PROJEKTPRAKTIKUM ATOMPHYSIK

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1 PROJEKTPRAKTIKUM ATOMPHYSIK Experimentelle Bestimmung der atomphysikalischen Fundamentalkonstanten: Planck sches Wirkungsquantum & Elementarladung Miriam Berndt Tobias Frick Theodor Hamann Kevin Pinkal Judith Platzer Lina Wiedemann Betreuer: Dr. Harry Weigt Institut für Physik Universität Potsdam Potsdam, den 09. März 2011

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Planck sches Wirkungsquantum h Elementarladung e Literaturwerte Methode nach Schuster Bedeutung und historische Einordnung Beschreibung Versuchsaufbau Durchführung Auswertung Fehlerbetrachtung Bestimmung der Elementarladung nach Busch Bedeutung und historische Einordnung Versuchsaufbau und Grundlagen Durchführung und Auswertung Fehlerbetrachtung Der äußere Photoeffekt Bedeutung und historische Einordnung Grundlagen und Versuchsidee Versuchsaufbau und Durchführung Auswertung Grenzspannung Planck sches Wirkungsquantum Fehlerbetrachtung Franck-Hertz-Versuch Bedeutung und historische Einordnung Grundlagen und Versuchsaufbau Durchführung und Auswertung Fehlerbetrachtung Das Wasserstoffspektrum Beschreibung Grundlagen und Versuchsidee Versuchsaufbau und Durchführung Auswertung Fehlerbetrachtung Bremsstrahlung Bedeutung und historische Einordnung Grundlagen und Versuchsidee Durchführung und Auswertung Fehlerbetrachtung Zusammenfassung und Vergleich 33

3 1 Einleitung Die Zielstellung dieses Projekts ist die Ermittlung der folgenden Fundamentalkonstanten: das Planck sche Wirkungsquantum h und die Elementarladung e des Elektrons. Dabei wurde sich an historisch bedeutsamen Experimenten orientiert. Nach der Auswertung der einzelnen Experimente, der Betrachtung der Genauigkeit der Messung und möglicher Fehlerquellen, war es Ziel, die Ergebnisse mit den aktuellen Literaturwerten zu vergleichen und aufgrund der Auswertungen die jeweiligen Messmethoden zu beurteilen. Zur Bestimmung dieser Konstanten sind mehrere experimentelle Versuche möglich. Es wird sich in diesem Projekt auf eine Auswahl von sechs Experimenten beschränkt. Die Ermittlung des Planck schen Wirkungsquantums erfolgt durch den äußeren photoelektrischen Effekt mit Hilfe der Gegenfeldmethode, die Röntgenspektroskopie den Franck-Hertz-Versuch die Beobachtung der sichtbaren Spektrallinien des Wasserstoffspektrums Die Bestimmung der spezifischen Elementarladung hingegen wird realisiert durch Abstandsmessung an einem Elektronenstrahl mithilfe einer Braun schen Röhre. Schon während der Vorbereitungen der einzelnen Versuche zeigte sich, dass die Fundamentalkonstante h nur durch das Verhältnis h e berechnet werden würde, da sie bezüglich unserer experimentellen Bestimmung und Berechnung im unmittelbaren Zusammenhang miteinander stehen. Hierbei wird jeweils der Wert der Elementarladung oder des Plank schen Wirkungsquantums als bekannt vorausgesetzt und als Referenz aus entsprechender Literatur verwendet. Somit ist in den Experimenten eine analoge Untersuchung beider Fundamentalkonstanten möglich. 1.1 Planck sches Wirkungsquantum h Anfang des 20. Jahrhunderts entdeckte Max Planck, dass Strahlungsenergie in Paketen ausgesendet wird, womit sich die allgemeine Teilchen- und Wellentheorie verknüpfen ließ. Anfänglich war die Konstante h nur eine Hilfskonstante, um das Problem der Strahlungsverteilung schwarzer Körper erklären zu können. Er fand mithilfe der Entropie eine Strahlungsformel, wobei die Strahlung der Frequenz ν in der Größe E = h ν emittiert beziehungsweise absorbiert werden kann. Allerdings hielt Planck dies für eine Eigenschaft der Strahlungsquelle, die erst Albert Einstein als Quanteneigenschaft des Lichts postulierte. 1.2 Elementarladung e Die Erscheinungen der Elektrizität lassen sich auf Grund experimenteller Erfahrungen mittels einer als Ladung Q bezeichneten Größe beschreiben. Diese kann ein positives als auch negatives Vorzeichen tragen. Elektrische Ladungen sind nach heutigem Kenntnisstand nicht beliebig teilbar. Die Elementarladung e ist die kleinste Ladung, die frei existiert. Jede auftretende Ladung ist ein ganzzahliges Vielfaches dieser physikalischen Größe. Quarks können zwar e/3 oder 2 e/3 geladen sein, treten aber immer in Kombinationen auf. Die Elementarladung e wurde von Robert A. Millikan zum ersten Mal präzise bestimmt, wofür er 1923 den Nobelpreis erhielt. Milikan-Versuch Um die Elementarladung selbst zu berechnen, sei an dieser Stelle der Millikan Versuch genannt, der durch Fehlen der notwendigen experimentellen Mittel nicht nachempfunden werden konnte. Da dieser Versuch eine der genauesten Methoden zur Ermittlung der Elementarladung ist, wird er schematisch vorgestellt. Millikan nutzte für seine Untersuchungen die Forschungen der beiden Physiker Harold

4 1. Einleitung A. Wilson und Joseph J. Thomson und verbesserte diese maßgeblich. Anstatt der leichtflüchtigen Materialien Wasser und Alkohol nutzte er schwerflüchtige Stoffe wie Öl und Quecksilber. Zunächst wird der zu untersuchende Stoff in etwa 5 µm große Tröpfchen zerstäubt, die durch die dabei entstehende Reibung elektrisch aufgeladen werden und anschließend in einen Plattenkondensator gelangen. Auf die Tröpfchen wirken drei Kräfte: die Gravitations-, die Auftriebs- und die Reibungskraft. Wird der Kondensator nun in Betrieb genommen, wirkt auf die geladenen Tröpfchen als vierte Komponente die Coulombkraft, die je nach Polung mit oder gegen die Gravitationskraft wirkt. Jedes Öltropfchen besteht aus n Atomen, folglich kann das Tröpfchen mehrere Ladungen tragen und ist somit ein ganzes Vielfaches der Elementarladung. Q = ±k e k = 0, 1, 2,... Durch Umpolung des Kondensators können verschiedene Gleichungen aufgestellt werden, sodass die Lösung des Gleichungssystems auf die Elementarladung schließen lässt. 1.3 Literaturwerte Zur Auswertung der im Rahmen dieses Projekts durchgeführten Experimente werden die vom NIST (National Institute of Standards and Technology) im Internet zur Verfügung gestellten Daten (siehe Quelle [2], Aktualisierung im Jahre 2006) genutzt. Das NIST arbeitet eng mit dem CODATA (Committee on Data for Science and Technology) zusammen. CODATA ist ein interdisziplinäres Komitee zur Sicherung der Qualität und Zugänglichkeit für Daten aus vielen Bereichen der Naturwissenschaft und Technik, das unter anderem dokumentiert, wie sich die Abschätzungen der Naturkonstanten durch immer präzisere Messungen verändern. Es wurde 1966 vom ICSU (International Council for Science) gegründet. m e,lit = 9, kg h Lit = 6, Js e Lit = 1, C c Lit = 2, m s e Lit m Lit = 1, C kg 3

5 2 Methode nach Schuster 2.1 Bedeutung und historische Einordnung Abbildung 1: Elektronenstrahl (Quelle: [12]) Mit dem Verfahren nach Schuster wird die spezifische Ladung eines Elektrons m e bestimmt. Da die Elektronenmasse m e eine in der Wissenschaft hinreichend oft und genau bestimmte Konstante ist, kann auch die Elementarladung e ermittelt werden. Das Verfahren wurde 1884 erstmalig von Schuster angegeben, um das Verhältnis der frei werdenden Ladungen zur Masse der Kathodenstrahlteilchen zu messen. Damals war noch nicht bekannt, dass es sich dabei um Elektronen handelt. Erste einwandfreie Messungen nach dieser Methode führten 1897 Thomson und Schuster durch. 2.2 Beschreibung Bewegt sich ein Elektron mit der Geschwindigkeit v in einem Magnetfeld der Flussdichte B, dann wirkt auf dieses die Lorentzkraft F = e ( v B) (1) Steht B senkrecht auf v, kann die obere Gleichung mit Beträgen dargestellt werden: F = e v B (2) Dabei steht die Lorentzkraft senkrecht auf der Bewegungsrichtung, sodass das Elektron eine Kreisbahn mit dem Radius r beschreibt. In diesem Fall entspricht die Lorentzkraft der Zentripetalkraft. Folglich erhält man die Gleichung: e Für den Radius ergibt sich m e (v ) 2 r = e v B (3) v r = m e e B Eine relativistische Betrachtung der Elektronenbewegung ist nicht notwendig, da die Geschwindigkeit klein genug ist. Nach dem Energieerhaltungssatz gilt (4)

