3 Digitale Verarbeitung von Signalen

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1 U: Latex-docs/Angewandte Physik/2004/VorlesungWS04-05, 30. November Digitale Verarbeitung von Signalen Sowohl in der Nachrichtentechnik als auch in der Messtechnik werden zunehmend analoge Verfahren durch digitale Verfahren ersetzt. Der Hauptgrund dafür ist die Unempfindlichkeit digitaler Signale gegen Störungen. Dies gilt sowohl bezüglich der Wirkung von Störsignalen als auch bezüglich des Einflusses von Effekten wie einer thermischen Drift oder der Alterung von Bauelementen. Während in der Analogtechnik die Genauigkeit auf physikalische Grenzen stößt, kann in der Digitaltechnik im Prinzip durch Erweiterung der Stellenzahl mit beliebiger Genauigkeit gearbeitet werden. Ein zweiter wichtiger Grund liegt bei der Speicherung: digitale Information lässt sich technisch wesentlich einfacher und kostengünstiger realisieren und dabei sind sogar niedrige Zugriffszeiten möglich. Ein dritter Grund ist der Wunsch, die Signale ohnehin letztlich in digitale Information umzuwandeln, sei es, um einen Zahlenwert anzugeben, um die Information mit einem Computer weiterzuverarbeiten oder nur, um zum Beispiel den Namen eines Rundfunksenders auf einem Display anzuzeigen. Der vierte Grund ist, dass ein Processing der Signale mit digitalen Schaltungen (DSP digital signal processing ) sehr viel effizienter und preiswerter durchzuführen ist und der fünfte, dass in der Digitaltechnik intelligentere Modulationsverfahren (auch kryptographische Verfahren) möglich sind als mit analogen Verfahren (vgl. Kap. 5). Techniken wie diejenige des Handy wären mit Analogtechnik nicht möglich (vgl. Kap. 5). Vorhandene Übertragungskapazitäten können mit Digitaltechnik erheblich besser genutzt werden (vgl. die gerade anlaufende Umstellung beim terrestrischen Fernsehen von analog auf digital). Schließlich bestehen komplizierte Digitalschaltungen aus wenigen sich immer wiederholenden Grundschaltungen, die bei der Herstellung mit extrem hohem Integrationsgrad kostengünstig hergestellt werden können. Ein Übergang von analogen zu digitalen Verfahren erfordert, analoge Signale in digitale Signale, d. h. in Ziffernfolgen umzusetzen und in vielen Fällen, aus einer Ziffernfolge auch wieder ein analoges Signal zu machen. Damit werden wir uns in Abschn. 3.2 befassen. Die dafür unverzichtbaren Minimalkenntnisse werden in Abschn. 3.1 bereitgestellt. Bei dem Übergang von analogen zu digitalen Signalen ist eine fundamentale Frage, wie viele Messwerte pro Zeiteinheit notwendig sind, um keine Information zu verlieren. Sie wird in Abschn. 3.3 unter starkem Rückgriff auf Abschn. 2.2 vollständig beantwortet. 3.1 Elementare Tatsachen aus der Digitaltechnik In der Digitaltechnik werden alle Zahlen und Symbole i. a. als Folge von Nullen und Einsen dargestellt (Binärzahlen). Diese werden bspw. dadurch repräsentiert, dass eine Spannung unter einem Maximalwert bzw. über einem Minimalwert liegt. Je weiter diese Schwellwerte auseinander liegen, desto größer ist die Unempfindlichkeit gegen Störungen Gatter Je zwei einstellige Binärzahlen können miteinander verknüpft werden durch sogenannte Gatter (siehe Abb. 1). Man kann für die Schaltungen eine Tabelle der Ausgangsspannungen für alle Kombinationen von Eingangsspannungen anlegen. Dabei steht 0 für U < U L und 1 für U > U H. Es ist U L 0,U H U B. In der Spalte ȳ ist das Ergebnis eingetragen, das man erhält, wenn man an den ursprünglichen Eingang noch einen Inverter

