Irren ist menschlich. aber für schwere Fehler braucht man einen Computer. Warum die Ariane-5-Rakete verglühte

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1 Irren ist menschlich aber für schwere Fehler braucht man einen Computer Warum die Ariane-5-Rakete verglühte Stefan Ackermann Universität Leipzig Mathematisches Institut S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 1 / 36

2 Beispiel 1 Es sei x = 10864, y = Berechnen Sie die Ausdrücke A 1 = 9 x 4 + (2 y 2 ) y 2 und A 2 = 9 x 4 y y 2 mit Ihrem Taschenrechner? Erhalten Sie dasselbe Ergebnis? einige Ergebnisse Rechner A 1 A 2 Casio CFX-9850G Plus TI-30X Solar ConSoft MultiCalc Rechner von Windows XP 1 1 Delphi (SmallInt) Delphi (Integer) 1 1 Delphi (Single) Delphi (Double) S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 2 / 36

3 Beispiel 2: Kommutativgesetz Es sei a = 10 20, b = 10, c = 17 und d = 130 Berechnen Sie die Ausdrücke a + c b + d a = a + c + b a + d = a + c a b + d = a a + c b + d = a + c + d a b = S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 3 / 36

4 Beispiel 3: Assoziativgesetz Berechnen Sie (10 i + 1) 1 für i = 7,..., 17 ( ) 1 = 1, E-7 ( ) 1 = 0, E-8 ( ) 1 = 1, E-9 ( ) 1 = 1, E-10 ( ) 1 = 1, E-11 ( ) 1 = 1, E-12 ( ) 1 = 0, E-13 ( ) 1 = 0, E-14 ( ) 1 = 1, E-15 ( ) 1 = 0 ( ) 1 = 0 S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 4 / 36

5 Fazit Nach Auswertung dieser und weiterer Beispiele muss man sagen: 1. Computer rechnen in vielen Fällen nicht exakt. 2. Die Fehler sind teilweise erheblich. 3. Rechenregeln wie Kommutativ- und Assoziativgesetze gelten nicht. Andererseits gilt aber Der Anfänger vertraut jeder Ziffer des angezeigten Ergebnisses. Erfahrene Programmierer vertrauen etwa der Hälfte der Ziffern. Spezialisten zweifeln sogar das Vorzeichen an. Woran liegt das? An der Art und Weise, wie Computer Zahlen speichern. S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 5 / 36

6 Dezimalsystem versus Dualsystem Aus technischen Gründen speichern Computer die Zahlen im Dualsystem ab, stellen sie aber nach außen dezimal dar. Die Computer rechnen also laufend zwischen beiden Darstellungen um. Die kleinste Speichereinheit ist ein bit. (binary digit) Es kann zwei verschiedene Werte haben, die meistens mit 0 und 1 bezeichnet werden. Ein Byte sind 8 Bit, ein Kilobyte sind 1024 Byte. Zur besseren Lesbarkeit von Dualzahlen werden werden jeweis vier Bit zu einem Halbbyte zusammengefasst; dies ist eine Hexadezimalziffer. Hexadezimalziffern im Dualsystem 0=0000 1=0001 2=0010 3=0011 4=0100 5=0101 6=0110 7=0111 8=1000 9=1001 A=1010 B=1011 C=1100 D=1101 E=1110 F=1111 S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 6 / 36

7 Umrechnung ganzer Dezimalzahlen in Dualzahlen Rechenregel Teile die Zahl solange mit ganzzahliger Division durch 2 bis das Ergebnis 0 ist und schreibe die Reste (0 oder 1) von rechts nach links auf. 1523= = : 2 = 761 Rest : 2 = 380 Rest : 2 = 190 Rest : 2 = 95 Rest 0 95 : 2 = 47 Rest 1 47 : 2 = 23 Rest 1 23 : 2 = 11 Rest 1 11 : 2 = 5 Rest 1 5 : 2 = 2 Rest 1 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest = = = = = = = = 1024 Summe: 1523 S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 7 / 36

