Übungsaufgaben. Physik I. Punktmechanik (Erhaltungssätze) Institut für mathematisch - naturwissenschaftliche Grundlagen

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1 Intitut für atheatich - naturwienchaftliche Grundlagen Übungaufgaben Phyik I Punktechanik (Erhaltungätze) Autor: Prof. Dr. G. Bucher Bearbeitet: Dipl. Phy. A. Szaz Juli 1

2 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Loil pielt Fußball und übt Freitöße (SS1) Loil Freitoß bleibt exakt die Flugzeit t F = 1. in der Luft und chlägt nach einer Strecke x = 36 ax wieder auf de Boden auf. Der Ball fliegt reibungfrei unter de Einflu der Schwerebechleunigung g = 1. a) Berechnen Sie den Gechwindigkeitvektor v, alo die Gechwindigkeitkoponenten v x und v y it denen Loil einen Ball abchießt. b) Berechnen Sie die Höhe h 1, in der der Ball in die Mauer einchlägt, wenn diee genau i Abtand x Mauer = 1 vo Abtoßpunkt aufgetellt it. c) Ein Spieler au der Mauer pariert den Freitoß. Er pringt präzie hoch, oda er genau in Ruhe it, wenn ihn der Ball in eine Schwerpunkt trifft. Da Zuaentreffen de Spieler it der Mae M = 49.5 kg und de Ball it der Mae =.5 kg kann al elaticher Stoß zweier Maenpunkte behandelt werden. Berechnen Sie die Gechwindigkeitvektoren von Spieler u 1 und Ball u nach de elatichen Stoß. d) Der Freitoß ei ein elaticher Stoß zwichen Loil Schuh (it Fuß) der Mae M Schuh = 4.5 kg und de Ball it der Mae =.5 kg. Berechnen Sie die Gechwindigkeitvektoren v Schuh und v Schuh vor und nach de Abtoß. e) Nochal derelbe Freitoß, dieal paiert er ungehindert die Mauer. Berechnen Sie die Höhe h, in der der Ball bei Torwart in d = Entfernung vo Abtoßpunkt einchlägt. f) Der Torwart fängt den Ball. Behandeln Sie da Fangen de Balle al inelatichen Stoß zweier Maenpunkte. Die Mae de Torwart beträgt M = 99.5 kg. Berechnen Sie die Energie Q, die bei Fangen de Balle in Wäre ugewandelt wird.

3 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Loil pielt Wilhel Tell (WS11/1) Loil it Laiendarteller bei den Wilhel Tell Fetpielen in Hinterdipflfing. N Seine Arbrut hat die Federkontante D = 1 bezüglich de Pfeil. Der Pfeil hat die Mae Pfeil =.1 kg. Zu Üben pannt Loil die Arbrut auf A =.5 3 und jutiert ie unter eine Winkel α A = arctan( ) bezüglich der Horizontalen. Die 4 Pfeilpitze it i Urprung de Koordinatenyte. Die Schwerebechleunigung wird it g = 1 angenoen. a) Berechnen Sie die kinetiche Energie de Pfeil E kin bei Verlaen der Arbrut. b) Berechnen Sie die Gechwindigkeitkoponenten v x und v y de Pfeil bei Verlaen der Arbrut. c) Der Pfeil fliegt nun reibungfrei unter de Einflu der Schwerebechleunigung. Berechnen Sie die Flugdauer t F und die Entfernung x ax de Pfeil, wenn Abchu- und Auftreffpunkt auf gleicher Höhe y = liegen. d) Berechnen Sie die Koordinaten ( x, y UP UP ) de oberen Ukehrpunkt der Flugbahn. e) Der Apfel auf den Loil nun chießt hat die Mae =.4 kg und befindet ich in einer Entfernung = 1. Abchu und Auftreffen befinden ich auf gleicher Höhe h = 1.65 und der Pfeil benötigt die Flugdauer t Fneu =. Berechnen Sie die Gechwindigkeitkoponenten v x und v y it denen der Pfeil auf de Apfel auftrifft. f) Der Pfeil vollführt einen zentralen elatichen (keinen geraden) Stoß it de Apfel. Berechnen Sie die Gechwindigkeitvektoren v Pfeil und v Apfel von Pfeil und Apfel unittelbar nach de elatichen Stoß. g) Berechnen Sie den Auftreffpunkt x plu de Apfel. h) In welcher Entfernung x vo Ort de elatichen Zuaentoße befindet ich der zurückprallende Pfeil wieder in einer Höhe h = 1.65? Apfel

4 i) Der Schu wird wiederholt und dieal durchchlägt der Pfeil den Apfel (näherungweie inelaticher Stoß). Berechnen Sie den Gechwindigkeitvektor v Pfeilapfel de gepfeilten Apfel nach de Stoß. j) Ein pezieller Krubogen weit eine nahezu kontante Zugkraft von F = 5 N auf. Der Spannweg, den ein Schütze aufbringen kann, ei Schütze =.6. Berechnen Sie die Energie E kinneu und die Gechwindigkeit v neu it der ein Pfeil der Mae =.1 kg abgechoen wird. Pfeil

