Muster für eine Ausarbeitung mit Protokoll für den Versuch M15 des Physikalischen Praktikums: Erzwungene Schwingungen (Pohlsches Rad)

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1 Prof. Heinrich Reisinger Rüsselsheim im März 003 Muster für eine Ausarbeitung mit Protokoll für den Versuch M5 des Physikalischen Praktikums: Erzwungene Schwingungen (Pohlsches Rad)

2 Vorbemerkungen Vorbemerkungen Diese Musterausarbeitung sollte als Musterbeispiel und Grundlage für durchzuführende Versuchsvorbereitungen und zu erstellende Ausarbeitungen verstanden werden. Ziele des Versuchs. Physikalische Grundlagen In diesem "klassischen" Praktikumsversuch sollen durch Messungen die phyikalischen Gesetzmäßigkeiten für die charakteristischen physikalischen Größen von harmonischen Schwingungungen, freien gedämpften Schwingungen und erzwungenen Schwingungen, verifiziert werden. Es geht um die entsprechenden Bewegungsgleichungen und deren Lösungen.. Meßtechnische Grundlagen Anhand des Versuchsaufbaus soll ein Musterbeispiel dafür studiert werden, wie man konstruktiv eine "Meßidee" umsetzen kann und dabei Meßfehler in angemessen Grenzen minimiert. Die Analyse der vorkommenden Fehlerarten und das Kennenlernen der Methodik zu deren Abschätzung ist ein vorrangiges Ziel..3 Wissenschaftliches Arbeiten Der Versuch soll auch in die Systematik Wissenschaftlichen Arbeitens einführen, in der Abfolge: Beschreibung der Aufgabenstellung durch ein Theoretisches Modell für die vorkommenden physikalischen Größen und deren Verknüpfung in Form physikalischer Gesetzmäßigkeiten, Experimentelle Anordnung zur Messung dieser Größen, Durchführung der Messung mit Erstellung eines jederzeit und von jedermann nachvollziehbaren Meßprotokolls, Erstellung eines Berichtes als einfaches Beispiel einer wissenschaftlichen Arbeit zu einem physikalisch/technischen Experiment.

3 3 Zusammenstellung der Physikalischen Grundlagen 3 3 Zusammenstellung der Physikalischen Grundlagen 3. Harmonische (Dreh-) Schwingungen 3.. Die Bewegungsgleichung der harmonischen Schwingung Harmonische Schwingungen (Freie ungedämpfte Schwingungen) sind solche mit einem sinus- oder kosinusförmigen Verlauf. Beim vorliegenden Versuchsaufbau sind dazu annähernd die Voraussetzungen gegeben (s. 4. Versuchsbeschreibung). Ohne Anregungsmoment und Dämpfung sind für das Verhalten des Systems nur das rücktreibende Federmoment und das Trägheitsmoment des scheibenförmigen Rades maßgeblich. Diese bewirken eine periodische Dehnung und Stauchung der Spiralfeder und somit eine ständige, periodische Umwandlung von potentieller Energie der gedehnten bzw. gestauchten Feder und der kinetischen Rotations-Energie des Trägheitsmomentes.des Rades. Bei vernachlässigbarer Reibung gilt: Das Rückstellmoment M = D ϕ ist in erster Näherung proportional zur Auslenkung ϕ und zur Winkelstellgröße k des Systems. Aus der Bewegungsgleichung M = ϕ& (J A : Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse A) folgt als Lösung : J A ϕ mit der (Eigen-)Schwingungskreisfrequenz: ( t) = ϕ0 cos( ω t + δ) π Außerdem gelten die üblichen Beziehungen: ω 0 = = π f0 in Hz ; mit T T : = Periodendauer in s und f 0 : = Eigenfrequenz in Hz ω 0 = D J A ϕêϕ 0 π ω.t Freie gedämpfte Schwingung Bei der freien gedämpften Schwingung kommt in der Bewegungsgleichung das Reibungsmoment M R = - µ ϕ&, µ : Reibungszahl, hinzu, sodaß sie nun lautet:

