Rechenschaltungen mit Operationsverstärkern. ohne Ballast. von

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2 echenschaltungen mit Operationsverstärkern ohne Ballast von Wolfgang Bengfort TAkademie.de / TTutorials.de lektrotechnik verstehen durch VIDOTutorials echtlicher Hinweis: Alle echte vorbehalten. Dieses Buch darf ohne Genehmigung des Autors in keiner Form, auch nicht teilweise, vervielfältig werden. Texte und Bilder Copyright 05 Impressum Wolfgang Bengfort Kinderhauser Straße Münster

3 Vorwort iner der wichtigsten Vertreter von integrierten Schaltungen in der analogen Schaltungstechnik ist der Operationsverstärker. Durch die universellen insatzmöglichkeiten dieses Bausteins werden Operationsverstärker in sehr hohen Stückzahlen hergestellt. Die hierdurch realisierbaren niedrigen Stückpreise und die Integration wesentlicher igenschaften eines Verstärkers auf einem einzigen Chip fördern die Beliebtheit. Das Verhalten von Operationsverstärkerschaltungen wird hierbei hauptsächlich durch die externe Beschaltungen bestimmt. Dies ermöglicht die universelle insatzmöglichkeit von Operationsverstärkern für verschiedenste analoge echenaufgaben. Auch wenn heute viele echenoperationen digital, beispielsweise mit Hilfe von Mikrocontrollern, durchgeführt werden, ist der insatz von Operationsverstärkern nach wie vor ein wesentlicher Bestandteil der Grundlagenausbildung von Studierenden der lektrotechnik, denn die klare Struktur von Operationsverstärkerschaltungen ermöglicht einen guten instieg in die analoge Schaltungstechnik. Ziel des vorliegenden Buches echenschaltungen mit Operationsverstärkern ist es, den Studierenden eine inführung in das Thema zu geben und bei dem Verständnis und der Berechnung von Operationsverstärkerschaltungen punktgenau zu unterstützen ohne Ballast. Das Buch erläutert zunächst die grundlegenden igenschaften von Operationsverstärkern, geht anschließend mit Beispielen auf die Begriffe Mitkopplung und Gegenkopplung ein und behandelt anschließend die wichtigsten Grundschaltungen im Zeitbereich. Mit einer kurzen Betrachtung von Operationsverstärkerschaltungen im Frequenzbereich schließt das Buch ab. Die Beispiele werden in speziellen OnlineVideos für die Leser dieses Buches veranschaulicht. Das vorliegende Buch setzt grundlegende Kenntnisse der Mathematik voraus, wie Sie in Bildungsgängen, die zur Fachhochschulreife bzw. zur Allgemeinen Hochschulreife führen, vermittelt werden. Lediglich für das letzte Kapitel werden Kenntnisse der komplexen Zahlen benötigt. Münster, Juli 05 Wolfgang Bengfort

4 Inhaltsverzeichnis Vorwort Was ist ein Operationsverstärker igenschaften eines Operationsverstärkers Operationsverstärker als Komparator Mitgekoppelter Operationsverstärker als SchmittTrigger Gegengekoppelter Operationsverstärker Invertierender Verstärker Berechnung des nichtinvertierenden Verstärkers Operationsverstärker als Impedanzwandler Operationsverstärker als invertierender Addierer Operationsverstärker als Subtrahierer Operationsverstärker als Integrierer Operationsverstärker als Differenzierer Operationsverstärkerschaltungen in der egelungstechnik Operationsverstärker im Frequenzbereich Beispiel: PDGlied

5 Was ist ein Operationsverstärker In der lektrotechnik ist es häufig nötig Signale möglichst linear zu verstärken. Statt Verstärkerschaltungen diskret mit (vielen) Transistoren aufzubauen werden häufig Operationsverstärker eingesetzt, in denen aufwändige Transistorverstärkerschaltungen auf einer integrierten Schaltung (IC=integrated Circuit) implementiert sind. Das Schaltbild dieses Operationsverstärkers sieht wie folgt aus: B B Der Operationsverstärker hat zwei ingänge, ein invertierender ingang, mit gekennzeichnet und ein nichtinvertierender ingang, mit gekennzeichnet. Der Ausgang ist auf der rechten Seite des Schaltzeichens zu erkennen. Die im Schaltbild angegebenen Anschlüsse für die Versorgungsspannung des Operationsverstärkers ( B, B ) werden häufig nicht eingezeichnet, so dass sich folgendes Schaltzeichen ergibt.

