geschlossene Schachtel mit einem kleinen Loch
|
|
- Margarethe Kästner
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Kameramodellierung
2 Lochkamera Kamerakonstante Kamerazentrum geschlossene Schachtel mit einem kleinen Loch ideale Kamera: Loch hat keine Ausdehnung die Strahlen sind ein Büschel von Geraden Abbildung erfolgt auf der Bildebene Kamerazentrum: der ideale Schnittpunkt Kamerakonstante: Abstand vom Projektionszentrum zur Bildebene Bildebene
3 Lochkamera Eigenschaften der Abbildung geradentreu: Gerade werden auf Gerade abgebildet die Strahlen durch alle Punkte einer Geraden bilden eine Ebene nicht längentreu: Längen(verhältnisse) gehen verloren der Massstab ist umgekehrt proportional zur Entfernung nicht winkeltreu: Winkel zwischen Geraden ändern sich folgt aus den beiden anderen - warum?
4 Lochkamera Fluchtpunkt Fluchtpunkte parallele Gerade werden auf nicht parallele abgebildet die Bilder aller parallelen Geraden schneiden sich in einem Fluchtpunkt der Fluchtpunkt ist das Bild des (gemeinsamen) Fernpunkts paralleler Geraden jeder Raumrichtung entspricht genau ein Fluchtpunkt
5 Lochkamera Fluchtgeraden analog haben alle parallelen Ebenen im Raum jeweils eine gemeinsame Ferngerade die Abbildungsstrahlen durch eine Ferngerade bilden eine dieser Ebenen, und bilden die Ferngerade auf eine Fluchtgerade ab sind eine Gerade und eine Ebene parallel, so liegt der Fluchtpunkt der Geraden auf der Fluchtgeraden der Ebene
6 Perspektivprojektion Wahl des Kamerakoordinatensystems Loch (Brennpunkt) im Ursprung Bildebene normal zur z-achse (z -Achse = Hauptachse) Bildebene vor dem Brennpunkt die physikalisch korrekte Stellung ist äquivalent (Bildebene hinter dem Brennpunkt, Kamerakonstante -f)
7 Perspektivprojektion Abbildung Strahl durch Objektpunkt und Brennpunkt schneidet die Bildebene Bildpunkt aus ähnlichen Dreiecken (X, Y, Z) f X Z,fY Z,f 2D Koordinaten in der Bildebene (Brennpunkt im Ursprung) x = f X Z,fY Z
8 Projektionsmatrix projektive Darstellung in euklidischen Koordinaten ist die Projektion nicht-linear (division durch Z) in homogenen Koordinaten 2 f x = 40 f x = 2 f 4 Normalisierung 2 3 fx 4fY 5 Z f 3 5 I 0 X apple fx/z fy/z X Y fx 7 4Z 5 = 4fY 5 Z
9 Projektionsmatrix Innere Orientierung (Übergang auf Bildkoordinaten) Skalierung von Einheit des Weltkoordinatensystems in Pixel (Einheit des Bildkoordinatensystems) Pixelgrösse in Welteinheiten m x m y Pixel sind üblicherweise quadratisch, mx=my x = 2 4m x m y 3 2 f 5 4 f 3 5 I 0 X = 2 4c x c y 3 5 I 0 X pixel pixel / meter meter meter
10 Projektionsmatrix Innere Orientierung (Übergang auf Bildkoordinaten) Translation (Verschiebung) vom Hauptpunkt zum Ursprung des Bildkoordinatensystems 2 3 c x x H x = 4 c y y H 5 I 0 X Scherung des Bildkoordinatensystems x = yimg 2 3 c x s x H 4 c y y H 5 I 0 X = K I 0 X ycam x H x img x cam (X, Y, Z) c x X Z + sy Z + x H,c y Y Z + y H
11 Projektionsmatrix Äussere Orientierung Annahme bisher: Kamera liegt im Ursprung des 3D Weltkoordinatensystems, Blickrichtung ist die z-achse normalerweise nicht der Fall 3D-Punkt muss zuerst entsprechend verschoben und gedreht werden
12 Projektionsmatrix Äussere Orientierung Anwendung der entsprechenden Transformationen x = K I 0 RTX = K R RX 0 X x = PX x = PX projektives Gleichheitszeichen : das gleiche Objekt, d.h. gleich bis auf einen konstanten Faktor R = apple R 0 0 > T = Anmerkung: die Kameraposition in Weltkoordinaten ist der Nullraum der Projektionsmatrix PX 0 = X Y Z
13 Projektionsmatrix Zusammenfassung Kollinearität (Abbildung mit Lochkamera) x = PX Freiheitsgrade 2 Matrixelemente - unbestimmter Massstab 5 innere Orientierung + 6 äussere Orientierung Perspektivprojektion ist nicht umkehrbar eine Dimension (Tiefe) geht verloren Rekonstruktion des Abbildungsstrahls x = KR X e = X 0 + KRX 0 apple X e (KR) x