5 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Sylveterkanone (SS11) Eine Kanone it der Mündung i Urprung de Koordinatenyte hat eine Rohrlänge l R = 1.5 und weit gegenüber der Horizontalen einen 4 Winkel α K = arctan( ) auf. Die Kanone verleiht einer Kugel it der 3 Mae K = 1 kg eine Bechleunigung a K = 1. Für die Bechleunigung i Rohr kann die Schwerebechleunigung vernachläigt werden. a) Berechnen Sie die Gechwindigkeitkoponenten v x und v y der Kanonenkugel bei Verlaen de Rohre. b) Berechnen Sie die kinetiche Energie E kin der Kugel bei Verlaen de Rohre. c) Die Kanonenkugel fliegt nun reibungfrei unter de Einflu der Schwerebechleunigung g = 1. Berechnen Sie die Flugdauer t F und die Entfernung x ax der Kugel, wenn Abchu und Aufchlag auf gleiche Niveau ( y = ) erfolgen. d) Berechnen Sie die Koordinaten ( x y UP, UP ) de oberen Ukehrpunkt der Flugbahn. e) Die Kugel trifft i Zenith der Flugbahn auf eine ruhende Mae Ruhe = 3 kg. ' ' Berechnen Sie die Gechwindigkeiten v K der anfliegenden Kugel und v Ruhe der ruhenden Mae unittelbar nach eine vollkoen elatichen Stoß. f) Berechnen Sie für beide Maen die Auftreffpunkte x K und x Ruhe auf de Niveau y = nach eine elatichen Stoß. g) Berechnen Sie den Auftreffpunkt x beide auf de Niveau y =, wenn der Stoß vollkoen inelatich erfolgt. h) Berechnen Sie die ruhende Mae M Ruhe o, da die Kanonenkugel nach eine vollkoen elatichen Stoß a Punkt ( x = 5, y = ) einchlägt.

6 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Loil i Cicu (WS1/11) Loil heuert it eine Elefanten Proboci axiu bei Circu an. Er lät ich unter einer kraftvollen Mitwirkung von eine ayetrichen Schleuderbrett in den Zelthiel katapultieren. Da Schleuderbrett beitzt auf der Seite de Elefanten eine Länge von l E =. Auf Loil Seite beträgt die Länge l L = 1. Proboci axiu drückt it der kontanten Kraft F E = 135 N enkrecht, alo parallel zur Schwerebechleunigung auf ein Ende de Schleuderbrett und bechleunigt dadurch Loil, der auf eine, de langen Ende de Schleuderbrett, teht ebenfall parallel zur Schwerebechleunigung. Loil teht gut i Futter, bringt eine Mae L = 9 kg auf die Waage. Proboci axiu kann ein Ende de Schleuderbrette genau u h =.5 nach unten drücken. Da Schleuderbrett ei zunächt aelo. Die Schwerebechleunigung wird it g = 1 angenoen. a) Berechnen Sie die Gechwindigkeit v L, it der Loil da Schleuderbrett verlät. b) Berechnen Sie die Zeit t E, über die Proboci axiu eine Kraft aufbringen uß. c) Berechnen Sie die Flughöhe h L, die der Schwerpunkt von Loil axial überwinden kann. d) Felix Magath it einen berüchtigten Medizinbällen itzt in der erten Reihe. Er hat einen Medizinball M = 1 kg o in der Circukuppel intalliert, da Loil bei eine Höhenflug, nachde er bereit eine Höhe h K = 3.75 überwunden hat, einen elatichen Stoß it de Medizinball auführt. Berechnen Sie die Gechwindigkeiten u L und u M von Loil und Medizinball unittelbar nach de Stoß. e) Da Schleuderbrett habe nun eine Mae Sch = 5 kg, e kann al dünner Stab odelliert werden und Proboci axiu tut wieder, wie ih geheißen. Er drückt it der kontanten Kraft F E = 135 N enkrecht, alo parallel zur Schwerebechleunigung auf ein Ende de Schleuderbrett. Berechnen Sie jetzt die Gechwindigkeit v LM, it der Loil da Schleuderbrett verlät. Hinwei: Nicht vergeen, da ich auch der Schwerpunkt der ayetrichen Wippe verändert.

7 f) Loil trainiert einen neuen Trick ein. Dieal lät Proboci axiu eine Mae von PM = 15 kg au einer Höhe h =.8 i freien Fall auf ein Ende de Schleuderbrett fallen. Loil Paradekörper it L = 9 kg ziert da andere Ende de Schleuderbrett. Die Wippe ei ideal elatich und aefrei. E wird alo keine Energie über Verforung oder ähnliche Prozee abgeleitet. Berechnen Sie die Gechwindigkeit v LG it der Loil von der Wippe abhebt. g) Berechnen Sie die Gechwindigkeit vpm der Mae PM nach de Aufprall auf die Wippe.

8 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Wibledon Chapionhip (SS1) Der Abtand zwichen Grundlinie und Netz de Tenniplatze beträgt exakt x = 7.. Bei Aufchlag wird der Ball in einer Höhe h =.45 über Grund vo Spieler genau waagerecht getroffen und chlägt auf der gegenüber liegenden Grundlinie ein. Die Schwerebechleunigung ei: g = 1. a) Berechnen Sie die Flugdauer t Flug de Balle. b) Berechnen Sie den Gechwindigkeitvektor v,it de der Ball auf der gegenüber liegenden Grundlinie einchlägt. c) Berechnen Sie die Gechwindigkeit de Schläger v1vor und u 1 nach de Aufchlag. Der Aufchlag kann al ein elaticher Stoß zweier Maenpunkte behandelt werden. Der Schläger hat die Mae Sch =.45 kg, die Mae de Balle beträgt B =.5 kg. d) Von der gegenüber liegenden Grundlinie wird der Ball o retourniert, da er exakt da Netz in der Mitte de Felde it der Höhe h =.8 paiert und wieder auf der Grundlinie landet. Berechnen Sie den Gechwindigkeitvektor v r, it de der Ball zurückgechlagen wird. e) Berechnen Sie die Gechwindigkeitvektoren de Schläger vo Rückchläger v vor und u nach de Aufprall de Balle. Auch dieer Aufchlag wird al elaticher Stoß zweier Maenpunkte behandelt und auch dieer Schläger hat die Mae =.45 kg. Sch