8 Speicherung ganzer Zahlen Zur Speicherung ganzer Zahlen wird vom Computer eine feste Anzahl Bits bzw. Bytes bereitgestellt. Viele Programmiersprachen verfügen über mehrere Typen, die sich in der Größe des bereitgestellten Speicherplatzes und/oder im darstellbaren Zahlbereich unterscheiden. Zahlbereichüberschreitungen werden vom Compiler nicht immer bemerkt, sondern es wird zyklisch weitergerechnet. ganzzahlige Datentypen von Delphi (PASCAL) Datentyp Speichergröße Zahlbereich Byte 1 Byte SmallInt 1 Byte Word 2 Byte Integer 2 Byte LongInt 4 Byte S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 8 / 36

9 Zyklische Speicherung, erklärt an einem 3-Bit-Modell In drei Bit lassen sich die natürlichen Zahlen oder die ganzen Zahlen darstellen. Im letzteren Fall wird das linke Bit als Vorzeichenbit interpretiert. Ist dieses Bit gesetzt, dann wird der Betrag der Zahl durch bitweise Komplementierung und Addition von 1 berechnet. Auf diese Weise funktioniert die zyklische Berechnung. (2-komplementäres Speichermodell) S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 9 / 36

10 Warum funktionierten 2010 einige Kreditkarten nicht mehr? BCD-Speichermodell (Binary Coded Decimal) In einigen Fällen z. B. bei der Umrechnung in das Dezimalformat zum Anzeigen des Ergebnisses benutzen die Computer ein Halbbyte zur Speicherung einer binär codierten Dezimalziffer, also 0=0000 1=0001 2=0010 3=0011 4=0100 5=0101 6=0110 7=0111 8=1000 9=1001 Wenn sich der Programmierer beim Zugriff auf solche Speicherplätze irrt, kann es zu fatalen Fehlern kommen. Was ist das Besondere am Jahre 2010? Vergleich der Zahlen 9 und 10 auf einem Byte Speicherplatz: 9 10 rein binär BCD-codiert rein binär BCD-codiert kein Unterschied keine Dualdezimalzahl Dualzahl für 2 4 = 16 S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 10 / 36

11 Umrechnung echter (Dezimal-)Brüche in Dualbrüche Rechenregel Multipliziere den Bruch fortlaufend mit 2, spalte jeweils die ganzen Anteile (0 oder 1) ab und schreibe diese von links nach rechts auf. 0.1 [10] = = [2] = [2] 0.1 * 2 = 0.2 Merke * 2 = 0.4 Merke * 2 = 0.8 Merke * 2 = 1.6 Merke * 2 = 1.2 Merke * 2 = 0.4 Merke * 2 = 0.8 Merke * 2 = 1.6 Merke * 2 = 1.2 Merke 1. * 2 =. Merke. 1/10 * 2 = 1/5 Merke 0 1/5 * 2 = 2/5 Merke 0 2/5 * 2 = 4/5 Merke 0 4/5 * 2 = 1 + 3/5 Merke 1 3/5 * 2 = 1 + 1/5 Merke 1 1/5 * 2 = 2/5 Merke 0 2/5 * 2 = 4/5 Merke 0 4/5 * 2 = 1 + 3/5 Merke 1 3/5 * 2 = 1 + 1/5 Merke 1. * 2 =. Merke. S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 11 / 36

12 Umrechnung echter (Dezimal-)Brüche in Dualbrüche Wir stellen fest: Man kann ebenso gut mit echten Brüchen rechnen. Das Verfahren ist theoretisch auch auf irrationale Zahlen, also unendliche, nichtperiodische, echte Dezimalbrüche anwendbar. Rationale Zahlen ergeben bei der Umrechnung endliche oder periodische Dualbrüche. Endlich Dezimalbrüche ergeben manchmal auch periodische Dualbrüche. Dies gilt entsprechend auch für andere Zahlsysteme. Die Anzahl der Vorziffern und die Periodenlänge kann man ermitteln, siehe dazu: S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 12 / 36