4 3 Zusammenstellung der Physikalischen Grundlagen 4 J A ϕ & + µ ϕ & + D ϕ = 0 Die Lösung dieser DGL lautet: A(t) = A ρ t 0 e cos( ωdt + δ ) wobei hier die Bezeichnung der Aufgabenstellung übernommen ist, mit A := Auschlag in SE (Skaleneinheiten) statt ϕ := Ausschlagwinkel. A 0 := Amplitudenkonstante ; δ := Nullphasenwinkel (Phasenkonstante); µ ρ := Dämpfungskonstante (Abklingkoeffizient), wobei hier gilt: ρ = Die Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung errechnet sich mit: d = ω0 ρ = ω0 ϑ ω mit T d d ρ ϑ = := Dämpfungsgrad π = ist die Periodendauer der freien gedämpften Schwingung ω ϑ = entspricht dem aperiodischen Grenzfall mit ω d = 0 bei dem kein Schwingungsvorgang mehr stattfindet, sondern nach einem Auslenken eine Rückkehr zur Gleichgewichtslage erfolgt, ohne daß die Bewegung nach der anderen Seite über sie hinaus erfolgt. Beim Schwingungsfall erfolgt die freie gedämpfte Schwingung entsprechend folgender Abbildung: ω 0 J A Λ = ρ T d A = ln A i i+ heißt Logarithmisches Dekrement τd = ist die Abklingzeitkonstante der freien gedämpften schwingung, die Zeitdauer, ρ nach der A auf den e-ten Teil des Anfangswertes abgeklungen ist Erzwungene Schwingungen Wirkt von außen ein Drehmoment auf den Drehschwinger so bewirkt es eine erzwungene Schwingung.

5 3 Zusammenstellung der Physikalischen Grundlagen 5 Entspricht das äußere Drehmoment einer kosinusförmigen periodischen Funktion, so lautet die Bewegungsgleichung der erzwungenen, gedämpften Schwingung: M J A ϕ & + µ ϕ & 0 + D ϕ = M0 cos ω t ϕ && + ρ ϕ & + ω0 ϕ = cos ω t J A Die (partikuläre) Lösung für die eingeschwungenene (stationäre) Schwingung ist: A(t) = A0 cos( ωt α) M0 mit der Amplitude A0 = J A ( ω ω ) + 4 ρ ω 0 und der Phasenverschiebung (Phasenverzögerung) α gegen die Phase des Erregers: ρ ω α = arctan ω ω 0

6 3 Zusammenstellung der Physikalischen Grundlagen Resonanz, Resonanzkurve Wie man aus der Formel für die Amplitude A 0 erkennt, wird diese für ω ω0 sehr groß (Resonanzfall) und ist im nur theoretisch denkbaren Fall ρ = 0 dann sogar Unendlich. Mit zunehmendem ρ (Abklingkoeffizient ~ Dämpfungskonstante) wird A 0 kleiner (s. Abb.): ρ Die Resonzfrequenz ist: ω R = ω0 ρ, etwas kleiner als ω0 Die Resonanzamplitude, jeweils im Maximum der Resonanzkurve, ist: A 0R = M0 ρ J ω mit: ω A d d = ω 0 ρ

