Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Abschluss Realschule - Prüfungsvorbereitung Bayern - Mathematik I

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1 Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Abschluss Realschule - Prüfungsvorbereitung Bayern - Mathematik I Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de

2 Über diese Lernhilfe Liebe Schülerin, lieber Schüler, es gibt keinen Königsweg zur Mathematik. Das wussten schon die alten Griechen. Aber das erfahrene Autorenteam Werner und Günther Wirth erleichtert Ihnen den Zugang zu diesem Fach. Durch ihre jahrelange Arbeit mit Realschülern in Bayern haben sie ein Gespür für die Probleme in Mathematik entwickelt. In dieser Lernhilfe geben sie ihre Erfahrung weiter und helfen Ihnen so bei der gezielten Vorbereitung auf den Realschulabschluss. Durch die ausführlichen Lösungswege lassen sich die einzelnen Schritte besser nachvollziehen. Wichtige Formeln und Regeln sind deutlich hervorgehoben. Auch die farbliche Unterscheidung zwischen steil und Prüfungen bietet Ihnen zu jeder Zeit einen guten Überblick und erleichtert Ihnen das gezielte Üben. Farbleitsystem Prüfung Alle wichtigen Themenbereiche der Klasse 10 Basiswissen Typische Aufgabenstellungen mit ausführlichen Musterlösungen Übungsaufgaben zu jedem Themenbereich Verschiedene Schwierigkeitsgrade Prüfungen Originalprüfungen der letzten fünf Jahre Bearbeitungstipps und Lösungshinweise zu jeder Prüfungsaufgabe Original-Punkteverteilung Formelsammlung Lösungen Mit dem separat erhältlichen Lösungsband können Sie Ihre Antworten und Ergebnisse überprüfen. Lösungswege und Lösungsansätze sind darin übersichtlich und leicht nachvollziehbar dargestellt. Zur schnellen Kontrolle sind alle Endergebnisse in den Quickies auf einen Blick zusammengefasst. Bestellnummer: Das Themenverzeichnis Dieses Verzeichnis auf den Seiten 7 und 8 dient Ihnen zum schnellen und gezielten Auffinden von themenbezogenen Aufgaben in Mathematik (Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck, Vierstreckensatz, quadratische Gleichungen etc.). Prüfungsinfos und nützliche Tipps Auf Seite 9 sind alle Prüfungsinfos zusammengestellt. Es gibt eine Übersicht der Notengewichtung sowie den gültigen Notenschlüssel. Zudem haben wir für Sie noch zehn nützliche Tipps zum Lösen von Sachaufgaben (Seite 11) zusammengestellt. Sollten sich nach Drucklegung noch Änderungen ergeben, finden Sie aktuelle Informationen unter Wir wünschen Ihnen viel Erfolg bei allen bevorstehenden Prüfungen und bei Ihrem Abschluss. Werner und Günther Wirth 5

3 Inhaltsverzeichnis Allgemein Themenverzeichnis... 7 Prüfungsinfos... 9 QR-Codes Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Potenzfunktionen Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen Untersuchung von Funktionen Funktionen Umkehrfunktionen Exponentialgleichungen und Logarithmengleichungen Wachstum und Zerfall Goniometrische (trigonometrische) Gleichungen Skalarprodukt Winkel zwischen zwei Geraden Flächen (Konstruktion und Berechnung) Körper (Konstruktion und Berechnung) Berechnungen in Abhängigkeit einer Variablen Abbildungen im Koordinatensystem Interpretation von Tabellen, Graphen, Diagrammen und Schaubildern Prüfungen Prüfung 2014 Aufgabengruppe A Prüfung 2014 Aufgabengruppe B Prüfung 2015 Aufgabengruppe A Prüfung 2015 Aufgabengruppe B Prüfung 2016 Aufgabengruppe A Prüfung 2016 Aufgabengruppe B Prüfung 2017 Aufgabengruppe A Prüfung 2017 Aufgabengruppe B Prüfung 2018 Aufgabengruppe A Prüfung 2018 Aufgabengruppe B Formelsammlung Extra Schule und dann?... A1 6

4 Themenverzeichnis Durch dieses Verzeichnis ist es möglich, Aufgaben sortiert nach Themengebieten zu suchen. A und B kennzeichnen die jeweilige Aufgabengruppe. Die Ziffern (1/2/3 ) stehen für die Aufgabe. Rechnen mit Prozenten 88 A B2.4 Potenzfunktionen 89 A2 Exponentialfunktionen/Logarithmusfunktionen 84 A3 98 A3 102 A1 85 B1 99 B1 106 B1 Exponentialgleichungen/Logarithmusgleichungen 84 A A B B1.4 Rechnen mit Logarithmen 84 A3 98 A A1 85 B1 99 B B1.3 Wachstum und Zerfall 102 A1 Trigonometrische Berechnungen 74 A1 81 A A A A A A A A A B B A B A B B B B B B B B B B B2.6 Sinussatz/Kosinussatz 79 B B B B A B B2.4 Goniometrische Gleichungen 78 B1 86 B B A A B2.5 Berechnungen in Abhängigkeit einer Variablen 77 A A A A A B A A A B B B A A B B B A A B B B A B B B B B B B2.4 Berechnung von Trägergraphen 78 B A A B B B2.3 Extremwertbestimmung 74 A B B2.3 Rechnen mit Vektoren 78 B1 92 B A B B B2.4 Skalarprodukt 78 B B B2.4 A = Aufgabengruppe A B = Aufgabengruppe B 7

