1 Ionisationsgleichgewicht

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1 1 Ionisationsgleichgewicht Ein Plasma ist ein Gas aus geladenen Teilchen, in der Regel positiv geladenen Ionen und negativ geladenen Elektronen. Der Plasmazustand entsteht aus einem neutralen Gas, wenn die Energie der Gasteilchen die zur Ionisation notwendige Energie überschreitet. Im thermischen Gleichgewicht stellt sich ein bestimmter Ionisationsgrad ein. Hier soll der Ionisationsgrad eines Plasmas als Funktion von Temperatur und Volumen bzw. Temperatur und Druck bestimmt werden. 1.1 Ionisationsgrad Ein Gas bestehe aus N Atomen einer Sorte A mit der Kernladungszahl Z. Die unterschiedlichen Ladungszustände werden mit A i bezeichnet, wobei der Index i die Werte 0, 1, 2,, Z annimmt. Dabei steht A 0 für das neutrale und A Z für das vollständig ionisierte Atom. Die Zahl der Teilchen im Ladungszustand A i sei N i = α i N, die Zahl der Elektronen, N e = α e N. Aufgrund der Erhaltung der Teilchenzahl und der Ladung gilt Z Z N = N i, N e = in i (1) oder, nach Division durch N, i=0 i=0 Z i=0 α i = 1, Z i=0 iα i = α e. (2) Man bezeichnet α e als den Ionisationsgrad. Der Ionisationsgrad ist ein Mittelwert der Ionisationsstufen i mit den Gewichten α i. Er variiert zwischen 0 und Z. 1.2 Ionisationsgleichgewicht Das Plasma sei im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T im Volumen V. Die Teilchenzahlen N µ der verschiedenen Teilchensorten µ = i, e stellen sich dann so ein, daß die freie Energie F = F (T, V, N µ ) ein Minimum besitzt, δf = µ F N µ δn µ = 0. (3) Für die Ionisation des Zustandes A i bzw. die Rekombination des Zustandes A i+1 gilt die Reaktionsgleichung A i A i+1 + e. (4) Mit jeder Reaktion ist eine Änderung der Teilchenzahlen δn i = δn e, δn i+1 = +δn e (5) 1

2 verbunden. Das Minimum der freien Energie genügt daher den Z Bedingungen F N i = F + F, i = 0, 1,, Z 1. (6) N i+1 N e Zusammen mit den beiden Nebenbedingungen (1) bestimmen Sie die Teilchenzahlen N i und N e. 1.3 Freie Energie Das Plasma wird nun als ein klassisches ideales Gas aus unterschiedlichen Teilchensorten µ behandelt. Die Energie eines Teilchens der Sorte µ besitzt die allgemeine Form E µ,k (p) = p2 2m µ + ɛ µ,k. (7) wobei ɛ µ,k die innere Energie des Teilchens im Quantenzustand k bezeichnet. Für Elektronen gilt ɛ e,k = 0, da diese keine Änderungen der inneren Energie erfahren. Ebenso gilt für vollständig ionisierte Atome ɛ Z,k =0. Für ein i-fach ionisiertes Atom mit i < Z bezeichnen die Energien ɛ i,k die Energieniveaus des Ions mit Z i Elektronen. Zur Erhöhung der Ionisationsstufe von i 1 nach i im Grundzustand (k = 0) benötigt man die Energie I i = ɛ i,0 ɛ i 1,0. (8) Sie wird als das i-te Ionisationspotential bezeichnet. Die freie Energie kann mit den Methoden der statistischen Physik aus der Zustandssumme des Systems berechnet werden. Die Zustandssumme eines Teilchens ist S µ = V d 3 p e E µ,k(p)/t h 3 k = V h 3 (2πm µt ) 3/2 k e ɛ µ,k/t = V u λ 3 µ exp( ɛ µ,0 µ T ) (9) mit λ µ = h 2 2πm µ T, u µ = k exp( ɛ µ,k ɛ µ,0 ) T Die Zustandssumme für N µ Teilchen ergibt sich daraus zu S µ (N µ, T, V ) = SNµ µ N µ! ( ) Nµ Sµ e (10) N µ 2