14 Projektionsmatrix Zusammenfassung Kollinearitätsgleichungen in euklidischen Koordinaten x = p X + p 2 Y + p 3 Z + p 4 p 3 X + p 32 Y + p 33 Z + p 34 y = p 2X + p 22 Y + p 23 Z + p 24 p 3 X + p 32 Y + p 33 Z + p 34 ohne Scherung und Massstabsunterschied K = 2 3 c 0 x H 40 c y H x = c r (X X 0 )+r 2 (Y Y 0 )+r 3 (Z Z 0 ) r 3 (X X 0 )+r 32 (Y Y 0 )+r 33 (Z Z 0 ) + x H y = c r 2(X X 0 )+r 22 (Y Y 0 )+r 23 (Z Z 0 ) r 3 (X X 0 )+r 32 (Y Y 0 )+r 33 (Z Z 0 ) + y H
15 Innere Orientierung Modellierung reale Kameras Fertigungsgenauigkeit der Kamera ist niedriger als Messgenauigkeit der Hauptpunkt liegt nicht genau in der Bildmitte Objektiv keine ideale Linse (bei Film ist auch die Bildebene nicht ideal) nicht-lineare Projektionsverzerrungen Linsenverzeichnung der Strahlengang weicht von einer idealen Geraden ab die Abweichung hängt von der Position des Bildpunktes ab die Abbildung ist nicht mehr geradentreu Modellierung durch einen Korrekturterm: Perspektivprojektion + nicht-lineare Korrektur
16 Innere Orientierung Bemerkung: lineare Verzeichnungen lineare Anteile sind bereits in der Matrix K enthalten (z.b. unterschiedlicher Bildmassstab in x und y) auch ein linearer Fehler in radialer Richtung kann nicht von einer Veränderung der Brennweite unterschieden werden um die Brennweite zu bestimmen braucht es eine willkürliche Festlegung, bei welchem Radius die radiale Verzeichnung 0 ist Kamerakonstante ist eine virtuelle Rechengrösse Verzeichnung lbild Radius
17 Innere Orientierung Berücksichtigung der Verzeichnung die Abbildung ist nicht mehr perspektivisch, sondern allgemein apple x a y a = apple x y + apple x(x, y, q) y(x, y, q) in homogenen Koordinaten x(x, q) x a = 40 y(x, q) 5 x = H a (x) x 0 0 x a = H a (x)px = P a (x)x
18 Innere Orientierung Nutzung der allgemeinen Abbildungsgleichungen vom 3D Objektraum zum 2D Bildraum: Verzeichnung hängt vom idealen (verzeichnungsfreien) Bildpunkt ab, daher zweistufige Berechnung Schritt : Schritt 2: x = PX x a = H a (x) x vom 2D Bildraum zum 3D Objektraum: der verzeichnungsfreie Bildpunkt ist nicht zugänglich, daher iterative Berechnung x () = H a (x a ) x a x (t+) = H a (x (t) ) x a
19 Innere Orientierung Modellierung der Verzeichnung physikalische Modellierung Ziel: physikalischen Vorgänge zu modellieren Vorteil: versucht, die tatsächlichen Ursachen zu beschreiben Nachteil: Effekte sind komplex und schwer zu modellieren, oft überlappen sich mehrere physikalische Effekte phänomenologische Modellierung Ziel: die Effekte auf das Bild zu kompensieren Vorteil: Wahl des mathematisch günstigsten Modells Nachteil: Ursachen bleiben unbekannt
20 Innere Orientierung physikalisches Verzeichnungsmodell Beispiel: radialsymmetrische Verzeichnung x e = xe x e (q 2 r 2 + q 4 r 4 + q 6 r 6 ) r r = p (x x ) 2 +(y y ) 2 x ist das Symmetriezentrum (nahe der Bildmitte) y x a x x x H x
21 Innere Orientierung phänomenologisches Verzeichnungsmodell Beispiel: 0 orthogonale Polynome nach Ebner (ursprünglich 2, davon 2 für die Affinverzerrung des Bildkoordinatensystems) b: Normierung (maximale Bildkoordinate) qi: untereinander und zu den übrigen Orientierungsparametern (fast) orthogonal
Bildverarbeitung: 3D-Geometrie. D. Schlesinger () Bildverarbeitung: 3D-Geometrie 1 / 13
Bildverarbeitung: 3D-Geometrie D. Schlesinger () Bildverarbeitung: 3D-Geometrie 1 / 13 Lochkamera Modell C Projektionszentrum, Optische Achse, Bildebene, P Hauptpunkt (optische Achse kreuzt die Bildebene),
MehrComputer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg
Nikos Canterakis Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Gliederung 6 Endliche Kameras Die Lochkamera Die Projektive Kamera Die projektive Kamera Spalten von P Zeilen von P Hauptpunkt und Hauptachse
MehrProjektion. Ebene geometrische Projektionen
Projektion - 1 - Ebene geometrische Projektionen Die ebenen geometrischen Projektionen sind dadurch charakterisiert, daß mit Projektionsstrahlen konstanter Richtung, d.h. entlang von Geraden, auf Ebenen
MehrProjektive Geometrie
Projektive Geometrie Einleitung Was ist projektive Geometrie? eine alternative algebraische Repräsentation von geometrischen Objekten (Punkt, Gerade,...) und Transformationen (Translation, Rotation,...)