6 igenschaften eines Operationsverstärkers Durch den inneren Aufbau eines Operationsverstärkers ergeben sich igenschaften, die den Aufbau und die Berechnung von Operationsverstärkerschaltungen sehr stark vereinfachen. Die wesentlichen igenschaften eines Operationsverstärkers sind: Sehr hoher ingangswiderstand Der hohe ingangswiderstand eines Operationsverstärkers hat den technischen Vorteil, dass die Signalquellen, die an die beiden ingänge angeschlossen werden kaum belastet werden. Die ingangssignale erreichen also nahezu unverfälscht die Verstärkerschaltungen des Operationsverstärkers. in weiterer Vorteil des hohen ingangswiderstands ist, dass die Stromstärken, die in den Operationsverstärkers fließen, sehr klein sind und bei der Berechnung von Operationsverstärkerschaltung vernachlässigt werden können. Sehr hoher Verstärkungsfaktor in Operationsverstärker verstärkt die Differenz aus der Spannung an dem invertierenden ingang und dem nichtinvertierenden ingang ( d = V V ) mit einem sehr hohen Verstärkungsfaktor. Die Ausgangsspannung ist somit A V ( ) Der Verstärkungsfaktor V ist dabei so groß, dass er für praktische Berechnungen als unendlich groß angenommen werden kann. ine kleine Differenzspannung am ingang sorgt so dafür, dass die Ausgangsspannung auf den maximal möglichen Wert, nämlich der zur Verfügung gestellten Versorgungsspannung ansteigt. Für die praktische Berechnung von Operationsverstärkerschaltungen kann die Verstärkung V als unendlich groß angenommen werden. Durch eine geeignete äußere Beschaltung (Gegenkopplung, siehe später) wird erreicht, dass die Ausgangsspannung nicht nur die gesamte Versorgungsspannung ausgibt, sondern eine definierte (z.b. lineare) Verstärkung der ingangsspannung. Niedriger Ausgangswiderstand Bei der Berechnung von Operationsverstärkerschaltungen wird davon ausgegangen, dass nachfolgende Schaltungsteile einer Gesamtschaltung die zu berechnende Schaltung nicht belastet. Dies wird durch einen niedrigen Ausgangswiderstand und einen hohen ingangswiederstand der nachfolgenden Verstärkerstufe erreicht.

7 Operationsverstärker als Komparator Die grundlegende Funktionsweise eines Operationsverstärkers wird in seiner Verwendung als Komparator deutlich. Als Komparator vergleicht der Operationsverstärker die beiden ingangsspannungen und verstärkt die Differenz bis auf die Versorgungsspannung. B A B A ist B, wenn größer als ist. A ist B, wenn kleiner als ist. Diese Schaltung kann beispielsweise verwendet werden, um das Vorzeichen einer Spannung festzustellen. Hinweis: Aus graphischen Gründen ist der invertierende ingang nun unten eingezeichnet und auf die Darstellung der Versorgungsspannung verzichtet worden. A

8 Bei einer positiven ingangsspannung ist die Ausgangsspannung gleich der positiven Versorgungsspannung, bei einer negativen Ausgangsspannung gleich der negativen Versorgungsspannung. A B B In der egelungstechnik kann diese Schaltung beispielsweise verwendet werden, um abhängig von einer egelabweichung ein Stellglied zu schalten.

9 Mitgekoppelter Operationsverstärker als SchmittTrigger Auch wenn es hier eigentlich um echenschaltungen mit Operationsverstärkern geht, die durch eine Gegenkopplung entstehen, wird im Folgenden zunächst eine Mitkopplung beschrieben. Durch eine Mitkopplung erreicht man eine Hysterese, d.h. zwei Schaltschwellen. Bei der Mitkopplung wird ein Teil der Ausgangsspannung auf den nichtinvertierenden ingang zurückgekoppelt. s ergibt sich folgende Schaltung: A Zur Berechnung der Schaltung betrachtet man beide möglichen Betriebsfälle. Wenn die Spannung am nichtinvertierenden ingang positiv ist beträgt die Ausgangsspannung B. Wenn die Spannung am nichtinvertierenden ingang negativ ist beträgt die Ausgangsspannung B. Für die Berechnung der Schaltschwellen ist der ückkopplungspfad interessant: A

