Korrelation und Assoziation

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1 Sche- ud Noe- Korrelato Korrelato ud Aozato Schekorrelato: zwe Merkmale häge bede vo eem wetere drtte ab Noekorrelato: zwe Merkmale habe ee hohe Korrelato, aber kee urächlche Zuammehag Korrelato ud Aozato Stärke ee Zuammehage zwche zwe Merkmale: Korrelato oder Aozato Form ee Zuammehage zwche Merkmale: Regreo Wahl eer geegete Maßzahl hägt jewel vorlegede Skaleveau der bede Merkmale X ud Y ab Korrelato- ud Aozatomaße Korrelato: bede Merkmale habe mdete ordale Skaleveau Aozato: mdete e Merkmal hat ur omale Skaleveau Habe de bede Varable uterchedlche Nveau, o ka e Koeffzet gewählt werde, der zu dem edrgere Nveau gehört. Alteratv mu ma auf ee Koeffzete auweche, der für uterchedlche Skaleveau etwckelt worde t.

2 Korrelatokoeffzet ach Brava-Pearo Korrelatokoeffzet ach Brava-Pearo emprche Kovaraz : verallgemeerte Varaz ( ( ( ( (. +. emprche Korrelatokoeffzet r r : ( ( ( ( r Korrelatokoeffzet ach Brava-Pearo Korrelatokoeffzet ach Brava-Pearo (Bepele chtlearer Zuammehäge t ur geeget de Grad der leare Abhäggket zwche de bede Varable X ud Y zu mee. Zuammehäge aderer Form, z.b. quadratche Zuammehäge, werde cht erkat De Iterpretato de Korrelatokoeffzete ollte daher mmer m Zuammehag mt der grafche Dartellug der Date (Scatterplot erfolge. r XY 0 7 8

3 9 Korrelatokoeffzet ach Brava-Pearo (Bepele chtlearer Zuammehäge r XY 0 0 Korrelatokoeffzet ach Brava-Pearo (Referezdagramme r XY r XY 0.70 Korrelatokoeffzet ach Brava-Pearo (Referezdagramme r XY r XY -.00 Korrelatokoeffzet ach Brava-Pearo Alteratve Berechug der Kovaraz mt ( ( (

4 Korrelatokoeffzet ach Brava-Pearo Alteratve Dartellug de Korrelatokoeffzete r Korrelatokoeffzet ach Brava-Pearo (Bepel Für Rehaerchtuge wurde de Azahl vo bechäftgte Mtarbeter(e owe da he zur Verfügug tehede jährlche Budget ( Taued Euro erhobe. : Az. Mt : Budget Budget Azahl der Mtarbeter(e Korrelatokoeffzet ach Brava-Pearo (Bepel : Az. Mt : Budget ( ( ( 0 ( + ( ( + ( ( + ( ( (.6 + ( ( ( 8. Korrelatokoeffzet ach Brava-Pearo (Bepel : Az. Mt : Budget ( ( ( 5. + ( ( ( (.6 + ( 5 ( ( ( ( ( r

5 Korrelatokoeffzet ach Brava-Pearo (Sportfet Korrelatokoeffzet ach Brava-Pearo (Sportfet Startummer m-Lauf( ec Wetprug ( m Startummer m-Lauf( ec Wetprug ( m Startummer m-Lauf( ec Wetprug ( m Wetprug m - Lauf 8 Korrelatokoeffzet ach Brava-Pearo r (Sportfet Startummer 00m- Lauf Wetpr ug Summe Ragkorrelatokoeffzet ach Spearma Urlte,..., (Spearma ρ bzw. r Ordugtattk (,..., ( (. Fall: ( < ( < L < ( Ragzahl: R ( : für alle, L, Be Bduge (egl. Te: detche Beobachtugwerte erhalte deelbe (mttlere Ragzahl mttlere Ragzahl arthmetche Mttel der a deelbe Beobachtugwerte zu vergebede Ragzahle: 0

6 Ragkorrelatokoeffzet ach Spearma Gegebe e de folgede Urlte ee Merkmal X mt 7 beobachtete Werte: ( ( ( 5 ( 6 (5 7 (6 (7 0 0 R( ( R( ( R( ( R( ( R( (5 R( (6 R( ( Ragkorrelatokoeffzet ach Spearma Ragkorrelatokoeffzet ach Spearma: Korrelatokoeffzet ach Brava-Pearo für de Ragzahle r : ( R( R( R( R( ( ( R( R( R( R( mt R( R( + ( E glt: r Ragkorrelatokoeffzet ach Spearma Lege kee Bduge vor, o lät ch r efacher bereche. Mt d R ( R( Ragkorrelatokoeffzet ach Spearma (Bepel mt Bduge Für 8 Schüler ergab ee Umfrage de folgede Schulote de Fächer Mathematk ud Muk. glt da r 6 d Schüler A B C D E F G H Mathematk 5 Muk 5 R(Mathematk R(Muk Ragzahl 5 (Mathematk für A, E ud H t Bdug