MehrMessungen im Objektkoordinatensystem aus Kamerabildern
Einbildorientierung Orientierung Ziel der Photogrammetrie Messungen im Objektkoordinatensystem aus Kamerabildern Dazu müssen bekannt sein die Abbildungsgeometrie der Kameras, d.h. die Parameter der inneren
MehrComputer Vision: 3D-Geometrie. D. Schlesinger () Computer Vision: 3D-Geometrie 1 / 17
Computer Vision: 3D-Geometrie D. Schlesinger () Computer Vision: 3D-Geometrie 1 / 17 Lochkamera Modell C Projektionszentrum, Optische Achse, Bildebene, P Hauptpunkt (optische Achse kreuzt die Bildebene),
MehrParallelprojektion. Das Projektionszentrum liegt im Unendlichen. Projektionsebene. Projektionsrichtung. Quader. Bild des Quaders
Parallelprojektion Das Projektionszentrum liegt im Unendlichen. Projektionsebene Projektionsrichtung Quader Bild des Quaders Zentralprojektion Auge und Kamera Sowohl das Sehen mit dem Auge als auch das
MehrSeminar 3-D Grafik Mathematische Grundlagen, Räume, Koordinatensysteme, Projektionen. Hermann Schwarz Marko Pilop
Seminar 3-D Grafik Mathematische Grundlagen, Räume, Koordinatensysteme, Projektionen Hermann Schwarz Marko Pilop 2003-11-20 http://www.informatik.hu-berlin.de/~pilop/3d_basics.pdf {hschwarz pilop}@informatik.hu-berlin.de
MehrProf. J. Zhang zhang@informatik.uni-hamburg.de. Universität Hamburg. AB Technische Aspekte Multimodaler Systeme. 16. Dezember 2003
zhang@informatik.uni-hamburg.de Universität Hamburg AB Technische Aspekte Multimodaler Systeme zhang@informatik.uni-hamburg.de Inhaltsverzeichnis 5. Sichtsysteme in der Robotik....................307 Industrielle
Mehr14 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE. x y
4 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE 4 Projektionen 4. Parallelprojektion (a) Senkrechte Projektion auf eine Koordinatenebene Wir wählen als Projektionsebene die Ebene, d. h. in den Beeichnungen
MehrAufgabe 1: Koordinatensysteme
Übungen zu Struktur aus Bewegung Arbeitsgruppe Aktives Sehen Sommersemester 3 Prof. Dr-Ing. D. Paulus / S. Bouattour / M. Eisemann Beispiellösung für Übungsblatt Aufgabe : Koordinatensysteme Skizzieren
MehrAbbildung von Weltkoordinaten nach Bildkoordinaten
Abbildung von Weltkoordinaten nach Bildkoordinaten Werner Mayer 28. Februar 24 Zusammenfassung Dieses Dokument beschreibt die Abbildungsvorschrift von 3D-Punkten nach Pixelkoordinaten eines Bildes. Dabei
MehrLineare Funktionen. Aufgabe 1. Sei f R 2 R definiert durch. x 1 + 3x Beweisen Sie ausführlich, dass f linear ist.
Lineare Funktionen Aufgabe. Sei f R R definiert durch x f = x x + 3x. Beweisen Sie ausführlich, dass f linear ist. Aufgabe. Die Funktionen (nicht erschrecken sind definiert durch + ( (R n R m (R n R m
MehrComputer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg
Nikos Canterakis Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Gliederung 7 Projektionen und Rückprojektionen Der Punkt Die Gerade Die Quadrik Die Ebene Zusammenhang Kalibriermatrix - Bild des absoluten
MehrComputer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg
Nikos Canterakis Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Gliederung 8 Epipolargeometrie Die Fundamentalmatrix Korrelation Schätzung der Fundamentalmatrix Homographie infolge einer Ebene Sonderfälle
MehrEinleitung 2. 1 Koordinatensysteme 2. 2 Lineare Abbildungen 4. 3 Literaturverzeichnis 7
Sonja Hunscha - Koordinatensysteme 1 Inhalt Einleitung 2 1 Koordinatensysteme 2 1.1 Kartesisches Koordinatensystem 2 1.2 Polarkoordinaten 3 1.3 Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten 3
Mehr3 Koordinatentransformationen
8 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE 3 Koordinatentransformationen Für die Darstellung von dreidimensionalen Objekten wird grundsätlich eine Reihe von Transformationen ausgeführt, die von den
MehrTransformationen im 3D-Raum
Thomas Jung Repräsentation von 3D-Oberflächen Aufbau von Szenen Transformationen im 3D-Raum Projektionstranformationen Anwendung in OpenGL Geometrietransformationen bilden die Basis für die Computergrafik
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik
Technische Universität München Zentrum Mathematik Michael Strobel Geometriekalküle WS 217/18 http://www-m1.ma.tum.de/geometriekalkuelews1718 Lösungen zu Aufgabenblatt 7 (29. Februar 217) Aufgabe 1. Abstand
Mehr-dimensionale Darstellungen
1.9 2 1 2 -dimensionale Darstellungen Auf einer Fläche F (2 dimensional) wird eine Operation ausgeführt Zum Beispiel wir eine Verschiebung um den Vektor t durchgeführt. Gemeint ist der Körper, der überstrichen
MehrMathematische Grundlagen
Mathematische Grundlagen Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 1 Affine Räume um Zeichenebene bzw. Raum zu beschreiben, muß vorher ein Koordinatensystem festgelegt werden durch geometrische Fragestellungen
MehrHans Delfs. Übungen zu Mathematik III für Medieninformatik
Hans Delfs Übungen zu Mathematik III für Medieninformatik 1 RÄUMLICHE DARSTELLUNGEN VON OBJEKTEN 1 1 Räumliche Darstellungen von Objekten Der Einheitswürfel ist der achsenparallele Würfel in A 3, der von
MehrLineare Abbildungen (Teschl/Teschl 10.3, 11.2)
Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl.3,.2 Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die mit den Vektoroperationen Addition und Multiplikation mit Skalaren verträglich ist. Formal:
MehrComputer Vision. Klaus Diepold Lehrstuhl für Datenverarbeitung. 23. Mai Bild 1: Abbildung mit dünnen Linsen.