9 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Loil pielt Kopare bei Fil (WS9/1) Bei der Verfilung der Seechlacht von Trafalgar pielt Loil den angehenden Seehelden und chießt it einer augewachenen Kanone Kugeln der Mae = 3 kg. Die Kanone hat elbt eine Mae M = 4 kg und verleiht den Kugeln eine ittlere Bechleunigung a = 5. Die Rohründung hat die Koordinaten (, ) und da Ziel (Körper an einer Matpitze) die Koordinaten ( 1, 45 ). Die Kugel trifft genau i Zenith ihrer Flugbahn. Die Schwerebechleunigung wird it g = 1 angenoen. a) Berechnen Sie die Abchugechwindigkeit v der Kanonenkugeln und den Abchuwinkel α gegen die Horizontale. b) Berechnen Sie die dazu notwendige Rohrlänge l K der Kanone. c) Die Kanone it beweglich auf einer chiefen Ebene it der Steigung β = 1 % gegen die Horizontale gelagert (bei 1 % Steigung wären die zurückgelegten Wegtücke in horizontaler und vertikaler Richtung identich). Behandeln Sie den Schu al elatichen Stoß zwichen Kugel und Kanone und berechnen Sie die Rücktoßgechwindigkeit v der Kanone unittelbar nachde die Kugel da Rohr verlaen hat. d) Berechnen Sie die Höhe h, die die Kanone auf der chiefen Ebene axial gewinnt. e) Berechnen Sie die Zeit t ge, nach der die Kanone wieder in ihrer Augangpoition angelangt it. f) Berechnen Sie die Kraft F, die während der Bechleunigung der Kugel i Rohr auf den Rädern der Kanone latet. g) Die Kugel trifft da Ziel und der Treffer kann al vollkoen inelaticher Stoß betrachtet werden. Abgechoener Zielkörper und Kanonenkugel fallen in Waer nachde ie in horizontaler Richtung eine Wegtrecke x = 45 zurückgelegt haben (Aufprallpunkt hat alo die Koordinaten ( 165, ). Berechnen Sie die Mae de Zielkörper Z und die Energie E, die bei diee Stoß in Wäre ugewandelt wird. h) Berechnen Sie die kinetiche Energie E kin der beiden Körper vor de Aufprall auf die Waeroberfläche.

10 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Wagen fährt Berg hinunter (SS9) Ein Wagen fährt einen Berg ( α = 6 Steigung bezüglich der Horizontalen) hinunter (Höhendifferenz h = 1 ). Auf halber Strecke toppt der Wagen abrupt ab, da er auf einen Felbrocken prallt. Die Ladung fliegt ungebret in For eine waagerechten Wurfe au de Wagen. Ihre horizontale Startgechwindigkeit it die Gechwindigkeit de Wagen i Moent de Aufprall auf den Felbrocken. A Bergfuß befindet ich da Meer. Die Schwerebechleunigung ei: g = 1. a) Fliegt die Ladung in Meer? Wenn ja, wie weit vo Bergfuß entfernt landet ie i Waer? b) Fall die Ladung in Meer fliegt, berechnen Sie den Gechwindigkeitvektor it de ie auf die Waeroberfläche auftrifft. c) Wie lange dauert der Flug der Ladung in Meer?

11 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Ede und Loil achen Krach (WS7/8) Ede und Loil bechießen ich it Kanonen. Ede hat eine Kanone, Rohrlänge l = 1.5 unter eine Winkel α = arcin(.8) gegen die Horizontale aufgerichtet. Die Rohründung der Kanone ei i Urprung de Koordinatenyte und zielt in poitiver x-richtung. Die Kanone erreicht eine Nettobechleunigung a = 5 (Schwerebechleunigung g wird vernachläigt). Loil hat eine Kanone enkrecht (in y _ Richtung) augerichtet, Rohründung bei y =. Ede und Loil chießen gleichzeitig. Beide Kugeln queren alo gleichzeitig die Koordinate y = und führen a Scheitel der Flugbahn von Ede Kugel einen elatichen Stoß au. Die Schwerebechleunigung wird it g = 1 angenoen. a) Berechnen Sie für gleiche Kugelaen den Vektor der geeinaen Schwerpunktgechwindigkeit v SP (t) beider Kugeln al Funktion der Flugdauer t. Berechnen Sie dieen Vektor zu Zeitpunkt t =. b) Berechnen Sie Ort ( x, y Stoß Stoß ) und Zeitpunkt t Stoß de Zuaenprall beider Kugeln in der Luft, wenn der Abchu zu Zeitpunkt t = erfolgt und ich beide Kugeln nach de Verlaen der Kanonenrohre unter de Einflu der Schwerebechleunigung bewegen. KEde c) Berechnen Sie da Maenverhältni beider Kugeln, wenn ie nach eine KLoil elatichen Zuaentoß in der Luft yetrich zur x _ Koordinate de Zuaentoße x Stoß bei x KEde = x Stoß (leichtere Kugel, abgechoen von Ede) und x x + (chwerere Kugel, abgechoen von Loil) auf de KLoil = Stoß Erdboden ( y = ) aufchlagen. d) Berechnen Sie den Abtand zur x _ Koordinate x Stoß de Zuaentoße. e) Berechnen Sie den Auftreffpunkt x P der Maen KEde und KLoil auf de Erdboden ( y = ) nach eine vollkoen inelatichen Stoß.

12 f) Ede und Loil kegeln nun it ihren Kugeln auf einer horizontalen Ebene. Ede Kugel hat die Mae KEde =, Loil Kugel hat die Mae KLoil = 3. Beide Kugeln haben den Radiu r und hoogene Maenverteilung ρ. Die Kugeln haben entgegengeetzte Gechwindigkeiten: vede = vloil. Sie gleiten r reibungfrei und ohne Eigenrotation auf parallelen Bahnen i Abtand d =. Beide Kugeln führen einen vollkoen inelatichen Stoß au. Berechnen Sie die Schwerpunktgechwindigkeit v Schw und die Rotationfrequenz ω Schw u den geeinaen Schwerpunkt nach diee inelatichen Stoß.

