Simulierte Daten: die Monte Carlo - Methode

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1 Vorlesung: Computergestützte Datenauswertung Simulierte Daten: die Monte Carlo - Methode Günter Quast Fakultät für Physik Institut für Experimentelle Kernphysik KIT Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft SS '16

2 Monte Carlo - Methode Spielbank Monte Carlo / Monaco

3 Monte Carlo - Methode Numerisches Verfahren aus der Stochastik, um analytisch nicht oder nur aufwändig lösbare Probleme mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie zu lösen. Anwendungsgebiete: Numerische Mathematik (Integration, Optimierung, Faltung, ). Angewandte Statistik (Bestimmung von Korrelationen, Fehlerfortpflanzung, Hypothesentests, ). Nachbildung komplexer Prozesse mit statistischem Verhalten (Vielteilchensysteme, Teilchenphysik, ). (1) Historie: Erste Idee: Enrico Fermi 1930er Jahre. Erste Ausführung: Stanislaw Ulam, John von Neumann 1947 (Los Alamos Projekt). Namensgebung durch John von Neumann (als code Name innerhalb des Projektes).

4 Monte Carlo - Methode MC-Methode beginnt mit einer Reihe gleichverteilter Zufallszahlen. Diese Reihe kann entweder physikalisch bestimmt werden (z.b. Werfen eines Würfels, Zeitspanne zwischen zwei Zerfällen eines radioaktiven Präparats, ), oder mit Hilfe eines Zufallszahlengenerators als Pseudo-Zufallszahlen. (Pseudo-)Zufallszahlen : Ergebnis einer deterministischen Sequenz (insb. reproduzierbar) Innerhalb eines vorgegebenen Intervalls nach bester Möglichkeit gleichverteilt. In einem zweiten Schritt werden die gleichverteilten Zufallszahlen in beliebige Wahrscheinlichkeitsdichte transformiert.

5 Beispiel: Bestimmung von Script pi.py import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import sys npoints=10000 π Gleichmäßig über die Einheitsfläche verteilte Zufallszahlen, dann abzählen, wie viele davon innerhalb bzw. außerhalb des Viertelkreises liegen inx=[] iny=[] outx=[] outy=[] for i in range(npoints): rvec=np.random.rand(2) if (np.sum(rvec**2)<=1.): inx.append(rvec[0]) iny.append(rvec[1]) else: outx.append(rvec[0]) outy.append(rvec[1]) plt.scatter(inx, iny, s=1, color='g') plt.scatter(outx, outy, s=1, color='r') pi=4.*float(len(inx)) / \ float((len(inx)+len(outx))) plt.show() *==* script pi.py executing Total number of random points: Points inside circle: 7848 ==> pi= 3.139

6 [** MC ist eine Integrationsmethode ] Berechnung von Integralen: Verwende N gleichverteilte Zufallszahlen xi [a,b], Erwartungswert Mittelwert Insgesamt also mit statistischem Fehler Funktioniert auch in mehreren Dimensionen; Fehler bleibt dabei gleich!

7 Simulierte Daten Zufallskomponente z bei der Gewinnung empirischer Daten ebenfalls mit Zufallszahlen modellierbar: gemessener Wert wahrer Wert m = w + z zufälliger Beitrag Funktion (=Modell) des wahren Wertes, y = f(x), und Modellierung der Messwerte mit MC: my = f( wx + zx ) + zy zx und zy entsprechen den Unsicherheiten der Messgrößen x und y

8 Beispiel: Messdaten mit funktionalem Zusammenhang import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt Auszug aus Script Generate_Data.py def model(x, a=1., b=0.5): return a*x+b # model parameters, slope = 1. yintercept = 0.5 my = f( wx + zx ) + zy y # number of data points and range npoints=10 xmin, xmax = 1., 10. xm=np.linspace(xmin,xmax,npoints) # set measurement errors yerr = 0.5 Dy=yerr*np.random.randn(npoints) xerr =0. Dx=xerr*np.random.randn(npoints) # calculate simulated data points ym=model(xm + Dx) + Dy # print simulated data print "\n x y " for i in range(0,npoints): print " ", xm[i],ym[i] x s. a. Musterlösung zu Aufg. 2.3

9 Zufallszahlen aus dem Computer Auf Computern (hoffentlich) nur deterministische Zahlenfolgen => auf Rechnern werden Pseudo-Zufallszahlen verwendet Anforderungen: zufällig verteilt mit langer Periode k(l)eine Korrelation zwischen aufeinanderfolgenen Werten Erzeugung muss schnell sein Reproduzierbarkeit solcher Zahlenfolgen oft erwünscht (nicht bei Spielen ) Einfacher Zufallszahlengenerator basiert auf Xn+1 = (a xn) mod 2k d. h. die letzten k bits (Bit-weises AND mit 2k-1) Allgemeiner (und besser): Xn+1 = (a xn +c ) mod m, ri= xi/m 0,1[ Linear Congruent Generator LCG m Modulus 0<a<m Multiplikator 0<c<m Inkrement 0 x0<m Startwert oder Seed Peridodenlänge ist höchstens m, im ungünstigen Fall viel kleiner a und c müssen geeignet gewählt werden!!!! Es gibt eine Vielzahl von Algorithmen und Implementierungen TIPP: Professionellen Zufallszahlen-Generator aus Standard-Bibliothek verwenden

10 Beispiel LCG: Um Zahlen zwischen 0 und 1 zu erhalten tansformiere: NB: as implemented in ROOT::TRandom::Rndm(). Es gibt aber noch bessere Generatoren mit (garantiert) längerer Periode z.b. Mersenne-Twister : (verfügbar in ROOT und und Standard in python) Periode:. Korrelation zwischen n-ten Nachbarn <10% bis n=25

11 Funktionen von Zufallszahlen Computerexperiment: Häufigkeitsverteilung von... r = np.random.rand(10000) t = -np.log(1-r) plt.hist(t, 30, normed=1) plt.show() Wir erhalten exponentiell verteilte Zufallszahlen t! Erklärung: Erhalt der Wahrscheinlichkeit Regel für die Transformation von Verteilungsdichten Anm.: t=log(r) statt t=log(1-r) ergibt identisches Ergebnis (warum?)