5 Berechnungen im Koordinatensystem 77 A3 89 A2 96 A2 106 B1 78 B1 92 B1 98 A3 106 B2 99 B1 Vierstreckensatz 79 B A2.4 Berechnungen an Flächen 74 A1 82 A2 88 A A A3.3 Prismen 85 B1 91 A B B B B2.4 Pyramiden 85 B2 99 B2 79 B2 85 B2 92 B2 100 B A2 100 B2.6 Abbildung (Parallelverschiebung) 85 B1 99 B B1 Abbildung (Achsenspiegelung) 77 A3 92 B1 99 B B2 Abbildung (orthogonale Affinität) 85 B1 89 A B1 Zusammengesetzte Abbildungen B1 99 B B1 Sachaufgaben 75 A2 102 A1 Rotationskörper 74 A1 81 A1 91 A A1 Zusammengesetzte Körper 81 A1 91 A A2 Schrägbilder 78 B B2 92 B B2 103 A2.2 A = Aufgabengruppe A B = Aufgabengruppe B 8

6 Prüfungsinfos Inhalt Teil A Aufgaben zu den Themen Funktionen, ebene Geometrie und Raumgeometrie Elektronischer Taschenrechner (auch grafikfähiger), Formelsammlung Zeichengerät, Parabelschablone 150 Minuten 19 Punkte Teil B Komplexere Aufgaben 34 Punkte Die Abschlussprüfung besteht aus zwei Teilen. Teil A umfasst drei Aufgaben zu den Themenbereichen Raumgeometrie, Funktionen und ebene Geometrie. Teil B enthält zwei komplexere Aufgaben aus diesen Themengebieten. Die erreichbare Punktezahl ist in Teil B ungefähr doppelt so hoch wie in Teil A. Themen der einzelnen Aufgaben Volumenberechnungen (Rotationskörper, Pyramide) Konstruktion von Pyramiden Trigonometrische Berechnungen in der Ebene und im Raum Lösen von goniometrischen Gleichungen Zeichnen von Graphen Exponentialfunktionen und Exponentialgleichungen Abbildungen Berechnungen in Abhängigkeit einer Variablen Vektoren; Skalarprodukt; Winkel zwischen Vektoren Vierstreckensatz Berechnung von Trägergraphen Berechnung der Gesamtnote Die Gesamtnote setzt sich aus der Jahresfortgangsnote und der Prüfungsnote zusammen, wobei in der Regel die Prüfungsnote überwiegt. Notenschlüssel Punkte Note

7 Die Abschlussprüfung Es gibt in der Mathematik-Prüfung für den Realschulabschluss charakteristische Aufgaben, die sich in ähnlicher Form alljährlich wiederholen. All diese Aufgaben lassen sich im Wesentlichen in die in diesem steil dargestellten Themenbereiche eingliedern. Jeder dieser Bereiche ist in vier Teile gegliedert. Jeder Augabenbereich ist in vier Teile gegliedert: 1. Basiswissen Darin finden Sie die wichtigsten Formeln und Gesetze, die als Grundwissen vorausgesetzt werden und zum Lösen der Aufgaben unbedingt erforderlich sind. 2. Typische Aufgabenstellung So könnte eine Aufgabe aussehen. Sie wird sehr ausführlich, teilweise mit mehreren Lösungswegen, vorgerechnet. 3. Übungsaufgaben Anhand von sechs Übungsaufgaben pro Thema können Sie überprüfen, ob Ihr Grundwissen und Ihre mathematischen Fertigkeiten ausreichen, um alle gestellten Aufgaben zu bearbeiten. 4. Lösungen (im separaten Lösungsband) Alle Übungsaufgaben werden in leicht nachvollziehbaren Lösungsschritten vorgerechnet. Viele hilfreiche Tipps erleichtern die Lösungsfindung bei ähnlichen Aufgaben. 10 Tipps zum Lösen von Sachaufgaben 1. Lesen Sie den Text genau durch, eventuell sogar mehrmals. 2. Überlegen Sie, ob Sie eine ähnliche Aufgabe schon einmal gelöst haben. 3. Überlegen Sie, was gegeben ist und was gesucht wird. 4. Prüfen Sie, ob alle Größen in der gleichen Einheit angegeben sind. 5. Überlegen Sie, ob eine Skizze oder Tabelle hilfreich sein kann. 6. Denken Sie nach, welche Formeln Sie verwenden können. 7. Zerlegen Sie den Rechenweg in kleine Rechenschritte. 8. Notieren Sie die berechneten Zwischenergebnisse. 9. Machen Sie eine Probe, wenn noch genügend Zeit bleibt. 10. Formulieren Sie das Ergebnis als Antwortsatz. 11

