Operationsverstärker und Analogrechner

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1 Elektronik Praktikum / Analoger Teil Name: Jens Wiechula, Philipp Fischer Assistent: Christian Niederhöfer Protokoll: Philipp Fischer Versuch: 5 Datum: Operationsverstärker und Analogrechner 1. Einleitung und Theoretische Grundlagen: Der Operationsverstärker: Das Bauelement Operationsverstärker liegt in Form eines IC, eines integrierten Schaltkreises vor. Er besitzt fünf Anschlüsse: 6 zwei niederohmige Eingänge, von denen einer invertierend wirkt 6 einen hochohmigen Ausgang 6 und zwei Anschlüsse für die Versorgungsspannung. Die sich im IC befindende Schaltung läßt sich schematisch auf teilen in die Eingangsstufe, bestehend aus einem Differenzverstärker mit Konstantstromquelle, einer weiteren Verstärkerstufe und einer gegengekoppelten Endstufe. Die technische Umsetzung des Operationsverstärkers sieht wesentlich komplizierter aus, wie gewöhnlich bei ICs besteht die Schaltung nur noch aus FETen und ist in der Fertigung auf spezielle Aufgaben ausgelegt. Abbildung 1 Schaltbild des Operationsverstärkers Funktion und Anwendungen: Ein idealer Operationsverstärker besitzt Eingänge mit möglichst hohem Widerstand, einen Ausgangswiderstand nahe Null und extrem hohe Verstärkung. Aus diesen Forderungen kann im Prinzip direkt auf die Wirkung des Operationsverstärkers im Leerlauf geschlossen werden: Einem winzigen Potentialunterschied zwischen den Eingängen folgt sofort die extreme Verstärkung dieses Unterschiedes am Ausgang und zwar im Sättigungsbereich. Dies ergibt sich später auch experimentell, im Anhang ist eine Skizze der Leerlaufverstärkung auf Seite 4 Bild in der die Sättigung der Verstärkung einem winzigen Eingangssignal in kürzester Zeit folgt. Daher auch die Bezeichnung Komparator für den Operationsverstärker. Er ist in der Lage eine fast digitale Aussage über den Unterschied zwischen zwei Potentialen zu treffen. Der invertierende Verstärker: Für die Analoge Elektronik eignet sich eine Funktionsweise dieser Art jedoch nicht oder ist selten erwünscht. Mit der Beschaltung durch verschiedene Widerstände kann die Verstärkung jedoch nach belieben gestaltet werden und dann bietet der Ausgang sicheres Signal, die Schaltung dazu heißt invertierender Verstärker: Abbildung invertierender Verstärker Man erreicht dies durch negative Rückkopplung: das Ausgangssignal wirkt dem Eingangssignal entgegen. Das erreicht man durch die Verbindung vom

2 Ausgang zum invertierenden Eingang mit einem Widerstand. Der Ausgang erschein dem Eingang also mit umgekehrtem Vorzeichen. Die Verstärkung dieser Schaltung erhält man mit der Kirchhoffschen Maschenregel: - U - I # R +U = 0 a n - U + I # R +U = 0 e 1 1 n Unter Vernachlässigung des in den Eingang (-) fließenden Stroms bei angenommenen unendlichem Eingangswiderstand findet sich mit I = I = I 1 die Gleichung für die Ausgangsspannung zu und die Verstärkung # R V R. In dieser Gleichung wird deutlich, wie besonders der Operationsverstärker ist: durch das Einsetzen zweier Widerstände ergibt sich eine stabile Verstärkung des Eingangs um den erwünschten Faktor. Die Schaltung ist durch folgende Merkmale gekennzeichnet: 6 das Ausgangssignal ist dem Eingangssignal gegenüber invertiert. Daher ergibt sich im AC - Betrieb der Anschein einer Phasenverschiebung um Spannungen können nicht nur verstärkt, sondern auch abgeschwächt werden mit R < R 1 6 der (+) Eingang liegt auf Masse, außerdem ist die Spannung zwischen den Eingängen U 0 n und somit der Eingang (-) auch auf Masse. Dadurch ergibt sich in der Schaltung ein virtueller Nullpunkt. Der hohe Eingangswiderstand des Operationsverstärkers kommt nicht zum tragen, R wird zum Eingangswiderstand der Gesamtschaltung. 1 Der nichtinvertierende Verstärker: Auch hier wird das Prinzip der negativen Rückkopplung angewandt, allerdings wird durch den Spannungsteiler am Ausgang nur ein Teil zurückgeführt. Auch hier kann man wieder die Spannungsdifferenz der Eingänge mit U n 0 nähern. Die Maschenregel gibt dann die Verstärkung - U + I ( R + R ) = 0 a 1 - U + I # R = 0 e Abbildung 3 nichtinvertierender Verstärker V R 1 R R wieder. Im Vergleich zum invertierenden Verstärker kennzeichnen den nichtinvertierenden 6 Eingang und Ausgang haben die gleiche Polarität 6 es kann keine Spannung abgeschwächt - Verstärkung kleiner eins - werden 6 der Eingangswiderstand ist noch höher als der des invertierenden, da die Eingänge direkt in den Operationsverstärker münden, und dieser daher den Eingangswiderstand bestimmt. Der Vorteil liegt darin, daß auch extrem stromschwache Signale ohne Fehler durch Absinken der Spannung verstärkt werden können.

