Betriebswirtschaftliche Entscheidungstheorie und Anwendung

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1 Betriebswirtschaftliche Entscheidungstheorie und Anwendung Kapitel 5: Entscheidungen unter Risiko Prof. Dr. Thorsten Poddig Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insbes. Finanzwirtschaft Universität Bremen Hochschulring 4 / WiWi-Gebäude Bremen poddig@uni-bremen.de 5.1. Systematisierung der Entscheidungssituationen 1. Entscheidungen unter Sicherheit Es ist mit Sicherheit bekannt, welcher Umweltzustand eingetreten ist oder eintreten wird. 2. Entscheidungen unter Ungewissheit a) Entscheidungen unter Risiko mehrere Umweltzustände sind möglich, den einzelnen möglichen Umweltzuständen können subjektive oder objektive Eintrittswahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. 1

2 2. Entscheidungen unter Ungewissheit (Fortsetzung): b) Entscheidungen unter Unsicherheit wie unter a); allerdings können keine Eintrittswahrscheinlichkeiten angegeben werden. 3. Entscheidungen unter Spielsituationen Der Eintritt der Umweltzustände wird nicht durch den Zufall, sondern durch ein oder mehrere rational handelnde Gegenspieler bestimmt. Entscheidungen unter Risiko stellen den mittleren Fall dar; es ist zwar nicht mit Sicherheit bekannt, welcher Umweltzustand eintreten wird; gegenüber einer Unsicherheitssituation liegen jedoch mehr Informationen vor, nämlich objektive, empirische oder subjektive Eintrittwahrscheinlichkeiten. 2

3 Anmerkung: Die genaue Herkunft oder gar Ermittlung der Eintrittswahrscheinlichkeiten wird in der Entscheidungstheorie nicht weiter thematisiert. Hier interessiert allein, wie die Information über gegebene Eintrittswahrscheinlichkeiten sachgerecht berücksichtigt werden kann! 5.2. Entscheidungsregeln unter Risiko Generelle Vorbemerkungen Entscheidungen unter Risiko können prinzipiell auch wie Entscheidungen unter Unsicherheit behandelt werden. Dies bedeutet jedoch eine bewusste Vernachlässigung tatsächlich verfügbarer Informationen! Wenig sinnvolles Vorgehen! 3

4 Entscheidungsprinzipien Die bisher behandelten Entscheidungsprinzipien (Effizienz, Dominanz) können hier genauso angewendet werden; sie dienen der Vereinfachung des Entscheidungsproblems, reduzieren die Menge der Alternativen auf die effizienten Handlungsalternativen, sind jedoch keine Lösungsverfahren im engeren Sinne. Dominanz Eine Handlungsalternative i dominiert eine andere Handlungsalternative j, wenn sie bei allen denkbaren Umweltzuständen i stets ein gleich gutes oder besseres Ergebnis als j hervorbringt und in einem Umweltzustand ein echt besseres Ergebnis besitzt. Effizienz Eine Handlungsalternative ist effizient, wenn sie von keiner anderen dominiert wird! Man spricht hier aber von der sog. Ergebnisdominanz bzw. Ergebniseffizienz. 4

5 Bei Entscheidungen unter Risiko gibt es auch noch die sog. Wahrscheinlichkeitsdominanz und Wahrscheinlichkeitseffizienz Alternative A ist gegenüber B wahrscheinlichkeitsdominat, wenn gilt: P(e A e*) P(e B e*) für alle beliebigen e* und P(e A e ) > P(e B e ) für mindestens ein e. Eine Alternative ist wahrscheinlichkeitseffizient, wenn sie von keiner anderen wahrscheinlichkeitsdominiert wird Einführendes Beispiel und Entscheidungsprinzipien Umweltzustände: Konjunktur wird "gut" "normal" "schlecht" p(u) 30% 50% 20% Aktien Renten Beispiel: Wie in Kap. 4 bei Entscheidungen unter Unsicherheit. Zusätzlich Eintrittswahrscheinlichkeiten. Nur effiziente Handlungsalternativen. 5

6 a) Ergebnisdominanz und Ergebniseffizienz Keine der beiden Handlungsalternativen dominiert die jeweils andere! Umweltzustände: Konjunktur wird "gut" "normal" "schlecht" p(u) 30% 50% 20% Aktien Renten Aktien besser Renten besser b) Wahrscheinlichkeitsdominanz und Wahrscheinlichkeitseffizienz P(e R e) 1,0 Renten 0,7 0,2 Es gibt keine Situationen, in denen Renten e R > 50 haben! e 6