7 3 Zusammenstellung der Physikalischen Grundlagen 7 3. Wirbelstromdämpfung im Pohlschen Rad r r r Lorentz-Kraft: F L = q v B (Rechte-Hand-Regel!) ist die Kraft, die auf Teilchen mit Ladung q wirkt, das sich mit der Geschwindigkeit v r im Magnetfeld der magnetischen Flußdichte (magnetischen Induktion) B r r r r bewegt. F L, v und B stehen aufeinander senkrecht, wobei die Rechte-Hand-Regel gilt. Das Magnetfeld verrichtet anders als das elektrische Feld am Ladungsträger keine Arbeit. Es ändert sich nur die Richtung der Teilchen-Geschwindigkeit und zwar so, daß es auf eine Kreisbahn gezwungen wird. Die Umkehrung des Effekts der Erzeugung von Magnetfeldern durch bewegte Ladungsträger ist die elektromagnetische Induktion (Faradaysches Induktionsgesetz): dθ Zum Beispiel gilt bei einer Leiterspule mit N Windungen: U ind = N dt wobei Θ = B r da r der magnetische Fluß durch die Fläche A ist. A Durch die zeitliche Veränderung von Magnetfeldern werden also in Leitern Induktionsspannungen erzeugt, die als Folge wiederum elektrische Ströme bewirken. Dabei gilt die Lenzsche Regel: Der bei der elektromagnetischen Induktion induzierte Strom ist immer so gerichtet ist, daß das von ihm hervorgerufene Magnetfeld der Induktionsursache entgegenwirkt. Es ist also auch unmöglich ein Perpetuum Mobile zu bauen in dem ohne zusätzlichen Arbeitsaufwand durch induzierte Spannung ein Induktionsstrom fließt, der das induzierende Magnetfeld stärkt und so eine Zunahme der Induktionsspannung bwirkt, die wiederum... Durch die Bewegung der Pohlschen Scheibe ändert sich der magnetische Fluß durch die Flächenanteile der Scheibe und so entstehen dort Induktionssröme, die wiederum durch das B-Feld zu Wirbelströmen (s.abb.) werden, die Ströme mit geschlossenen Stromlinien.sind Dabei wird durch die damit einhergehende elektrische Verlustleistung Wärme freigesetzt und dem im konstanten B-Feld rotierenden Pohlschen Rad Rotationsenergie entzogen. Nach diesem Prinzip arbeiten auch Wirbelstrombremsen. In diesem Versuch macht man sich die Wirbelstromverluste zur Schwingungsdämpfung zunutze. i Abb. Wirbelströme

8 4 Versuchsbeschreibung, Aufgabenstellung 8 4 Versuchsbeschreibung, Aufgabenstellung 4. Versuchsbeschreibung, Versuchsaufbau Das Pohlsche Rad ist ein Rad, das sich auf seiner Schwerpunktsachse A nahezu reibungsfrei drehen kann. Mit Hilfe eines kleinen Zeigers Z kann man an einer Skala die Auslenkung des Rades aus seiner Ruhelage ablesen. An dem Rad ist eine Spiralfeder angebracht, deren anderes Ende mit einem um A drehbaren Hebel verbunden ist. Der Hebel kann mittels einer Schubstange von einem Excenter, der von einem Elektromotor angetrieben wird, in Schwingungen versetzt werden. Diese Schwingungen werden über die Spiralfeder dem Rad aufgezwungen. Weiterhin ist an der Anordnung ein Elektromagnet angebracht, mit dessen Hilfe man mittels Wirbelstrombremsung eine Bremskraft auf das Rad ausüben kann. Durch Variation der am Magnet anliegenden Spannung kann man die Dämpfung der Anordnung einstellen. Die Drehzahl des Motors ist ebenfalls mittels der anliegenden Spannung einstellbar.

9 4 Versuchsbeschreibung, Aufgabenstellung 9 4. Aufgabenstellung Diese ergibt sich aus der als -teilige pdf-datei beigefügten Versuchsanleitung.