3 Der Impedanzwandler: Dieses Verhalten führt dann direkt auf den Impedanzwandler. Dies ist der nichtinvertierende Verstärker der Verstärkung eins, also R = R = 0 1 Impedanzwandler bedeutet: hoher Eingangswiderstand bei geringem Ausgangswiderstand. Ein stromschwaches Signal wird dadurch effektiv im Strom verstärkt. Es können damit zum Beispiel Spannungsmessungen an stromschwachen Sensoren durchgeführt werden. Der Summationsverstärker: Der Aufbau des Summationsverstärkers ähnelt dem des invertierenden Verstärkers. Am Eingang liegen allerdings verschiedene Spannungen an, die im virtuellen Nullpunkt zusammengeführt werden. Hier kann wieder über die Maschenregel der Ausgang berechnet werden. Im Fall für gleiche Widerstände in den einzelnen Summanden-Leitungen ergibt sich dann für den Ausgang R 0 R (U 1... U n ). Dabei ist R der rückkoppelnde Widerstand und U... U die Eingangsspannungen. 0 1 n Der Integrator: Am Ausgang des Integrators findet man - daher der Name - das Integral des Eingangssignals. Die Kapazität C wird über den Widerstand R geladen. Am geladenen Kondensator liegt die Spannung U C an, die die Ausgangsspannung bestimmt: = - UC Abbildung 4 Schaltbild Integrierer Die Spannung am Kondensator wird aber durch seine Ladung bestimmt und die ist das Zeitintegral über den Ladestrom. Daher kommt die Integration im Integrator. Mit der Kondensatorspannung kann dann der Ausgang bestimmt werden: U C 1 I C P C dt Für einfache harmonische Signale kann die Verstärkungsgleichung für den invertierenden Verstärker mit dem komplexen Widerstand des Kondensators verwendet werden. Mit der Signalfrequenz f ergibt sich für den Ausgang t 0 A 1 (1 A) j f RC x j f RC Die Näherung ist gültig für große A. A steht für die Leerlaufverstärkung des Operationsverstärkers und 3 6 liegt in der Realität bei etwa 10 bis 10. Sie wird durch die einfache Gleichung U = A # U a beschrieben. Hierbei sei U die Differenzspannung zwischen den Eingängen des Operationsverstärkers. A ist somit eine von der Bauart des Verstärkers abhängige Größe. Im Zuge des Integrators ist auch der Differenzierer zu nennen. Es sind C und R vertauscht. Hier

4 können auch wieder die zwei Maschen betrachtet werden, es ergibt sich dann für den Ausgang und bei harmonischen Signalen für die Verstärkung. RC # A 1 (1 A) d dt 1 j f RC x j f RC Der Differenzverstärker: D e r Operationsverstärker in der Differenzverstärkerschaltung ist seine vollste Ausführung. Am Anfang wurde der Operationsverstärker als Komparator gedeutet, also als Spannungen vergleichendes Element. Als Differenzverstärker liegen auf den Eingängen die zu vergleichenden Signale. Der Ausgang liefert dann gemäß (U U 1 ) # die Verstärkung der Eingangsdifferenz. R 0 Abbildung 5 Differenzverstärkerschaltung Analogrechner: Da es bei harmonischen Signalen sehr gut möglich ist, diese zu integrieren und zu differenzieren, liegt die Fragestellung nahe, ob sich mit Operationsverstärkern auch eine mathematische Differentialgleichung lösen läßt. Im Versuch wird der Fall einer gedämpften harmonischen Schwingung betrachtet, ähnlich der Problematik eines Federpendels mit Reibung. Ausgehend von der Differentialgleichung 0 x = -. 0 x - & x t sucht man eine Lösung für x bei variablem. und &. Es steht dabei. für die Dämpfung und & für die Eigenfrequenz der Schwingung. Um einen sinnvollen Aufbau zu erhalten, versucht man, diese Gleichung zu erfüllen, indem die Summe auf der rechten Seite [ -. 