13 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Loil ein trifft Edilein (SS7) Ede übt für Heiligenda. Er tößt Kugeln der Mae K = 1 kg. Dabei bechleunigt er die Kugel it einer kontanten Bechleunigung a = 5 über eine Strecke = 1. Die Strecke bildet it der Horizontalen einen Winkel α = arcin(.6). E wirkt die Schwerebechleunigung g = 1. a) Berechnen Sie den Winkel β, den Ede Mukelkraft it der Horizontalen bildet. b) Berechnen Sie den Gechwindigkeitvektor v, it de die Kugel Ede Hand verlät. c) Berechnen Sie die Arbeit W, die Ede bei Stoß verrichtet hat. d) Berechnen Sie die Flugzeit t Flug und die Entfernung x ax, nach der die Kugel genau wieder da Niveau de Abtoße erreicht hat. e) Loil (Mae: L = 1 kg ) pielt Polizit, teht auf glitchige Terrain und fängt die Kugel auf. Er bret ie auf einer Strecke L =.5 it kontanter Verzögerung a bre auf die Gechwindigkeit Null ab. Der Einflu der Schwerebechleunigung auf die Kugel kann dabei vernachläigt werden. Berechnen Sie die Kraft F enkrecht, die Loil während de Brevorgange auf den Boden auübt und die Kraft F parallel, die er bei Abbreen der Kugel abfangen uß. f) Berechnen Sie den Reibungkoeffizienten µ, den eine Schuhe indeten haben üen, dait Loil nicht wegrutcht. Nehen Sie an, da die Flugbahn der Kugel und Loil Schwerpunkt in einer Ebene liegen (fangen it de Schwerpunkt). g) Loil teht nun auf einer glatten Unterlage (Reibungkoeffizient µ = ) und die Kugel wird in einer Ebene, die einen Abtand d Fang =.5 zur enkrechten Ache durch einen Schwerpunkt hat, gebret. Loil Körper kann al hoogener Zylinder it Radiu r L =. angenähert werden Er bret die Kugel in Höhe eine Schwerpunkte ab. Die Verzögerung a bre it identich it obiger Teilaufgabe. Nach de Abbreen bleibt die Kugel in Ruhe auf de Boden liegen (kein inelaticher Stoß!). Berechnen Sie Loil Gechwindigkeit v rutch und die Kreifrequenz ω rutch auf de glatten Boden.

14 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Loil und Zenzi auf de Ei (WS6/7) Loil Zenzi it der Mae Z = 48 kg teht auf dünne, glatte Ei (Reibungkoeffizient: µ Ei = ). Loil wirft ihr ein Überrachungei (Maenpunkt der Mae = kg ) zu. E wirkt die Schwerebechleunigung g = 1. Abwurf- und ÜE Auftreffpunkt befinden ich auf gleicher Höhe. Der Abtand zwichen Loil und Zenzi beträgt d = 6 und die Flugzeit de Überrachungei t = 3. LZ a) Berechnen Sie den Abwurfwinkel α und die Abwurfgechwindigkeit v für da Überrachungei. b) Zenzi fängt da Überrachungei auf (näherungweie zentraler, inelaticher Stoß). Berechnen Sie den Gechwindigkeitvektor v Z it der Zenzi nach de Fangen auf de Ei gleitet. c) Nehen Sie an, da Zenzi bei Fangen da Überrachungei gleichäig (alo it kontanter Kraft) abbret. Berechnen Sie die Zeit t Fang, die der Fangvorgang indeten dauern uß, dait Zenzi nicht einbricht.wenn da Ei eine axiale enkrechte Punktbelatung von F = 11 N übertehen kann. d) Nehen Sie nun an, da Zenzi al lange, dünne, hoogene Stange it Länge l Z = 1.6 angenähert werden kann. Sie it it ihren Füßen fet it de Ei verbunden, kann alo nicht wegrutchen. Sie fängt da Überrachungei (inelaticher Stoß) it einer horizontalen Gechwindigkeit v h = genau in Höhe ihre Schwerpunkte. Zenzi teht enkrecht auf de Ei. Berechnen Sie die Kreifrequenz ω Z, it der Zenzi unittelbar nach de Fangen nach hinten ukippt. e) Statt de punktförigen Überrachungei wirft er jetzt einen Diku (hoogene dünne Scheibe it der Mae D = kg und de Radiu r D =.1 ) zu. Loil -1 wirbelt it einer Kreifrequenz ω L = 5. Diku und Loil haben dieelbe Rotationfrequenz. Der Einfachheit halber rotiert der Diku u eine Ache enkrecht zur Eifläche. Für die weiteren Rechnungen u Zenzi al chnöder hoogener Zylinder in die Rechnung eingehen (Mae: Z = 48 kg, Länge: l = 1.6, Radiu: r =.75 ). Zenzi fängt den Diku it eine Z Z Flug

15 Abtand =.4 zwichen ihrer Syetrieache und de Mittelpunkt de ZD Diku. Berechnen Sie die Kreifrequenz ω rot, it der ich Zenzi und Diku nach de Fangen drehen. f) Berechnen Sie die Kreifrequenz ω wirbel, wenn Zenzi den Schwerpunkt de Diku it ihrer Rotationache zu Fluchten bringt (den Diku über den Kopf hält). Nehen Sie an, da ich die Rotationache der Zylinderzenzi durch den Diku nicht verlagert.