2 U: Latex-docs/Angewandte Physik/2004/VorlesungWS04-05, 30. November Abbildung 1: UND- bzw. AND Gatter Abbildung 2: ODER- bzw. OR Gatter Abbildung 3: DTL NAND anschließt (s. Abb. 3). Tabelle 1 x 1 x 2 y ȳ x 1 x y ȳ Die linke Tabelle (zu Abb. 1) ist identisch mit der Wahrheitstafel für das logische UND (Ausgang y) y = x 1 x 2 bzw. y = x 1 x 2, die rechte (zu Abb. 2) für das logische ODER y = x 1 x 2 bzw. y = x 1 + x 2. Die zugehörigen Symbole sind in Abb. 4 dargestellt. Hinter einem Inverter tritt die Negation von y auf: bzw. ȳ = x 1 x 2 = x 1 x e ȳ = x 1 x 2 = x 1 x 2.

3 U: Latex-docs/Angewandte Physik/2004/VorlesungWS04-05, 30. November Abbildung 4: Schaltsymbole nach DIN für UND-, ODER- und NICHT Schaltung (oberer Block) und alte bzw. internationale Schaltsymbole (mittlerer Block). Die Symbole für UND und ODER können mit dem Symbol für die Negation zu den Symbolen für NAND und NOR zusammengefasst werden (unterer Block). Ein Baustein nach Abb. 3 realisiert daher das verneinte logische UND ( NAND ) und die Schaltung nach Abb. 2 mit nachgeschaltetem Inverter das verneinte logische ODER ( NOR ). Die Schaltungen werden als NAND Gatter bzw. NOR Gatter bezeichnet. Tabelle 2 x 1 x 2 x 3 y Verknüpfungen zwischen zweiwertigen logischen Variablen werden in der Booleschen Algebra behandelt. Sie ist daher das adäquate mathematische Instrument zur Analyse der Verknüpfung von Binärzahlen. In der Booleschen Algebra wird gezeigt, dass sich beliebig komplizierte logische Funktionen ausschließlich mit Hilfe von NANDs oder NORs realisieren lassen. Dies sei exemplarisch an Hand der Wahrheitstafel der Tabelle 2 dargestellt. Sie beschreibt offenbar die logische Funktion y = (x 1 x 2 ) x 3

4 U: Latex-docs/Angewandte Physik/2004/VorlesungWS04-05, 30. November bzw. y = (x 1 x 3 ) (x 2 x 3 ). Eine elektronische Realisierung nur mit Hilfe von AND- oder nur mit Hilfe von OR Schaltungen ist nicht möglich. Nimmt man jedoch die Negation hinzu, so folgert man aus der ersten Form der Funktion ȳ = x 1 x 2 x 3 und durch abermalige Negation y = x 1 x 2 x 3 ; der Zusammenhang kann also mit NORs realisiert werden (s. Abb. 4). Aus der zweiten Form folgert man und daraus ȳ = x 1 x 3 x 2 x 3 y = x 1 x 3 x 2 x 3 ; diese Darstellung führt auf die Realisierung der Abb. 6. Eine Schaltung wie in Abb. 3 realisiert ein NAND Gatter als Dioden Transistor Logik. Die Eigenschaften lassen sich verbessern, wenn man anstelle der beiden Dioden an den x 1 x 2 x 3 = > 1 _ > 1 x 1 V x 3 x 3 > _ 1 y Abbildung 5: Realisierung der logischen Funktionen von Tab. 2 mittels NORs. x 1 x 3 x 2 & & x 1 V V x 3 x 2 x 3 & y Abbildung 6: Realisierung der logischen Funktion von Tab. 2 mittels NANDs. Eingängen die Basis Emitter Dioden in Transistoren nutzt (s. Abb. 7); diese werden zweckmäßigerweise in einem Transistor mit mehreren Emittern zusammengefasst. Es liegt dann eine Transistor Transistor Logik (TTL) vor. Sie hat sehr große Verbreitung gefunden, wird jedoch zunehmend durch andere Techniken ersetzt (z. B. CMOS). Die Art der benutzten Techniken hängt von den Anforderungen an Geschwindigkeit, Preis, Energieverbrauch und ähnlichem ab.