10 rster Fall: A=B Da in den ingang des Operationsverstärkers kein Strom fließt erhält man durch mzeichnen folgende Schaltung: I A = B So lange das Potential am nichtinvertierenden ingang positiv ist, beträgt die Ausgangsspannung A = B. Wechselt die Spannung an der Schwelle =0 von positiven Spannungen auf negative Spannungswerte schaltet der Operationsverstärker den Ausgang auf die negative Versorgungsspannung. s ist also die Spannung gesucht, auf die gesenkt werden muss, damit =0 wird. Für =0 ist I = B / denn die gesamte Spannung A fällt an ab. Der Strom fließt weiter zum ingang. An fällt also die Spannung = * I ab. Das Potential an liegt um diesen Wert unter 0 und beträgt somit: I B B Beispiel: Bei einer Versorgungsspannung von B =5V und gleichen Widerständen = =kω wechselt die Ausgangsspannung von B auf B bei einer ingangsspannung von = B =5V. Je nach Verhältnis von zu ändert sich diese Schaltspannung. Ist beispielsweise doppelt so groß wie beträgt die Schaltspannung: 5V 5V 7, V 5

11 Zweiter Fall: A=B Im zweiten möglichen Fall ist A = B. A Da es im Allgemeinen anschaulicher ist, wenn das positive Potential oben eingezeichnet wird, wird im Folgenden der Spannungsteiler gedreht dargestellt: I A = B m den Ausgang zu schalten muss das Potential an wieder positiv werden. Gesucht ist also wieder die Spannung, bei der =0 beträgt. Für =0 ist I = B /

12 denn die gesamte Spannung A fällt an ab. lässt sich somit berechnen aus: I B B Beispiel: Bei einer Versorgungsspannung von B =5V und gleichen Widerständen = =kω wechselt die Ausgangsspannung von B auf B bei einer ingangsspannung von = B =5V. Je nach Verhältnis von zu ändert sich diese Schaltspannung. Ist beispielsweise doppelt so groß wie beträgt die Schaltspannung: 5V 5V 7, V 5 Im folgenden Diagramm lässt sich das Verhalten der Schaltung gut erkennen: A B B Bei positiver Ausgangsspannung A = B bleibt die Ausgangsspannung so lange positiv bis die ingangsspannung die untere Schwellspannung unterschreitet. Beim nterschreiten der unteren Schwellspannung springt die Ausgangsspannung auf die negative Versorgungsspannung, A = B. Die Ausgangsspannung bleibt so lange negativ, bis die ingangsspannung die obere Schwellspannung überschreitet. In folgendem Video zeige ich den Operationsverstärker als SchmittTrigger in Aktion.

13 Gegengekoppelter Operationsverstärker Während ein mitgekoppelter Operationsverstärker wie eben gesehen schaltet, wird für den Aufbau einer Verstärkerschaltung eine Gegenkopplung verwendet. s gibt also zwei Arten der ückkopplung, die Mitkopplung und die Gegenkopplung. ückkopplung Mitkopplung Gegenkopplung Bei einer Mitkopplung wird das Ausgangssignal auf den nichtinvertierenden ingang des Operationsverstärkers zurückgeführt. Bei einer Gegenkopplung wird das Ausgangssignal auf den invertierenden ingang des Operationsverstärkers zurückgeführt. Die Gegenkopplung wird genutzt, um echenoperationen mit Operationsverstärkern durchzuführen. Diese echenoperationen können beispielsweise sein: sein. Verstärkung von Spannungen Addition Subtraktion Integration Differenzierung (Ableitung) Im Folgenden werden die wichtigsten OperationsverstärkerGrundschaltung beschrieben und berechnet.