7 Renten 1,0 P(e R e) 0,7 Ergebnis e R 50 tritt bei Konjunktur schlecht mit p = 0,2 ein! 0, e Renten 1,0 P(e R e) 0,7 Ergebnis e R 40 tritt bei Konjunktur schlecht (dann nämlich 50) mit p = 0,2 ein! 0, e 7

8 Renten 1,0 0,7 P(e R e) Ergebnis e R 35 tritt bei Konjunktur schlecht oder Konjunktur normal mit p = 0,7 ein! 0, e Renten 1,0 0,7 P(e R e) Ergebnis e R 30 tritt bei Konjunktur schlecht oder Konjunktur normal mit p = 0,7 ein! 0, e 8

9 Renten 1,0 0,7 P(e R e) Ergebnis e R 20 tritt bei Konjunktur gut oder bei Konjunktur normal oder bei Konjunktur schlecht mit p = 1,0 ein! 0, e Aktien 1,0 P(e A e) 0,8 0, e 9

10 Renten und Aktien P(e R,A e) 1,0 0,8 0,7 Renten besser als Aktien Aktien besser als Renten 0,3 0, e Modifiziertes Beispiel und Entscheidungsprinzipien Umweltzustände: Konjunktur wird "gut" "normal" "schlecht" p(u) 30% 50% 20% Aktien Renten Aktien besser Keine Ergebnisdominanz! Renten besser 10

11 Renten und Aktien P(e R,A e) 1,0 0,8 Aktien stets besser als Renten 0,7 0,3 0, e Ergebnis: Im modifizierten Beispiel sind Aktien und Renten beide ergebniseffizient! Jedoch ist Aktien wahrscheinlichkeitsdominat gegenüber Renten! Im modifizierten Beispiel ist nur Aktien wahrscheinlichkeitseffizient. Ein rationaler Entscheider würde daher Aktien wählen! 11

12 Fazit: Das Konzept der Wahrscheinlichkeitsdominanz und der Wahrscheinlichkeitseffizienz ist nur bei Risikosituationen anwendbar, da die Kenntnis der Eintrittswahrscheinlichkeiten notwendig ist. Die Wahrscheinlichkeitseffizienz ist hier aber das weiter gehende Konzept. Ergebniseffizienz ist nicht ausreichend, um von einer effizienten Handlungsalternative zu sprechen. Achtung: Bei Entscheidungssituationen, die auf Basis von Schadensgrößen dargestellt werden, drehen sich die Definitionen und Diagramme um! Alternative A ist gegenüber B wahrscheinlichkeitsdominat, wenn gilt: P(e A e*) P(e B e*) für alle beliebigen e* und P(e A e ) > P(e B e ) für mindestens ein e. Eine Alternative ist wahrscheinlichkeitseffizient, wenn sie von keiner anderen wahrscheinlichkeitsdominiert wird. 12

13 Schematische Darstellung mit Schadensgrößen bei A und B P(e A,B e) 1,0 B A A stets besser als B e Die Entscheidungsregeln im Überblick Die Erwartungswert-Regel (Bayes-Regel) Wähle diejenige Handlung mit dem höchsten Erwartungswert der wahrscheinlichkeitsverteilten Ergebnisse! Vorgehensweise: Für jede Handlung a i : multipliziere alle Ergebnisse mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten, summiere die Produkte auf. N E( e ) = ( e p ) i j= 1 ij j 13

14 Erwartungswert-Regel im Beispiel: Umweltzustände: Konjunktur wird "gut" "normal" "schlecht" p(u) 30% 50% 20% E(ei) Aktien Renten Im Beispiel besitzt Aktien den höheren Erwartungswert der Ergebnisse; Aktien wird Renten vorgezogen! Kritische Würdigung: Der Erwartungswert einer Zufallsvariable wird exakt nur bei unendlich häufiger Wiederholung, approximativ nur bei sehr häufiger Wiederholung realisiert. Im Falle sehr häufiger Wiederholung derselben Entscheidungssituation ist diese Regel sinnvoll. Im Regelfall liegt aber eine Einmaligkeit der Entscheidungssituation vor; die Streuung der Ergebnisse wird hier nicht beachtet! kann zur Auswahl ruinöser Handlungen führen! 14

15 Beispiel: Ein Entscheider stehe vor folgender, einmaliger Entscheidungssituation Handlung Umweltzustand S1 50% S2 50% Erwartungswert A1 A2-100, , Nach Bayes-Regel sind A1 und A2 gleichwertig! Beobachtungen: A1 und A2 besitzen denselben Erwartungswert, die Ergebnisse von A1 streuen jedoch erheblich. Nur wenn die Streuung der Ergebnisse den Entscheider egal ist, sind für ihn A1 und A2 gleichwertig! risikoneutrales Verhalten! Tatsächlich präferieren Menschen i.d.r. bei gleichem Erwartungswert der Ergebnisse diejenige Alternative mit der geringeren Streuung (hier: A2)! risikoscheues (risikoaverses) Verhalten! 15