16 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Torwartkunt (SS6) Loil tritt einen Abtoß. Der Ball wird auf Raenniveau unter de Winkel α = arcin(.6) abgechoen und trifft nach = 6 ax wieder auf Raenniveau auf. Die Schwerebechleunigung beträgt g = 1. a) Berechnen Sie die Flugdauer t Flug, die axiale Flughöhe y ax und die Abchugechwindigkeit v de Balle. b) Nach diee Flug über ax = 6 trifft der Ball auf de Raen auf, verliert dabei 3 1 einer kinetichen Energie, vollführt einen zweiten chrägen Wurf (unter de gleichen Winkel) und trifft genau auf der Torlinie wieder auf de Raen auf. Berechnen Sie die Entfernung x zwichen Abtoßpunkt und Torlinie. c) Loil Schu erfolgt al zentraler elaticher Stoß von Schuh (it Fuß) und Ball. Schuh (it Fuß) haben zuaen die Mae SF =.5 kg, der Ball hat die Mae B =.5 kg. Berechnen Sie den Gechwindigkeitvektor de Schuh (it Fuß) v 1 vor und u 1 nach de Abtoß. d) Zweiter Veruch: Loil klärt per Fallrückzieher. Der Ball tartet it der gleichen Anfanggechwindigkeit unter de gleichen Winkel wie bei Abtoß nur genau h = 1.6 über de Raen. In x = 6 Entfernung teht Spargelchorchi und acht einen Kopfball. Dieer Kopfball wird al vollkoen elaticher Stoß zwichen Ball und Schorchi Kopf behandelt. Schorchi Daten: Mae: SP = 49.5 kg, Länge: l SP = 1.6, Schwerpunkt genau in der Mitte, Figur wie eine dünne Stange Berechnen Sie den Gechwindigkeitvektor v Ball de Balle nach de elatichen Stoß. Hinwei: die vertikale Koponente ergibt ich au eine zentralen Stoß von Schorchi und Ball, die horizontale Koponente ergibt ich au eine exzentrichen Stoß, wobei Schorchi u einen Schwerpunkt rotiert und der Ball genau da Ende der dünnen Stange trifft.

17 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Teil I: Loil will punkten (WS5/6) Loil will einer Zenzi iponieren und pielt dehalb Gecho in eine Zirku. Loil, ein Maenpunkt der Mae L = 6 kg, wird von einer Kanone it einer effektiven Bechleunigung a = über eine Strecke =.5 bechleunigt. Der Winkel zwichen der Kanone und der Horizontalen beträgt α = arcin(.8). Sein Partner, Georg der Griffichere (Mae: M G = 1 kg ), lauert auf einer Trapezchaukel it einer Seillänge vo L = 5 (entpricht de Abtand zwichen de Schwerpunkt von Georg de Grifficheren und der Rotationache der Schaukel). Die Schwerebechleunigung ei g = 1. a) Berechnen Sie den Ort, an de ich die Rotationache der Trapezchaukel befindet, wenn Georg der Griffichere Loil genau i Scheitelpunkt einer Flugbahn fangen oll. Die Rohründung der Kanone oll der Koordinatenurprung ein. b) Berechnen Sie die Aulenkung der Schaukel β au der Ruhelage, wenn da Fangen al vollkoen inelaticher Stoß behandelt wird. c) Berechnen Sie die Aulenkung der Schaukel γ, wenn da Fangen ilingt und der Wurtfriedhof (für Vegetarier der Tofufriedhof) von Georg de (eit) Grifficheren zu eine vollkoen elatichen Stoß it Loil führt. Teil II: Ede probt für einen erten Bruch (WS5/6) Über ein Seil it Ulenkrolle will Ede chwarze Perlen au de dritten Stock eine Juwelier in Erdgecho tranferieren. Da nicht chief geht, übt er: In einer Höhe H = 1 über Grund it eine Ulenkrolle angebracht, über die ein aeloe Seil läuft. Ede it der Mae M E = 6 kg, (näherungweie ein Maenpunkt), teht auf de Erdboden. A anderen Ende de Seile hängt ein Gewicht (näherungweie ein Maenpunkt) it M G = 1 kg. Ede will da Gewicht unter de Einflu der Schwerkraft, Schwerebechleunigung g = 1, langa zu Boden laen. Da er da Seil nicht lolät, wird er nach oben bechleunigt. Auf halber Höhe h = 5, trifft er ich unanft it de nach unten fallenden Gewicht.

18 a) Berechnen Sie die Gechwindigkeit v, it der ich Ede und ein Gegengewicht treffen. b) Berechnen Sie die Gechwindigkeiten u 1 von Ede und u vo Gegengewicht unittelbar nach eine vollkoen elatichen Zuaento (Ede lät da Seil lo). c) Berechnen Sie die Gechwindigkeiten v E von Ede und v G vo Gegengewicht unittelbar nach eine teilelatichen Sto, bei de Ede da Seil nicht lolät (Ede und Gegengewicht haben nach de Stoß entgegengeetzt gleich große Gechwindigkeit). d) Berechnen Sie den Energietranfer E von kineticher Energie zu Wäreenergie bei eine vollkoen inelatichen Stoß, bei de Ede da Gegengewicht uklaert.