5 U: Latex-docs/Angewandte Physik/2004/VorlesungWS04-05, 30. November Abbildung 7: TTL Logik Flipflops (Bistabile Multivibratoren) Ein Flipflop ist ein bistabiles Speicherelement zum Auffangen einer kurzzeitig auftretenden Information. Die Grundschaltung entsteht aus zwei NANDs, indem der Ausgang des einen wechselseitig mit einem Eingang des anderen verbunden wird (s. Abb. 8). Man über- Abbildung 8: Flip Flop zeugt sich leicht von der Richtigkeit der Funktionstabelle. Die eigentliche Speicherfunktion Tabelle 3 S R Q n nicht zulässig Q n besteht darin, dass der Wert von Q n erhalten bleibt, solange S = R = 0. S = 1 ( SET ) setzt den Ausgang Q auf 1, R ( RESET ) auf 0. (Die Angaben S und R in Abb.8 geben an, dass an den Eingängen das negierte Signal anzulegen ist.) Das Flipflop speichert 1 bit ( binary digit ). Wenn mehrere Flipflops parallel betrieben werden sollen, so ist es im allgemeinen erforderlich, die Übernahme von Information durch ein Taktsignal ( clock pulse ) zu synchronisieren. Das kann durch die Schaltung in Abb. 9 geleistet werden, bei der das Taktsignal auf den Eingang C gegeben wird. Viele Anwendungen verlangen, dass der Ausgangszustand der Schaltung sich erst dann

6 U: Latex-docs/Angewandte Physik/2004/VorlesungWS04-05, 30. November Abbildung 9: Getaktetes FF ändert, wenn der Eingang wieder verriegelt ist. Dazu sind zwei Flipflops erforderlich, von denen der erste der Master, der zweite der Slave ist. Die Information wird am Beginn des Taktimpulses in den ersten Flipflop als Zwischenspeicher übernommen; erst am Ende des Taktimpulses ändert sich der Zustand des Slave. Es existieren verschiedene Varianten von master slave Flipflops. Aus geeigneten Flipflops lassen sich offenbar Zähler aufbauen, die aus N hintereinandergeschalteten Flipflops bestehen. Ferner lassen sich sogenannte Schieberegister realisieren. Ein Register ist eine Anordnung aus N Flipflops, in der eine N stellige Dualzahl gespeichert werden kann. In einem Schieberegister werden auf einen Schiebeimpuls hin alle Ziffern der Dualzahl um eine Stelle nach links oder rechts verschoben. Das jeweils höchst- bzw. niedrigstwertige Bit (MSB = most significant bit, LSB = least significant bit ) wird dabei aus dem Register herausgeschoben. Schieberegister werden u. a. benutzt, um aus einer Paralleldarstellung einer Dualzahl (alle Ziffern sind gleichzeitig vorhanden) eine serielle Darstellung zu machen (eine Ziffer tritt nach der anderen auf). Neben einer solchen Parallel Serienwandlung kann auch eine Serien Parallel Wandlung mit einem Schieberegister erfolgen Astabiler Monovibrator I A 1 Abbildung 10: Astabiler Monovibrator Die Schaltung in Abb. 10 besitzt keinen stabilen Zustand. Nehmen wir an, es sei S = 1 und I = 0. Dann ist A 1 = 1 und A = 0. Als Folge davon nimmt U x mit der Zeitkonstante RC exponentiell zu, bis U x den Schwellwert dafür überschreitet, als I = 1 erkannt zu werden. In diesem Moment schaltet A 1 auf 0 und A auf 1. Jetzt nimmt U x mit der Zeitkonstante RC exponentiell ab bis sie so niedrig ist, dass die Schwelle für die Definition I = 0 unterschritten wird. Die Ausgangssituation ist wieder erreicht. Am Ausgang A tritt also eine periodische Folge von Rechteckimpulsen auf. Die Wiederholrate wird durch die Wahl