16 Anmerkung: Es gibt auch den Grenzfall risikofreudigen Verhaltens. Hier wird bei gleichem Erwartungswert der Ergebnisse diejenige Handlungsalternative präferiert, welche die höhere Streuung der Ergebnisse besitzt. Im Beispiel würde dann A1 gewählt werden. In diesem Falle werden die Gewinnmöglichkeiten höher als die Verlustmöglichkeiten bewertet. Derartiges Verhalten ist z.b. bei Glückspielen oder in Verlustsituationen zu beobachten. Fazit: Gerade bei Entscheidungen unter Risiko (Informationen über Eintrittswahrscheinlichkeiten liegen vor) sollte die Streuung der Ergebnisse berücksichtigt werden. Das Ausmaß der Ergebnisstreuung kann als Ausdruck des Risikos betrachtet werden. Ob, wie stark und in welcher Richtung das Risiko bei der Entscheidung berücksichtigt wird, ist Ausdruck der Sicherheitspräferenz des Entscheiders. 16

17 Die Förstner-Regel wägt explizit den Ergebniserwartungswert gegen die Streuung (Risiko) ab. Vorgehensweise: Berechne für jede Handlungsalternative den Erwartungswert der Ergebnisse; berechne für jede Handlungsalternative die Streuung der Ergebnisse (in Form der Standardabweichung); ermittle daraus ein gewichtetes Ergebnis. Schritt 1: Berechnung des Erwartungswertes E( e ) = i N ( e p ) j= 1 ij j Schritt 2: Berechnung der Streuung (als Standardabweichung) N σ 2 = [( e E( e )) p ] e i j= 1 ij i 2 j σ e i = σ 2 e i 17

18 Schritt 3: Festlegung der Risikoaversion λ Schritt 4: Berechnung des Nutzens einer Handlungsalternative a i U ( a ) = E( e ) + λ σ i i e i λ = 0 λ < 0 λ > 0 Gewinngrößen risikoneutral risikoavers risikofreudig Verlust- o. Schadensgrößen risikoneutral risikofreudig risikoavers Anwendung der Förstner-Regel im Beispiel Schritt 1: Berechnung des Erwartungswertes Umweltzustände: Konjunktur wird "gut" "normal" "schlecht" p(u) 30% 50% 20% E(ei) Aktien Renten wurde schon bei der Erwartungswert-Regel durchgeführt! 18

19 Schritt 2: Berechnung des Risikos Aktien Umwelt p(u) e (e-e(e))^2 (e-e(e))^2 * p(u) gut 30% normal 50% schlecht 20% SUMME: WURZEL: Renten Umwelt p(u) e (e-e(e))^2 (e-e(e))^2 * p(u) gut 30% normal 50% schlecht 20% SUMME: WURZEL: Schritt 3: Wahl der Risikoaversion Im Beispiel sei λ = -5 (willkürlich gewählt)! Schritt 4: Berechnung der Nutzenwerte der Handlungsalternativen λ = -5 Handlungen E(e) σ(e) Nutzen Aktien Renten Im Beispiel wird Renten gewählt! 19

20 Würdigung: Die Förstner-Regel berücksichtigt in einfacher Weise die Sicherheitspräferenz. Sie ist rechentechnisch vergleichsweise einfach umsetzbar. Sie erfordert jedoch die Spezifikation des Risikoaversionsparameters λ. Dessen Festlegung ist bei praktischen Problemen schwierig! Ansatz: Bestimmung aus hypothetischen Wahlakten. Bestimmung des Risikoaversionsparameters Umweltzustände Z1 Z2 0,5 0,5 µ σ A B X X X 0 Hypothetische Entscheidungssituation: Gewinn-, keine Schadenswerte Welches sichere Ergebnis X der Handlung B wird als nutzenäquivalent zu den wahrscheinlichkeitsverteilten Ergebnissen der Handlungsalternative A angesehen? 20

21 Fortführung des Beispiels: Angenommen sei, der Entscheider antworte X =30! Dann gilt offensichtlich: λ 50 = λ 0 Nutzen A Umgeformt folgt: λ = = 0,4 Nutzen B Modalwertregel betrachte ausschließlich den wahrscheinlichsten Umweltzustand; wähle diejenige Handlungsalternative, die dort das maximale Ergebnis erwarten lässt. Umweltzustände: Konjunktur wird "gut" "normal" "schlecht" p(u) 30% 50% 20% Aktien Renten Wähle Aktien! 21