19 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Ede pielt den Helden (SS5) Dazu verdingt er ich i Zirku al Baron Münchhauen. Eine Kanone hat eine Rohrlänge L R = 5 und weit gegenüber der Horizontalen einen Winkel α = arcin(.8) auf. E wirkt die Schwerebechleunigung g = 1. Die Kanone verleiht einer Kugel it der Mae K = kg eine Bechleunigung a = 58. Ede it der Mae M = 8 kg E liegt it eine Schwerpunkt direkt vor der Mündung de Kanonenrohre. Ede und Kugel achen einen vollkoen elatichen Stoß. a) Berechnen Sie den Aufchlagpunkt x E von Ede, wenn Abchu und Aufchlag auf gleiche Niveau erfolgen. Nehen Sie an, da die Mündung de Kanonenrohre i Urprung de Koordinatenyte liegt. b) Berechnen Sie, wo ich die Kugel zu Zeitpunkt t =.75 nach de Stoß befindet. Vergeen Sie die Wirkung der Schwerebechleunigung nicht. c) Ede pielt jetzt Rieenfelge (neuer Schu, neue Glück). Dazu hängt Ede it de Kopf nach unten. Seine Füße ind drehbar befetigt. Ede it eine lange dünne Stange der Länge l E =. Ede fängt die Kugel genau in ihre oberen Ukehrpunkt in Kopfhöhe (Abtand der Kugel zu Drehpunkt von Ede Füßen genau h = ). Die Kugel kann al Maenpunkt und da Fangen al inelaticher Sto betrachtet werden. Berechnen Sie die Lage de Drehpunkte von Ede in eine Koordinatenyte it der Rohründung al Urprung. d) Berechnen Sie die Kreifrequenz ω 1 de Syte Ede-Kugel unittelbar nach de Fangen der Kugel. e) Berechnen Sie die Kreifrequenz ω bei Durchgang durch den oberen Totpunkt. f) Berechnen Sie die Energie E, die bei Fangen in Wäre ugewandelt wird.

20 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Ede pielt Robin Hood (WS4/5) Dazu baut Ede ein Katapult. Da Katapult beteht au eine ayetrichen, drehbar gelagerten, aeloen Hebel der Länge l. Da Schleudergewicht der Mae M K befindet ich auf de kurzen Hebelar i Abtand l M vo Drehpunkt. Auf de langen Hebelar it der Länge l = k lm itzt Ede (der zu chleudernde Körper) it der Mae E. Da Katapult unterliegt der Schwerebechleunigung g. Vor de Abchu it der Hebel de Katapult horizontal augerichtet. Burghof, Bezugebene de Katapult und die Oberfläche de Burggraben liegen auf de gleiche Niveau: y =. Der Drehpunkt de Katapult befindet ich bezüglich diee Niveau in einer Höhe y =.8. Bei Schleudern verliert Ede den Kontakt zu Katapult bei Winkel α = arcin(.8). a) Berechnen Sie allgeein die Gechwindigkeit v von Ede, zu de Zeitpunkt, zu de er den Kontakt zu Katapult verliert, al Funktion de Hebelare l M, de M Längenverhältnie k und de Maenverhältnie K = k. E b) Berechnen Sie den Zahlenwert der Gechwindigkeit v von Ede für eine Länge de kurzen Hebelar l M =.5, ein Längenverhältni k = 5 und die Schwerebechleunigung g = 1. c) Berechnen Sie die Scheitelhöhe y ax von Ede Flugbahn bezogen auf die Horizontale. d) Berechnen Sie den Abtand x D zwichen Mauer und Drehpunkt de Katapult für den Fall, da der Scheitel der Flugbahn genau über der Mauer liegt. e) Genau i Scheitel einer Flugbahn trifft Ede it der Mae E = 1 kg auf Ritter Georg den Schrecklichen der Mae M G = 15 kg. Beide führen einen zentralen elatichen Stoß au. Wo placht Ede in den Burggraben?

21 f) Bei zweiten Schleuderveruch tritt Georg der Schreckliche zur Seite, Ede fliegt ungebret über die Mauer weg und landet i Burghof auf de Mithaufen it 3 J den Daten: Mae M MH = 41 kg, pezifiche Wäre c = 4 1. kg K Berechnen Sie die Teperaturerhöhung ϑ i Mithaufen, veruracht durch Ede Abturz.

22 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Loil geht fenterln (SS4) Dazu benützt er eine aeloe Stange. Loil nit = 5 Anlauf und bechleunigt dabei kontant it a =. Loil Schwerpunkt befindet ich bei Abprung h S = 1 über de Erdboden. U zu Fenter der Angebeteten zu koen uß er einen Schwerpunkt u h = 3. hochhieven und dabei die Schwerebechleunigung g = 1 niederkäpfen. Die gelingt ohne Proble, nur hat ich Loil i Fenter geirrt und trifft tatt auf eine Zenzi auf den Großvater. Loil Paradekörper der Mae L = 75 kg und der Großvater it der Mae M GV = 1 kg vollführen in der Horinzontalen einen elatichen Stoß. Loil fällt unter de Einfluß der Schwerebechleunigung auf den Mithaufen, deen Oberfläche ich h M =.8 unter der Erdoberfläche befindet. a) Berechnen Sie wo und unter welche Winkel α Loil weich aber geruchvoll landet. b) Zweiter Veruch: Loil läuft wieder genauo an wie bei erten Veruch. Dieal hat er da richtige Fenter i Viier. Zenzi hat eine Mae von Z = 5 kg und nit den ungetüen Verehrer gebührend in Epfang: vollkoen inelaticher Stoß. Berechnen Sie die Gechwindigkeit u de Pärchen nach de Stoß.