3 wobei e = 2, 718 die Eulersche Zahl bezeichnet und im letzten Schritt die Stirlingsche Formel N µ! ( ) Nµ Nµ angewandt wurde. Die freie Energie wird definiert durch e F = µ F µ, (11) mit F µ = T ln S µ (N µ, T, V ) = T N µ [ln(s µ ) + 1 ln(n µ )]. Die Ableitung von F nach der Teilchenzahl N µ bei festem V und T ergibt 1.4 Saha-Gleichung F N µ = T [ln(s µ ) + 1 ln(n µ )] + T = T ln Mit (12) folgt aus der Gleichgewichtsbedingung (6) Unter Verwendung der Zustandssumme (9) erhält man ( Sµ N µ ). (12) ln S i N i = ln S i+1 N i+1 + ln S e N e (13) N i N i+1 N e = = λ3 e V S i S i+1 S e u i exp( I i+1 ). (14) u e u i+1 T Für die Zustandssumme u e der Elektronen gilt u e = 2, da die beiden Spinrichtungen entartet sind. Die Zustandssummen u i werden für i < Z meist durch den Entartungsgrad des Grundzustandes angenähert, u i = g i. Bei vollständiger Ionisation liegt kein elektronischer Zustand vor, so daß u Z = 1 zu setzen ist. Definiert man die Dichte n = N/V so folgt, α i = nk n (i+1) (T ), K n (i+1) (T ) = g i λ 3 e exp( I i+1 ). (15) α i+1 α e 2g i+1 T Diese Gleichung bestimmt den Ionisationsgrad als Funktion von T und n. Ist neben der Temperatur der Druck p vorgegeben, so erhält man aus der Zustandsgleichung für ideale Gase pv = N µ T = (1 + α e )NT (16) µ die zugehörige Gleichgewichtsdichte, n = p (1 + α e )T. (17) 3

4 Damit folgt : α i (1 + α e ) α i+1 α e = pk (i+1) p (T ), K (i+1) p (T ) = g i 2g i+1 λ 3 e T exp(i i+1 T ). (18) Gleichung (15) oder (18) wird als Saha-Gleichung (M. Saha, 1921) bezeichnet. Sie stellt das Massenwirkungsgesetz für Ionisationsreaktionen dar. Die Massenwirkungskonstanten nk n (i+1) (T ) und pk p (i+1) (T ) sind jeweils proportional zur Zahl der Teilchen im de Broglie-Volumen nλ 3 e. Da diese Zahl für klassische Systeme sehr klein ist, setzt die Ionisation schon bei Temperaturen unterhalb der Ionisationsenergie ein. 1.5 Ionisationsgrad bei einfacher Ionisation Da die höheren Ionisationspotentiale meist sehr viel größer sind als das erste gibt es einen Temperaturbereich, in dem vorwiegend nur neutrale und einfach geladene Ionen vorliegen. Setzt man α i = 0 für i 2, so erhält man aus den Nebenbedingungen (2) Damit lautet die Saha-Gleichung (15) für i = 0, α 0 = 1 α e, α 1 = α e. (19) 1 α e α 2 e = nk (1) n (T ) Die Auflösung nach α e ergibt den Ionisationsgrad bei vorgegebener Dichte ( ) 1 α e = 1 + 4nK 2nK n (1) n (1) (T ) 1. (20) (T ) Entsprechend erhält man aus (18) 1 α 2 e α 2 e = pk (1) p (T ) und damit den Ionisationsgrad bei vorgegebenem Druck 1 α e =. (21) 1+pK p (1) (T ) 2 Übung 1. Bestimmen Sie den Ionisationsgrad von Wasserstoff bei einem Druck von 1 bar als Funktion der Temperatur. Zeichnen Sie einen Graphen α e (T ) wobei die Temperatur in ev angegeben wird. 4