22 Kritische Würdigung: Erscheint intuitiv plausibel, falls nur wenige Umweltzustände möglich sind; ein Umweltzustand wahrscheinlicher als alle anderen zusammen ist. Ansonsten ist aber zu kritisieren: die gesamte Verteilung bleibt weitgehend unberücksichtigt; unvollständige Informationsauswertung der Ergebnismatrix; bei vielen Umweltzuständen würde nur anhand eines Umweltzustandes entschieden werden, dessen Eintrittswahrscheinlichkeit absolut gesehen sehr gering ist! Anspruchsniveauregel: Lege ein gefordertes Mindestanspruchsniveau e für das Ergebnis fest. Bestimme für jede Handlungsalternative diejenige Wahrscheinlichkeit, mit der das geforderte Ergebnis e erreicht oder überschritten wird! Wähle diejenige Handlungsalternative, die dafür die höchste Wahrscheinlichkeit besitzt! 22

23 Anwendung im Beispiel: Gefordert werde z.b. e = 30! Ausgangsdaten: Umweltzustände: Konjunktur wird "gut" "normal" "schlecht" p(u) 30% 50% 20% Aktien Renten Aktien: P(e(Aktien) 30) = 80% Renten: P(e(Renten) 30) = 70% Wähle Aktien! Würdigung: Die Anspruchsniveauregel fasst Risiko anders auf: Bei den bisherigen (und folgenden) Regeln ist Risiko die Streuung der Ergebnisse. Hier wird die Nicht-Erreichung des Anspruchsniveaus als Risiko gesehen: Im Beispiel: Wahrscheinlichkeit der Verfehlung Aktien: 20% Renten: 30% Man bezeichnet dies auch als einseitiges Risikoverständnis. 23

24 In der Festlegung des Anspruchsniveaus kommt der Grad der Risikoaversion zum Ausdruck: niedriges Anspruchsniveau hohe Risikoaversion; hohes Anspruchsniveau geringe Risikoaversion oder gar Risikofreude. Problematisch: Im Grunde wird ausschließlich die Wahrscheinlichkeit einer Verfehlung des Anspruchsniveaus betrachtet, nicht aber das Ausmaß bei Verfehlung; so könnten auch Handlungen mit ruinösem Ausgang gewählt werden! Die Erfahrungsregel nach Hodges und Lehmann Ausgangsüberlegungen Die Eintrittswahrscheinlichkeiten der Umweltzustände müssen objektiv oder subjektiv geschätzt werden. Die Schätzungen sind einmal mehr, einmal weniger zuverlässig. Durch wiederholtes Entscheiden in derselben Entscheidungssituation werden die Schätzungen genauer (durch Erfahrung). Das Vertrauen in die Güte der Schätzung sollte entsprechend berücksichtigt werden. 24

25 Vorgehensweise: Lege den Vertrauensparameter ρ fest (liegt zwischen 0 und 1). Für jede Handlungsalternative a i : Bestimme das minimale Ergebnis über alle Umweltzustände MINe i. Bestimme den Erwartungswert der Ergebnisse über alle Umweltzustände E(e i ). Berechne den Nutzen der Handlung als gewichtete Summe U(a i ) = ρ E(e i ) + (1-ρ) MINe i Wähle diejenige Handlung mit dem höchsten Nutzenwert! Interpretation der Regel: Wird ρ = 1 gewählt, so herrscht volles Vertrauen in die Schätzung der Eintrittswahrscheinlichkeiten; wird wie bei der Erwartungswertregel entschieden. Wird ρ = 0 gewählt, so besteht kein Vertrauen in die Schätzung der Eintrittswahrscheinlichkeiten; wird wie bei der Minimax-Regel entschieden. 25

26 Erfahrungsregel im Beispiel: Es werde ρ = 0.5 gewählt (willkürliche Annahme). Umweltzustände: Konjunktur wird "gut" "normal" "schlecht" p(u) 30% 50% 20% E(ei) Aktien Renten Aktien: U = 0,5 * ,5 * -200 = -70 Renten: U = 0,5 * 33,5 + 0,5 * 20 = 26,75 Wähle Renten! Würdigung: Wenn in Wiederholungen derselben Entscheidungssituation die Schätzungen durch Erfahrung zuverlässiger werden, kann die Regel eventuell als sinnvoll angesehen werden: Erwartungswertregel nur sinnvoll bei häufiger Wiederholung; zu Beginn wird mit ρ = 0 der worst case angenommen. Ansonsten gelten die Kritikpunkte der Erwartungswertregel und der Minimax-Regel. Wie wird ρ gewählt? 26