Computer Vision Klaus Diepold Lehrstuhl für Datenverarbeitung 3. Mai 8 Bilderzeugung. Abbildung durch Linsen Durch Betrachtung von ähnlichen Dreiecken in Bild ergibt sich die Beziehung f = Z + z, die die
MehrInhaltsverzeichnis. 1 Hardwaregrundlagen
Inhaltsverzeichnis 1 Hardwaregrundlagen 2.1 Koordinatentransformationen 2.2 Transformationen in der Ebene 2.3 Transformationen im Raum 3 Repräsentation und Modellierung von Objekten 4 Rasterung 5 Visibilität
MehrModell einer Kamera ohne Verzeichnung
7.3.1 Sichtsysteme - Kamera-Kalibrierung - Lochkamera-Modell 64-424 Intelligente Roboter Modell einer Kamera ohne Verzeichnung Lochkameramodell mit und ohne radiale Linseverzeichnung J. Zhang 460 7.3.1
MehrEinführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten
Einführung Zusammenhänge zwischen Größen wie Temperatur, Geschwindigkeit, Lautstärke, Fahrstrecke, Preis, Einkommen, Steuer etc. werden mit beschrieben. Eine Zuordnung f, die jedem x A genau ein y B zuweist,
Mehr3. Analyse der Kamerabewegung Video - Inhaltsanalyse
3. Analyse der Kamerabewegung Video - Inhaltsanalyse Stephan Kopf Bewegungen in Videos Objektbewegungen (object motion) Kameraoperationen bzw. Kamerabewegungen (camera motion) Semantische Informationen
Mehr3.1 Motivation. - Mit (mehreren) Koordinatentransformationen wird das Objektsystem in das Gerätesystem transformiert.
3.1 Motivation Wichtige Grundlage der Bildwiedergabe auf dem Bildschirm oder anderen Ausgabegeräten sind Koordinatensysteme und Koordinatentransformationen im IR 2 und IR 3. Im allgemeinen unterscheidet
MehrMaTHEMATISCHE GRUNDLAGEN BUGA-AR TELESCOPE. Marko HeRBERTZ
MaTHEMATISCHE GRUNDLAGEN BUGA-AR TELESCOPE Marko HeRBERTZ Wiederholung: Objekt-, Welt- und Kamerakoordinaten Kugelkoordinaten in kartesische Mögliche Schwierigkeiten Kameralinse Lage der Festung Lagerichtige
MehrAdvanced Computer Graphics Erweiterung zur 6. Übung
Advanced Computer Graphics Erweiterung zur 6. Übung M.Sc. Tristan Nauber Advanced Computer Graphics: Übung 6 Model-View-Projection Transformationen Model-View-Projection Gegeben Gesucht y Modell Kamera
MehrComputergrafik Universität Osnabrück, Henning Wenke,
Computergrafik Universität Osnabrück, Henning Wenke, 2012-05-30 Korrektur: Kugelkoordinaten II r und θ konstant: Rand einer Kreisscheibe parallel zur xy Ebene z θ fest y θ konstant, r R : Kegel, ausgehend
Mehr1 Abbildungen in der Ebene
1 Inhalt 1 Abbildungen in der Ebene... 2 1.1 Verschiebung... 3 1.2 Spiegelung... 3 1.2.1 Achsenspiegelung... 3 1.3 Drehung... 4 1.3.1 Die Drehung... 4 1.4 Zentrische Streckung... 5 2 Funktionen... 7 2.1
Mehr1 Analytische Geometrie
Analytische Geometrie. Grundlagen, Begriffe, Schreibweisen Achsenkreuz Die Achsen heißen in dieser Darstellung x und -Achse. Punkte Punkte werden weiterhin mit großen, lateinischen Buchstaben bezeichnet
MehrWarum konnten wir Inversionen so erfolgreich beim Lösen von schulgeometrischen Aufgaben anwenden?