7 ( R( R( Ragkorrelatokoeffzet ach Spearma (Bepel mt Bduge R ( R(.5. ( R( R( ( R( R( 0.5( ( ( ( + ( r + 0.5( + ( ( + ( ( ( R( R( ( ( + ( + ( Ragkorrelatokoeffzet ach Spearma (Bepel mt Bduge Für 8 Schüler ergab ee Umfrage de folgede Schulote de Fächer Mathematk ud Muk. Schüler A B C D E F G H Mathematk 5 Muk 5 R(Mathematk R(Muk r E legt alo ur ee ehr gerge Ragkorrelato zwche de bede Schulfächer vor. Au der Mathematkote lät ch cht auf de Mukote chleße ud umgekehrt. 5 6 Ragkorrelatokoeffzet ach Spearma (Bepel ohe Bduge Be eer Beetzug für ee free Mtarbetertelle wurde 6 Kaddate owohl eem Wetet al auch eem pchologche Tet uterzoge. E ollte uterucht werde, ob de Ergebe der bede Tetrehe mteader korrelere. Ermttelt wurde dazu de Ragrehefolge der ech Kaddate be de bede Tet. Ee Berechug der Ragzahle t damt cht mehr ötg. E ergab ch: Bewerber A B C D E F Wetet 6 5 Pchologcher Tet Ragkorrelatokoeffzet ach Spearma (Bepel ohe Bduge Bewerber A B C D E F Wetet 6 5 Pchologcher Tet 5 6 Bewerber A B C D E F d R( - R( d r + ( (

8 Ragkorrelatokoeffzet ach Spearma (Bepel ohe Bduge Bewerber A B C D E F Wetet 6 5 Pchologcher Tet 5 6 Kotgezkoeffzet ach Pearo Aozatomaß für zwe omale Merkmale r o jl beobachtete Häufgkete der Kombato vo Merkmalaupräguge ( a, b, j, L, k, j l l, L, m, ( jl o ( H a j, b l E beteht alo e Zuammehag zwche dem Ergeb der bede Tet. Wer m Wetet gut war, chedet auch bem pchologche Tet gut ab. Wer chlecht bem Wetet t, gehört auch bem pchologche Tet zu de chlechte Kaddate. Rag 5 6 Wetet B D E F C A Pch. Tet E D B C A F 9 e jl erwartete Häufgkete, de ch be Uabhäggket vo X ud Y ergebe j.. l e jl : Spalteumme mal Zeleumme durch Geamtumme o oberved ud e epected 0 Kotgezkoeffzet ach Pearo Kotgezkoeffzet ach Pearo Kotrukto eer Hlfgröße: χ : j l Kotgezkoeffzete C: k m χ ( o e jl e jl jl E glt für de Kotgezkoeffzete: 0 C < m m ( k, m ( k, m k ud m d de Azahl der Spalte bzw. der Zele der Häufgkettabelle C : χ χ + korrgerter Kotgezkoeffzet C: C corr m m ( k, m ( k, m C

9 Kotgezkoeffzet ach Pearo Kotgezkoeffzet ach Pearo E glt für de korrgerte Kotgezkoeffzete: C corr trkte Abhäggket Be Uabhäggket glt: C corr 0 0 C corr Wchtger Hwe: De obe geate Hlfgröße heßt Vertelug, ämlch ee De χ, da e gut durch ee tattche χ -Vertelug bechrebe werde ka. χ -Vertelug t ee tetge (theoretche Vertelug; her legt jedoch ur dkrete Datemateral vor. Damt ee Appromato a ee χ -Vertelug gut t, ollte ach Cochra (95 mdete 80% aller erwartete Häufgkete e jl eer Mehrfeldertafel de folgede Fautformel erfülle: e jl 5 Kotgezkoeffzet ach Pearo Fautformel: e jl 5 Achtug: De be Uabhäggket zu erwartee Häufgkete olle de Fautformel erfülle, cht de beobachtete! It de cht der Fall, o müe beachbarte Zele oder Spalte ach achlogche Gechtpukte o lage zuammegefat werde, b obge Fautformel erfüllt t. De obe erwähte Korrektur de Kotgezkoeffzete t aber ur da haltlch gerechtfertgt, we dadurch kee Verfälchug vo Populatoverhälte auftrtt Bepel (Joe Cocker/Prce Rauchverhalte Säger R N Prce 5 6 Joe Cocker Für de erwartete Häufgkete e jl ergbt ch: Rauchverhalte Säger R N Prce Joe Cocker