14 Invertierender Verstärker ine der wichtigsten Grundschaltungen ist der invertierende Verstärker. I D A An der ückkopplung auf den invertierenden ingang ist die Gegenkopplung zu erkennen. Bei der Berechnung der Schaltung sind zwei igenschaften eines (idealen) Operationsverstärkers hilfreich.. Der Operationsverstärker hat einen unendlich hohen ingangswiderstand. Das bedeutet, dass der Strom in den invertierenden ingang gleich 0 ist. Der Strom I, der durch fließt, ist gleich dem Strom durch.. Der Verstärkungsfaktor V ist unendlich groß. Die zweite igenschaft hat einen sehr praktischen Nutzen bei der Berechnung. s gilt: A V D D V A Bei unendlich großem Verstärkungsfaktor ist somit D =0.

15 Da der nichtinvertierende ingang der Schaltung Massepotential besitzt, sorgt der Operationsverstärker bei einer Gegenkopplung durch die hohe Verstärkung dafür, dass sich das Potential am invertierenden ingang ebenfalls auf einem Potential =0V einstellt. Dieses 0VPotential nennt man virtuelle Masse. I Virtuelle Masse D =0 A

16 Berechnung des invertierenden Verstärkers Mit den obengenannten igenschaften lässt sich nun die Abhängigkeit der Ausgangsspannung A von der ingangsspannung berechnen. Da rechts vom Widerstand das Potential 0V beträgt (virtuelle Masse) beträgt die Stromstärke I: I Aus dem Maschenumlauf A I 0 folgt A I Also: A Die ingangsspannung wird also um einen konstanten Faktor, nämlich /, verstärkt. Zusätzlich wird das Vorzeichen invertiert. Daher der Name invertierender Verstärker. Im folgenden Video zeige ich den Operationsverstärker als invertierenden Verstärker in Aktion.

17 Berechnung des nichtinvertierenden Verstärkers D =0 I A Auch in dieser Schaltung sorgt die Gegenkopplung dafür, dass die Differenzspannung D =0 beträgt. Die ingangsspannung, die direkt am nichtinvertierenden ingang anliegt, fällt somit auch über dem Widerstand ab. Denn am invertierenden ingang und am nichtinvertierenden ingang liegt wegen D =0 das gleiche Potential. Somit beträgt die Stromstärke I durch und natürlich auch durch : I Die Ausgangsspannung A beträgt somit: A I I ( ) I ( ) A ( ) ( ) Die Ausgangspannung A hat also das gleiche Vorzeichen wie die ingangsspannung. s handelt sich daher um einen nichtinvertierenden Verstärker mit einem konstanten Verstärkungsfaktor, der größer als ist. Invertierende Verstärker und nichtinvertierende Verstärker können beispielsweise in der egelungstechnik als PGlieder eingesetzt werden.

18 Operationsverstärker als Impedanzwandler ine besondere Form des Operationsverstärkers als nichtinvertierender Verstärker ist der insatz als Impedanzwandler. ntfernt man in der vorherigen Schaltung den Widerstand ( = ) und schließt man den Widerstand kurz ( =0) erkennt man an der Übertragungsfunktion ( ) A dass in diesem Fall ist A gleich ist. s ergibt sich folgende Schaltung mit der Verstärkung. A Der Vorteil dieser Schaltung ist ein hoher ingangswiderstand und ein geringer Ausgangswiderstand. ine am ingang angeschlossene Signalquelle wird somit nur wenig belastet, die gleiche Spannung liegt dann am Ausgang des Impedanzwandlers an und kann durch folgende Schaltungsteile verwendet werden.

19 Operationsverstärker als invertierender Addierer I 3 I I A Wie der Name bereits vermuten lässt geht es in dieser Schaltung um die Addition von Spannungen. Anschaulich gesehen wird hier die Knotenregel (. Kirchhoffsches Gesetz) genutzt. Die Ströme I und I werden nach der Knotenregel addiert und als I 3 über den dritten Widerstand geleitet. Dieser Strom sorgt für eine Ausgangsspannung, die gleich der (negativen) Summe der ingangsspannungen ist. Mathematisch sieht das folgendermaßen aus. Wegen der virtuellen Masse ist I und I Mit I3 I I

20 ist die Spannung A um den Spannungswert, der am oberen Widerstand abfällt unterhalb von 0V. Also A 0V I3 ( ) Die Ausgangsspannung A ist also die (negative) Summe der ingangsspannung. Die Schaltung ist ein invertierender Addierer. Im folgenden Video zeige ich den Operationsverstärker als invertierender Addierer in Aktion.