Warum konnten wir Inversionen so erfolgreich beim Lösen von schulgeometrischen Aufgaben anwenden? Weil bei einigen Aufgaben die Problemstellung einfacher wird, wenn wir Inversionen anwenden, die Aufgabenstellung
Mehr2.2 Projektionen und Kameramodelle
Graphikprog. GRUNDLEGENDE VERFAHREN UND TECHNIKEN. Projektionen und Kameramodelle Nachdem alle Objekte einer Szenerie mittels der besprochenen Transformationen im D-Weltkoordinatensystem platziert sind,
Mehr3D-Model Reconstruction using Vanishing Points
3D-Model Reconstruction using Vanishing Points Seminar: Ausgewä hlte Themen zu "Bildverstehen und Mustererkennung" Dozenten: Prof. Dr. Xiaoyi Jiang, Dr. Da-Chuan Cheng, Steffen Wachenfeld, Kai Rothaus
MehrKalibrierung. HJ Przybilla
Kalibrierung Die Kalibrierung von Aufnahmesystemen dient der Bestimmung des geometrischen Kameramodells, beschrieben durch die Parameter der inneren Orientierung. Kamerakonstante Lage des Bildhauptpunktes
MehrVon der brennenden Kerze über die Zentralkollineation zur Gruppe der projektiven Abbildungen
Von der brennenden Kerze über die Zentralkollineation zur Gruppe der projektiven Abbildungen Sebastian Kitz, Wuppertal I Zentralprojektion Eine brennende Kerze kann in guter Näherung als punktförmige Lichtquelle
MehrComputer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg
Nikos Canterakis Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Gliederung 5 Punkte Ebenen im Raum Dualismus im Raum Die unendlich ferne Ebene Parametrische Darstellung (Span) Die Gerade im Raum -
MehrInstitut für Elektrische Meßtechnik und Meßsignalverarbeitung. Übersicht
Übersicht Allgemeine Übersicht, Licht, Wellen- vs. Teilchenmodell, thermische Strahler, strahlungsoptische (radiometrische) vs. lichttechnische (fotometrische) Größen Beschreibung radiometrische, fotometrische
MehrNumerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München SS 2011 Institut für Informatik Prof. Dr. Thomas Huckle Dipl.-Inf. Christoph Riesinger Dr. Slobodan Ilic Numerisches Programmieren, Übungen 4. Übungsblatt: Gauß-Elimination,
MehrPhysik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
04_GeomOptikAbbildung1_BA.doc - 1/5 Optische Abbildungen Abbildung im mathematischen Sinn: Von einem Gegenstandspunkt ausgehende Strahlen werden in einem Bildpunkt vereinigt. Ideale optische Abbildungen
Mehr= ( n x j x j ) 1 / 2
15 Skalarprodukte 77 15 Skalarprodukte 15.1 Einführung. a) Ab jetzt sei stets K = R oder K = C, da Wurzeln eine wichtige Rolle spielen werden. b) Nach dem Satz des Pythagoras ist die Länge eines Vektors
Mehr2 Die Kamera. 2.1 Ideale Lochkamera Lineares Kameramodell
2 Die Kamera 2.1 Ideale Lochkamera 2.1.1 Lineares Kameramodell Gegeben sei die spezielle Kameraanordnung in Bild 2.1.1. Das Loch der Lochkamera, d.h. das Projektionszentrum befindet sich am Ort C im Zentrum
MehrComputergrafik 1 Transformationen
Computergrafik 1 Transformationen Kai Köchy Sommersemester 2010 Beuth Hochschule für Technik Berlin Überblick Repräsentationen, Primitiven Transformationen in 2D Skalierung Translation Rotation Scherung
Mehr'Visual Hull' mit Hilfe von Spiegeln
'Visual Hull' mit Hilfe von Spiegeln hwww.dip.ee.uct.ac.za/~kforbes/doublemirror/doublemirror.html Dreidimensionales Computersehen Dr.-Ing. Simon Winkelbach www.rob.cs.tu-bs.de/teaching/courses/cs 1 Zur
MehrKapitel 2: Mathematische Grundlagen
[ Computeranimation ] Kapitel 2: Mathematische Grundlagen Prof. Dr. Stefan M. Grünvogel stefan.gruenvogel@fh-koeln.de Institut für Medien- und Phototechnik Fachhochschule Köln 2. Mathematische Grundlagen
Mehra 1 a = 1 f HAUPTEBENEN BEI OBJEKTIVEN (Versuch D) f = f 1 f 2 f 1 H 2 H 1 H =e f H = e f f 2 Grundlagen:
HAUPTEBENEN BEI OBJEKTIVEN (Versuch D) Grundlagen: Stellt man aus einzelnen Linsen ein mehrstufiges System zusammen, so kann man seine Gesamtwirkung wieder durch seine Brennweite und die Lage der Hauptpunkte
MehrInhalte. Photogram. Aufnahmesysteme. HS BO Lab. für Photogrammetrie: Metrische Kameras und Innere Orientierung 1
Inhalte Photogram. Aufnahmesysteme Metrische Kameras (Definition der Inneren Orientierung) Analoge Messkameras Fotografische Aspekte Digitalisierung analoger Bilder Digitale Messkameras HS BO Lab. für
MehrTransformation - 3. Für "übliche" Anwendungen in der Geometrie ist es sinnvoll, bei Transformationen eine gleiche
Transformation - 3 Wiederholung und spezielle Angaben im Zusammenhang mit Kreis-Berechnungen 1. Problemstellung Im Zusammenhang mit der Berechnung von Schnittflächen kann es sinnvoll sein, die Berechnung
MehrInhalte. Mathematische Grundlagen. Koordinatensysteme Ebene und räumliche Koordinatentransformationen Zentralperspektive