10 χ Rauchverhalte Säger R N Prce 5 6 Joe Cocker Bepel (Joe Cocker/Prce Rauchverhalte Säger R N Prce Joe Cocker ( ( ( ( ( ( 0.7 C (, (, m C corr C m Somt gewt ma de Edruck, da ke Zuammehag zwche 7 Rauchverhalte ud Mukgechmack vorlegt Bepel (Natoe m Pflegehem I eem Pflegehem der Stadt Atadt wurde auf de geamt zwe Statoe Patet(e au dre Natoe gepflegt. Al Zuammehagmaß vo Statoe ud Natoaltät der Patet(e ergab ch e Kotgezkoeffzet C vo I der Gemede Btadt wurde eem Hem auf ver Statoe ebefall Patet(e au dre Natoe gepflegt. Her ergab ch e Wert vo C 0.7. Um de bede Heme mteader vergleche zu köe, wurde jewel der korrgerte Kotgezkoeffzet ermttelt. Dabe ergbt ch: C corr C corr ( Atadt ( Btadt Im Hem der Gemede Atadt t alo e höherer Zuammehag zwche de Merkmale Stato ud Natoaltät der Patete fetzutelle al dem Hem der 8 Gemede Btadt. Aozatokoeffzet ach Yule alteratve Maßzahl für zwe omalkalerte Merkmale X ud Y, de jewel ur über zwe möglche Aupräguge (dchotome Merkmale Alteratve zum Kotgezkoeffzete ach Pearo Vortel: Berechug ehr vel efacher ud drekter 9 Aozatokoeffzet ach Yule M e r k m a l Y S u m m e X b b m a H (a,b H (a,b. a H (a,b H (a,b. S u m m e.. See a, a de Aupräguge de Merkmal X ud b, b de Aupräguge de Merkmal Y. Da t H ( a, b H ( a, b H ( a, b H ( a, b Q : H ( a, b H ( a, b + H ( a, b H ( a, b o Q : o o o o + o o o 0

11 Für de Koeffzete glt: Aozatokoeffzet ach Yule Q. Für Q 0 legt Uabhäggket vor, für Q tarke Abhäggket. Be der Iterpretato de Aozatokoeffzete wrd.allg. ur der abolute Wert de Koeffzete berückchtgt, cht aber da Vorzeche. Aozatokoeffzet ach Yule Vertauche der Zele oder Spalte Wechel de Vorzeche für omale Merkmale gbt e kee atürlche Ordug der Aupräguge Nur für Kotgeztafel be dee für bede Merkmale ee Ordug der Aupräguge gegebe t etwa grupperte metrche Merkmale wrd da Vorzeche de Iterpretato ebezoge. Aozatokoeffzet ach Yule R a u c h v e r h a lte S ä g e r R N P r c e 5 6 J o e C o c k e r Q Aozatokoeffzet ach Yule Q ka ur da de Wert E aehme ka, we mdete e Wert auf der Nebedagoale de Wert Null ammt. X X Y a a Y a a b 00 0 b 00 0 b 0 00 b Tafel A (Q Tafel B (Q R a u c h v e r h a lte S ä g e r R N J o e C o c k e r 8 6 P r c e Q Währed be Tafel A ee wrklch trkte Aozato zwche de Merkmale X ud Y vorlegt (zu je eer Auprägug vo X gehört geau ee Auprägug vo Y, t de be Tafel B cht gegebe. Dort t ur be je eer Auprägug vo X bzw. Y ee geaue Vorherage vo Y bzw. X möglch.

12 Der Eta-Koeffzet Bepel eer Maßzahl für zwe uterchedlch kalerte Merkmale X ud Y. Se X e omale Merkmal mt k Aupräguge. Y e metrch kalert. Der Eta-Koeffzet oll mee, wewet de Iformato der omale Varable zur Erklärug der Varabltät der metrche Varable heragezoge werde ka. Bereche vo der geamte Stchprobe da arthmetche Mttel ud de emprche Varaz de metrche Merkmal Y. Se j der Umfag der j-te Telpopulato, de durch da omale Merkmal X gebldet wrd (k Teltchprobe. Bereche da zu jeder Telpopulato da arthmetche Mttel Bereche da da Quadrat de Eta-Koeffzete mt: η Der Eta-Koeffzet k j ( j j 5 6 Der Eta-Koeffzet Bereche da de Eta-Koeffzete mt: η η Der Eta-Koeffzet oll mee, wewet de Iformato der omale Varable zur Erklärug der Varabltät der metrche Varable heragezoge werde ka. Der Eta-Koeffzet Gechlecht X m m w m m w w m m w CD-Azahl Y ud Wevel Prozet der Geamtvarabltät lät ch durch da Gechlecht erkläre? L+ 8 w.5 m ( ( ( η E glt: η η η Kapp e Drttel der Geamtvarabltät ka durch da Gechlecht erklärt werde. 8

13 Korrelato-/Aozatomaße Skaleveau metrch ordal omal metrch r r C/C corr /η ordal r r C/C corr omal C/C corr /η C/C corr C/C corr Be Vorlege zweer dchotomer Merkmale t mmer auch Q al volle alteratve Maßzahl möglch. 9