Herausgeber: Prof. Dr. Holger Dette Prof. Dr. Wolfgang Härdle

Transkript

1 Herausgeber: Prof. Dr. Holger Dette Prof. Dr. Wolfgang Härdle

2 Statistik und ihre Anwendungen Azizi Ghanbari, S. Einführung in die Statistik für Sozial- und Erziehungswissenschaftler 2002 Brunner, E.; Munzel, U. Nichtparametrische Datenanalyse 2003 Dehling, H.; Haupt, B. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 2. Auflage 2004 Dümbgen, L. Stochastik für Informatiker 2003 Falk, M.; Becker, R.; Marohn, F. Angewandte Statistik 2004 Franke, J.; Härdle, W.; Hafner, C. Statistik der Finanzmärkte 2. Auflage 2004 Greiner, M. Serodiagnostische Tests 2003 Handl,A. Mulitvariate Analysemethoden 2003 Hilgers, R.-D.; Bauer, R.; Scheiber, V. Einführung in die Medizinische Statistik 2003 Kohn, W. Statistik Datenanalyse und Wahrscheinlichkeitsrechnung 2005 Ligges, U. Programmieren mit R 2005 Meintrup, D.; Schäffer, S. Stochastik Theorie und Anwendungen 2005 Plachky, D. Mathematische Grundbegriffe der Stochastik 2002 Schumacher, M.; Schulgen, G. Methodik klinischer Versuche 2002 Steland, A. Mathematische Grundlagen der empirischen Forschung 2004

3 Wolfgang Kohn Statistik Datenanalyse und Wahrscheinlichkeitsrechnung 123

4 Wolfgang Kohn Fachhochschule Bielefeld Fachbereich Wirtschaft Universitätsstraße Bielefeld Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Mathematics Subject Classification (2000): 62H17, 62H20, 62H25, 62H30, 62G10, 62J05 ISBN Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandgestaltung: design & production, Heidelberg Datenerstellung durch den Autor unter Verwendung eines Springer L at E X-Makropakets Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Gedruckt auf säurefreiem Papier 40/3142YL

5 Für Coco, Hannah, Sophia, Leonhard und meine Eltern

6 Vorwort Schriftlichkeit ist nichts anderes als eine Gedächtnishilfe, die nicht von sich allein Weisheit vermitteln kann. Sokrates Die Statistik ist ein enorm umfangreiches Wissensgebiet. Jede Wissenschaft entwickelt nicht nur eigene statistische Verfahren, sondern es sind auch viele Kenntnisse aus verschiedenen Wissensgebieten erforderlich, um diese Verfahren, ihre Anwendung und ihre Ergebnisse zu verstehen. So könnten bei einer Datenerhebung per Fragebogen oder Interview psychologische Kenntnisse benötigt werden. Für die Datenverarbeitung und Berechnung der statistischen Verfahren werden in der Regel mathematische und informatische Kenntnisse eingesetzt. Die Interpretation der Ergebnisse setzt wiederum sehr gute Fachkenntnisse des entsprechenden Wissensgebiets voraus. Von daher ist es schwierig, in einer Darstellung alle Aspekte gleichermaßen zu berücksichtigen. Ich habe mich bemüht, die Eigenschaften und Zusammenhänge statistischer Verfahren aufzuzeigen und ihre Anwendung durch zahlreiche Beispiele und Abbildungen verständlich zu machen. Die Auswahl der statistischen Methoden von der Erhebung über beschreibende Techniken (Teil I) hin zur schließenden Analyse (Teil II) einschließlich einiger multivariater Verfahren (Teil III) erfolgte unter wirtschaftswissenschaftlicher Sicht. In einem Buch zur Einführung in die Statistik können außerdem nur die grundlegenden statistischen Verfahren berücksichtigt werden. Aber auch unter diesen ist nur eine Auswahl erfolgt. Dennoch sind über 500 Seiten zustandegekommen und es gäbe zu dieser Auswahl noch mehr zu schreiben! Während der langen Zeit an der Arbeit an diesem Buch ist es mir immer wieder schwergefallen, bestimmte Themen und Aspekte nicht mehr aufzunehmen. Erst die Zeit wird zeigen, ob ich an den richtigen Stellen die Darstellung beendet habe. Ich bedanke mich sehr herzlich bei Prof. Dr. Peter Naeve von der Universität Bielefeld für seine große Diskussionsbereitschaft und hilfreiche Kritik. Bielefeld, im Mai 2004 Wolfgang Kohn