6 2. Methode nach Schuster wobei U A die angelegte Beschleunigungsspannung ist. Es ergibt sich E kin = 1 2 m e v 2 = e U A (5) Somit gilt für den Radius e m e = 2U A B 2 r 2 (6) 2U A r = 1 e/m e B (7) Abbildung 2: Fadenstrahlrohr und Helmholtzspulen (Quelle: [13]) 2.3 Versuchsaufbau Das Magnetfeld wird mit einem Helmholtz-Spulenpaar (wie in Abbildung 2) erzeugt. Dabei sind zwei flache Spulen mit dem Radius R und je n Windungen so angeordnet, dass der Abstand zwischen den beiden parallelen Spulen R gleich dem Radius R der Spulen ist. Durch beide Spulen fließt der gleiche Strom I. Das Magnetfeld zwischen den Spulen ist weitgehend homogen und hat die Flussdichte Bei den verwendeten Geräten gilt B = µ 0 N I R 2 (R 2 + a 2 ) 3 2 N = 124 Windungen (8) I = Spulenstrom R = 13, 75 cm (mittlerer Spulenradius) 2a = 15 cm (mittlerer Spulenabstand) 5

7 2. Methode nach Schuster 6 mkg µ 0 = 1, C 2 (Vakuumpermeabilität) Setzt man diese Werte in Gleichung 8 ein, ergibt sich B I = 7, T A (±2%) Die aus einer Glühkathode austretenden Elektronen werden durch eine zwischen ihr und der Anode angelegten Spannung U A so beschleunigt, dass sie sich nach dem Durchlaufen eines Loches in der Anode senkrecht zum Magnetfeld bewegen. Die Glaskugel, in der sich die Elektronen bewegen, enthält eine geringe Menge eines Edelgases, damit der Elektronenstrahl sichtbar wird. Die Elektronen stoßen mit Gasatomen zusammen und regen dieselben zur Lichtemission an. Bei einem Teil der Zusammenstöße entstehen positiv geladene Ionen. Diese bleiben wegen ihrer relativ zu den Elektronen großen Masse in der Nähe ihres Entstehungsortes, das heißt auf der Elektronenbahn. Sie kompensieren durch ihre Ladung die Raumladung des Elektronenstrahls. Durch diese Raumladungsfokussierung entsteht ein enges Elektronenbündel, ein Fadenstrahl. 2.4 Durchführung An die Glühkathode wird eine Spannung von 50 V angelegt, sodass sie sich in wenigen Minuten erwärmt. Zwischen Kathode und Anode wird zuerst eine Beschleunigungsspannung von 250 V angelegt. Das Elektronenbündel wird als Fadenstrahl sichtbar. Nun wird das Magnetfeld erzeugt. Dabei wird der Spulenstrom 4 A nicht überschritten. Der Fadenstrahl krümmt sich zu einer Kreisbahn. Mittels einer leiterförmigen Vorrichtung können vier verschiedene Radien abgelesen werden. Für dieselben wird der jeweilige Spulenstrom und per Teslameter die jeweilige magnetische Flussdichte gemessen. Dieser Vorgang wird für unterschiedliche Beschleunigungsspannungen in Abständen von 10 V bis minimal 150 V wiederholt. 2.5 Auswertung Es gibt allgemein drei Möglichkeiten die Ergebnisse auszuwerten. 1. Die spezifische Ladung des Elektrons und die Elementarladung können über die Formel 6 berechnet werden. 2. Wird bei konstantem U A der Radius r über 1/B aufgetragen, so ergibt sich nach Gleichung 7 eine Gerade mit der Steigung Daraus folgt 2U A S 1 = (9) e/m e e m e = 2U A S 2 1 (10) 3. Wird bei konstantem B die Größe r 2 über U A aufgetragen, so ergibt sich nach Gleichung 6 eine Gerade mit der Steigung und folglich S 2 = 2m e B 2 e (11) e 2 = m e B 2 (12) S 2 Bei den zur Verfügung stehenden Apparaturen bieten sich jedoch nur die ersten beiden Auswertungen an. Für die dritte Methode reichen die Messergebnisse im möglichen Rahmen der Geräte für eine Auswertung nicht aus. Die zur Verfügung stehenden Geräte sind für diese Methode ungeeignet. 6

8 2. Methode nach Schuster Auswertung 1 Im Folgenden sind die Durchschnittswerte für die spezifische Ladung des Elektrons, die sich für jede der eingestellten Beschleunigungsspannungen ergeben, tabellarisch aufgelistet. In der Spalte "e/m (korrigiert)" wird die spezifische Ladung des Elektrons mit dem B-Feld berechnet, das sich aus Formel 8 ergibt. U in V e/m in C/kg e/m (korrigiert) in C/kg 250 1, , , , ,6922 1, ,6793 1, , , , , , , , , , , , , , ,77698 Tabelle 3: Mittelwerte der spezifischen Ladung bei zugehöriger Beschleunigungsspannung nach Methode 1 Insgesamt ergibt sich eine spezifische Ladung des Elektrons von e m e = (1, 74 ± 0, 17) C kg beziehungsweise mit dem nach Formel 8 berechneten B-Feld e m e = (1, 69 ± 0, 16) C kg Der erste Wert weicht um 1, 30%, der zweite um 3, 97% vom Literaturwert ab. Der Literaturwert liegt in beiden Fällen innerhalb der berechneten Standardabweichung. Bei gegebener Masse des Elektrons ergibt sich für die Elementarladung: e = (1, 6 ± 0, 2) C bzw. e = (1, 5 ± 0, 2) C Auswertung 2 Es werden in der Tabelle wieder die Durchschnittswerte für die spezifische Ladung des Elektrons der jeweiligen Beschleunigungsspannungen angegeben. Formel 9 und der lineare Zusammenhang, der sich in Abbildung 4 ergibt, dienen zur Berechung der Werte. Einmal mit dem direkt gemessenen und einmal mit dem nach Formel 8 berechneten B- Feld. Beispielhaft für alle Beschleunigungsspannungen folgt das Diagramm eines Geradenausgleichs in Abbildung 4. Hier ergibt sich eine spezifische Ladung des Elektrons von beziehungsweise mit dem berechneten B- Feld e m e = (1, 82 ± 0, 27) C kg e m e = (1, 79 ± 0, 55) C kg Der erste Wert weicht um 3, 63%, der zweite um 2, 02% vom Literaturwert ab. Der Literaturwert liegt wieder innerhalb der Standardabweichung. Die höhere Standardabweichung als in Auswertung 1 ergibt sich aus dem Fehlerfortpflanzungsgesetz. Der Anstieg hat eine Abweichung, die mit Excel berechnet wurde. Der Fehler desselben beeinflusst auch die Korrektheit der daraus berechneten spezifischen Ladung des Elektrons. Für die Elementarladung ergibt sich: 7

9 2. Methode nach Schuster Abbildung 4: Geradenausgleich nach Methode 2 bei 250V Beschleunigungsspannung U in V e/m in C/kg e/m (korr.) in C/kg 250 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,9374 1,87581 Tabelle 5: Mittelwerte der spezifischen Ladung bei zugehöriger Beschleunigungsspannung nach Methode 2 e = (1, 7 ± 0, 3) C bzw. e = (1, 6 ± 0, 6) C 2.6 Fehlerbetrachtung Da die Radien der Elektronenbahnen mit bloßem Auge an einer sehr einfachen Metallleiter abgelesen werden, können dort schnell Ungenauigkeiten entstehen.die Werte liegen alle im Bereich der Standardabweichung. Die Methode eignet sich also sehr gut zur Bestimmung der spezifischen Ladung des Elektrons und bei gegebener Elektronenmasse auch zur Bestimmung der Elementarladung. Möglicherweise könnten noch genauere Ergebnisse erzielt werden, wenn die Stufeneinteilung der Leiter mit noch mehr verschiedenen Radien versehen wäre. Interessant wäre auch die Ermittlung der spezifischen Ladung nach Methode 3. Allerdings wäre dafür ein Versuchsaufbau mit anderen Geräten notwendig. 8

10 3 Bestimmung der Elementarladung nach Busch 3.1 Bedeutung und historische Einordnung Eine weitere Möglichkeit der Bestimmung der spezifischen Ladung des Elektrons ist ein Versuch mit der Methode nach Busch. Diese nutzt das Phänomen, dass ein anfangs divergenter Elektronenstrahl im Einfluss eines parallel gerichteten Magnetfeldes an bestimmten Punkten wieder fokussiert ist. Der Physiker Dr. Hans Busch ( ), nach dem dieser Versuch benannt wurde, gilt als Begründer der Elektronenoptik. Er fand heraus, dass mit Elektronenstrahlen unter dem Einfluss elektrischer und magnetischer Felder ähnliche Abbildungseigenschaften erreicht werden können, wie bei Licht beim Durchlaufen von Linsen, Prismen und weiteren optischen Geräten. Seine Arbeit bildet unter anderem die Grundlage der Elektronenmikroskopie entwickelte er die Theorie zum Verlauf von Elektronenstrahlen in axialsymmetrischen magnetischen Feldern und damit auch den Versuch zur Ermittlung der spezifischen Ladung des Elektrons. 3.2 Versuchsaufbau und Grundlagen In dem durchgeführten Versuch wird zur Realisierung des homogenen Magnetfeldes eine große Zylinderspule verwendet, in dessen Inneren eine Braun sche Röhre platziert ist. Mit Hilfe einer Glühkathode in der Braun schen Röhre werden freie Elektronen zur Verfügung gestellt, die aufgrund der Beschleunigungsspannung U b zur Anode hin beschleunigt werden und daher eine durch die Beschleunigungsspannung bestimmte kinetische Energie und zum Magnetfeld parallele Geschwindigkeit v haben. Durch einen Plattenkondensator, an dem eine Wechselspannung U a anliegt, erhalten die Elektronen eine zusätzliche Geschwindigkeitskomponente v senkrecht zum Magnetfeld. Folgendes Bild verdeutlicht den Aufbau bei angelegter Gleichspannung am Kondensator: Abbildung 6: Aufbau des Experiments nach Busch (Vorlage aus Quelle: [5]) Aufgrund der Lorentz-Kraft F = e( v B) (13)