10 4 Versuchsbeschreibung, Aufgabenstellung Abschätzung der Größenordnung der zu erwartenden Meßwerte und Meßergebnisse Eine Abschätzung der zu erwartenden Eigenfrequenz ω0 des Systems mit der Formel: D ω 0 = ϕ & = setzt eine zumindest grobe Kenntnis der Werte für das J A Trägheitsmoment J A und der Federkonstantern k voraus. J A könnte man grob abschätzen, wenn man die Formel für eine dünne Kreis-Scheibe und mit der Drehachse senkrecht auf der Kreisfläche und ihren Mittelpunkt verwendet: J A m = r mit: m := Masse der Scheibe, r := Radius der Scheibe r Die Federkonstante D ließe sich grob mit einem Federkraftmesser bestimmen in der Anordnung bestimmen. (Die Thematik sollte mit dem Dozenten besprochen werden)

11 5 Vorüberlegungen zur Fehlerabschätzung 5 Vorüberlegungen zur Fehlerabschätzung 5. Fehlerquellen, Fehlerarten Tabelle der Meßunsicherheiten Meßgröße Meßunsicherheit Bemerkungen Zeigerausschlag A/SE Zeit für n Schwingungen t n /s Strom durch Dämpfungsspulen I/A Spannung am Antriebsmotor des Excenters U/V A = ± t = ± s SE Relativer Fehler Relativer Fehler I I U U Ableseunsicherheit der Position des Zeigers Reaktionszeit beim Zeitstoppen. Üblicher Wert: t = ± 0, s Im oberen Drittel der Skale gemessen, dann identisch mit der Fehlergrenze des Meßgerätes Wie bei Bei ausreichender Konzentration sollten sich grobe Fehler wie falsches Zählen der Anzahl von Schwingungen oder falches Ablesen der Stopuhr vermeiden lassen. I I 5. Korrektion der systematischen Fehler von Meßwerten Erfaßbare und damit korrigierbare systematische Fehler kommen bei diesem Versuch nicht vor

12 5 Vorüberlegungen zur Fehlerabschätzung 5.3 Rechnerische Erfassung der zufälligen Fehler (Arithmetisches Mittel, Standardabweichung (Streubreite), Vertrauensgrenzen des Mittelwertes) Arithmetisches Mittel Der Mittelwert einer Meßreihe von n unabhängigen Meßwerten x j, j =,...,n, ist: x = n n x j j= In diesem Versuch wird diese Formel zur Ermittlung des wahrscheinlichsten Wertes der Schwingungsdauern T 0 bei der freien ungedämpften Schwingung und T d bei der freien ungedämpften Schwingung verwendet. Dabei werden die aus dem Meßreihen als über die Zeit gemittelten Rechenwerte tges,i Ti = eingesetzt. N Für die Berechnung der Mittelwerte wird dementsprechend folgende Formel verwendet: Im Fall der freien ungedämpften Schwingung: n T 0 = T 0,i mit n :=Anzahl der Meßreihen n i= Im Fall der freien gedämpften Schwingung: n Td = T d,i n i= Eine statistische Fehlerbetrachtung ist für n = 3 oder 4 unsinnig. Deshalb wird als Fehler T 0 bzw. Td der Wert T0 = (T0.i max T0,i min) bzw. Td = (Td.i max Td,i min ) verwendet.

13 5 Vorüberlegungen zur Fehlerabschätzung 3 Bei der Bestimmung der Dämpfungskonstanten (des Abklingkoeffizienten) ρ aus dem Graphen von ln An = ln A0 ρ n T wird sinnvollerweise mit Hilfe dieser grafischen Darstellung auch ρ bestimmt. ln A n ln A n = ln A 0 ρ n T ln A 0 n T /s Aus der Steigung der mittleren Ausgleichsgerade erhält man ρ = ρ, aus den Steigungen der beiden Extremfälle und im Wertekorridor erhält man ρ bzw ρ ρ erhält man damit als: min. max ρ = ( ρmax ρ min ) Das Gesamtergebnis ist damit: ρ = ρ ± ρ

14 5 Vorüberlegungen zur Fehlerabschätzung Fehlerfortpflanzung 5.5 Meßunsicherheiten