7 1 Einleitung... 1 Teil I Deskriptive Statistik 2 Grundlagen Einführung Grundbegriffe der deskriptiven Statistik MessbarkeitseigenschaftenvonMerkmalen Nominalskala Ordinalskala Kardinalskala Skalentransformation Häufigkeitsfunktion KlassierungvonmetrischenMerkmalswerten Übungen Datenerhebung und Erhebungsarten Datenerhebung Fragebogenerhebung Interview Gestaltung von Befragungen Erhebungsarten Zufallsstichproben Nicht zufällige Stichproben Datenschutz Eindimensionale Datenanalyse Einführung Qualitative Merkmale Modus... 38

8 X Informationsentropie KomparativeMerkmale Empirische Verteilungsfunktion Quantile Boxplot Summenhäufigkeitsentropie Quantitative Merkmale Stamm-BlattDiagramm Histogramm Dichtespur Arithmetisches Mittel Harmonisches Mittel Geometrisches Mittel Spannweite Median der absoluten Abweichung vom Median Varianz und Standardabweichung Variationskoeffizient RelativeKonzentrationsmessung AbsoluteKonzentrationsmessung Übungen Zweidimensionale Datenanalyse ZweidimensionaleDatenundihreDarstellung Randverteilungen und bedingte Verteilungen Randverteilung BedingteVerteilung Zusammenhangsmaße qualitativer Merkmale QuadratischeKontingenz Informationsentropie bei zweidimensionalen Häufigkeitsverteilungen Transinformation Vergleich von C und T ZusammenhangsmaßekomparativerMerkmale KovarianzundKorrelationskoeffizient RangfolgeundRangzahlen Rangkorrelationskoeffizient Zusammenhangsmaße quantitativer Merkmale Kovarianz Korrelationskoeffizient InterpretationvonKorrelation Simpson Paradoxon Übungen

9 XI 6 Lineare Regression Einführung LineareRegressionsfunktion Methode der Kleinsten Quadrate Normalgleichungen Kleinst-QuadrateSchätzung StandardisierteRegressionskoeffizienten Bestimmtheitsmaß SpezielleRegressionsfunktionen Trendfunktion LinearisierungvonFunktionen Datentransformation LinearesModell Prognose Übungen Verhältnis- und Indexzahlen Einführung Gliederungs-, Beziehungs- und Messzahlen UmbasierungundVerkettungvonMesszahlen Umbasierung Verkettung Indexzahlen PreisindexnachLaspeyres Basiseffekt PreisindexnachPaasche MengenindizesnachLaspeyresundPaasche Umsatzindex Deflationierung VerkettungvonIndexzahlen Anforderungen an einen idealen Index PreisindexnachFischer Kettenindex AktienindexDAX Übungen Teil II Schließende Statistik 8 Kombinatorik Grundbegriffe Permutation Permutation ohne Wiederholung PermutationmitWiederholung Variation

10 XII Variation ohne Wiederholung VariationmitWiederholung Kombination Kombination ohne Wiederholung KombinationmitWiederholung Übungen Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung Einführung Zufallsexperiment Ereignisoperationen Wahrscheinlichkeitsbegriffe Laplacescher Wahrscheinlichkeitsbegriff VonMisesscherWahrscheinlichkeitsbegriff SubjektiverWahrscheinlichkeitsbegriff Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit Rechenregeln BedingteWahrscheinlichkeiten SatzvonBayes UnabhängigeZufallsereignisse Übungen Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsfunktion Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitsfunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen Verteilungen von transformierten Zufallsvariablen Erwartungswert Modus und Quantil Varianz Erwartungswert und Varianz linear transformierter Zufallsvariablen Erwartungswert linear transformierter Zufallsvariablen VarianzlineartransformierterZufallsvariablen MomenteundmomenterzeugendeFunktion Momente MomenterzeugendeFunktion Ungleichung von Chebyschew Übungen Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen Einführung BedingteVerteilung Bedingter Erwartungswert Kovarianz