11 3. Bestimmung der Elementarladung nach Busch bewirkt nun die zum Magnetfeld senkrechte Geschwindigkeitskomponente, wie bereits im Versuch nach Schuster beschrieben, eine Kreisbahn parallel zum Schirm. Die durch Superposition überlagerte parallele Geschwindigkeitskomponente bleibt davon unbeeinflusst, sodass der Weg der Elektronen durch die Überlagerung der Geschwindigkeiten, wie in Abbildung 6 bereits angedeutet, eine Schraubenbahn bildet. Wegen der angelegten Wechselspannung am Plattenkondensator durchlaufen die Elektronen natürlich nicht alle die gleiche Spiralbahn. Da die Lorentz-Kraft für jedes Elektron betragsmäßig konstant und zum Kreismittelpunkt gerichtet ist, bildet diese eine Zentripetal-Kraft und es gilt für die Beträge der Kräfte Also gilt für den Radius des Kreises ev B = m ev 2 r (14) r = m ev eb Mit diesem kann man nun die Periodendauer eines Kreisumlaufs berechnen (15) T = 2πr v = 2π e m B (16) An dieser Stelle ist deutlich erkennbar, dass die Zeit für einen Umlauf der Schraubenlinie nicht von der senkrechten Geschwindigkeitskomponente abhängt. Daher ist es für die Periodendauer auch unerheblich, welche senkrechte Geschwindigkeitskomponente jedem Elektron am Plattenkondensator (an dem Wechselspannung anliegt) erteilt wird. Da aber der Radius des Kreises proportional zu dieser Geschwindigkeit ist, entsteht auf dem Schirm, wie nachfolgend illustriert, eine Linie. Bei Veränderung der Beschleunigungsspannung (und konstantem Magnetfeld) bewegen sich die Enden dieser Linie auf den (nicht sichtbaren) Kreisen mit größtmöglichem Radius so, dass die Linie stets den Mittelpunkt durchquert. Abbildung 7: Auf dem Schirm der Braun schen Röhre ist eine Linie sichtbar. Nach einer Periodendauer hat jedes Elektron seine Kreisbahn vollständig durchlaufen, sodass der Elektronenstrahl zu jeder vollen Periodendauer wieder fokussiert ist. Für die Entfernung s zwischen Plattenkondensator und dem n-ten fokussierten Punkt des Strahls gilt s = v T n = 2πv e m B n (17) Für die parallele Geschwindigkeitskomponente gilt aufgrund der Energieerhaltung 10

12 3. Bestimmung der Elementarladung nach Busch E kin = 1 2 m ev 2 = eu (18) Eliminiert man durch Kombination der Gleichungen 17 und 18 die Geschwindigkeit, so folgt U = e m e s 2 8n 2 π 2 B2 (19) Ist die Strecke s durch den Aufbau der Braun schen Röhre fest, so kann man durch Variation der Beschleunigungsspannung und der Magnetfeldstärke gezielt nach dem ersten (zweiten, dritten,...) Fokus des Elektronenstrahls suchen und mehrere Wertepaare (B 2,U) in einem Diagramm darstellen. Dann kann man aus dem Anstieg der Regressionsgeraden die spezifische Ladung des Elektrons erhalten und bei bekannter Elektronenmasse kann die Ladung des Elektrons bestimmt werden. 3.3 Durchführung und Auswertung Um den Elektronenstrahl auf den Schirm der Braun schen Röhre zu fokussieren, wird in dem durchgeführten Versuch bei konstanter Beschleunigungsspannung der Spulenstrom solange erhöht, bis tatsächlich ein Punkt auf dem Schirm sichtbar ist. Die magnetische Flussdichte wird dann mit einer Hallsonde gemessen. Für die Beschleunigungsspannung stehen 7 verschiedene, von der Apparatur vorgegebene Werte zur Verfügung. Die verschiedenen Wertepaare von B und U sind jeweils für den ersten, zweiten und dritten Fokus des Elektronenstrahls (n = 1, 2, 3) aufgenommen worden. U in V B in mt n = 1 n = 2 n = ,61 6,90 10, ,76 7,23 10, ,84 7,44 11, ,06 7,75 11, ,25 8,38 12, ,53 8,93 13, ,86 9,40 14,30 Tabelle 8: Aufgenommene Messwerte für Spannung und magnetische Flussdichte Die Strecke zwischen den Kondensatorplatten und dem Schirm beträgt s = 13 cm. Nachfolgend sind in einem Diagramm alle Wertepaare (B 2, U) für die Fokus-Punkte n = 1, 2, 3 als Messpunkte eingetragen. Offensichtlich bilden die Werte je eine Gerade, wie theoretisch vorausgesagt. Die Regressionsgeraden und deren Standardabweichung sind mit Excel berechnet worden und so angelegt, dass sie durch den Nullpunkt verlaufen. Da die Anstiege nach Formel (19) A n = Ladung des Elektrons für die verschiedenen Fokus-Punkte s2 8n 2 π 2 e m e sind, ergibt sich für die spezifische e m e = 8n2 π 2 S n s 2 (20) In Tabelle 10 aufgelistet sind die aus den Experimenten resultierenden Anstiege, deren Standardabweichung, spezifische Ladung des Elektrons, dessen Standardabweichung und die relative Abweichung zum Literaturwert Damit ergibt sich für die spezifische Ladung des Elektrons als Mittelwert e m e = (1, 90 ± 0, 05) C kg Daraus erhält man durch Multiplikation mit dem Literaturwert der Masse des Elektrons die Elementarladung e = (1, 73 ± 0, 05) C 11

13 3. Bestimmung der Elementarladung nach Busch n Abbildung 9: Beschleunigungsspannung als Funktion der quadrierten magnetischen Flussdichte Anstieg in V/mT 2 Standardabweichung des Anstiegs in V/mT 2 Spez. Ladung in C/kg Standardabweichung der spez. Ladung in C/kg 1 39,4 0,4 1,84 0,02 2,3 2 10,5 0,1 1,95 0,02 13,7 3 4,55 0,04 1,92 0,02 8,0 Tabelle 10: Spezifische Ladung und Messfehler Abweichung der spez. Ladung zum Lit.wert in % Damit ergibt sich eine relative Abweichung von circa 8% zum Literaturwert. 3.4 Fehlerbetrachtung Auffällig ist hier, dass der Literaturwert nicht einmal innerhalb der Standardabweichung der ermittelten Elementarladung liegt. Das deutet auf einen systematischen Fehler bei der Durchführung des Versuchs hin. Da der ermittelte Wert größer als der Literaturwert ist, ist es möglich, dass die magnetische Flussdichte immer zu klein bestimmt wurde. Der Grund kann entweder die Hall-Sonde selbst sein, die fehlerhaft arbeitet oder die richtige Platzierung der Hall-Sonde innerhalb der Spule. Den Sensor konnte man nur neben der Braun schen Röhre positionieren, wobei die magnetische Flussdichte direkt beim Elektronenstrahl höher sein könnte. Oder aber die abgelesene Spannung war aufgrund eines fehlerhaften Voltmeters oder einer fehlerhaften Apparatur zur Beschleunigung der Elektronen zu klein. Zur Verbesserung des Ergebnisses hätte man beispielsweise die Hallsonde in die Braun schen Röhre integrieren können, sodass das Magnetfeld an der richtigen Stelle gemessen wird und eventuelle Veränderungen der magnetischen Flussdichte durch die Braun schen Röhre selbst mit berücksichtigt werden können. Außerdem fiel auf, dass auf dem Schirm nicht immer die theoretisch vorhergesagte Linie zu sehen war, sondern teilweise rechteckige Gebilde oder gebogene Linien. Diese Tatsachen könnte man durch ein verbessertes Modell des Aufbaus erklären (zum Beispiel ist die Ausdehnung des Plattenkondensators zu berücksichtigen). 12