5 2. Z 1-fach ionisierte Ionen werden als wasserstoffähnlich bezeichnet. Sie bestehen aus einem Atomkern mit der Kernladungszahl Z und einem Elektron. Ihre Ionisationsenergie ist I Z = Z 2 I H, wobei I H die Ionisationsenergie von Wasserstoff bezeichnet. Durch einen intensiven Laserpuls werde ein wasserstoffähnliches Plasma bei einem Druck von 1 Mbar erzeugt. Geben Sie als Funktion der Temperatur diejenige Ordnungszahl Z an, bei der der Ionisationsgrad etwa 90% beträgt. Zeichnen Sie einen Graphen Z = Z(T ). 2.1 Hinweise zur Programmierung Konstanten: m e = kg h = Js 1eV = J 1bar = 10 5 N/m 2 I H = eV Drücken Sie die Massenwirkungskonstante in der folgenden Form aus und bestimmen Sie den numerischen Faktor c Saha pk (1) p (T ) = c Saha g 0 g 1 p[bar] (T [ev]) 5/2 exp(i H/T ) Schreiben eine Funktion, die den Ionisationsgrad für einfach ionisierte Atome nach der Saha-Gleichung berechnet: double saha1(double pbar, double tev, double iev, double g0,double g1) \{... \ double pbar: Druck in bar double tev: Temperatur in ev double iev: Erstes Ionisationspotential in ev double g0: Statistisches Gewicht des Grundzustandes des Atoms double g1: Statistisches Gewicht des Grundzustandes des Ions Geben Sie die Temperatur (tev) und den Ionisationsgrad (alpha) zweispaltig in eine Datei aus: FILE *fp; fp=fopen( out.dat, w );... Ausgabe in Datei fprintf(fp,"%15.4e\t%15.4e\n",tev,alpha);... fclose(fp); Dateizeiger Datei {\"offnen Datei schlie{\ssen 5

6 2.2 Header-Datei für alle Aufgaben #ifndef CS_H #define CS_H Numerical constants const double com_pi_c = ; Pi const double com_me_c = 9.109e-28; Electron mass [g] const double com_hp_c = 6.626e-27; Planck constant [gcm^2/s] const double com_c_c = e10; Speed of light [cm/s] const double com_kb_c = e-16; Boltzmann constant [erg/k] const double com_ev_c = 1.602e-12; 1eV [gcm^2/s^2] const double com_bar_c = 1.0e+6; 1bar [g/cm/s] const double com_ionh_c= ; Ionization energy of H [ev] const double com_ionhe_c= 24.59; Ionization energy of He [ev] Function declarations extern double sahac(); extern double saha1(double pbar,double tev,double iev,double g0,double g1,double sahac); extern void drk4(double y[], double dydx[], int n, double x, double h, double yout[], void (*derivs)(double, double [], double [])); #endif CS_H 2.3 Beispielprogramm Aufgabe 1 #include <stdio.h> #include <math.h> #include "cs.h" double sahac() Numerical constant in the Saha equation { double c; c=0.5*pow(com_hp_c/sqrt(2.0*com_pi_c*com_me_c),3.0); c*=(com_bar_c/pow(com_ev_c,2.5)); return c; double saha1 Ionisation degree for single ionization (Saha equation) ( double pbar, pressure [bar] double tev, temperature [ev] double iev, ionization potential [ev] double g0, statistical weight for atom double g1, statistical weight for ion double sahac ){ double pk; constant calculated by sahac.c pk=sahac*g0/g1*pbar/pow(tev,2.5)*exp(iev/tev); return 1.0/sqrt(1.0+pk); Ionisation degree main() { FILE *out; 6

7 double tev,pbar,iev,g0,g1,alpha,c; printf("start\n"); Initialize out=fopen("out1.dat","w"); pbar=1.0; iev=com_ionh_c; g0=2.0; g1=1.0; c=sahac(); Ionization degree for(tev=0.01*iev;tev<=iev;tev+=0.1){ alpha=saha1(pbar,tev,iev,g0,g1,c); fprintf(out,"%15.4e\t%15.4e\n",tev,alpha); fclose(out); printf("end\n"); 2.4 Beispielprogramm Aufgabe 2 #include <stdio.h> #include "cs.h" main() { FILE *out; double tev,dtev,pbar,iev,g0,g1,alpha,c,z; printf("start\n"); Initialize out=fopen("out2.dat","w"); pbar=1.0e6; g0=2.0; g1=1.0; c=sahac(); Ionization degree for(z=1;z<=40;z+=1){ iev=z*z*com_ionh_c; dtev=0.001*iev; for(tev=0.1,alpha=0.0;alpha<=0.9 && tev<iev;tev+=dtev){ alpha=saha1(pbar,tev,iev,g0,g1,c); fprintf(out,"%15.4e\t%15.4e\t%15.4e\n",tev,z,alpha); fclose(out); printf("end\n"); 7

8 1 0.8 α Z= T [ev] Z α=0.9 α=0.8 α= T [ev] Abbildung 1: Ergebnisse zu den Übungen 1 (oben) und 2 (unten). 8