Inhalte Mathematische Grundlagen Koordinatensysteme Ebene und räumliche Koordinatentransformationen Zentralperspektive HS BO Lab. für Photogrammetrie: Koordinatensysteme Koordinatensysteme Ein kartesisches
MehrTeilskript zur LV "Optik 1" Paraxiale Abbildungseigenschaften sphärischer Linsen Seite 1
Teilskript zur LV "Optik " sphärischer Linsen Seite Objekt (optisch) Gesamtheit von Objektpunkten, von denen jeweils ein Bündel von Lichtstrahlen ausgeht Wahrnehmen eines Objektes Ermittlung der Ausgangspunkte
MehrLineare Transformationen und Determinanten. 10-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Lineare Transformationen und Determinanten 10-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Lineare Transformation cc Definition: V und W sind zwei Vektorräume. Eine Funktion T nennt man eine lineare Transformation von V
MehrC A R L V O N O S S I E T Z K Y. Transformationen. Johannes Diemke. Übung im Modul OpenGL mit Java Wintersemester 2010/2011
C A R L V O N O S S I E T Z K Y Transformationen Johannes Diemke Übung im Modul OpenGL mit Java Wintersemester 2010/2011 Motivation Transformationen Sind Grundlage vieler Verfahren der Computergrafik Model-
MehrOrtskurvenerkennung. Christian Liedl, WS06/07 TUM
Ortskurvenerkennung Christian Liedl, WS06/07 TUM Überblick Was sind Ortskurven Beispiele spezieller Ortskurven Kurvenerkennung Voraussetzung Erster Ansatz Modellierung Beispiel: Identifikation Ortskurve
MehrAstro Stammtisch Peine
Astro Stammtisch Peine ANDREAS SÖHN OPTIK FÜR DIE ASTRONOMIE ANDREAS SÖHN: OPTIK FÜR DIE ASTRONOMIE < 1 Grundsätzliches Was ist Optik? Die Optik beschäftigt sich mit den Eigenschaften des (sichtbaren)
MehrKamerakalibrierung. Messen in Videobildern, Leobots-Projekt Version 1.0. Matthias Jauernig, 03INB, HTWK Leipzig
Kamerakalibrierung Messen in Videobildern, Leobots-Projekt 2006 Version 1.0 Matthias Jauernig, 03INB, HTWK Leipzig Copyright (c) 2006, Matthias Jauernig Kamerakalibrierung, Matthias Jauernig 3 Begriffe
MehrAnwendung v. symmetrischen Matrizen: Hauptachsentransformation
Anwendung v. symmetrischen Matrizen: Hauptachsentransformation Einleitende Bemerkungen: Gl. für Kreis: Gl. für Elllipse: (gestauchter Kreis) Gl. für Kugel: Gl. für Elllipsoid: (gestauchter Kugel) Diese
MehrVersuch C: Auflösungsvermögen Einleitung
Versuch C: svermögen Einleitung Das AV wird üblicherweise in Linienpaaren pro mm (Lp/mm) angegeben und ist diejenige Anzahl von Linienpaaren, bei der ein normalsichtiges Auge keinen Kontrastunterschied
MehrMathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 2. 1 Translationen 2. 2 Skalierungen 4. 3 Die Wurzelfunktion 6
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 2 Inhaltsverzeichnis 1 Translationen 2 2 Skalierungen 4 3 Die
MehrComputergrafik Sommersemester 2004 Übungen
Sommersemester 4 Freiwillige Zusatzübung Aufgabe 6: Transformationen im zweidimensionalen aum Berechnen Sie die Transformationsmatri, die eine Szene zuerst um 3 Grad um den Ursprung dreht und anschließend
MehrMathematik Name: Klassenarbeit Nr. 2 Klasse 9a Punkte: /30 Note: Schnitt:
Aufgabe 1: [4P] Erkläre mit zwei Skizzen, vier Formeln und ein paar Worten die jeweils zwei Varianten der beiden Strahlensätze. Lösung 1: Es gibt viele Arten, die beiden Strahlensätze zu erklären, etwa:
MehrGeometriekalküle. Rechnen mit projektiver Geometrie. Michael Schmid. 3. März Berufliche Oberschule Rosenheim
Geometriekalküle Rechnen mit projektiver Geometrie Michael Schmid Berufliche Oberschule Rosenheim 3. März 2016 Michael Schmid (BOS Rosenheim) Geometriekalküle 3. März 2016 1 / 34 1 Axiomatische Grundlagen
MehrLineare Abbildungen. De nition Seien V, W Vektorräume. Eine Abbildung f : V! W heißt linear, wenn gilt
Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen De nition Seien V, W Vektorräume. Eine Abbildung f : V! W heißt linear, wenn gilt (L. ) f ist homogen; d.h. f( ~v) = f(~v) für alle 2 R, ~v 2 V, (L. ) f ist additiv;
MehrDefinition, Abbildungsmatrix, Spiegelung, Projektion
Bau und Gestaltung, Mathematik 2, T. Borer Aufgaben 5-2/ Aufgaben 5 Lineare Abbildungen Definition, Abbildungsmatrix, Spiegelung, Projektion Lernziele - beurteilen können, ob eine gegebene Abbildung linear
MehrStructure from motion mit einem starrgekoppelten Kamerasystem
Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Institut für Informatik Diplomarbeit zum Thema Structure from motion mit einem starrgekoppelten Kamerasystem vorgelegt von Marcus Böttcher Kiel, Mai 2007 Christian-Albrechts-Universität
MehrDie Abbildung (x 1 ;x 2 ) 7! (x 1 ;x 2 ; 1) ist eine Einbettung von R 2 in P 2 (als Mengen). Punkte mit z 6= 0 sind endliche" Punkte mit inhomogenen K