14 4 Der äußere Photoeffekt 4.1 Bedeutung und historische Einordnung Abbildung 11: Eine Metalloberfläche wird mit kurzwelligem Licht bestrahlt. (Vorlage aus Quelle: [4]) Der äußere photoelektrische Effekt oder auch Photoeffekt kann zur Bestimmung des Planck schen Wirkungsquantums herangezogen werden. Modellhaft kann man sich beim Photoeffekt einen Stoß zwischen Photonen und Metallelektronen vorstellen, wobei die Energie eines Photons vollständig auf ein Elektron übertragen wird. Ist also die Energie, die bei der Wechselwirkung zwischen einem Photon und einem Elektron übertragen wird größer als die notwendige Austrittsarbeit W A, dann wird dieses Elektron aus dem Metall herausgelöst (W > W A ). Der französische Physiker Alexandre Becquerel ( ) beobachtet 1839, dass sich die Lebensdauer von Batterien durch direkte Sonneneinstrahlung verlängert. 1886/87 widmen sich Heinrich Hertz ( ) und sein Schüler Wilhelm Hallwachs ( ) einer genaueren Untersuchung des Photoeffekts. Von Hallwachs wird beobachtet, dass sich negativ geladene Metallplatten entladen und sich neutrale Platten positiv aufladen, sobald sie mit UV-Licht bestrahlt werden. Wird eine Glasplatte, ein UV-Filter, in den Strahlengang gebracht, beobachtet er, dass diese Effekte nicht mehr auftreten. Alternativ wird der äußere Photoeffekt daher auch als Hallwachs-Effekt bezeichnet. Zur Erklärung des Photoeffekts wird im historischen Kontext zunächst angenommen, dass die Energie der ausgetretenen Elektronen proportional zur Intensität der eingestrahlten Lichtwelle ist. Grundlage dieser Annahme ist das Modell der Lichtwelle, bei dem man davon ausgeht, dass die eintreffende elektromagnetische Lichtwelle bei Resonanz mit den bestrahlten Elektronen diese zu ausreichend starken Schwingunen anregt, um sie aus dem Metallgitter zu lösen. Als historisch wichtige Erkenntnis gilt daher, dass die Intensität des monochromatischen Lichtes nur proportional zur Anzahl der Photonen und demzufolge auch nur zur Anzahl der herausgelösten Elektronen ist, jedoch kein Maß für den Energiegehalt der einzelnen Elektronen darstellt. Philipp Lenard ( ) zeigt 1900, dass ein direkter Zusammenhang zwischen der Frequenz des eingestrahlten Lichts und der Energie der Photoelektronen besteht. Das Modell der Lichtwelle liefert also keine hinreichende Erklärung des Photoeffekts. Robert Milikan ( ) führt 1912 Präzisionsmessungen zur Bestimmung des Planck schen Wirkungsquantums mit der Gegenfeldmethode durch kann Albert Einstein ( ) mithilfe seiner Lichtquantenhypthese (siehe nächster Abschnitt) den äußeren lichtelektrischen Effekt vollständig erklären, wofür er 1921 den Nobelpreis für Physik erhält. 4.2 Grundlagen und Versuchsidee Albert Einstein äußert die Theorie des Lichts als Teilchenerscheinung. Unter dieser Perspektive kann man das eingestrahlte Licht als einen Photonenstrom auffassen. Ein Photon, das auf ein Atom trifft, wird von diesem absorbiert. Ist die Energie des Photons größer als die notwendige Austrittsarbeit W A, kann sich das Elektron aus dem Metallgitter lösen. Am wahrscheinlichsten ist hierbei, dass der Energieübertrag nur zwischen einem Photon und einem Elektron des Atoms stattfindet. Dabei ist die Energie eines Photons über die Beziehung E = h ν (21) verknüpft. Folglich können nur solche Photonen Elektronen aus dem Metallgitter herauslösen, deren Ener-

15 4. Der äußere Photoeffekt gie h ν die stoffspezifische Austrittsarbeit W A übersteigt. Unter der Annahme, dass die herausgelösten Elektronen die kinetische Energie m 2 v2 besitzen, mit der Geschwindigkeit v der Elektronen, gelangt man zur Lenard-Einsteinschen Gleichung: m 2 v2 = h ν W A (22) Da bis auf v und ν nur Konstanten auftreten entspricht diese Gleichung einer linearen Gleichung der Form y(x) = mx + n. Ziel des Experiments soll es also sein, die Energie der herausgelösten Elektronen unter Bestrahlung mit Licht verschiedener diskreter Wellenlängen (Erinnerung: λ = c ν, λ-wellenlänge, c-vakuumlichtgeschwindigkeit, ν-frequenz) zu messen. Aus der Abhängigkeit zwischen der kinetischen Energie der Elektronen und der Frequenz des eingestrahlten Lichts ergibt sich das Planck sche Wirkungsquantum h als Anstieg der obigen Geraden. Zur Bestimmung von v bedienen wir uns der Gegenfeldmethode nach Milikan. Eine zwischen Kathode und Anode angelegte Gegenspannung U g erzeugt ein elektrisches Gegenfeld, das die Elektronen abbremst. Erhöht man die Gegenspannung U g solange, bis zwischen Kathode und Anode kein Strom mehr fließt, bedeutet dies, dass die Elektronen das Gegenfeld nicht mehr überwinden können. Falls die kinetische Energie der Elektronen Null ist, wenn sie gerade die Anode erreichen, so ist ihre kinetische Energie beim Austreten aus der Kathode gleich ihrer (im elektrischen Feld) potentiellen Energie an der Anode. Für diesen Fall gilt E kin = e U G mit der Grenzspannung U G und es folgt nachstehende Gleichung: e U G = h ν W A (23) Unter Verwendung eines Tabellenwertes für die Elementarladung e kann man nun die Energie der Elektronen in Abhängigkeit von der Frequenz des eingestrahlten Lichts darstellen. Abbildung 12: Zwischen der Energie der schnellsten Photoelektronen und der Frequenz des eingestrahlten Lichts besteht ein linearer Zusammenhang, dessen Anstieg dem plankschen Wirkungsquantum h entspricht. 4.3 Versuchsaufbau und Durchführung Mithilfe eines Prismas wird das durch verschiedene Linsen gebündelte Licht einer Quecksilberdampflampe in seine Spektralfarben zerlegt. Die einzelnen Spektrallinien werden über einen drehbar gelagerten Spiegel auf eine Photozelle umgelenkt. Die Photozelle besteht im wesentlichen aus einer Kathode und einer Anode, die sich in einer evakuierten Glasröhre befinden und wie in Abbildung 13 in einem Stromkreis verbunden sind. Mithilfe einer Spaltblende zwischen Spiegel und Photozelle wird sichergestellt, dass nur das Licht genau einer Spektrallinie an der Photozelle ankommt. Die Photozelle ist dabei mit einer kontinuierlich regelbaren Spannungsquelle zum Aufbau des Gegenfeldes, einem Voltmeter und einem Piko-Amperemeter verschaltet. Nun kann für die verschiedenen Wellenlängen jeweils eine Messreihe aufgenommen werden (Photostrom in Abhängigkeit von der Gegenspannung). Anschließend werden die Messwerte in einem Diagramm dargestellt, um daraus graphisch die Grenzspannung (entspricht Nullstelle, das heißt, wenn Photostrom gleich Null) genau zu ermitteln. Die genauen Wellenlängen werden nach der im Experiment zum Wasserstoffspektrum (Abschnitt 6) verwendeten Methode ermittelt. Dazu wird das Spektrum mithilfe des digitalen Gitterspektrographen der Lampe kontinuierlich vermessen. In Abbildung 15 ist das sich ergebende Spektrum dargestellt. 14

16 4. Der äußere Photoeffekt Abbildung 13: Licht trifft auf Kathode K, Photoelektronen gelangen bei angelegter Spannung zur Anode A. Strom I und Spannung U werden gemessen (Vorlage aus Quelle: [3]) Abbildung 14: Licht einer Quecksilberdampflampe durchläuft verschiedene optische Bauelemente. Durch die Zerlegung in seine spektralen Anteile trifft nur Licht einer bestimmten Wellenlänge auf die Photozelle. (Quelle: Versuchsanleitung) Aufgelistet werden in Tabelle 16 nur vier Spektrallinien der Quecksilberdampflampe, da weitere zwar vorhanden sind, aber aufgrund der sich ergebenden Abweichung nicht für die Bestimmung des Planck schen Wirkungsquantums berücksichtigt werden. 15

17 4. Der äußere Photoeffekt Abbildung 15: Spektrallinien der Quecksilberdampflampe Farberscheinung gemessene Wellenlänge Frequenz Literaturwert (nm) (10 14 Hz) (nm) Gelb 579,33 5, Grün 546,07 5, Blau 435,32 6, Violett 407,79 7, Tabelle 16: Ausgewählte Spektrallinien im Spektrum der Quecksilberdampflampe (Quelle für Literaturwerte: [1]) 4.4 Auswertung Grenzspannung Anhand der Spektrallinie der Wellenlänge λ = 564, 07 nm (grüne Spektrallinie) wird nun beispielhaft die Bestimmung der Grenzspannung U G gezeigt. Die Grenzspannungen der restlichen Wellenlängen werden am Ende dieses Abschnitts tabellarisch aufgelistet. Untersucht werden Werte, die sich der Grenzspannung beziehungsweise dem Wert I = 0 annähern. Das Diagramm in Abbildung 17 zeigt, dass zwischen dem Photostrom und der Gegenspannung kein linearer Zusammenhang besteht, sodass es sinnvoll ist, eine Linearisierung vorzunehmen. Den Herstellerangaben der Photozelle ist zu entnehmen, dass es sich um einen quadratischen Zusammenhang handelt. Fügt man zu den neu berechneten Wertepaaren ( I,U) eine Regressionsgerade hinzu, wird der quadratische Zusammenhang bestätigt. Aus der zu der Regressionsgerade gehörenden Geradengleichung der Form y(x) = m x + n wird nun die Grenzspannung U G bestimmt, indem der Photostrom I Null gesetzt wird, das heißt explizit erhalten wir aus I(U g ) = m U g + n = 0 die Grenzspannung U G = n m. Für die grüne Spektrallinie ergibt sich eine Grenzspannung von U G = 683, 76 mv. Farberscheinung Wellenlänge Grenzspannung Regressionsgerade (nm) (mv) Gelb 579,33 567,86 y = 0, 0107x + 6, 0761 Grün 546,07 683,76 y = 0, 0143x + 9, 7777 Blau 435, ,35 y = 0, 0085x + 10, 373 Violett 407, ,74 y = 0, 0047x + 6, 5553 Tabelle 18: Die aus der Regressionsgeraden erhaltenen Grenzspannungen in Abhängigkeit von der Wellenlänge des monochromatischen Lichts 16

