + 3n 0 Da weder im Zähler noch im Nenner ein Teilgrenzwert existiert, muss der Bruch erst umgeformt werden, bevor man die Quotientenregel anwenden kann. Wir klammern im Zähler und im Nenner n aus und kürzen anschließend dadurch. Da stets n 0 ist, ist das möglich. 6n + 3n 3n + 3n 0 n (6 + 3 ) n n n (3 + 3 ) 0 n n Kürzen n n Quotientenregel n n ( ) n n ( ) Summenregel 0 n n 6n + 3n 3n + 3n n n Konstantenregel/Produktregel n n n n n Grenzwerte eins. n n n
13 Aufgabe c Zu bestimmen ist: n n + 3 n n Da weder im Zähler noch im Nenner ein Teilgrenzwert existiert, muss der Bruch erst umgeformt werden, bevor man die Quotientenregel anwenden kann. Wir klammern im Zähler und im Nenner n aus und kürzen anschließend dadurch. Da stets n 0 ist, ist das möglich. n n + 3 n n n n + 3 n n n ( n + 3 n ) n ( n + 3 n n n ) ( n + 3 n ) ( ) n + 3 n n n + 3 n n n n 3
14 Aufgabe d Zu bestimmen ist: n 3 n n n Da weder im Zähler noch im Nenner ein Teilgrenzwert existiert, muss der Bruch erst umgeformt werden, bevor man die Quotientenregel anwenden kann. Wir klammern im Zähler und im Nenner n 3 aus und kürzen anschließend dadurch. Da stets n 0 ist, ist das möglich. n 3 ( ) n n 3 n n n n 3 ( n n n 3 ) n n n n ( ) 3 n ( ) n n n 3 n n n n 3 n n n n n n n n 3 n n n n Der Nenner ist Null. Das bedeutet, der Bruch ist nicht definiert, der gesuchte Grenzwert existiert nicht!
15 Aufgabe e Zu bestimmen ist: n + Da im Nenner kein Teilgrenzwert existiert, muss der Bruch erst umgeformt werden, bevor man die Quotientenregel anwenden kann. Wir klammern im Zähler und im Nenner n aus und kürzen anschließend dadurch. Da stets n 0 ist, ist das möglich. n + n n n ( + n ) ( n + n + 0 ) n n ( + n ) n + n ( ) n ( ) n
16 Weitere Lösungen folgen bald. 6
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