27 Die Bernoulli-Regel Mit Abstand bedeutsamste Entscheidungsregel in der ökonomischen Theorie allgemein, da ausgehend von sehr wenigen Axiomen rationalen Entscheidungsverhaltens sie streng formal hergeleitet und bewiesen werden kann; insofern ist sie der Inbegriff rationalen Entscheidens! Dazu existieren verschiedene Beweisführungen mit teilweise (leicht) unterschiedlichen Axiomensystemen. Vorgehensweise bei der Bernoulli-Regel: 1. Ersetze jedes Ergebnis innerhalb der Ergebnismatrix durch den jeweiligen Nutzen des Ergebnisses für den Entscheidungsträger! Anmerkungen: Voraussetzung für diesen Schritt ist die Kenntnis der Nutzenfunktion des Entscheiders. Die Ersetzung der Ergebnisse durch deren Nutzenwerte transformiert die Ergebnismatrix in die sog. Entscheidungsmatrix. 27

28 Beispiele für Nutzenfunktion: Logarithmische Nutzenfunktion Nutzenwerte Logarithmische Nutzenfunktion U ( e ) ln( e ij = ij ) logarithmische Nutzenfunktion Ergebniswerte Nutzenwerte Beispiel einer Nutzenfunktion: Quadratische Nutzenfunktion Quadratische Nutzenfunktion Nutzenwerte Ergebniswerte Nutzenwerte U ( e) = e e 2 28

29 Nur zur Erwähnung: Viele verschiedene Typen von Nutzenfunktionen denkbar. Höchst unterschiedliche Eigenschaften. 1 U= bw-cw 2 (quadratisch) U= a + bw-cw 2 (quadratisch, positiv-linear transformiert) 2 U= -e -cw (exponentiell) 3 U= ln (w+b) (logarithmisch) Risikoaversionstyp Nutzenfunktionstyp Parameterrestriktionen zusätzlich zu a,b,c > 0 w < b/2c absolute Risikoaversion RA RA 2c b-2cw RA > 0 (steigend) relative Risikoaversion RR RR 2cw b-2cw RR > 0 (steigend) dto. dto. dto. dto. dto. - c = 0 (konstant) w > -b 1 w+b < 0 (fallend) cw > 0 (steigend) w w+b > 0 (steigend) Welche ist es? 4 U= ln (w) oder U= log (w) (logarithmisch) w > 0 1 w < 0 (fallend) 1 = 0 (konstant) Welche Parameter? U= w c (Potenzfunktion) U= -w -c (Potenzfunktion) 0 < c < 1 1-c w - 1+c w dto. 1-c dto. dto. 1+c dto. Quelle: Schmidt-von Rhein, 1996, S U= ln (w-b) (logarithmisch) b < w 1 w-b < 0 (fallend) w w-b < 0 (fallend) Umweltzustände: Konjunktur wird "gut" "normal" "schlecht" p(u) 30% 50% 20% Aktien Renten Ergebnismatrix Nutzenfunktion U ( e) = e e 2 Umweltzustände: Konjunktur wird "gut" "normal" "schlecht" p(u) 30% 50% 20% Aktien Renten Entscheidungsmatrix 29

30 Nächster Schritt zur Umsetzung der Bernoulli-Regel: 2. Ermittle die Nutzenerwartungswerte jeder Handlungsalternative! Für jede Handlungsalternative: multiplizierte den Nutzenwert bei Eintritt des j-ten Umweltzustandes mit dessen Eintrittswahrscheinlichkeit, summiere diese Produkte über alle N Umweltzustände. N EU ( a ) = ( u p ) i j= 1 ij j Für das Beispiel ergeben sich folgende Erwartungsnutzenwerte: Umweltzustände: Konjunktur wird "gut" "normal" "schlecht" p(u) 30% 50% 20% EU(ai) Aktien Renten Letzter Schritt: 3. Wähle diejenige Handlungsalternative mit dem höchsten Erwartungsnutzenwert! 30

31 Würdigung der Bernoulli-Regel Sehr flexibel einsetzbar, denn über die Nutzenfunktion kann risikofreudiges, risikoindifferentes und risikoscheues Verhalten in beliebigen Ausprägungsgraden modelliert werden. Höhen- und Sicherheitspräferenz werden simultan über die Nutzenfunktion berücksichtigt. Beweisbarkeit aus wenigen Axiomen. Aber: Die Nutzenfunktion ist bei der praktischen Anwendung i.d.r unbekannt und muss erst aufwändig ermittelt werden. Wegen der simultanen Berücksichtigung von Höhen- und Sicherheitspräferenz ( Vermengung ), ist die Nutzenfunktion für jede Entscheidungssituation neu zu bestimmen. Auch wird die Nutzenfunktion im Zeitablauf kaum stabil sein. Es ist nicht sichergestellt, dass eine artifiziell gemessene Nutzenfunktion die tatsächliche Präferenz gegenüber einer realen Entscheidungssituation beschreibt. 31