8 1. Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Basiswissen Potenzen a m a n = a m + n a m : a n = a m n a m b m = (a b) m am b = 1 a m b 2 m (a m ) n = a m n a n = 1 a n 1 a b 2 n = 1 b a 2 n a 1 = a a 0 = 1 Wurzeln Î a Î b = Î a b Î a Î b = Î a b Î a 2 = a n Ï a n = 1 n Ï a 2 n = a p Î a ± q Î a = (p ± q) Î a a m n = n Ï a m Logarithmen (u v) = u + v 1 u v 2 = u v a n = n a 1 = 0, weil b 0 = 1 b = 1, weil b 1 = b b n = n, weil b n = b n Basisumrechnung a = log c a log c b Radizieren und Logarithmieren sind die Umkehrungen des Potenzierens. a n = c Auflösen nach der Basis: a = n Ï c Auflösen nach dem Exponenten: n = log a c 12

9 Typische Aufgabenstellung Aufgabe 1 Schreiben Sie das Ergebnis ohne Wurzeln nur mit positiven Hochzahlen. a Ï b : c Ï a 2 c Ï b 2 Lösung a Ï b : c Ï a 2 c Ï b 2 = a 1 2 b 1 3 b 2 c c 1 2 a = a 1 2 a b 1 3 b 2 c c = a 3 6 a b 1 3 b 2 c c 3 6 = a 2 6 b 3 c = a 1 3 b c = a 1 3 b c Wurzeln als Potenzen schreiben! Bruch : Bruch = Bruch Kehrbruch 1 a n = a-n Brüche im Exponenten von a, b, c gleichnamig machen Potenzen multiplizieren im Exponenten kürzen 1 a-n = an Aufgabe 2 Berechnen Sie x. x = log 5 log log3 Î Lösung Die Logarithmen werden zuerst auf die Basis 10 umgerechnet und dann mit dem Taschenrechner berechnet. x = log 5 log log3 Î lg 5 lg 2 lg 8 lg 4 x = 4 lg Î 12 lg Ausführliche Rechnung: 2,322 1,5 0,822 x = = = 0, , ,524 x = 0,126 Die Berechnung in einem Rechenschritt (ohne Berechnung der Zwischenergebnisse) führt zum gleichen Endergebnis! 13

10 Übungsaufgaben Aufgabe 1 a) Vereinfachen Sie so weit wie möglich. 6 Ï a a Ï a-5 a b) Schreiben Sie das Ergebnis mit einer Wurzel und radizieren Sie so weit wie möglich. 2 a-2 4 Ï b 5 b 1 a Aufgabe 2 a) Vereinfachen Sie so weit wie möglich und geben Sie das Ergebnis mit einer Wurzel an. 13 Ï x 5 Ï x Î x b) Vereinfachen Sie so weit wie möglich und geben Sie das Ergebnis nicht mit negativen Exponenten an. 3 1 a 1 2 b c Aufgabe 3 Bestätigen Sie das Ergebnis durch Rechnung Ï a5 b 12 Ï a 4 b 2 : 6 Ï a4 Aufgabe 4 b 4 b-2 3 b = Ï a b 22 Berechnen Sie x. Runden Sie auf zwei Dezimalstellen. a) x = log 0, log 4 Î 3 b) x = Î 1 2 log log Aufgabe 5 Schreiben Sie mit einem Logarithmus. a) 3 lg a + 2 lg b 3 6 lg Î a 1 2 lg c 1 b) 2 1 lg a lg b4 + lg c 5 2 Aufgabe 6 Zerlegen Sie in einfache Logarithmen. a) lg Î a2 b c b) lg 1 Î 10x y 2 3 c) lg 1 3 Ï x 2 y 6 Î z

11 2. Potenzfunktionen Basiswissen y = x n n R \ {0; 1 Parabeln A Der Exponent ist eine gerade natürliche Zahl (y = x 4 ). B Der Exponent ist eine ungerade natürliche Zahl > 1 (y = x 5 ). Hyperbeln C Der Exponent ist eine gerade negative ganze Zahl (y = x -6 ). D Der Exponent ist eine ungerade negative ganze Zahl % -1 (y = x -3 ). Allgemeine Potenzfunktion (Wurzelfunktion) y = x m n E Der Exponent ist eine positive Bruchzahl. y = x - m n F Der Exponent ist eine negative Bruchzahl. Wesentliche Kennzeichen Definitionsmenge D Wertemenge W A R R 0 + B R R Symmetrieeigenschaften Asymptoten achsensymmetrisch zur y-achse punktsymmetrisch zum Ursprung C R \ {0 R + y-achse achsensymmetrisch zur x-achse y-achse D R \ {0 R \ {0 punktsymmetrisch zum Ursprung x-achse y-achse E R 0 + R 0 + F R + R + x-achse y-achse 15

12 Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Abschluss Realschule - Prüfungsvorbereitung Bayern - Mathematik I Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de