13 Speicherung reeller Zahlen Was passiert bei Eingabe einer Dezimalzahl? 1. Ganzer und gebrochener Anteil werden getrennt in Dualzahlen umgerechnet. Der (unechte) Dualbruch wird so oft durch 2 geteilt bzw. mit 2 multipliziert, bis er kleiner als 1 ist bzw. größer als oder gleich 0, 5 [10] = 0, 1 [2] ist. Dies entspricht einfach einer Verschiebung des Dualpunktes. Die Anzahl der Teilungen bzw. Verschiebung ist der Exponent der Zweierpotenz, die die Größenordnug der Zahl bestimmt. 2. Die so erhaltene Mantisse wird auf eine vorgegebene Anzahl von Stellen gekürzt bzw. gerundet. 3. Die Zahl und der Exponent werden mit Vorzeichen im Speicher abgelegt, dabei wird die nach dem Dualkomma folgende 1 nicht mit gespeichert. Normalisierte Gleitkomma-Darstellung einer Dualzahl in m + k + 1 Bits ±0.1d 2 d 3... d m 2 ±e1...e k, d i, e j {0, 1} Nur die unterstrichenen Teile werden gespeichert. S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 13 / 36

14 reelle Datentypen auf INTEL-Prozessoren Die Intel-32Bit-Architektur kennt drei Formate: Einfach langes Format: 32 Bit - Pascal-Datentyp single 1 8 Bit 23 Bit V E M Doppelt langes Format: 64 Bit - Pascal-Datentyp double 1 11 Bit 52 Bit V E M Erweitertes Format: 80 Bit - Pascal-Datentyp extended 1 15 Bit 64 Bit V E M S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 14 / 36

15 reelle Datentypen von Delphi (PASCAL) Datentyp Speichergröße Zahlbereich Mantisse Exponent single 4 1.5e e real 6 2.9e e double 8 5.0e e extended e e Beispiel [10] = } {{ } [2] = [2] 2 11 [10] 11 Stellen = [2] [2] Datentyp Mantisse Exponent single real S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 15 / 36

16 Warum die Ariane-5-Rakete explodierte Die Fakten Nach zehnjähriger Entwicklungszeit sollte die Nachfolgerin der Ariane 4 den Europäern die Führung im Weltraumfrachtgeschäft sichern. Der Jungfernflug startete am 4. Juni Sekunden nach dem Start sendete das Trägheitskontrollsystem wirre Daten an den Bordcomputer. Die Rakete wird durch Steuerdüsen zu einer Flugbahnänderung veranlasst. Dies bewirkte eine schnelle abrupte Drehung der Rakete. Nach ca. 42 Sekunden leitete das Steuerungssystem die Selbstzerstörung ein, da die äußeren Kräfte auf die Rakete zu stark wurden. Der wirtschaftliche Schaden betrug mehr als 500 Millionen U.S. Dollar, da die Ariane 5 zwei wissenschaftliche Satelliten an Bord hatte. S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 16 / 36

17 Warum die Ariane-5-Rakete explodierte Das Problem Das Steuerungsprogramm wurde nahezu unverändert von der Ariane 4 übernommen. Ein intensiver Test des Navigations- und Hauptrechners wurde nicht unternommen, da die Software bei Ariane 4 erprobt war. Innerhalb des Programmes wurde - warum auch immer - eine 64-Bit Gleitkommazahl, die die horizontale Geschwindigkeit der Rakete darstellte, auf eine 16-Bit-Integer-Zahl übergeben. Bei der Ariane-4-Rakete hatte das keine Probleme bereitet, die größte darstellbare Zahl wurde niemals erreicht. Aus Rechenzeitgründen hatte man bewusst auf eine Überlauf-Prüfung bei den Variablen verzichtet es existierten (für die Ariane 4) Beweise, dass diese Maximalwerte nicht erreicht werden. Dies galt allerdings nicht mehr für die wesentlich schnellere Ariane 5. Durch die zyklische Darstellung entstanden durch den Integer-Überlauf völlig unbrauchbare Werte. S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 17 / 36

18 Warum die Ariane-5-Rakete explodierte Das Ada-Programm (auszugsweise)... declare vertical_veloc_sensor: float; horizontal_veloc_sensor: float; vertical_veloc_bias: integer; horizontal_veloc_bias: integer;... begin declare pragma suppress(numeric_error, horizontal_veloc_bias); begin sensor_get(vertical_veloc_sensor); sensor_get(horizontal_veloc_sensor); vertical_veloc_bias := integer(vertical_veloc_sensor); horizontal_veloc_bias := integer(horizontal_veloc_sensor);... exception when numeric_error => calculate_vertical_veloc(); when others => use_irs1(); end; S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 18 / 36