11 XIII 11.5 Übungen Normalverteilung Einführung Standardnormalverteilung Lognormalverteilung Übungen Bernoulli-verwandte Zufallsvariablen Einführung Bernoulliverteilung Binomialverteilung HypergeometrischeVerteilung GeometrischeVerteilung NegativeBinominalverteilung Negative hypergeometrische Verteilung Poissonverteilung Exponentialverteilung Übungen Stichproben Einführung Identisch verteilte unabhängige Stichproben SchwachesGesetzdergroßenZahlen StarkesGesetzdergroßenZahlen HauptsatzderStatistik ZentralerGrenzwertsatz Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Approximation der hypergeometrischen Verteilung durch dienormalverteilung Approximation der Poissonverteilung durch die Normalverteilung Stichprobenverteilungen aus normalverteilten Grundgesamtheiten χ 2 -QuadratVerteilung t-verteilung F -Verteilung HauptsatzderStichprobentheorie Stichproben aus bernoulli-, exponential- und poissonverteilten Grundgesamtheiten Stichproben aus bernoulli- und binomialverteilten Grundgesamtheiten Stichproben aus poissonverteilten Grundgesamtheiten Stichproben aus exponentialverteilten Grundgesamtheiten Übungen

12 XIV 15 Parameterschätzung Einführung Punktschätzung Methode der Momente Maximum-Likelihood Schätzung Methode der Kleinsten Quadrate Intervallschätzung Konfidenzintervall für µ X einer Normalverteilung bei bekanntem σx Konfidenzintervall für µ X einer Normalverteilung bei unbekanntem σx KonfidenzintervallfürRegressionskoeffizienten Konfidenzintervall für eine ex post Prognose Approximatives Konfidenzintervall für µ X Approximatives Konfidenzintervall für den Anteilswert θ Konfidenzintervall für σx 2 bei normalverteilter Grundgesamtheit EigenschaftenvonSchätzstatistiken Erwartungstreue Mittlerer quadratischer Fehler Konsistenz Effizienz Übungen Statistische Tests Einführung KlassischeTesttheorie Parametertests bei normalverteilten Grundgesamtheiten Gauss-Test t-test ParametertestimlinearenRegressionsmodell Binomialtest Testentscheidung Gütefunktion Operationscharakteristik Test auf Gleichheit von zwei Mittelwerten VergleichzweierunabhängigerStichproben Vergleich von zwei verbundenen Stichproben Unterschied zwischen verbundenen und unabhängigen Stichproben Übungen

13 XV 17 Statistische Tests für kategoriale Merkmale Einführung χ 2 -Anpassungstest χ 2 -Homogenitätstest χ 2 -Unabhängigkeitstest Übungen Teil III Einführung in die multivariaten Verfahren 18 Überblick über verschiedene multivariate Verfahren Einführung AsymmetrischeModelle Regressionsanalyse Varianzanalyse Diskriminanzanalyse SymmetrischeModelle Kontingenzanalyse Faktorenanalyse Clusteranalyse Multidimensionale Skalierung ConjointAnalyse Varianzanalyse Einführung EinfaktorielleVarianzanalyse ZweifaktorielleVarianzanalyse AndereVersuchspläne MultivariateVarianzanalyse Diskriminanzanalyse ProblemstellungderDiskriminanzanalyse KlassischeDiskriminanzanalysenachFisher Klassifikationsregel Spezialfall zwei Gruppen WeitereKlassifikationsregeln ÜberprüfungderDiskriminanzfunktion ÜberprüfungderMerkmalsvariablen Anwendungsbeispiel Grundlagen der hierarchischen Clusteranalyse ProblemstellungderClusteranalyse Ähnlichkeits-undDistanzmaße NominalskaliertebinäreMerkmale NominalskaliertemehrstufigeMerkmale

14 XVI OrdinalskalierteMerkmale Quantitative Merkmale MerkmalemitunterschiedlichemSkalenniveau HierarchischeClusteranalyse AgglomerativeVerfahren Nearest Neighbour Verfahren Furthest Neighbour Verfahren CentroidVerfahren MedianClusterVerfahren AverageLinkageVerfahren Ward sverfahren Entropieanalyse FusionseigenschaftenagglomerativerVerfahren DivisiveVerfahren EinpolythetischesVerfahren Ein monothetisches Verfahren ProblemevonClusterverfahren Definition von Clustern Entscheidung über die Anzahl der Klassen BeurteilungderKlassen Anwendungsempfehlungen Anmerkung Lösungen zu den Übungen A.1 DeskriptiveStatistik A.2 Indukitve Statistik Tabellen B.1 Binomialverteilung B.2 Poissonverteilung B.3 Standardnormalverteilung B.4 χ 2 Verteilung B.5 t Verteilung B.6 F Verteilung Literaturverzeichnis Sachverzeichnis...617