7 U: Latex-docs/Angewandte Physik/2004/VorlesungWS04-05, 30. November von R und C bestimmt. Derartige Schaltungen können als Taktgeber dienen Monostabiler Multivibrator (Univibrator) x 1 x 2 Abbildung 11: Monostabiler Multivibrator Die Schaltung in Abb.11 (Teil b) besitzt den stabilen Zustand E = 1,Q = 0. In diesem Zustand ist x 1 = 0 und x 2 = 1. Ein kurzes Anlegen von E = 0 bewirkt Q = 1. Sofort springt x 1 auf 1 und damit x 2 auf 0. Unabhängig von E bleibt jetzt Q = 1. Die Spannung an x 1 sinkt jetzt allerdings exponentiell ab, bis x 1 als 0 erkannt wird. In diesem Moment wird x 2 = 1. Ist RC so groß, dass der Impuls an E bereits zu Ende ist, so liegt jetzt 1 an beiden Eingängen von G 1 und damit wird wieder Q = 0: der stabile Ausgangszustand ist also wieder erreicht. Insgesamt wird also auf einen Triggerimpuls hin ein Rechteckimpuls an Q ausgegeben, dessen Länge durch RC bestimmt wird. x 2 stellt offenbar das Komplement Q von Q dar. Univibratoren werden als Impulsformen und Verzögerungsglied benutzt Der Schmitt Trigger Abbildung 12: Schmitt Trigger Mit Gattern lässt sich auch ein Schmitt Trigger realisieren, wie er in Kap. 1 bereits behandelt ist. Eine einfache Schaltung zeigt Abb. 12. Die Gatter werden nur als Negatoren

8 U: Latex-docs/Angewandte Physik/2004/VorlesungWS04-05, 30. November benutzt. Die Funktionsweise ist folgende: Ist U 1 = 0 und U 2 = 0, so ist U e = 0; dieser Zustand ist konsistent mit U 2 = 0. Steigt jetzt U 1, so ist U e = R 2 R 1 +R 2 U 1. Bei einem Schwellwert U 1 = U S1 überschreitet U 1 die Umschaltspannung von G 1 mit der Folge, dass der Ausgang auf 1 schaltet, d. h. es wird U 2 = U B. Da jetzt an dem Spannungsteiler, der aus R 1 und R 2 besteht, die Potentialdifferenz U B U 1 anliegt, muss U 1 deutlich unter U S1 gesenkt werden, bis U e als 0 interpretiert wird, so dass U 2 auf 0 schaltet. Diese Spannung definiert eine Ausschaltschwelle U S2 Wir haben also wieder ein System mit Hysterese. Die Größe der Hysterese kann durch das Verhältnis zwischen R 1 und R 2 eingestellt werden. 3.2 Signalumsetzer Um Analogschaltungen und Digitalschaltungen bei der Verarbeitung von Signalen zusammenwirken zu lassen, benötigt man Umsetzer, die aus analogen Signalen digitale machen (Analog Digital Wandler, A/D Wandler, ADC = analog to digital converter ) und eventuell auch aus digitalen Signalen analoge (Digital Analog Wandler, D/A Wandler, DAC = digital to analog converter ) [z. B. um die auf einer CD digital gespeicherte Information mit einem Lautsprecher hörbar zu machen]. Da wichtige A/D Wandlertypen D/A Wandler enthalten, behandeln wir diese zuerst D/A Wandler Abbildung 13: D/A Wandler Das einfachste Prinzip eines DAC ist in Abb. 13 gezeigt. Es nutzt die gewichtete Addition von Strömen. Die Schalterstellung definiert eine Zahl in Binärdarstellung Z = (Z 3 Z 2 Z 1 Z 0 ) (Z i = 0 oder 1) bzw. die natürliche Zahl 3 N = Z i 2 n. n=0 Die Ausgangsspannung der Schaltung ist (vgl. Kap. 1) U a = U ref R1 R (8Z 3 + 4Z 2 + 2Z 1 + Z 0 ) und damit proportional zu dem Wert der Dualzahl. Praktisch wird man natürlich die Schalter als elektronische Schalter ausbilden, die durch Z i gesteuert werden.