21 Operationsverstärker als Subtrahierer I A In dieser Schaltung liegt der nichtinvertierende ingang nicht auf Masse, sondern über dem Spannungsteiler auf /. Aber auch hier sorgt der Operationsverstärker wegen der Gegenkopplung für eine Differenzspannung D =0. Der invertierende ingang liegt somit ebenfalls auf = /. Der Strom I lässt sich somit aus der Spannung, die am ingangswiderstand des invertierenden ingangs abfällt, bestimmen. I Die Ausgangsspannung A liegt um den Spannungsabfall des oberen Widerstands unterhalb von = /. Somit ist A : A I Die Schaltung oben subtrahiert also die Spannungen und.

22 Operationsverstärker als Integrierer Neben den elementaren echenoperationen wie die lineare Verstärkung, die Addition und die Subtraktion werden beispielsweise in der egelungstechnik weitere Operationen benötigt. Wichtige Funktionen sind hier die zeitliche Integration, bzw. die Differenzierung von Spannungssignalen. Bei der Integration soll das Integral einer Spannung über die Zeit gebildet werden. ine solche Funktion sähe dann folgendermaßen aus: A k dt wobei und A zeitabhängige Größen darstellen. ealisiert wird die Integration über diese Operationsverstärkerschaltung. C I A Die Gegenkopplung erfolgt hier über den Kondensator C. Bei einem Kondensator ist die gespeicherte Ladung proportional zur Spannung. s gilt: Q C C

23 Da der Strom I gleich der Änderung der Ladung ist, also die Ableitung der Ladung nach der Zeit, erhält man durch Ableitung der obigen Gleichung eine Beziehung zwischen Strom und Spannung am Kondensator. I dq dt C d dt C Bzw., wenn man beide Seiten über die Zeit integriert (Ableitung und Integration heben sich dann auf der rechten Seite auf): Idt C C Bzw. C Idt C Mit diesen Beziehungen kann nun die Schaltung berechnet werden. Durch die Gegenkopplung liegt das Potential am invertierenden ingang wieder auf der virtuellen Masse. Der Strom I berechnet sich daher aus: I

24 Dieser Strom sorgt für einen Spannungsabfall am Kondensator. m diesen Spannungsabfall liegt die Ausgangsspannung A unterhalb der virtuellen Masse. A 0V Idt C C dt C dt Die obige Schaltung integriert also die ingangsspannung. Als zusätzlicher konstanter Faktor kommt noch /C dazu. In folgendem Video zeige ich den Operationsverstärker als Integrierer in Aktion.

25 Operationsverstärker als Differenzierer Neben der Integration wird für die Verarbeitung von Signalen auch die Ableitung, die Differenzierung benötigt. Vertauscht man in obiger Schaltung Kondensator und Widerstand erhält man die entsprechende Schaltung. I C A Auch hier liegt durch die Gegenkopplung am invertierenden ingang die virtuelle Masse, so dass der Strom I I C d dt beträgt. Die Ausgangsspannung A liegt wieder um den Spannungsabfall am Widerstand unterhalb von 0V. A 0V I C d dt Die gegebene Schaltung differenziert also wie gewünscht die ingangsspannung. Zusätzlich kommt noch ein konstanter Faktor C dazu.

26 Operationsverstärkerschaltungen in der egelungstechnik An Hochschulen ist im Bereich egelungstechnik die ealisierung von eglern mit Hilfe von Operationsverstärkern fester Bestandteil der Vorlesungen, Klausuren und Prüfungen. Neben dem Pegler, der durch einen invertierenden oder nichtinvertierenden Verstärker realisiert werden kann sind vor allem PD, PI, und PIDGlieder von Bedeutung. Diese Glieder lassen sich zum einen sehr leicht durch die bereits gezeigten Grundschaltungen zusammenbauen. Zum anderen lassen sich die egler aber auch durch spezielle Schaltungen mit einem Operationsverstärker realisieren. Beginnen wir mit der Synthese aus den Grundschaltungen. Auf der linken Seite der Schaltung finden wir die drei Grundschaltungen invertierender Verstärker, invertierender Integrierer und invertierender Differenzierer.