23 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Fuballfieber (WS3/4) Ede tritt einen Freitoß: Entfernung zu Tor T =. Der Ball wird auf Raenniveau abgechoen und trifft auf der Torlinie wieder auf Raenniveau auf. Die Flugdauer beträgt t Flug = 1, die Schwerebechleunigung beträgt g = 1. a) Berechnen Sie den Abchuwinkel α de Balle owie eine axiale Flughöhe h ax. b) Genau in der Mitte zwichen Abtoßpunkt und Torlinie teht die Mauer. Spargelchorchi (al dünne Stange der Mae: Sp = 49.5 kg, Länge: l SP = 1.6, Schwerpunkt genau in der Mitte anzunehen) pringt o hoch, daß er den Ball der Mae B =.5 kg genau it eine Schwerpunkt abfängt. Gute Bauchukeln orgen dafür, daß diee Abfangen ein perfekt elaticher Stoß it. Der Ball wird al Maenpunkt betrachtet. Berechnen Sie, die Strecken Sp, wo uner Spargelchorchi und Ball, wo der Ball wieder die Erde berühren. c) Ede Schuß erfolgt al zentraler elaticher Stoß von Schuh (it Fuß) und Ball. Schuh (it Fuß) haben zuaen die Mae SF =.5 kg. Berechnen Sie den Gechwindigkeitvektor von Schuh (it Fuß) v 1 vor und u 1 nach de Abtoß. d) Torwartparade bei der Wiederholung: Dieal fliegt der Ball ungehindert durch die Mauer. Torwart Loil hechtet it einer Parade nach de Ball und hält ihn. Dabei liegt er waagrecht und augetreckt in der Luft ohne den Boden zu berühren. Loildaten: Länge l L =, Schwerpunkt genau in der Mitte, Mae L = 66 kg. Loil Körper wird al dünne Stange behandelt. Den Ball fängt er in eine Abtand LB = 1 von eine Schwerpunkt. Der Fang wird al vollkoen inelaticher Stoß behandelt. Berechnen Sie Loil Koponenten der Kreifrequenz ω h und ω v, die au der horizontalen bzw. au der vertikalen Gechwindigkeitkoponente de gefangenen Balle reultieren.

24 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Golfpiel (SS3) Ede beucht einen Golfkur. Bei Abchlagtraining herrchen zunächt ideale Bedingungen: Windtille und eine Schwerebechleunigung von g = 1 parallel zur negativen y-richtung. Ede chlägt unter eine Winkel α = 3 bezüglich der poitiven x _ Richtung ab. Die Gechwindigkeit de Balle beträgt v = 1. a) Berechnen Sie die axiale Flughöhe über de Grund y ax, die Flugweite x ax und die Flugdauer t Flug. Nehen Sie an, daß der Golfball ohne Luftreibung fliegt und Abchlag owie Auftreffpunkt auf gleicher Höhe liegen. b) Bei nächten Abchlag it gleiche Abchlagwinkel und gleicher Ballgechwindigkeit v weht ein Wind in z _ Richtung (alo enkrecht zur Flugbahn) und verleiht de Ball eine Bechleunigung a = 1. Berechnen Sie den Auftreffpunkt de Golfballe. c) Der Golfball hat eine Mae =. kg. Der Schläger hat eine Mae M =.1 kg. Schläger und Ball vollführen bei Abchlag einen elatichen Stoß. Berechnen Sie die Gechwindigkeit de Schläger v vor und u nach de Abchlag. d) Berechnen Sie die Energie E, die in Wäre ugeetzt wird, wenn Schläger und Ball einen vollkoen inelatichen Stoß auführen. e) Der Ball verliert bei jede Aufprall auf de Boden 36 % einer aktuellen kinetichen Energie. Berechnen Sie die Flugweite x ax neu und die Flugdauer t Flugneu bi der Ball unter dieen Bedingungen zur Ruhe kot.

25 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Stabhochprung (WS/3) Ede nit einen Anlauf 1 = 3 und bechleunigt kontant it der Bechleunigung a = 1. Ede hat eine Mae = 1 kg E.Die Schwerebechleunigung ei g = 1. a) Berechnen Sie die Endgechwindigkeit v 1 und die Bechleunigungzeit t 1 von Ede. b) Berechnen Sie die Höhe h 1, die Ede überpringen kann, wenn er einen Schwerpunkt genau paend über die Latte bewegt. Bei Abprung befindet ich der Schwerpunkt von Ede bei h S = 1 über Grund. c) Berechnen Sie die Zeit t, die zwichen de Überqueren der Latte und eine Aufprall auf der Matte it der Dicke d =.6 vertreicht. Hinwei: Ein Stabhochpringer landet idealer Weie it eine Schwerpunkt und nicht it einen Beinen auf der Matte. d) Ede legt die Latte auf h = 4.. Er verlängert einen Anlauf auf = 5 und läuft wieder it der kontanten Bechleunigung a = 1 an. Bei Abprung befindet ich ein Schwerpunkt wieder bei h S = 1 über Grund. Er überquert die Latte it eine Schwerpunkt, d. h. daß er die Latte gerade nicht reit. Berechnen Sie die horizontale Entfernung, in der Ede jetzt auf der Matte landet. e) Berechnen Sie die axiale Sprunghöhe h ax, die Ede it diee Anlauf erreichen könnte. f) Für Spezialiten: Ede hilft i Ziku bei einer Schleuderbrettübung für Anfänger au. Dabei handelt e ich u eine aeloe Kinderwippe it yetrichen Hebelaren l, die einen axialen vertikalen Hub von h = 5 zulaen. Ede Partner auf der gegenüber liegenden Seite der Wippe hat eine Mae P = 6 kg. Beide Partner haben gleichen Abtand vo Drehittelpunkt der Wippe. Der Partner itzt bereit auf der Wippe und Ede teigt in der Höhe h = 5 auf. Sein Schwerpunkt bewegt ich u h = 5 abwärt. Berechnen Sie die vertikale Gechwindigkeit v E, it der Ede a Boden ankot. g) Berechnen Sie die axiale Flughöhe H, die der Partner nach de Verlaen der Wippe noch erreicht.

26 h) Die Flugangt it überwunden. Ede pringt jetzt au einer Höhe h = 5 auf da Schleuderbrett. Sein Schwerpunkt hat ich alo h = 5 i Schwerefeld abwärt bewegt wenn er da Schleuderbrett berührt. Sein Partner hat wieder die Mae P = 6 kg. Berechnen Sie die Gechwindigkeit v P it der der Partner da Schleuderbrett verläßt. i) Berechnen Sie die Flughöhe H neu, die der Partner nach de Verlaen de Schleuderbrett erreicht. j) Berechnen Sie die kinetiche Energie Ekin die bei dieer Übung in Wäre und andere Energieforen verwandelt wird. Nehen Sie an, daß ich da Schleuderbrett nicht bewegt!