18 4. Der äußere Photoeffekt Abbildung 17: Der Photostrom I einer (hier beispielhaft mit grünem Licht) bestrahlten Photozelle wird durch Erhöhung der Gegenspannung U g annähernd auf Null heruntergeregelt. Die Nullstelle wird nach der Linearisierung der Kurve aus der Geradengleichung berechnet Planck sches Wirkungsquantum Die ermittelten Grenzspannungen ermöglichen nun, das Planck sche Wirkungsquantum h zu bestimmen. Mithilfe von Formel 23 lässt sich h als Anstieg der Regressionsgeraden, die der Tabelle 18 zu entnehmen sind, bestimmen. Für die Elementarladung e wurde der Literaturwert verwendet. Die Frequenzen ν wurden gemäß der Formel ν = c λ umgerechnet und sind in Tabelle 16 aufgelistet. Abbildung 19: Die Energie der schnellsten Photoelektronen wird in Abhängigkeit der jeweiligen Lichtfrequenz dargestellt. Das Planck sche Wirkungsquantum h ist der Anstieg dieser Geraden. Der Anstieg der Geraden beträgt m = 3, V s, beziehungsweise mit dem Standardfehler der Regressionsgeraden (von Excel berechnet) m = (3, 81±0, 02) V s. Multipliziert mit e Lit erhält man das Planck sche Wirkungsquantum h = (6, 11 ± 0, 03) Js 17

19 4. Der äußere Photoeffekt Der im Experiment ermittelte Wert weicht um 7, 8% vom Literaturwert ab. Alternativ kann auch die Elementarladung e bestimmt werden, indem für das Plank sche Wirkungsquantum h der dazugehörige Literaturwert verwendet wird. Trägt man die Grenzspannung U g über der Frequenz ν ab, erhält man ähnlich wie in Abbildung 19 eine Gerade, deren Anstieg hier das Verhältnis h e in Standardeinheiten wiedergibt. Der Anstieg m dieser Geraden beträgt m = 3, Teilt man das Planck sche Wirkungsquantum durch diesen Anstieg, erhält man für die Elementarladung e einen Wert von e = 1, C. Unter Anwendung des linearen Fehlerforpflanzungsgesetzes und dem Standardfehler der Regressionsgeraden ergibt sich die Elementarladung e mit dem dazugehörigen Standardfehler: e = (1, 738 ± 0, 006) C Dies entspricht einer Abweichung von 8, 5% vom Literaturwert. 4.5 Fehlerbetrachtung Nach der Auswertung lässt sich beurteilen, dass dieses Experiment zur Bestimmung des Planck schen Wirkungsquantums geeignet ist, die Messung der Grenzspannung allerdings genauer sein könnte. Vorstellbar ist beispielsweise, Photostrom und Gegenspannung digital zu steuern und aufzuzeichnen, da somit die Fehler, die der Dunkelheit beziehungsweise den Mängeln des menschlichen Auges geschuldet sind, vermieden würden. Allgemein liegen recht viele Fehlerquellen vor. Zu den möglichen Quellen systematischer Messfehler gehört das Restlicht. Damit ist das Licht aller Wellenlängen gemeint, welches unbeabsichtigt in die Photozelle gelangt. Dieses Licht verfälscht durch Auslösen zusätzlicher Elektronen systematisch das Ergebnis der Messung. Da die Kabine jedoch abgedunkelt war und sich der Versuchsaufbau (siehe Abbildung 14) zusätzlich in einem vor Lichteinfall geschützten Gehäuse befand, spielt diese Fehlerquelle jedoch eine zu vernachlässigende Rolle. Eine weitere systematische Fehlerquelle liegt im Amperemeter. Da dieses, um die geringen Ströme I messen zu können, einen hohen Widerstand hat, ist die Anzeige träge, das heißt der eigentliche Wert wird erst nach einem größeren Zeitraum angenommen. Um dies zu vermeiden, wäre eine dementsprechend lange Wartezeit für jede einzelne Messung notwendig. Bei einer großen Anzahl von Messungen bedeutet das eine lange Experimentierzeit. Durch theoretische Überlegungen könnte ein Optimum an Wartezeit ermittelt werden. Der hohe Widerstand des Amperemeters birgt zusätzlich die Gefahr, dass durch eine unbemerkte Spitze der Widerstand zu lange braucht, um sich wieder zu entladen und so alle folgenden Messungen systematisch nach oben verfälscht sind. Um dem entgegenzuwirken, ist eine hohe Aufmerksamkeit gefordert und ein vorsichtiger und bedachter Umgang mit den Messbereichseinstellungen am Amperemeter. Nicht zu vernachlässigen ist die systematische Fehlerquelle, welche durch das Ausrichten der Photozelle bedingt ist. Damit ist gemeint, dass das Einstellen des gewünschten Lichtes teilweise nur bedingt exakt war, da mit dem ungenügend exakten Auge das Lichtmaximum nicht immer einwandfrei festgestellt werden konnte. Dies beeinflusst die Messwerte dahingehend, dass das Auslösemaximum für die jeweilige Farbe nur bei dem Intensitätsmaximum erreicht werden konnte. Folglich kann durch diese Ungenauigkeit nicht immer der theoretisch erwartete Wert erreicht werden. Um dies zu unterdrücken, könnte man technische Hilfsmittel erarbeiten, die helfen, das Maximum zu bestimmen. Oder man ändert den Versuchsaufbau dahingehend, dass an festen Punkten Maxima zu finden sind und die Photozelle exakt auf diese Punkte ausgerichtet werden kann. 18

20 5 Franck-Hertz-Versuch 5.1 Bedeutung und historische Einordnung 1911 bis 1914 wurde dieser Versuch von James Franck und Gustav Ludwig Hertz entwickelt und erstmals durchgeführt. Der Versuch bestätigt die Annahme der Existenz von diskreten Energieniveaus in Atomen, sodass nur bestimmte Energiemengen absorbiert werden können und bestätigt damit das Bohr sche Atommodell. Durch den Franck-Hertz-Versuch lässt sich das Verhältnis h e ermitteln, wodurch sich mit der Kenntnis über die Elementarladung e das Planck sche Wirkungsquantum h bestimmen lässt. 5.2 Grundlagen und Versuchsaufbau Das von Niels Bohr 1913 entwickelte Atommodell besagt, dass ein positiv geladener Atomkern von negativ geladenen Elektronen in diskreten konzentrischen Bahnen umkreist wird. Entgegen des bis dahin geltenden Leitsatzes, dass die Natur keine Sprünge macht ("natura non facit saltus"), nahm Bohr an, dass Elektronen sich nur auf Bahnen befinden, die bestimmte Bedingungen erfüllen, somit als stabil postuliert sind und auch auf ein anderes Energieniveau übergehen können. Bei solchen Übergängen gibt das Atom elektromagnetische Strahlung frei. Damit konnte Niels Bohr das Linienspektrum des Wasserstoffs erklären. Die Absorption beziehungsweise Emission der Energie ist durch die Differenz zweier Niveaus gegeben. Bohr stellte eine Frequenzbedingung auf, die den Zusammenhang von Anregungsenergie E eines Atoms und der Emission eines Photons der Wellenlänge λ darstellte. E a E e = h ν = h c λ Hierbei ist E a die Energie im Anfangszustand, E e die Energie im Endzustand, h das Planck sche Wirkungsquantum, ν die Frequenz der Spektrallinie, c die Lichtgeschwindigkeit und λ die Wellenlänge. Der Franck-Hertz Versuch basiert auf dem Prinzip der Energieübertragung bei einem inelastischen Zusammenstoß zwischen Elektron und Atom. Treffen die Elektronen mit einer bestimmten kinetischen Energie auf ein Atom, wird dieses angeregt und ein Elektron des Atoms springt auf ein höheres Energieniveau. Da dieser Zustand jedoch kein stabiler ist, fällt das Elektron wieder zurück auf sein ursprüngliches Energieniveau und emittiert dabei Energie in Form von elektromagnetischen Wellen. In einer evakuierten mit wenig Quecksilbergas (beziehungsweise Neongas) gefüllten Röhre werden Elektronen, die aus einer beheizten Kathode gelöst werden, durch Anlegen eines elektrischen Feldes beschleunigt. Nach Durchqueren eines Gitters treffen diese auf die Anode, sodass ein Strom fließt. Eine Gegenspannung von U gegen ist zwischen Gitter und Anode angelegt. Die Elektronen werden durch eine Heizspannung U Heiz aus der Kathode gelöst. Durch das Anlegen einer Spannung von U be werden die freigesetzten Elektronen beschleunigt, sodass ihre kinetische Energie während des Durchlaufens der Röhre stetig steigt. Die Elektronen stoßen auf die sich in der Röhre befindenden Atome. Um das Atom in einen angeregten Energiezustand zu versetzen, muss eine genau bestimmte Energiemenge übertragen werden. Solange die kinetische Energie der freien Elektronen nicht diese stoffspezifischen Energiemenge angenommen hat, verlaufen alle Stöße elastisch. Sobald die benötigte Energie erreicht wurde, stoßen die freien Elektronen inelastisch gegen die Atome und deren kinetische Energie wird von den Atomen absorbiert, sodass eines der Elektronen in der äußersten Schale des Quecksilber- Atoms auf ein höheres Energieniveau springen kann. Dieser Zustand ist instabil, sodass das Elektron des Atoms wieder zurück auf das ursprüngliche Energieniveau fällt. Dabei wird Energie in Form von einer elektromagnetischen Welle frei. Erhöht man die Beschleunigungsspannung weiter, beschleunigen die freigesetzten Elektronen in einem kürzeren Wegintervall, stoßen früher mit genügend Energie auf ein Atom, regen dieses an und können erneut beschleunigen. Alle Elektronen benötigen in etwa dieselbe Wegstrecke, um die gebrauchte Geschwindigkeit zu erreichen, um ein Atom anzuregen. Die Ebene, in der die Stoßreaktionen realisiert werden, wird durch Erhöhen der Beschleunigungsspannung in Richtung Kathode verschoben, sodass ein beschleunigtes Elektron auch mit mehreren verschiedenen Atomen inelastisch stoßen kann. Trägt man nun die gemessene Stromstärke über der Beschleunigungsspannung in einem I-U-Diagramm auf, sind mehrere Maxima erkennbar, deren stoffspezifischer Abstand genau bestimmt ist. Die freien Elektronen, deren Energie an ein Atom abgegeben wurde, wurden verlangsamt und wieder beschleunigt. Wenn die Elektronen das Gitter durchquert haben, werden jene Elektronen, deren kinetische Energie nicht ausreicht, um dieses Gegenfeld zu überqueren, abgelenkt und ausgefiltert. Sie tragen somit nicht mehr zur gemessenen Stromstärke bei. Da weiterhin ein gewisser Zufallsfaktor auftritt, dass ein Elektron, das sich kurz vor dem Gitter befindet, trotz genügend Energie nicht auf ein Atom trifft und (24)