0 t x - & x ] als Signal mit dem Ausdruck auf der linken Seite [ 0 t x ] zu verbinden, um Identität zu gewährleisten. Ist dies erreicht, so kann im Schaltkreis einfach das x entsprechende Signal aufgezeichnet werden. Um die gesamte Problematik zu erfassen ist noch zu erwähnen, daß eine Inhomogenität kein Problem darstellt, entsprechende Terme können einfach der Summe der rechten Seite [ -. 0 t x - & x ] zugefügt werden, in unserem Fall wäre dies eine äußere Anregung durch ein zusätzliches Signal zu den anderen geschaltet, also zu [ -. 0 t x ] und [ - & x ]. In Abbildung 6 ist der schematische Aufbau eines entsprechenden t Abbildung 6 Schaltbild eines Analogrechners zur Lösung einer Schwingungsdifferentialgleichung

5 Analogrechners dargestellt. Die Lösung der durch zwei Potentiometer und die äußere Anregung bestimmten Differentrialgleichung kann, am rechten Rand mit dem Oszilloskopsymbol angedeutet, gemessen werden. Prinzipiell besteht die Schaltung aus Integratoren, der Ordnung der Gleichung entsprechend. Das Signal, welches für 0t x steht und den ersten Integrierer speist, ist die Überlagerung beziehungsweise Summe 6 der äußeren Anregung (links oben im Schaltbild) 6 der ersten Ableitung mal Dämpfung [ -. 0 t x ] 6 und dem mit der Eigenfrequenz multiplizierten gesuchten Signal [ - & x ] Der Invertierer gibt das richtige Vorzeichen. Dämpfung und Eigenfrequenz funktionieren durch die Potentiometer so wie beim nicht-invertierenden Verstärker: je nach Einstellung erhält man die Gewünschte Verstärkung, also z. B. starke oder schwache Dämpfung. Um einen sinnvollen und vor allem meßbaren Ausgang zu erhalten, wird die Prozedur der Anregung und darauf folgenden Dämpfung regelmäßig mit einer bestimmten, niederen Frequenz wiederholt. Das Ergebnis ist immer gleich im Idealfall, so daß auf einem entsprechend - bezüglich der Zeit - eingestellten Oszilloskop der Ablauf einer einzelnen Schwingungsdämpfung sichtbar wird. Stellt man im x-y-betrieb die Spannung gegen den Strom des Ergebnisses da, erhält man aufgrund der Phasenverschiebung einen Kreis, ist Dämpfung eingestellt, so ergibt sich eine nach innen kreisende Spirale. Da die in der Schaltung vorhandenen Kapazitäten diesen Betrieb verhindern würden, werden sie durch eine vorhandene Automatik vor jedem Start entladen.. Versuchsdurchführung und Ergebnisse: Teil I 1. In Anhang ist auf Seite 1 Bild 1 die Verstärkung -1 dargestellt bei 500 Hz. Darunter die Signale Eingang und Ausgang gegeneinander aufgetragen. Das Ergebnis ist eindeutig linear. Im Gegensatz dazu Bild auf der selben Seite: hier sieht man, auch besonders gut im x-y-betrieb, die Verzerrung. Der Grenzfall ist im untersten Bild auf Seite 1 dargestellt: oberhalb der gemessenen 19,6 khz setzt die Verzerrung deutlich ein. Das Einsetzen der Verzerrung im Zusammenhang mit der Verstärkung ergab Verstärkung Verzerrung ab 19,6 khz 9,8 khz 5 khz,5 khz 0,9 khz Es wird ersichtlich, daß große Verstärkung nur zu Lasten des Frequenzbereichs möglich ist. Auf Seite im Anhang ist der integrierende Charakter des Operationsverstärkers für hohe Frequenzen (50 khz) in Bild sichtbar, im Vergleich dazu Bild 1 bei einer Frequenz von 500 Hz. Die weiteren Bilder 3 bis 6 auf dieser Seite zeigen die Verstärkung - und -5 für Sinus- und Rechtecksignal. Auf Seite 3 dann die Entsprechenden Aufnahmen für -10 und -0 fache Verstärkung.. Der von uns gebaute Summationsverstärker überlagert eine Sinus-Funktion mit einer Rechteckfunktion. Dies ist in Bild 5 auf Seite 3 im Anhang aufgezeichnet. Genauer ist der Ausgang, also das überlagerte Signal, und der Sinuseingang aufgetragen. 3. Der Folgeverstärker gibt mit der Verstärkung 1 Eingang und Ausgang gleichwertig wieder. Das aufgenommene Bild ist auf Seite 3 Nummer 6.