32 Fazit: Aufgrund der gegebenen praktischen Probleme beim realen Einsatz kann durchaus gefragt werden, ob die zuvor behandelten Regeln nicht doch brauchbare, eventuell sogar sehr sinnvolle Approximationen sein können. Ungeachtet der immensen Bedeutung für die ökonomische Theorie sollte die praktische Einsatzfähigkeit der Bernoulli- Regel nicht überbewertet werden! 5.3. Zur Auswahl der Entscheidungsregel Vorbemerkungen: Ähnlich wie bei den Regeln zum Entscheiden bei Unsicherheit stellt sich hier die Frage nach der richtigen Regel. Je nach Wahl der Regel können unterschiedliche Handlungsempfehlungen resultieren. Als Beurteilungskriterien können wiederum idealtypische Anforderungen herangezogen werden. 32

33 Forderung 1: Das Entscheidungsproblem kann durch die Anwendung der Entscheidungsregel (bzw. Entscheidungsprinzips) gelöst werden. Beispiel: Lösungsgarantie; Allgemeingültigkeit (für beliebige Entscheidungsfelder anwendbar). Entscheidungsprinzipien verletzten diese Forderung (keine Lösungsgarantie), aber in ungünstigen Fällen auch die Modalwertregel. Forderung 2: Durch die Anwendung der Entscheidungsregel (bzw. Entscheidungsprinzips) wird die Lösung des Entscheidungsproblems vereinfacht. abgeschwächte Forderung 1; Entscheidungsprinzipien erfüllen diese Forderung. 33

34 Forderung 3: Die Entscheidungsregel (bzw. Entscheidungsprinzip) soll benutzerfreundlich sein. Beispiel: einfache Handhabung der Regel; geringer Aufwand bei Datenbeschaffung und Datenverarbeitung. Bernoulli-Regel sehr aufwändig! Forderung 4: Die Entscheidungsregel bzw. das Entscheidungsprinzip berücksichtigt die Ungenauigkeit in der Schätzung der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Beispiel: Forderung wird allein von der Erfahrungsregel nach Hodges und Lehmann berücksichtigt. 34

35 Forderung 5: Die Entscheidungsregel (bzw. Entscheidungsprinzip) soll sämtliche Informationen des Entscheidungsfeldes ausschöpfen. Beispiel: maximale Nutzung aller verfügbaren Informationen! Forderung wird von der Modalwertregel nicht erfüllt! Forderung 6: Die Entscheidungsregel (bzw. Entscheidungsprinzip) sollte im Einklang mit dem Präferenzsystem des Entscheidungsträgers stehen. bedeutsamste Forderung überhaupt; Entscheidungsprinzipien erfüllen diese immer, sind unabhängig vom Präferenzsystem. 35

36 Anmerkung: Die Begründung für die Bernoulli-Regel basiert auf wenigen zentralen Prämissen für rationales Entscheidungsverhalten. Akzeptiert ein Entscheider diese Prämissen als für sich gültig bzw. sinnvoll, so muss er logisch-konsistent nach dem Bernoulli-Prinzip handeln. Aufgrund der beschriebenen praktischen Probleme kann jedoch die Wahl einer der anderen Regeln als vereinfachende Approximation sinnvoll sein. Exkurs: Axiome rationalen Entscheidungsverhaltens 1. Ordinales Prinzip: Ergebnisse können in eine Präferenzordnung gebracht werden (Ordnungsaxiom) und die Präferenzordnung ist dabei transitiv (Transitivitätsaxiom). 2. Stetigkeitsprinzip: Sei [e+,w,e-], e sicheres Ereignis, so existiert eine Indifferenzwahrscheinlichkeit w*, so dass e ~ [e+,w*,e-]. 3. Substitutionsprinzip: Jedes Ergebnis e kann durch eine dazu äquivalente Lotterie [e+,w*,e-] substituiert werden. 36

37 4. Reduktionsprinzip: Sequenzielle Ereignisfolgen ( zusammengesetzte Wahrscheinlichkeitsverteilungen) lassen sich auf dazu äquivalente einfache Ereignisse ( einfache Wahrscheinlichkeitsverteilungen) reduzieren. 5. Monotomieprinzip: Gilt [e+,w1,e-] und [e+,w2,e-] mit w1 > w2, so wird [e+,w1,e-] präferiert. 6. Transitivitätsprinzip der Handlungsalternativen: Die Präferenzordnung der Handlungsalternativen ist ebenfalls transitiv. Anmerkungen: Die Axiome werden manchmal (leicht) anders formuliert, anders angeordnet oder teilweise zusammengefasst. Für das schlussendliche Ergebnis nicht wesentlich! 37