21 5. Franck-Hertz-Versuch damit die Gegenspannung überwindet, ist das Minimum der Kurve größer Null. Abbildung 20: Aufbau des Franck-Hertz Versuchs 5.3 Durchführung und Auswertung Quecksilber Abbildung 21: Ein Kästchen auf dem Oszilloskop beträgt bei dieser Einstellung 2 ev. Der Abstand zweier Maxima beträgt somit 4, 7 ev. Es wird zuerst die mit Quecksilbergas (Hg) gefüllte Röhre betrachtet, die zu Beginn der Messung auf über 140 C erhitzt werden muss, sodass das in der Röhre gefüllte Quecksilber in seinen gasförmigen Aggregatzustand übergeht. Dazu wird eine Gegenspannung Ugegen 1 V, eine Heizspannung UHeiz 6 V und eine Beschleunigungsspannung von Ube 40 V angelegt. Ist diese so groß, dass der Strom sein Maximum erreicht hat, werden bei weiterer Erhöhung der Spannung die Quecksilber-Atome von den Elektronen angeregt, wodurch die Stromstärke wieder sinkt. Erhöht man die Beschleunigungsspannung, so steigen die Werte des Graphen wieder an, bis er ein weiteres Maximum erreicht hat. Die Differenz zwischen den einzelnen Maxima sind stoffspezifisch. Die gemessene Differenz lag im Mittel bei U0,gemessen = 4, 7 ev. Da das dabei entstehende Licht mit der Frequenz vhg monochromatisch ist, entspricht die gesamte ab- 20

22 5. Franck-Hertz-Versuch sorbierte Energie eines Elektrons genau der durch ein Photon wieder abgegebenen Energie, sodass man vereinfachend schreiben kann. Nach kurzem Umstellen ergibt sich das Verhältnis e U 0 = h ν Hg (25) h e = U 0 = U 0 λ Hg ν Hg c (26) Da die Wellenlänge der vom Quecksilber abgegebenen Lichtwelle im ultravioletten Bereich liegt und nur durch einen speziellen Quarzspektrographen beobachtet und gemessen werden kann, muss der experimentell bestimmte und bestätigte Wert für λ Hg = 253, 15 nm (Quelle: [1]) angenommen werden. Die Elementarladung e wird ebenfalls als gegeben angesehen (Literaturwert). Nun lässt sich das Plank sche Wirkungsquantum berechnen. h = U 0,gemessen e λ Hg c (27) h ermittelt = (6, 4 ± 0, 2) Js Zum Vergleich wird mittels des Literaturwertes des Planck schen Wirkungsquantums die Elementarladung e berechnet. Ausgehend von Formel 26 ergibt sich die Elementarladung: e ermittelt = (1, 7 ± 0, 3) Js Dieser Wert entspricht einer prozentualen Abweichung von 6, 12% vom Literaturwert. 5.4 Fehlerbetrachtung Anhand der Auswertung ist der Versuch als Nachweis und Ermittlung des Planck schen Wirkungsquantums geeignet. Jedoch liegt der Literaturwert nicht innerhalb der Standardabweichungen, was auf einen gröberen Fehler hinweist. Um dieser Ungenauigkeit entgegenzuwirken bietet sich eine noch feinere Untersuchung der Maxima an. Die prozentuale Abweichung von 3, 4% für das Planck sche Wirkungsquantum ist eine Abweichung die nicht zuletzt anhand der unvermeidbaren Fehler durch die verwendeten Geräte zu begründen sind. 21

23 6 Das Wasserstoffspektrum 6.1 Beschreibung Grundlagen und Versuchsidee Ziel des Versuches ist es, mit Hilfe der Aufnahme des Wasserstoffspektrums das Planck sche Wirkungsquantum h und die Elementarladung e experimentell zu bestimmen. Atomare Spektren haben im Laufe der Geschichte wichtige Aufschlüsse über den Aufbau der Elektronenhülle geliefert. Mit Hilfe von Gasentladungslampen können Linienspektren der emittierten Photonen aufgenommen werden, da die einzelnen Atome nur in geringem Maße miteinander wechselwirken und sich dadurch ein Abbild ihrer inneren Zustände ergibt. Das Wasserstoffspektrum ist das einfachste Spektrum und eignet sich aus diesem Grund gut für experimentelle Nachweise. Dabei entspricht jede Linie einer bestimmten Wellenlänge. Die Idee des Versuches basiert auf dem Bohr schen Atommodell und den Erkenntnissen von dem Mathematiker J. J. Balmer, der 1885 einen rein mathematischen Zusammenhang zwischen der Wellenlänge des emittierten Lichtes und der Anzahl der Elektronenschalen, die ein Elektron überspringt, erkannte. Laut dem Bohr schen Atommodell besteht ein Atom aus einem positiv geladenen Atomkern und Elektronen, die sich auf diskreten Bahnen um den Atomkern bewegen. Dabei ist der Bahndrehimpuls nach dem ersten Bohr schen Postulat ein ganzzahliges Vielfaches von h 2π. Also: L = m e vr = n h 2π Nach dem zweiten Bohr schen Postulat emittiert ein Elektron, welches von einem energetisch höheren Zustand (E n ) auf einen energetisch niedrigeren Zustand (E m ) übergeht, Licht bestimmter Energie in Abhängigkeit von dessen Frequenz, sodass gilt: (28) E = E n E m = hf = h c λ (29) Balmer hat dieses Verhalten speziell für die sichtbaren Spektrallinien des Wasserstoffatoms untersucht. Dabei orientierte er sich vorrangig an den Messungen von Angström, der unter anderem die Wellenlängen des emittierten Lichtes des Wasserstoffatoms bestimmte. Als allgemeine Formel für die Bestimmung der Wellenlänge des Lichtes fand er : n 2 λ = A( n 2 ), m = 2 (30) m2 Dabei ist A eine empirisch gefundene Konstante mit A = 3645, m = 3645, 6 Å. n beschreibt die fortlaufenden Bezeichnungen der Elektronenschalen mit n = 3, 4, 5 und 6 nach dem Bohr schen Atommodell. m ist die Zahl für die Elektronenbahn, die dem Kern am zweitnächsten ist, auf die die Elektronen übergehen schrieb der schwedische Physiker Johannes Rydberg diese Formel zu der heute verwendeten um: 1 λ = R ( 1 m 2 1 n 2 ) (31) Dabei ist R die sogenante Rydberg-Konstante für den unbewegten Kern. Bei der Aufnahme des Wasserstoffspektrums ist entscheidend, dass bei der Balmer-Serie m = 2 ist, denn bei dieser gehen die Elektronen auf die L-Schale (zweitnächste Bahn am Kern) über. Denn das gilt für die sichtbaren Spektrallinien des Wasserstoffatoms. Das Wasserstoffspektrum enthält noch andere Spektrallinien, die den Gesetzmäßigkeiten von Rydberg folgen. Sie sind jedoch unpraktisch für den Versuch, da sie sich im ultravioletten und im infraroten Bereich des Lichtes befinden. Nutzt man das erste Bohr sche Postulat und die Erkenntnis, dass für jedes Elektron auf den diskreten Bahnen die Coulombkraft eine Zentripetalkraft bildet, so erhält man für die Gesamtenergie, die sich aus der kinetischen und aus der potentiellen Energie des Elektrons zusammensetzt, auf der n-ten Kreisbahn: E n = m ee 4 8ɛ h2 n 2 (32)