Kapitel IV Projektive Geometrie In diesem Kapitel wird eine kurze Einführung in die projektive Geometrie gegeben. Es sollen unendlich ferne Punkte mit Hilfe von homogene Koordinaten eingeführt werden und
Mehr8 Kreisgeometrie in der Zeichenebene
8 Kreisgeometrie in der Zeichenebene 8.1 Inversion am Kreis 8.1.1 Definition Ein Kreis k ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt M, dem Mittelpunkt des Kreises, festen Abstand r haben. Dabei
MehrLineare Transformationen, Teil 1 Lösungen zu den Aufgaben. 1 E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Lineare Transformationen, Teil 1 Lösungen zu den Aufgaben 1 E1 Lineare Transformationen: cc Aufgaben 1, 2 Aufgabe 1: Wenden Sie die Transformation T auf den Punkt P und auf den Vektor OP an. Beschreiben
MehrLegt man die vom Betrachter aus gesehen vor den, wird die spätere Konstruktion kleiner als die Risse. Legt man die hinter das Objekt, wird die perspek
Gegeben ist ein und ein. Der wird auf eine gezeichnet, der unterhalb von dieser in einiger Entfernung und mittig. Parallel zur wird der eingezeichnet. Dieser befindet sich in Augenhöhe. Üblicherweise wird
MehrProf. Dr. B. Lang Prof. Dr. J. Biermann. Kameragestützte Volumenbestimmung von Hühnereiern im Stall. Fakultät Ingenieurwissenschaften und Informatik
Prof. Dr. B. Lang Prof. Dr. J. Biermann Kameragestützte Volumenbestimmung von Hühnereiern im Stall 1 Aufgabenstellung Big Dutchman EggCam Ei-Aufnahme (verzerrt) Arbeitsschritte Aufnahme und Detektion von
MehrProjektive Geometrie in der Bildanalyse Dipl. Ing. (FH) Gerrit Bo lk
Projektive Geometrie in der Bildanalyse Dipl. Ing. (FH) Gerrit Bo lk Übersicht 1. Notation / Das Kameramodell 2. Homogene Punkte und Transformationen 3. Bestimmen der Modellparameter mit 3D Punkten 4.
MehrOrientierung. HJ Przybilla
Orientierung Der Begriff der Orientierung wird in der Photogrammetrie vielfach genutzt. Er beschreibt dabei die geometrischen Zusammenhänge im und um das Messbild. Innere Orientierung Äußere Orientierung
Mehrf. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y = 4 6x i. y = 4 + 5,5x j. y = 0,5x + 3,5
11. Lineare Funktionen Übungsaufgaben: 11.1 Zeichne jeweils den Graphen der zugehörigen Geraden a. y = 0,5x 0,25 b. y = 0,1x + 2 c. y = 2x 2 d. 2x + 4y 5 = 0 e. y = x f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y =
Mehr3 Abbildungen in der Ebene
18 3 Abbildungen in der Ebene Wir behandeln in diesem Kapitel Abbildungen von Punkten der Ebene auf Punkte. Ziel dieser Betrachtung ist, Funktionsgraphen mit diesen Abbildungen (punktweise) abzubilden
MehrZeichnen Sie die Geraden mit den Gleichungen: a) y = 4 x + 1; b) 2y + 3x = 7; c) f(x) = 1 x 3 ; d) x -2 x + 3
Zusättzlliiche Übungen zu lliinearren Funkttiionen Aufgabe Zeichnen Sie die Geraden mit den Gleichungen: a) y = x + ; b) y + x = ; c) f(x) = x ; d) x - x + e) + =. Was fällt bei der Gerade e) auf? Aufgabe
MehrPlanare Projektionen und Betrachtungstransformation. Quelle: Angel (2000)
Planare Projektionen und Betrachtungstransformation Quelle: Angel (2) Gliederung Einführung Parallelprojektionen Perspektivische Projektionen Kameramodell und Betrachtungstransformationen Mathematische
Mehr6 Metrische Klassifikation der Quadriken
6 Metrische Klassifikation der Quadriken A Wiederholung von Kap V, 5 Sei A = (a ij ) eine symmetrische n n Matrix. n x 1 q(x) := x t Ax = a ij x i x j, x =. i,j=1 ist dann ein quadratisches Polynom in
MehrStereo Vision Anwendungen 2 / Sommersemester 2010 Fakultät Technik und Informatik Department Informatik Gregory Föll
Anwendungen 2 / Sommersemester 2010 Fakultät Technik und Informatik Department Informatik Übersicht Rückblick 3D-Bildaufnahme Kamerakalibrierung Triangulation durch Active Vision Korrespondenzproblem /
MehrLösbarkeit linearer Gleichungssysteme
Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Lineares Gleichungssystem: Ax b, A R m n, x R n, b R m L R m R n Lx Ax Bemerkung b 0 R m Das Gleichungssystem heißt homogen a A0 0 Das LGS ist stets lösbar b Wenn
MehrProseminar über multimediale Lineare Algebra und Analytische Geometrie Wintersemester 2008/2009
Proseminar über multimediale Lineare Algebra und Analytische Geometrie Wintersemester 008/009 Aufgabe 6: Projektion einer Kreisbahn im R in die (x,y)-ebene Seminarleitung: Dr. M. Kaplan Ausarbeitung: Günther
MehrKreis - Übungen. 1) Die y-achse ist am Punkt A eine Tangente an den Kreis. Mit dem noch nicht bekannten "Zwischenwert"
Kreis - Übungen Wenn die "Kreisgleichung" gesucht ist, sind der Mittelpunkt und der Radius anzugeben. Es ist möglich, dass mehrere Kreise eine Aufgabenstellung erfüllen. 1) Ein Kreis berührt die y-achse
Mehr7. Wie lautet die Inverse der Verkettung zweier linearer Abbildungen? 9. Wie kann die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung aufgestellt werden?