27 Die Ausgangsspannungen dieser drei Grundschaltungen werden durch die Schaltung, dem invertierenden Addierer, addiert. s ergibt sich folgende Ausgangsspannung A : d dt 4C 3C dt A C dt C A 4 3 d dt Die Gesamtschaltung realisiert einen PIDegler, also einen egler mit P, I und DAnteil. Durch die Wahl der Bauelemente werden die einzelnen Anteile gewichtet. Die eihenschaltung sorgt dafür, dass die Invertierungen aufgehoben werden. Das Ausgangsignal ist so nicht mit einem Minuszeichen behaftet. Zur ealisierung von PI und PDeglern werden die nicht benötigten Schaltungsteile einfach weggelassen. Für die ealisierung dieses PIDeglers werden jedoch vier Operationsverstärker benötigt. inen Aufbau eines PIDeglers mit nur einem Operationsverstärker zeigt folgende Schaltung. C I C C I I

28 Zur Berechnung dieser Schaltung ist auch hier das Verhältnis von Spannung und Stromstärke an einem Kondensator wichtig. Also: I C d dt bzw. C Idt C Da am invertierenden ingang des Operationsverstärkers durch die virtuelle Masse ein Potential von 0V besteht lassen sich die Stromstärke durch und C berechnen und zum Gesamtstrom I addieren. d I C dt Dieser Strom I fließt weiter über die eihenschaltung aus und C und sorgt für eine Ausgangsspannung, die um den Spannungsabfall an und C unterhalb von 0V liegt. 0V I C Idt

29 d d C C dt C dt dt Da sich die Integration und Differenzierung in der rechten Klammer aufheben, erhält man durch Ausmultiplikation und mstellung: C d C dt C dt C Die Gewichtung der einzelnen Anteile lassen sich auch hier durch die Wahl der Bauelemente einstellen. Das negative Vorzeichen muss jedoch berücksichtigt, bzw. durch eine zusätzliche Invertierung wieder aufgehoben werden.

30 Operationsverstärker im Frequenzbereich Die ntersuchung des Übertragungsverhaltens von Schaltungen für sinusförmige Signale unterschiedlicher Frequenzen ist eine sehr häufige Aufgabe in der lektrotechnik. So wird beispielsweise in der egelungstechnik der eglerentwurf und die ntersuchung von Stabilitätskriterien eines egelkreises häufig im Frequenzbereich durchgeführt. Für die ntersuchung von Operationsverstärkerschaltungen im Frequenzbereich sind grundlegende Kenntnisse im Bereich der Wechselstromtechnik und der komplexen Zahlen Voraussetzung. ine inführung in die Wechselstromtechnik und die komplexen Zahlen bieten meine verlinkten Books und Kurse auf TAkademie.de. Weiterführende Informationen für den fortgeschrittenen Studenten bietet auch mein Book zu den BodeDiagrammen. In vielen Grundschaltungen wird der gegengekoppelte invertierende Verstärker verwendet, wobei die verwendeten Widerstände nicht ohmsche Widerstände sondern komplexe Wechselstromwiderstände sind. Z Z

31 Wie für das Verhalten im Zeitbereich gilt auch hier analog: Z Z in einfaches Beispiel ist das Übertragungsverhalten eines invertierenden Integrierers mit Z X C jc Die Übertragungsfunktion lautet für den invertierenden Integrierer demnach: X jc jc C An der Übertragungsfunktion erkennt man das Amplitudenverhältnis /ωc und die konstante Phasenverschiebung von 90. In folgendem Video zeige ich das Verhalten des Operationsverstärkers als Integrierer im Frequenzbereich.

32 Beispiel: PDGlied ine elektrotechnische ealisierung des PDGliedes ist mit folgender Operationsverstärkerschaltung möglich. Für die oben angegebene Schaltung gilt Z und Z X C jc jc Somit ergibt sich für die Übertragungsfunktion der Schaltung: jc jc Z jc ine weitere Betrachtung zur Berechnung der Übertragungsfunktionen von Operationsverstärkern im Frequenzbereich würde den ahmen dieses kleinen Books sprengen.

33 Für weitere Informationen zur Anwendung von Übertragungsfunktionen und zur graphischen Analyse von Systemen im Frequenzbereich mit Hilfe von BodeDiagrammen empfehle ich mein Book Bode Diagramme in der lektrotechnik.