24 6. Das Wasserstoffspektrum Abbildung 22: Übergänge im Wasserstoffatom nach Balmer Geht das Elektron von einer kernferneren Bahn auf eine kernnähere Bahn über, so erhält man mit dem zweiten Bohr schen Postulat: Also erhält man: h c λ = E n E m = m ee 4 8ɛ 2 0 h2 ( 1 m 2 1 n 2 ) (33) 1 λ = m ee 4 8ɛ 2 0 h3 c ( 1 m 2 1 n 2 ) (34) Daraus folgt mit den Gestzmäßigkeiten von Balmer und Rydberg, dass für die Rydbergkonstante gilt: R = m ee 4 8ɛ 2 0 h3 c Da die Naturkonstanten h und e bestimmt werden sollen, ergeben sich für deren Berechnung mit m=2 folgende Formeln: (35) h = 3 m e e 4 λ 8ɛ 2 0 c ( n 2 ) (36) 8ɛ 2 e = 4 0 h3 c λm e ( n ) 2 Dabei sind m e Masse des Elektrons, c Lichtgeschwindigkeit und ɛ 0 die elektrische Feldkonstante bekannte Naturkonstanten. h und e können im jeweiligen Fall als bekannt vorausgesetzt werden. Mittels des Versuchs ist also die Wellenlänge λ und die dazugehörige Schalenzahl zu bestimmen. Dazu wird nun das Linienspektrum des Wasserstoffs verwendet. (37) Versuchsaufbau und Durchführung Um das Linienspektrum des Wasserstoffatoms aufzunehmen, wird eine sogenannte Balmer-Lampe, eine Wasserstoffentladungslampe, verwendet. Das emittierte Licht wird mittels eines Glasfaserkabels zu einem 23

25 6. Das Wasserstoffspektrum computergestützten Gitterspektrometer ("getspec 2048") geleitet. In dem Gitterspektrometer wird das Licht unter Nutzung von Beugungserscheinungen in die einzelnen Wellenängen aufgespalten. Um das Licht in elektrische Signale umzuwandeln, wird ein CCD-Detektor verwendet. Der Detektor besteht aus mehreren CCD-Elementen, die zeilenartig angeordnet sind. Die CCD-Elemente sind Silizium-Halbleiter, aus denen aufgrund des inneren Photoeffekts durch das auftreffende Licht Elektronen aus den Atomen herausgelöst werden. Dadurch entstehen freie Elektronen und positive Löcher im Halbleiter. Dabei ist die Zahl der herausgelösten Elektronen proportional zu der Intensität das einfallenden Lichtes. Es kann ein elektrischer Strom gemessen werden. Jedem CCD-Element. auf das Licht trifft, kann dann eine bestimmte Wellenlänge zugeordnet werden. Dabei liegt der messbare Bereich ungefähr zwischen 250nm und 800nm. Das Ergebnis der Messung ist ein Diagramm, das einen Zusammenhang zwischen der Wellenlänge des jeweils eintreffenden Lichtes und dessen Intensität darstellt. Da das Gitterspektrometer im konkreten Fall noch nicht kalibriert wurde, das heißt, die im Diagramm angezeigte Wellenlänge entspricht nicht der tatsächlichen, wird zunächst eine Quecksilber-Neon-Lampe verwendet. Das Linienspektrum von Quecksilber ist bekannt. Durch eine Zuordnung der gemessenen Spektrallinien zu den bekannten Wellenlängen des Quecksilberspektrums kann eine Kalibrierfunktion für das Gitterspektrometer ermittelt werden. Sie lautet: λ korrigiert = 0, λ unkorrigiert + 243, nm (38) Durch diese Kalibrierfunktion erfolgt eine korrekte Zuordnung der Pixelpositionen im CCD-Detektor zu den tatsächlichen Wellenlängen. Nun kann das Wasserstoffspektrum aufgenommen werden. Die Spektrallinien werden nach abnehmender Intensität geordnet. Die Spektrallinie mit der höchsten Intensität entsteht bei dem Übergang des Elektrons von der dritten auf die zweite Schale. Bei diesem Übergang wird die geringste Energie frei, es entsteht also auch das Licht mit der größten Wellenlänge. Aus den Messungen ergibt sich folgende Zuordnung der Wellenlängen zu den verschiedenen n: Wert für n gemessene Wellenlänge Literaturwert Abweichung (nm) (nm) (%) 3 660,24 656,28 0, ,09 486,13 0, ,65 434,05 0, ,02 410,17 0,04 Tabelle 23: Spektrallinien im Spektrum der Wasserstofflampe (Quelle für Literaturwerte: [6]) Damit sind alle Vorraussetzungen erfüllt, um das Plank sche Wirkungsquantum h beziehungsweise die Elementarladung e zu berechnen. Abbildung 24: Spektrum der Wasserstofflampe 24

26 6. Das Wasserstoffspektrum Abbildung 25: Spektrum der Quecksilberdampflampe 6.2 Auswertung Für die Berechnung werden die Formeln 36 und 37 verwendet und man erhält für die erste Spektrallinie 9, h = 31 kg (1, ) 4 C 660, m 3 8 (8, F m ) m ( ) = Js s e = 4 8 (8, F m )2 (6, ) m s 660, m 9, kg ( ) = 1, C Insgesamt ergeben sich für die vier Spektrallinien Werte für h und e, welche in Tabelle 26 aufgelistet sind. Wert für n Plancksches Wirkungsquantum Abweichung vom Elementar- Abweichung vom Literaturwert Ladung Literaturwert (10 34 Js) (%) (10 19 C) (%) 3 6,6399 0,2 1,5997 0,2 4 6,6219 0,06 1,6029 0,05 5 6,6246 0,02 1,6024 0,02 6 6,6258 0,004 1,6022 0,003 Mittelwert 6, ,03 1,60 0,02 Tabelle 26: Ergebnisse für das plancksche Wirkungsquantum und die Elementarladung Damit ergibt sich als Mittelwert der Elementarladung mit dazugehöriger Standardabweichung: e = (1, 602 ± 0, 002) C Und schließlich ergibt sich als Mittelwert des Plank schen Wirkungsquantums mit dazugehöriger Standardabweichung: 6.3 Fehlerbetrachtung h = (6, 628 ± 0, 009) Js Abschließend lässt sich feststellen, dass der Versuch eine sehr genaue experimentelle Bestimmung der Naturkonstanten h und e liefert. Die geringen prozentualen Abweichungen von 0, 03% und 0, 022% vom Literaturwert sind damit zu begründen, dass die Messungen mit einem computergestützten Gitterspektrometer durchgegeführt werden. Dass nicht die exakten Werte ermittelt werden, liegt daran, dass die 25

27 6. Das Wasserstoffspektrum Kalibrierung des Spektrometers nur mit wenigen Spektrallinien erfolgt und die Kalibrierfunktion nur eine lineare Annäherung darstellt. 26

28 7. Bremsstrahlung 7 Bremsstrahlung 7.1 Bedeutung und historische Einordnung Die Röntgenstrahlung wurde von Wilhelm Conrad Röntgen entdeckt, dessen Namen sie heute zumindest im deutschsprachigen Rraum trägt (engl. X-Radiation). Über die Art der Entdeckung ist nur sehr wenig bekannt, da Röntgen selbst einen Großteil seiner eigenen Aufzeichnungen vernichtete. Die Veröffentlichungen von Röntgen sind deshalb die einzigen Quellen. In seiner Arbeit über eine neue Art von Strahlen, veröffentlicht am 28. Dezember 1895 in Würzburg, schrieb er über X-Strahlen und ihren Charakter, verschiedenste Stoffe durchdringen zu können, Fluoreszenzstrahlung in kristallinen Substanzen anzuregen, photographische Platten zu schwärzen und Gase ionisieren zu können. Um seine Entdeckung in der wissenschaftlichen Welt bekannt zu machen, ließ er eine kleine Anzahl von Sonderausgaben seiner Arbeit drucken, bei der er auch das erste "Röntgenfoto", eine Aufnahme der Hand seiner Frau, abdrucken ließ. Gerade dadurch erhielten die neuen Strahlen so viel mediale Aufmerksamkeit wie kaum eine andere wissenschaftliche Entdeckung. Schon am 5. Januar erschien der erste allgemein verständliche Artikel mit dem Titel "Eine sensationelle Entdeckung" in einer Zeitung. Bis dahin waren nicht alle Eigenschaften der Röntgenstrahlen klar etwa entdeckte Charles Glover Barkla, dass sich die Röntgenstrahlung aus zwei Komponenten zusammensetzt. Heute sind diese als Bremsstrahlung und charakteristische Strahlung bekannt. Ein weiterer Durchbruch gelang, als 1912 das Auftreten von Beugung und Interferenz beim Durchgang durch Kristalle nachgewiesen und somit die bisher noch nicht bestätigte Wellennatur der Röntgenstrahlung belegt wurde. Großen Erfolg hatte die Röntgenstrahlung, trotz ihres zerstörerischen Charakters auf den Körper, in der Medizin. So wird sie eingesetzt sowohl zur Untersuchung (z.b. Herzkatheterung, Computertomographie, Mammographie etc.) als auch zur Behandlung in Form von Strahlentherapie. Um einen sicheren Umgang in der Praxis zu gewährleisten, etablierten sich bereits seit 1900 Firmen, die sich auf Strahlenschutz spezialisiert hatten. Katode Beschleunigte Elektronen Antikatode Evakuierte Röhre Röntgenstrahlen Abbildung 27: Prinzipieller Aufbau einer Röntgenröhre. 7.2 Grundlagen und Versuchsidee Röntgenstrahlung ist eine elektromagnetische Strahlung mit einer Wellenlänge von 10 8 bis Meter (Quelle: [9]). Sie können durch eine Röntgenröhre erzeugt und mittels Röntgenspektroskopie untersucht werden. Eine Röntgenröhre besteht prinzipiell aus einer evakuierten Röhre in der sich eine Kathode, oft eine Glühkathode, und eine Antikathode (historisch bedingt hat sich für die Anode einer Röntgenröhre 27