19 Warum die Ariane-5-Rakete explodierte Die Tragik Das Steuerprogramm wurde nur für die Startphase gebraucht. Nachdem die Rakete eine hinreichende Höhe und Geschwindigkeit erreicht hatte, konnte die Steuerung von der Bodenstation übernommen werden. Bei der Ariane 4 war dies etwa 50 s nach dem Start der Fall. Bei der Ariane 5 konnte die Übergabe der Steuerung bereits wesentlich früher erfolgen. Hätte man zu diesem Zeitpunkt das interne Steuerprogramm abgeschaltet, wäre es wahrscheinlich zu keinem Überlauf gekommen. Verzögerung Der erste kommerzielle Flug der Ariane 5 fand erst am 10. Dezember 1999, also mehr als 3 Jahre später, statt. S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 19 / 36

20 Konsequenzen der normalisierten Gleitkomma-Darstellung Maschinenzahlen Die Menge aller durch einen Datentyp darstellbaren reellen Zahlen heißen die Maschinenzahlen zu diesem Datentyp. Diese Menge wird häufig mit M p,m,e bezeichnet, wobei p die Basis der Darstellung, m die Länge der Mantisse (ohne Vorzeichen) und e die Anzahl der Bytes für die Darstellung des Exponenten (mit Vorzeichen) bezeichnet. Zum Datentyp single gehört also die Menge M 2,24,8, zum Datentyp extended die Menge M 2,66,15 Einfache Folgerungen Die Anzahl der Maschinenzahlen zu einem Datentyp ist endlich. Es gibt eine größte und eine kleinste positive Maschinenzahl. Rationale Zahlen, die keine Maschinenzahlen sind, werden bei der Eingabe zur nächsten Maschinenzahl hin gerundet. Irrationale Zahlen können gar nicht eingegeben werden. S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 20 / 36

21 Einfaches Beispiel M 10,3,3 x = ±0.d 1 d 2 d 3 10 ±e1e2, d i, e j 0,..., 9, d 1 0 größte Maschinenzahl: = }. {{.. 0 } 96 Nullen kleinste positive Maschinenzahl: = 0. 0 }. {{.. 0 } 1 99 Nullen Anzahl der Maschinenzahlen in [0.1, 1): 900 Anzahl der Maschinenzahlen in [1, 10): 900 Maximaler absoluter Eingabefehler in [0.1, 1) : = Maximaler relativer Eingabefehler in [0.1, 1) : = Maximaler relativer Eingabefehler überhaupt: kleinste positive Zahl, die bei der Addition zur 1 = noch bemerkt wird: Diese Zahl nennt man das Maschinenepsilon = S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 21 / 36

22 Ein Computer mit zehnstelliger dezimaler Mantisse M 10,10,? S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 22 / 36

23 Folgenschwere Konzequenzen aus der Darstellung Das Loch um die Null In einer kleinen Umgebung der Null gibt es keine Maschinenzahlen. Dies erfordert eine besondere Aufmerksamkeit bei Grenzübergängen. Die Lücken zwischen den Maschinenzahlen Maschinenzahlen sind logarithmisch verteilt. Dadurch ist der relative Fehler überall gleich. Das Maschinenepsilon und Folgerungen Bei der Addition kleiner zu relativ großen Zahlen werden die kleinen Summanden nicht bemerkt. Auslöschung führender Ziffern Fast gleiche Zahlen werden bei der Eingabe auf dieselbe Maschinezahl gerundet. Bei der Subtraktion heben sich gerade die sicheren Ziffern der Mantisse weg. Das Ergebnis ist mehr oder weniger zufällig. S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 23 / 36

24 Beispiel 2: Kommutativgesetz Es sei a = 10 20, b = 10, c = 17 und d = 130 Bei der Berechnung der Ausdrücke a + c b + d a = a + c + b a + d = a + c a b + d = a a + c b + d = a + c + d a b = wird deutlich, dass relativ kleine Summanden verlorengehen. S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 24 / 36