27 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Schiefe Ebenen (SS) Gegeben ind zwei V-förige aneinander grenzende chiefe Ebenen. Beide bilden einen Winkel α = 3 it der Horizontalen. Die Schnittgerade der beiden Ebenen verläuft ebenfall horizontal. E wirkt die Schwerebechleunigung g = 1. a) Betien Sie die Koponenten der Schwerebechleunigung parallel und enkrecht zur chiefen Ebene. b) Ein Maenpunkt it der Mae = 1 1 kg gleitet au de Stand unter Einfluß der Schwerebechleunigung reibungfrei eine Strecke =.5 1 diee Ebene hinab. Berechnen Sie die Endgechwindigkeit v 1 und die Gleitzeit t 1 de Maenpunkte. c) Nachde der Maenpunkt die Strecke 1 zurückgelegt hat, befindet er ich auf der Schnittgeraden der beiden chiefen Ebenen. Die it gleichzeitig der tiefte Punkt der Anordnung. Dort ruht ein weiterer Maenpunkt der Mae = 1 kg. Beide Maen toßen elatich. Berechnen Sie die Gechwindigkeiten u 1 und u beider Maen nach de Stoß. d) Beide Maenpunkte führen jetzt einen inelatichen Stoß au. Berechnen Sie die axiale Strecke, die beide Maen auf der chiefen Ebene nach de Stoß zurücklegen und die Energie Q, die bei diee Stoß in Wäre ugewandelt wird. e) Die Mae ei jetzt ehr viel kleiner al die Mae 1. Berechnen Sie für dieen Fall die axiale Strecke 3, die der Maenpunkt jetzt auf der chiefen Ebene zurücklegt. f) Der Maenpunkt ei wieder in Ruhe a tieften Punkt der Anordnung. Seine Mae it jetzt aber unbekannt. Beide Maenpunkte führen wieder einen elatichen Stoß au. Nach einer betiten Zeit t führen Sie einen weiteren Stoß a gleichen Punkt au. Berechnen Sie die Mae, für die diee Bedingung erfüllt it und die Zeit t, nach der der zweite Stoß erfolgt.

28 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Kanonenkugel (WS1/) Die Mündung eine Kanonenrohre befindet ich i Urprung eine x _ y _ Koordinatenyte. Die Kanone bechleunigt eine Kugel der Mae = 1 kg über t =.1 it einer Bechleunigung a = 1. Da Kanonenrohr weit einen Winkel α = 6 gegen die Horizontale auf. E wirkt die Schwerebechleunigung g = 1. a) Berechnen Sie Ort und Zeit, zu de die Kugel den höchten Punkt ihrer Flugbahn erreicht. b) In diee Punkt tößt die Kugel vollkoen elatich it einer zweiten dort ruhenden Kugel der Mae M = kg zuaen. Wann und wo chlagen beide Kugeln wieder auf der Horizontalen auf? c) Wenn beide Kugeln nun einen vollkoen inelatichen Stoß auführen, wann und wo chlagen dann die Kugeln auf der Horizontalen auf? d) Welche Energie wird bei diee Stoß in Wäre ugeetzt?

29 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Zwei Maen toßen zuaen (SS1) Eine Mae befindet ich in Ruhe i Schwerefeld der Erde. Zu Zeitpunkt t = tößt ie vollkoen elatich it einer Mae M, die ich it der Gechwindigkeit v entgegen der Schwerebechleunigung g bewegt, zuaen. Nehen Sie an, daß die Mae eine fixe Größe ei, während die Mae M variabel gewählt werden kann. a) Berechnen Sie die Gechwindigkeiten der beiden Maen nach de Stoß. b) Berechnen Sie die Zeitdauer bi die Mae bzw. M a oberen Ukehrpunkt angelangt ind. c) Bei welcher Mae M wird die Steigzeit der Mae axial? d) Berechnen Sie die Steigzeit und die Steighöhe der Mae für dieen Fall. e) Berechnen Sie die axiale Flughöhe und die axiale Flugweite, wenn die Mae M it der Gechwindigkeit v unter eine Winkel α = 45 bezogen auf die Richtung der Schwerebechleunigung g fliegt und it der Mae einen vollkoen inelatichen Stoß auführt.

30 Intitut für atheatich-naturwienchaftliche Mechanik/Erhaltungätze Kanonenkugel (WS/1) Eine Kanone it Rohrlänge l = 5 und Mae M = 1 kg verchießt Kugeln der Mae = 1 kg. Der Abchußwinkel beträgt α = 3 gegen die Horizontale. Die Bechleunigung i Rohr it a = 1. Die Schwerebechleunigung ei g = 1. a) Berechnen Sie die Gechwindigkeit v einer Kugel bei Verlaen de Rohre und die Zeit t Flug, bi die Kugeln a oberen Ukehrpunkt angelangt ind. b) Berechnen Sie die axiale Flugweite und die axiale Flughöhe für den Fall, daß Abchuß- und Auftreffpunkt auf gleicher Höhe liegen. c) Eine identiche Kanone verchießt ihre Kugeln unter eine Winkel β = 6 gegen die Horizontale. Weien Sie nach, da beide Kugeln die gleiche Schuweite erzielen. d) Berechnen Sie die Differenz in den Flugzeiten der beiden Kugeln. e) Berechnen Sie die bei Abchu wirkenden Kraftvektoren. f) Welche Reibungzahl bezüglich der Auflage uß die Kanone haben, dait ie ihren Standort nicht verändert?