29 7. Bremsstrahlung der Begriff der Antikathode etabliert) befinden. Zwischen Kathode und Antikathode wird durch Anlegen einer Beschleunigungsspannung ein elektrisches Beschleunigungsfeld erzeugt, welches die von der Kathode abgegebenen Elektronen zur Antikathode hin beschleunigt. Beim Auffallen dieser Kathodenstrahlung auf die Antikathode entstehen Röntgenstrahlen. Die Röntgenröhre erzeugt zwei Arten der Röntgenstrahlung, die sogenannte Bremsstrahlung und die charakteristische Röntgenstrahlung. Die Bremsstrahlung entsteht durch die starke Beschleunigung (Abbremsen) der Elektronen, wenn sie auf die Antikathode treffen, da beschleunigte geladene Objekte elektromagnetische Strahlung aussenden. Die Bremsstrahlung besitzt ein kontinuierliches Spektrum mit einem Maximum. Die charakteristische Röntgenstrahlung hingegen hat ein Linenspektrum, das für jedes Antikathodenmaterial spezifisch ist. Sie entsteht, wenn die hochenergetischen Elektronen kernnahe Elektronen der Atome der Antikathode herausschlagen und energiereichere Elektronen des Atoms diesen Platz unter Aussendung von Röntgenstrahlung bestimmter Energie einnehmen. Die Abbildung 28 zeigt den prinzipiellen Aufbau des von uns verwendeten Röntgenspektroskops. Abbildung 28: Prinzipieller Aufbau eines Röntgenspektroskops Hierbei ist der Detektor so an den Kristall gekoppelt, dass die eingezeichneten Einfalls- und Austrittswinkel immer gleich groß sind. Durch die bei der Reflexion auftretenden Inferferenzeffekte findet bei monochromatischer Röntgenstrahlung eine Reflexion nur bei bestimmten Einfallswinkeln statt. Für diese Einfallswinkel gilt die Bragg-Bedingung. Diese beschreibt wie sich Röntgenstrahlen an den unterschiedlichen Gitterebenen eines Kristalls reflektieren. ϑ ϑ d s Abbildung 29: Skizze der Bragg-Bedingung Wie in Abbildung 29 zu sehen ist, muss der Teil der elektromagnetischen Welle, der an einer unteren Gitterebene reflektiert wird, einen längeren Weg zurück legen. Damit sich die unterschiedlich reflektierten Wellen der Röntgenstrahlen nicht auslöschen, müssen sie sich in Phase befinden. Aus der Abbildung 29 folgt also, dass der längere Weg 2s gleich einem ganzahligem Vielfachen der Wellenlänge der Strahlung entsprechen muss. 28

30 7. Bremsstrahlung 2s = nλ (39) Ebenfalls lässt sich in der Skizze erkennen, dass für den Abstand der Kristalllagen d und der Hälfte des längeren Weges 2s eine trigometrische Beziehung besteht. sinϑ = s d (40) Weil der längere Weg nun also vom Einfallswinkel abhängt, wird er durch den entsprechenen Term substituiert. Und es ergibt sich die Bragg-Bedingung nλ = 2dsinϑ (41) Weil nur mit der ersten Ordnung der reflektierten Strahlung gearbeitet wird, ergibt sich. λ = 2dsinϑ (42) Wenn der Winkel ϑ nun bei einer Röntgenspektroskopie variiert und die zugehörige Intensität gemessen wird, erhält man ein Röntgenspektrum in Abhängigkeit vom Winkel. Über die Bragg-Bedingung und dem Abstand der einzelnen Lagen des Kristalls käme man von den Winkeln zu den entsprechenen Wellenlängen. Gibt ein Elektron seine gesamte kinetische Energie an ein einziges Röntgenphoton ab, so gilt für die energiereichsten Photonen: E e = E P hmax (43) Die kinetische Energie der Elektronen kurz vor Auftreffen auf der Antikathode ist das Produkt der Elementarladung mit der angelegten Beschleunigungsspannung e U. Die Photonenergie entspricht dem Produkt der planckschen Konstante und der Frequenz der Photonen h ν. Deshalb gilt für die Röntgenstrahlung e U = h ν max (44) Durch ersetzen der Frequenz durch den Quotienten der Lichtgeschwindigkeit c und der Wellenlänge λ ergibt sich Nach der minimalen Wellenlänge umgestellt, ergibt sich e U = h c λ min (45) λ min = h c e U Werden nun bei verschiedenen Beschleunigungsspannungen die minimalen Wellenlängen aus den minimalen Winkeln ermittelt, so erhält man mehrere Wertepaare von Wellenlänge und Spannung. Trägt man die Wellenlängen in einem Diagramm in Abhängigkeit von 1/U auf, so ergibt sich eine Gerade, deren Anstieg nach Gleichung 46 wie folgt ist (46) A = h c e (47) 7.3 Durchführung und Auswertung Um das Spektrum der Röntgenstrahlung aufnehmen zu können, stand ein Röntgenspektroskop, wie oben beschrieben, zur Verfügung sowie ein darauf angepasstes Computerprogramm, das die Wertepaare (Winkel und Zählrate) in einer ASCII-Datei ausgibt. In der folgenden Abbildung 30 wird beispielhaft bei einer Beschleunigungsspannung von 25kV einmal das gesamte Spektrum der Bremsstrahlung dargestellt. Man kann hier deutlich die charakteristische Strahlung (K α und K β ) des Kupfers in der ersten Ordnung erkennen. Diese sind zur Bestimmung der gesuchten Naturkonstanten unerheblich, jedoch sind diese nützlich, um die Qualität der Spektroskopie zu beurteilen. Aus den Literaturwerten (Quelle [2]) der Energie dieser Strahlung ergibt sich für die Winkel Um eine möglichst präzise Bestimmung des Planck schen Wirkungsquantums beziehungsweise der Elementarladung zu gewährleisten, werden die Spektren von neun verschiedenen Beschleunigungsspannungen 29

31 7. Bremsstrahlung Abbildung 30: Bremsstrahlung und charakteristische Strahlung bei einer Kupferanode und LiF-Kristall zur Bragg-Reflexion zwischen 13 kv und 25 kv untersucht. Dabei ist nur das kurzwellige Ende (bei kleinen Winkeln) des Spektrums von Bedeutung, daher werden aus Gründen der Genauigkeit und der Übersichtlichkeit nur diese Bereiche der Spektren aufgenommen und betrachtet. Zur Bragg-Reflexion wird ein Lithiumfluorid-Kristall verwendet, dessen Gitterstruktur kubisch ist und dessen Gitterkonstante 4, 026 Å beträgt (Quelle: [7]) Das bedeutet, dass einer Elementarzelle (kleinste Einheit des Gitters) ein Würfel mit der Kantenlänge von 4, 026 Å entspricht. Da Lithiumfluorid aus zwei Elementen zusammengesetzt ist, beträgt der Gitterabstand des Kristalls d LiF = 2, 013 Å(also die Hälfte der Gitterkonstanten). Abbildung 31 verdeutlicht dies nochmal. Abbildung 31: Gitterstruktur des LiF-Kristalls Der mit weißen Linien angedeutete Würfel stellt eine Elementarzelle mit der Kantenlänge der Gitterkonstanten dar. Der Gitterabstand der Ebenen ist halb so groß. Um die benötigten Grenzwinkel zu erhalten, wird für jede der neun Beschleunigungsspannungen das Bremsspektrum zwischen 4 und 15 aufgenommen. Grafisch dargestellt, ergibt sich die Abbildung 32. Aus den Messwerttabellen lassen sich die Grenzwinkel ablesen. Sowohl durch Ablesen aus einer Tabelle als auch durch einen Geradenausgleich ist nur eine näherungsweise Bestimmung dieser Winkel möglich. Wie genau die Gerade in dem Diagramm gelegt wird beziehungsweise ab welchen Winkel in der Tabelle eine erhöhte Zählrate zu erkennen ist, ist teilweise subjektiv. Mithilfe der Gleichung 42 ergeben sich die zugehörigen Grenzwellenlängen. Die folgenden Werte (Tabelle 33) wurden gemessen beziehungsweise berechnet. In der Darstellung der Grenzwellenlänge in Abhängigkeit von dem Reziproken der Beschleunigungsspannung ist der Anstieg der Regressionsgeraden laut Gleichung 47 A = hc e In Abbildung 34 ist dieser Zusammenhang dargestellt. Für den Quotienten aus planckschem Wirkungsquantum und der Elementarladung ergibt sich (48) h e = A c (49) 30