6 4. Beim nichtinvertierenden Verstärker haben wir die Widerstände im Verhältnis 1 zu 10 gewählt. Die Verstärkung ergab V 1 R 0 11 Dargestellt ist Eingang- und Ausgangsspannung im Anhang auf Seite 4 Bild 1. Im Gegensatz zur 10- fache gestreckten Eingangsspannung ist der kleine Unterschied zu erkennen. 5. Die Messung der Leerlaufverstärkung war nicht besonders erfolgreich, da diese selbst bei geringster Eingangsspannung von 0 mv den Operationsverstärker in die Sättigung brachte. Das Ergebnis ist auf Seite 4 im Anhang Bild skizziert. 6. Der aufgebaute Integrator ergab für verschiedene Eingangsspannungsarten und Frequenzen die Bilder 3 bis 6 auf Seite 4 im Anhang. 7. Auf Seite 5 schließlich noch Bild 1 und Bild als Ergebnis des Differenzierers: die differenzierte Sinus- und Dreieckspannung. Auf Bild 3 ist die Ableitung einer Rechteckspannung zu erkennen als mehr oder weniger deutliche Delta-Spitzen. Tatsächlich sieht man eine Fourier-Reihen ähnliche Skizze der Ableitung, da der Funktionsgenerator ebenfalls nach diesem Prinzip abreitet. Da Integrator und Differenzierer mit negativer Verstärkung aufgebaut wurden - gemäß dem invertierenden Verstärker - muß das Ausgangssignal verständlicherweise die Inversion der erwarteten Ableitung oder des erwarteten Integrals sein. Teil III Die Realisierung des Analogrechners erwies sich als einigermaßen problematisch, weswegen die Ergebnisse nicht besonders vielfältig ausfallen. Die Eigenschwingung des Systems ohne äußere Anregung und ohne Dämpfung wurde wie die folgenden Ergebnisse auch im x-y-betrieb aufgenommen und ist auf Seite 5 Bild 4 dargestellt. Dies ist das Bild einer theoretisch unendlichen Schwingung, Strom und Spannung bleiben im System erhalten, dies wird in einer Ellipse sichtbar. Die Aufnahmen 5 und 6 zeigen nun das gedämpfte System im Automatikbetrieb, daß heißt bei wiederkehrendem Start der Schwingung nach Entladen der Kapazitäten. Die Ellipsen sind chronologisch von außen nach innen gezeichnet, die Dämpfung verringert mit voranschreitender Zeit Spannung und Strom im System. Aufgenommen sin diesbezüglich zwei Fälle, Bild 5 zeigt die Schwingung bei geringer Dämpfung, der Energieverlust ist gering, die Spirale sieht besonders im inneren Bereich dem Kreis ähnlich. Im Kontrast dazu Bild 6, in dem hohe Dämpfung gewählt wurde. Der Energieverlust pro Schwingungsdauer ist wesentlich größer, weswegen, die Spirale auch viel stärker nach innen zum Nullpunkt tendiert als im schwach gedämpften System. 3. Literatur: Anweisungen zum Elektronikpraktikum, Uni FFM