9 U: Latex-docs/Angewandte Physik/2004/VorlesungWS04-05, 30. November Analog Digitalwandler Abbildung 14: AD /DA Converter nach dem Rampenverfahren. Das Kästchen mit den Buchstaben S, R, Q stellt ein Flipflop dar. Es gibt sehr unterschiedliche Prinzipien. Sie lassen sich grob in serielle und parallele Verfahren einteilen. a) Serielle Verfahren Das einfachste serielle Verfahren ist das Rampenverfahren. Das Prinzip wird in Abb. 14 gezeigt. Durch einen Reset Puls z. B. durch Tastendruck wird der Zähler auf 0 und der Flipflop über den Eingang S auf 1 gesetzt. Die Clock Impulse gehen jetzt auf den Zählereingang und die Spannung V R am Ausgang des DACs wächst. Die Impulse eines Taktgebers gehen auf einen binären Zähler und dessen Ausgang auf einen DAC. Das Zählen wird gestoppt, sobald der Komparator anspricht. 18 Der Nachteil dieses Verfahrens ist die geringe Geschwindigkeit: um mit 12 bit zu digitalisieren (d. h. um 12 stellige Dualzahlen zu erzeugen) benötigt man bis zu 4096 Vergleichsschritte; jeder Schritt benötigt eine gewisse Zeit, da man immer den eingeschwungenen Zustand aller Komponenten abwarten muss. Eine Variante ist das in Abb. 15 dargestellte Verfahren. Es unterscheidet sich von dem Verfahren in Abb. 14 im wesentlichen dadurch, dass ein up/down Zähler benutzt wird. 19 Wesentlich intelligenter ist das Verfahren der sukzessiven Annäherung oder Wägeverfahren. Es ist in Abb. 16 gezeigt. Eine logische Schaltung setzt in einem Register das MSB 18 Die Schaltskizze stimmt nicht ganz mit dieser Beschreibung überein. An welchen Stellen enthält sie Fehler? 19 Ist diese Schaltung ganz korrekt?

10 U: Latex-docs/Angewandte Physik/2004/VorlesungWS04-05, 30. November Abbildung 15: AD /DA Converter mit modifiziertem Rampenverfahren auf 1. Alle anderen Bits sind auf 0. Das Register steuert einen DAC an, dessen Ausgang mit einem Komparator verbunden ist. Wenn der Komparator anspricht, wird das MSB auf 0 zurückgesetzt, sonst wird die 1 beibehalten. Anschließend wird das nächsthöhere Bit in gleicher Weise behandelt. Mit diesem Verfahren benötigt man offenbar für eine 12 bit Darstellung nur 12 Vergleichsschritte. b) Parallelverfahren Die schnellsten ADC benutzen Parallelverfahren ( flash ADC ). Das Prinzip wird in Abb. 17 gezeigt. Um n verschiedene Spannungsstufen zu unterscheiden (in der Abbildung sind es 8 für einen 3 bit Wandler ), stellt man aus einer Referenzspannung mit einem Spannungsteiler 7 Spannungsstufen her. Jede dieser Spannungen geht auf den invertierenden Eingang eines Komparators. Die zu konvertierende Spannung U e geht auf den nicht invertierenden Eingang aller Komparatoren. Ein Prioritätsencoder stellt die Nummer des höchsten Komparators fest, für den U < U e und stellt diese Zahl als Dualzahl dar. Das Verfahren ist extrem schnell. Eine Umwandlung in 8 bit Zahlen erfolgt mit Taktraten von einigen 100 MHz und mehr. Der Aufwand steigt jedoch astronomisch mit der Stellenzahl. Einen Kompromiss zwischen erwünschter Geschwindigkeit und Aufwand stellt der flash ADC mit Stufenumsetzung ( half flash Wandler) dar (s. Abb. 18). Hier erfolgt mit

11 U: Latex-docs/Angewandte Physik/2004/VorlesungWS04-05, 30. November Abbildung 16: AD /DA Converter 3 einem ersten Flash ADC eine Grobumwandlung (z. B. mit 4 bit). Mit dem Digitalsignal wird ein DAC angesteuert. Mit einem Operationsverstärker (in der Abbildung nur schematisch) wird das Ausgangssignal des DAC von der Eingangsspannung subtrahiert und die Differenz 16 fach (im Fall von 4 bit!) verstärkt. Das Ergebnis wird mit einem zweiten Flash ADC gewandelt. Auf diese Weise liefert der erste ADC die hohen Bits und der zweite die niedrigen.

12 U: Latex-docs/Angewandte Physik/2004/VorlesungWS04-05, 30. November Abbildung 17: Flash ADC Abbildung 18: Half Flash