15 6 Bearbeitung der Aufgabenstellung 5 6 Bearbeitung der Aufgabenstellung 6. Aufgabe Bestimmung der Eigenfrequenz f 0 bzw. ω 0 aus der Messung ohne Zusatzdämpfung Mit den Werten des Meßprotokolls (siehe Tabelle imanhang) und der entsprechemden Fehlerabschätzung (siehe dort) werden folgende Werte berechnet: Mittelwert der Schwingungsdauer T 0 : T Gesamtschwingungsdauer = Anzahl der Schwingungen 0 = Daraus folgt: T 0 = s ± s f 0 = Hz ± Hz ω 0 = Hz ± HZ f 0 = ; ω0 = π f T t gesamt Graphische Darstellung lna n, Bestimmung der Dämpfungskonstanten ρ n ln A n ln A n = ln A 0 ρ n T ln A 0 n T /s Aus der Steigung der Ausgleichsgeraden erhält man als mittleren Wert für die Dämpfungskonstante: ρ 0 = Hz

16 6 Bearbeitung der Aufgabenstellung 6 Mit den Geraden maximaler bzw. minimaler Steigung im Wertekorridor erhhält man: ρ 0, min = Hz und ρ 0,max = Hz und damit ρ0 = ± Das Gesamtergebnis ist: ρ0 = ρ0 ± ρ = ( ± Hz ) Hz

17 6 Bearbeitung der Aufgabenstellung 7 6. Aufgabe Bestimmung der Frequenzen f d bzw. ω d aus den Messungen mit Dämpfung 6.. Bestimmung der Schwingungsfrequenz f d bzw. ω d aus der Messung mit Zusatzdämpfung beim Strom I = 0, A Mit den Werten des Meßprotokolls (siehe Tabelle imanhang) und der entsprechemden Fehlerabschätzung (siehe dort) werden die Werte der Kenngröße des schwingungsfähigen Systems berechnet. T d = s ± s f d = Hz ± Hz ω d = Hz ± HZ Graphische Darstellung lna n, Bestimmung der Dämpfungskonstanten ρ ln A n ln A n = ln A 0 ρ n T ln A 0 n T /s Aus der Steigung der Ausgleichsgeraden erhält man als mittleren Wert für die Dämpfungskonstante: ρ 0, = Hz Mit den Geraden maximaler bzw. minimaler Steigung im Wertekorridor erhhält man: ρ 0, min = Hz und 0, max ρ = Hz und damit ρ 0, = ± Hz Das Gesamtergebnis ist: ρ0, = ρ0, ± ρ0, = ( ± ) Hz

18 6 Bearbeitung der Aufgabenstellung Bestimmung der Schwingungsfrequenz f d bzw. ω d aus der Messung mit Zusatzdämpfung beim Strom I = 0,4 A Mit den Werten des Meßprotokolls (siehe Tabelle imanhang) und der entsprechemden Fehlerabschätzung (siehe dort) werden folgende Werte berechnet T d = s ± s f d = Hz ± Hz ω d = Hz ± HZ Graphische Darstellung lna n, Bestimmung der Dämpfungskonstanten ρ ln A n ln A n = ln A 0 ρ n T ln A 0 n T /s Aus der Steigungen der Ausgleichsgeraden erhält man als Wert für die Dämpfungskonstante: ρ 0,4 = ( ± ) Hz Mit den Geraden maximaler bzw. minimaler Steigung im Wertekorridor erhhält man: ρ 0,4 min = Hz und 0,4 max ρ = Hz und damit ρ 0,4 = ± Hz Das Gesamtergebnis ist: ρ0,4 = ρ0,4 ± ρ0,4 = ( ± ) Hz