25 Beispiel 1: x = 10864, y = Bei der Berechnung der Ausdrücke A 1 = 9 x 4 + (2 y 2 ) y 2 und A 2 = 9 x 4 y y 2 werden wegen 9 x 4 = , (2 y 2 ) y 2 = und y 4 = führende Ziffern ausgelöscht. Der falsche Wert bei A 2 wird dann durch 2 y 2 = bestimmt. Bei den ganzzahligen Datentypen verfälscht die zyklische Rechnung beim Überlauf die Ergebnisse. einige Ergebnisse Rechner A 1 A 2 Casio CFX-9850G Plus TI-30X Solar ConSoft MultiCalc Delphi (Single) Delphi (Double) Delphi (SmallInt) S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 25 / 36

26 Weiteres Beispiel zur Auslöschung Näherungsweise Berechnung von π durch Polygonzüge im Kreis ( x = s 2 2n sn ) 2 (1) 2 r 2 = s 2 n + (r x) 2 (2) S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 26 / 36

27 Weiteres Beispiel zur Auslöschung Näherungsweise Berechnung von π durch Polygonzüge im Kreis Für r = 1 2 ist der Umfang des Kreises gerade π. Setzt man (1) in (2) ein, so erhält man zunächst 1 s 2n = 2 ± 1 1 s 2 2 n, wobei wegen s 2n < 1 2 nur die Lösung mit negativer Wurzel benötigt wird. Mit U n = n s n und U 2n = 2n s 2n erhält man schließlich eine Rekursionsformel für den Kreisumfang. U 2n = n U 2 n n 2 Da die Umfänge durch den Kreisumfang beschränkt sind, konvergiert die innere Wurzel gegen 1 und unter der äußeren Wurzel kommt es zur Auslöschung führender Ziffern. Dieses Problem kann man vermeiden, wenn man unter der Wurzel die 3. binomische Formel anwendet. S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 27 / 36

28 Weiteres Beispiel zur Auslöschung Näherungsweise Berechnung von π durch Polygonzüge im Kreis 2 n U 2n = n U n 2 2 U n U 2 2n = n n U2 n n S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 28 / 36

29 Gleitkomma-Arithmetik bei Intel-Datentypen (IEC 559) einfach doppelt erweitert Datentyp (C) float double long double Datentyp (FORTRAN) real*4 real*8 real*10 Datentyp (Pascal) single double extended Exponentenlänge E (Bits) kleinster Exponent e min größter Exponent e max Mantissenlänge kleinste positive normalisierte Zahl größer Null größte darstellbare Zahl kleinste Zahl meps, für die 1 + meps > Tabelle: Reelle Intel Datentypen S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 29 / 36

30 Experimentelle Bestimmung des Maschinenepsilons Bisektionsverfahren 1. a := 0, b := 1, meps := 0 2. x = (a + b)/2 3. Falls x = meps sind wir fertig. 4. meps := x 5. Falls 1 + x > 1, dann b := x, sonst a := x 6. Gehe zu 2. Implementierung in Turbo-Pascal var a,b,u,x,meps: single {oder real, double, extended} begin a:=0.0, b:=1.0, meps:=a; x:=(a+b)/2; While meps<>x do begin meps:=x; u:=1+x; if u>1 then b:=x else a:=x end; end. S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 30 / 36

31 Das bereits bekannte Beispiel zeigt, dass das Maschineepsilon von Delphi zwischen und liegen muss. Berechnen Sie (10 i + 1) 1 für i = 7,..., 17 ( ) 1 = 1, E-7 ( ) 1 = 0, E-8 ( ) 1 = 1, E-9 ( ) 1 = 1, E-10 ( ) 1 = 1, E-11 ( ) 1 = 1, E-12 ( ) 1 = 0, E-13 ( ) 1 = 0, E-14 ( ) 1 = 1, E-15 ( ) 1 = 0 ( ) 1 = 0 S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 31 / 36