38 Entscheidungstheorie: Entscheidungen unter Risiko Kapitel 5 Eigenschaften der Entscheidungsregeln vgl. Rehkugler/Schindel, 1985, S. 161; keine Entscheidungsregel erfüllt alle Anforderungen; es verbleibt ein MetaEntscheidungsproblem beim Anwender. Entscheidungstheorie: Entscheidungen unter Risiko Kapitel Verfahren der flexiblen Planung (Entscheidungsbaumverfahren) Vorbemerkungen: Die bisherigen Betrachtungen betrafen einstufige ( statische ) Entscheidungen: Eine Entscheidung ist zu treffen, dann tritt ein Umweltzustand ein. Entscheider realisiert das Ergebnis seiner Handlung. Ende! Oftmals sind aber mehrstufige Entscheidungen zu betrachten. 38

39 Beispiel: In t=0 trifft wählt der Entscheider eine Handlung. In t=1 tritt einer der möglichen Umweltzustände ein. Aufgrund des Ergebnisses in t=1 wählt der Entscheider in t=1 eine weitere Handlung aus. In t=2 tritt dann wieder einer der möglichen Umweltzustände ein. usw. Einfache Lösung: Das Problem wird als Folge unverbundener einperiodiger Entscheidungsprobleme angesehen. Entscheider betrachtet nur die unmittelbare Entscheidungssituation, Problem: die er mit den behandelten Techniken löst. gesucht ist die optimale Entscheidungsfolge, einfache Lösung garantiert nicht die optimale Lösung. 39

40 Verfahren zur Lösung mehrstufiger Entscheidungsprobleme: Entscheidungsbaumverfahren Einsatzgebiete (nur einige Beispiele): strategische Unternehmensplanung; strategische Investitionsplanung; optimale Strategie gegen einen Gegenspieler. Prinzipielle Vorgehensweise: 1. Systematische Zusammenstellung aller möglichen Handlungen (Aktionen a t i ) zu einem Zeitpunkt t. 2. Systematische Aufstellung aller entscheidungsrelevanten zukünftigen Umweltzustände U t+1 j ausgehend von t. 3. Wiederhole 1. und 2. bis zum Planungshorizont. 4. Ordne allen möglichen Endzuständen ihre zugehörigen Ergebnisse (Resultate e t k) zu. 5. Bestimmte den optimalen Pfad durch Rückrechnung. 40

41 Beispiel: In t 0 ist die Entscheidung E 10 zu fällen. Zur Wahl stehen die Investitionen A (a 10 ; z.b. Werbekampagne zur Vergrößerung des Marktanteils eines bereits eingeführten Produkts) oder B (a 20 ; z.b. Einführung eines völlig neuen Produkts). Im Falle der Wahl von a 10 sind die Umweltzustände U 11 (z.b. Konkurrenz unternimmt nichts ) mit p(u 11 )=1/3 oder U 21 (z.b. Konkurrenz antwortet mit Gegenkampagne) mit p(u 21 )=2/3 denkbar. Zufallsereignis, Eintritt des Umweltzustandes U 11 mit 1/3 Wahl von a 1 0 U 21 mit 2/3 Entscheidung E 1 0 Wahl von a 2 0 t = 0 t = 1 41

42 Fortführung des Beispiels: Sofern U 11 eintritt, ist in t 1 die Entscheidung E 11 zu fällen. Zur Wahl stehen die Investitionen C (a 11 ; z.b. Werbekampagne fortführen) oder D (a 21 ; z.b. Werbekampagne einstellen). Im Falle der Wahl von a 11 sind die Umweltzustände U 12 (z.b. Konkurrenz unternimmt immer noch nichts ) mit p(u 12 )=1/2 oder U 22 (z.b. Konkurrenz antwortet jetzt mit Gegenkampagne) mit p(u 22 )=1/2 denkbar. Zufallsereignis, Eintritt des Umweltzustandes U 12 mit 1/2 Wahl von a 1 1 U 22 mit 1/2 Entscheidung E 1 1 Wahl von a 2 1 t = 1 t = 2 42

43 Fortführung des Beispiels: Sofern U 12 eintritt, beträgt das Ergebnis der Investitionsfolge (A,C) GE (z.b. Gewinn, Kapitalwert). Sofern U 22 eintritt, wird ein Ergebnis der Investitionsfolge (A,D) von nur GE erzielt. Zufallsereignis, Eintritt des Umweltzustandes U 12 mit 1/ Wahl von a 1 1 U 22 mit 1/ t = 2 43