19 6 Bearbeitung der Aufgabenstellung Bestimmung der Schwingungsfrequenz f d bzw. ω d aus der Messung mit Zusatzdämpfung beim Strom I = 0,6 A T d = s ± s f d = Hz ± Hz ω d = Hz ± HZ Graphische Darstellung lna n, Bestimmung der Dämpfungskonstanten ρ ln A n ln A n = ln A 0 ρ n T ln A 0 n T /s Aus der Steigungen der Ausgleichsgeraden erhält man als Wert für die Dämpfungskonstante: ρ 0,6 = ( ± ) Hz Mit den Geraden maximaler bzw. minimaler Steigung im Wertekorridor erhält man: ρ 0,6 min = Hz und 0,6 max ρ = Hz und damit ρ 0,6 = ± Hz Das Gesamtergebnis ist: ρ0,6 = ρ0, ± ρ0,6 = ( ± ) Hz

20 6 Bearbeitung der Aufgabenstellung Bestimmung der Resonanzkurven A( ω ) der erzwungenen Schwingung in Abhängigkeit vom Dämpfungsparameter 6.3. Motordrehzahl als Funktion der Versorgungsspannung Mit den Werten des Protokolls erhält man: 0,60 0,50 Motorfrequenz /Hz 0,40 0,30 0,0 0,0 0,00 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 Versorgungsspannung /V

21 6 Bearbeitung der Aufgabenstellung 6.3. Resonanzkurven Mit den Werten aus dem Protokoll, bei entsprechender Umrechnung der Morspannungen in Erregerfrequenzen ω unter Verwendung des Graphen in 5..5., erhält man folgende Resonanzkurven (s. Abb.):,0,8,6 Amplitudengang der erzwungenen Schwingungen Auslenkung A/SE,4,,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0, 0,3 0,7 0,3 0,36 0,4 0,45 0,50 0,54 0,59 0,63 0,68 0,79 Erregerfrequenz /Hz

22 6 Bearbeitung der Aufgabenstellung 6.4 Gesamtbewertung mit Gegenüberstellung der theoretisch zu erwartenden Werte mit dem Meßergebnis

23 7 Anhang 3 7 Anhang 7. Meßprotokolle Freie Schwingungen keine Wirbelstromdämpfung Auslenkung {SE} n Meßreihe Meßreihe Meßreihe 3 Meßreihe t gesamt {s} Schwingungsdauer T 0 /s Eigenfrequenz f 0 /Hz

24 7 Anhang 4 Freie Schwingungen Wirbelstromdämpfung mit I = 0, A Auslenkung {SE} n Meßreihe Meßreihe Meßreihe 3 Meßreihe t gesamt {s} Schwingungsdauer T d /s Schwingungsfrequenz f d /Hz

25 7 Anhang 5 Freie Schwingungen Wirbelstromdämpfung mit I = 0.4 A Auslenkung {SE} n Meßreihe Meßreihe Meßreihe 3 Meßreihe t gesamt {s} Schwingungsdauer T d /s Schwingungsfrequenz f d /Hz

26 7 Anhang 6 Freie Schwingungen Dämpfung mit I = 0,6 A Auslenkung {SE} n Meßreihe Meßreihe Meßreihe 3 Meßreihe t gesamt {s} Schwingungsdauer T d /s Schwingungsfrequenz f d /Hz

27 7 Anhang 7 Erregerfrequenz (Motordrehzahl) als Funktion der Versorgungsspannung U Versorgungsspannung U/V t (5 Umdrehungen) /s Motorfrequenz f/hz

28 7 Anhang 8 Erzwungene Schwingung, A(f): Amplitude als Funktion der Erregerfrequenz (Motordrehzahl) Motorspannung Erregerfrequenz Amplitude A/SE beim Spulenstrom I (Wirbelstromdämpfung) U/V f/hz 0, A 0, A 0,4 A 0,6 A

29 7 Anhang 9

30 7 Anhang Literaturverzeichnis. Hering/Martin/Stohrer: Physik für Ingenieure, Springer Verlag. Kuchling: Taschenbuch für Physiker 3. Kohlrausch: Praktische Physik, Tabellenband 4. Papula: Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler 5. DIN 39: Grundbegriffe der Meßtechnik, Blatt bis Blatt 3