32 Warum die Patriot-Abwehrraketen versagten Die Fakten Im August 1990 wurde Kuwait durch den Irak besetzt - der 2. Golfkrieg begann. Zur Abwehr der irakischen Scud-Raketen setzte die USA-Luftwaffe Patriot-Raketen ein, die folgendermaßen funktionierten. Aus den Bahndaten der angreifenden Scud-Rakete berechneten die Computer der Abschussrampen die Bahndaten der Patriots. Dabei genügte es, den Scud-Raketen hinreichend nahe zu kommen, dann wurde die Steuerung durch Wärme- und Bewegungssensoren übernommen. Das System wurde mehrfach erfolgreich getestet - die Militärs wähnten sich gut geschützt. Am 25. Februar 1991 schlug eine Scud-Rakete in den US-Stützpunkt Dhahran in Saudi-Arabien ein. Sie tötete 28 US-Soldaten, mehr als 100 wurden verletzt. S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 32 / 36

33 Warum die Patriot-Abwehrraketen versagten Der Algorithmus (grob) Aus den Bahndaten der angreifenden Scud-Rakete werden in Abständen t = 0.1s die Änderungen an der Flugbahn (Tangentialvektoren) der Patriot-Abwehrrakete berechnet und an die Rakete gesendet. Das Programm zählte die vergangene Zeit ganzzahlig in Zehntelsekunden und multiplizierte diesen Wert mit t. S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 33 / 36

34 Warum die Patriot-Abwehrraketen versagten Das Problem t = 0.1 [10] = [2] ist keine Maschinenzahl. Deshalb wurde als Näherung die Zahl benutzt, die aus deren ersten 24 Binärstellen besteht. δt = [2] Der dabei auftretende Fehler ist - als Maschinenzahl gespeichert [2] Das System lief auch, wenn gar keine Scud-Rakete zu sehen war. Nach 100 Stunden Betriebszeit, also nach Zehntelsekunden, betrug der Fehler in der Zeitrechnung bereits s. In dieser Zeit fliegt eine etwa 6000 km/h 1670 m/s schnelle Scud-Rakete etwa 575 m weit. Im geschilderten Fall war die Patriot-Rakete beim Einschlag noch nicht einmal gestartet. Dieser Fehler war bei den Tests nicht zutage getreten, weil diese immer unmittelbatr nach dem Start des Systems stattfanden. S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 34 / 36

35 Warum die Patriot-Abwehrraketen versagten mögliche Lösungen Um den Faktor, mit dem der Fehler δt multipliziert wird, klein zu halten, wäre ein regelmäßiger Neustart des Steuerprogramms angezeigt. Die tatsächlich ergriffene Sofortlösung war ein Neustart einmal am Tag. Es ist ohnehin unnötig, mit absoluten Zeiten zu rechnen. Die interne Zeitrechnung des Programmes hätte bei jeder Annäherung einer Rakete auf 0 zurückgesetzt werden können. Wahrscheinlich ist für die Berechnung der Bahnkurve die genaue Kenntnis des aktuellen Zeitpunktes gar nicht nötig. Die zur Bestimmung des zurückgelegten Wegs verwendete Zeitdifferenz hätte man zunächst in Anzahl von Zehntelsekunden als ganze Zahl rundungsfehlerfrei bestimmen können, um erst danach durch Multiplikation mit δt in Sekunden umzurechnen. Die absolut beste Lösung aber wäre gewesen, als Zeiteinheit eine Maschinenzahl wie etwa 1/8 s oder 3/32 s zu benutzen. Dann wären Rundungsfehler gar nicht oder höchstens bei großen Faktoren (s. o.) aufgetreten. S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 35 / 36

36 Zum Abschluss Weitere Beispiele Es gibt eine Fülle von prominenten Beispielen, bei denen Computerfehler Ursache von Katastrophen sind. In vielen Fällen handelt es sich aber um schwerwiegendere Fehler im Programm oder Algorithmus. Wo sind diese zu finden Material zu diesen Beispielen, weitere Ausführungen vom mir und auch diese Präsentation finden Sie auf meiner Webseite unter Ich danke Ihnen für Ihre Aufmerksamkeit! S. Ackermann (Leipzig) Computerarithmetik 36 / 36