Kapitel Lineare Abbildungen Verständnisfragen Sachfragen Was ist eine lineare Abbildung? Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen Unterräumen, linearer Unabhängigkeit und linearen Abbildungen! 3 Was ist
MehrSeite 1. sin 2 x dx. b) Berechnen Sie das Integral. e (t s)2 ds. (Nur Leibniz-Formel) c) Differenzieren Sie die Funktion f(t) = t. d dx ln(x + x3 ) dx
Seite Aufgabe : a Berechnen Sie das Integral b Berechnen Sie das Integral +x x+x dx. π sin x dx. c Differenzieren Sie die Funktion ft = t e t s ds. Nur Leibniz-Formel a + x x + x dx = d dx lnx + x dx =
MehrEinführung in das mathematische Arbeiten
Name Matrikelnummer Studienkennzahl Prüfung zu Einführung in das mathematische Arbeiten Wintersemester 8/9, LVN am 9. Juni 9, -stündig Beispiel Ein Polynom fx = x 4 + ax + bx + cx + d, a, b, c, d R, hat
MehrEntwicklung einer robusten Methode zur Berechnung von Stereokorrespondenzen
Entwicklung einer robusten Methode zur Berechnung von Stereokorrespondenzen Seminar - Wintersemester 2010/2011 Fakultät Technik und Informatik Department Informatik Gregory Föll Übersicht Rückblick Stereo
MehrKapitel 4: Schattenberechnung
Kapitel 4: Schattenberechnung 1 Überblick: Schattenberechnung Motivation Schattenvolumen Shadow Maps Projektive Schatten 2 Motivation Wesentlich für die Wahrnehmung einer 3D-Szene Eigentlich ein globaler
Mehr8 Die Riemannsche Zahlenkugel
8 Die Riemannsche Zahlenkugel Wir untersuchen zunächst Geraden- und Kreisgleichungen in der komplexen Ebene C = R 2. Geradengleichungen Die Parameterdarstellung einer Geraden durch zwei Punkte z 1 z 2
MehrLeseprobe. Michael Knorrenschild. Vorkurs Mathematik. Ein Übungsbuch für Fachhochschulen. ISBN (Buch):
Leseprobe Michael Knorrenschild Vorkurs Mathematik Ein Übungsbuch für Fachhochschulen ISBN (Buch): 978-3-446-43798-2 ISBN (E-Book): 978-3-446-43628-2 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser-fachbuch.de/978-3-446-43798-2
MehrProjektive Geometrie 2
Technische Universität München Fakultät für Mathematik Klausur Projektive Geometrie 2 Modul M3204 7. ugust 2017, 11 12 Uhr Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert Musterlösung ufgabe 1. Diagramme mit Kegelschnitten
MehrKamerakalibrierung. Kamerakalibrierung. Effekt von Linsenverzeichnungen. Effekt von Linsenverzeichnungen
Kamerakalibrierung Kamerakalibrierung Kamerakalibrierung ist unerläßlich, um genaue Messungen von Objekten durchzuühren erlaubt die Korrektur von Verzeichnungen, die von den Objektiven verursacht werden
Mehr3.1.1 Anes Koordinatensystem im Raum
3 Einführung von Koordinaten 3. Ane Koordinaten 3.. Anes Koordinatensystem im Raum Tafelskizze Im dreidimensionalen euklidischen Anschauungsraum E 3 wählen wir einen Punkt O, den Koordinatenursprung und
MehrAbiturprüfung Mathematik 2012 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen
Abiturprüfung Mathematik 202 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de Pflichtteil 202 2 Aufgabe : Bilden Sie die erste Ableitung
MehrTechnische Universität München Fakultät für Mathematik. Klausur. Geometriekalküle. Modul MA März 2018, 16:00 17:00 Uhr
Technische Universität München Fakultät für Mathematik Klausur Geometriekalküle Modul MA2203 1. März 2018, 16:00 17:00 Uhr Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert Musterlösung Aufgabe 1. Kegelschnitt mit Parameter
MehrTexturen. Texturen. 1. Vorbemerkungen. 2. 2D-Texturen
1. Vorbemerkungen 2. 2D- 2.1 Texturabbildungen 2.2 Arten von 2.2.1 Diskrete 2.2.2 Prozedurale 2.3 Rasterung 2.3.1 Texturieren von Dreiecken 2.3.2 Texturieren von parametrisierten Flächen 2.3.3 Texturieren
Mehr