12 Funktionen von Zufallszahlen allgemein Wahrscheinlichkeitsdichte von x multipliziert mit dem Betrag der Ableitung der Inversen Funktion a-1(u) Für mehrdimensionale Wahrscheinlichkeitsdichten wird zur Jacobi-Determinante: Ganz analog zur Transformation von Volumenelementen bei mehrdimensionalen Integralen

13 Transformationsmethode zur Erzeugung von Zufallszahlen Den Zusammenhang zwischen der ursprünglichen Verteilungsdichte f(r) und derjenigen einer Transformation t(r) können wir ausnutzen, um beliebig verteilte Zufallszahlen zu erzeugen: Welche Transformation t(r) liefert g(t)? Die gesuchte Transformation ist die Inverse der Verteilungsfunktion G von g Anm: Das Verfahren ist nur dann (effizient) praktikabel, wenn die gesuchte Verteilungsdichte integrierbar und das Integral invertierbar ist!

14 Beispiele Transformationsmethode Dreieck-Verteilung Exponentialverteilung Paar von Gauß-verteilten Zahlen Anm.: r kann auch durch 1-r ersetzt werden Es gibt noch weitere Verfahren zur Erzeugung von beliebig verteilten Zufallszahlen s. Rechneranwendungen in der Physik (5. Sem)

15 von Neumann'sches Rückweisungsverfahren Ein allgemein anwendbares, aber nicht immer effizientes Verfahren geht so: Beispiel: Kreisbogen als Verteilungsdichte f(x) y=f(x) xmax x xmin - Verteilungsdichte wird in Rechteck ( Box ) eingeschlossen - erzeuge gleichförmig in der Box verteilte Paare von Zufallszahlen (xi, yi) - x-werte aus Paaren mit y < f(x) werden akzeptiert ( mit einer Wahrscheinlichkeit f(x) / fmax ) Die Häufigkeitsverteilung der akzeptierten x-werte folgt der gewünschten Verteilung Anm: Im gezeigten Beispiel funktioniert das Verfahren effizient; Wenn die Verteilung steil abfällt und Werte für x benötigt werden, kann die Zahl der verworfenen Zufallszahlen unakzeptabel groß werden.

16 [** Anwendungsbeispiel: 2d-Verteilung aus Bild ] Auch aus Histogrammen lassen sich Stichproben erzeugen, die gemäß der vorgegebenen Häufigkeit verteilt sind. Hier ein Beispiel, bei dem die Wahrscheinlichkeit der Helligkeit eines Pixels in einem Bild entspricht:... #open an image img=image.open('image.jpeg') # img.show() print "image size:", img.size[0], img.size[1] pix=img.load() def rand_fromimage(): # return pixel coordinate with a probability # proportional to brightness of the pixel r0=np.random.uniform() r1=np.random.uniform() i=int(img.size[0] * r0-0.5) j=img.size[1] -1 int(img.size[1] * r1-0.5) r,g,b = pix[i,j] # brightness of pixel if(3*255*np.random.uniform() > r+b+g): return r0, r1... Rückweisungs-Schritt Script Distribution-fromImage.py

17 Zufallszahlen in python Das Paket numpy.random stellt zahlreiche Verteilungsdichten zur Verfügung, hier eine Auswahl: binomial(n, p[, size]) chisquare(df[, size]) exponential([scale, size]) lognormal([mean, sigma, size]) multinomial(n, pvals[, size]) multivariate_normal(mean, cov[, size]) normal([loc, scale, size]) poisson([lam, size]) power(a[, size]) standard_cauchy([size]) standard_exponential([size]) standard_normal([size]) standard_t(df[, size]) triangular(left, mode, right[, size]) uniform([low, high, size])

18 Zusammenfassung: Bedeutung der MC-Methode Die Monte-Carlo-Methode (auch MC-Simulation ) - abgeleitet vom Namen der durch ihr Spielkasino berühmten Stadt Monte Carlo - ist eine auf (Pseudo-)Zufallszahlen basierende numerische Methode zur Integration in hochdimensionalen Räumen Bestimmung der Eigenschaften von Verteilungen von Zufallszahlen (z.b. von Messgrößen in Experimenten) Nachbildung von komplexen Prozessen (z.b. in Thermodynamik, Wirtschaft oder von experimentellen Apparaturen, u.v.a.) Grundsätzliche Vorgehensweise: I. II. Erzeuge Folge von Zufallszahlen r1, r2,, rm, gleichverteilt in ]0,1]. Transformiere diese zur Erzeugung einer anderen Sequenz x1, x2,, xn, die einer Verteilungsdichte f(x) folgen (Anm.: xi können auch Vektoren sein!) III. Aus den xi werden dann Eigenschaften von f(x) bestimmt Vorteil: einfache Operationen mit den xi ersetzen sehr viel komplexere Operationen auf den Verteilungsdichten

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