44 Fortführung des Beispiels: Für den unteren Ast (t=2) möge gelten: Entscheidung E 1 1 Wahl von a 2 1 U 32 mit 3/ t = 1 t = 2 U 42 mit 1/ Bisherige Entwicklung des Entscheidungsbaums: p(u 11 )=1/3 a 1 0 p(u 21 )=2/3 a 1 1 a 1 2 p(u 12 )=1/2 p(u 22 )=1/2 p(u 32 )=3/4 p(u 32 )=1/ a 2 0 t = 0 t = 1 t = 2 44

45 Fortführung des Beispiels: Weitere Entwicklung des Entscheidungsbaums (obere Hälfte): p(u 12 )=1/ a 1 1 p(u 22 )=1/ p(u 11 )=1/3 a 1 0 a 2 0 p(u 21 )=2/3 a 2 1 a 3 1 a 4 1 t = 0 t = 1 t = 2 p(u 32 )=3/4 p(u 42 )=1/4 p(u 52 )=1/ p(u 62 )=4/5 0 Fortführung des Beispiels: Weitere Entwicklung des Entscheidungsbaums (untere Hälfte): p(u 31 )=1/2 a 5 1 p(u 72 )=2/ a 2 0 p(u 41 )=1/2 a 6 1 p(u 82 )=3/ t = 0 t = 1 t = 2 45

46 Vollständiger Entscheidungsbaum (komprimierte Darstellung): Lösung des Entscheidungsproblems durch Rückrechnung (rollback Verfahren) Erwartungswert von a 11 : = * * 0.5 = Erwartungswert von a 21 : = * * 0.25 = In der Entscheidungssituation E 11 ist die Aktion a 11 zu wählen; das erwartete Ergebnis dieser Entscheidung beträgt GE. 46

47 Auf analoge Weise werden die optimalen Handlungen und erwarteten Ergebnisse der Entscheidungen E 21 und E 3 1 bestimmt: a) Für E 21 : Erwartungswert von a 31 : = Erwartungswert von a 41 : = 0 * * 0.8 = Es wird in E 21 die Aktion a 41 gewählt! b) Für E 31 : Erwartungswert von a 51 : = Erwartungswert von a 61 : = * * 0.6 = Es wird in E 31 die Aktion a 61 gewählt! Damit ist der erste Schritt der Rückrechnung beendet und die Resultate für t = 1 bestimmt! 47

48 Reduzierter Entscheidungsbaum: = p(u 11 )=1/3 a 1 0 a 2 0 p(u 21 )=2/3 p(u 31 )=1/2 = = p(u 41 )=1/2 t = 0 t = 1 = Schritt: Berechnung der erwarteten Ergebnisse von a 10 und a 0 2 a) Für a 10 : = * * 0.67 = b) Für a 20 : = * ( ) * 0.5 = Es wird in t = 0 die Aktion (Investition) a 2 0 gewählt, denn sie besitzt das höhere erwartete Ergebnis. 48

49 Zentrale Kritikpunkte am Entscheidungsbaumverfahren: Vernachlässigung des Risikoaspekts Informationsanforderungen Vernachlässigung des Risikoaspekts: Die Entscheidung wird allein auf erwarteten Ergebnissen basiert, die Unsicherheit findet aber ansonsten keine Berücksichtigung bei der Entscheidungsfindung. Prinzipiell richtig, sofern nach der Erwartungswertregel entschieden wird. Allerdings kann anstatt der Erwartungswertregel nach jeder anderen Entscheidungsregel (z.b. Bernoulli-Regel) entschieden werden; das Ergebnis einer Entscheidung muss dann aber bei Rückrechnung durch die gesamte Verteilung charakterisiert werden; gestaltet das roll-back Verfahren deutlich aufwändiger! 49

50 Informationsanforderungen Folge: Für alle Aktionen (Investitionen) in t = 0 müssen alle Folgepfade (zukünftig mögliche Umweltzustände, Eintrittswahrscheinlichkeiten, zukünftige Handlungsmöglichkeiten und Resultate für das Ende des Planungshorizonts) angegeben werden können! Schon bei kleineren (realistischen) Entscheidungsproblemen wird der Entscheidungsbaum schnell unübersichtlich) und bereitet kaum noch zu bewältigende Planungsprobleme. Lösungsansatz: Konzentration auf die wesentlichen Pfade, Umweltzustände und Folgeentscheidungen. Entscheidungsbaumverfahren ist damit kein Instrument der Detailplanung, sondern eher der strategischen Planung. Vorteile: Berücksichtigung von Entscheidungssequenzen. Berücksichtigung der Unsicherheit der Investitionsentscheidungen, einschließlich deren Folgeentscheidungen. 50