Röntgeninterferenz. Der komplexe Brechungsindex. Interferometer. auf Basis der Übergangsstrahlung. Vortrag: Michael Becker

Transkript

1 Röntgeninterferenz auf Basis der Übergangsstrahlung Vortrag: Michael Becker Der komplexe Brechungsindex Löst man die Maxwell-Gleichungen für einen quellenfreien Raum in einem Medium, so erkennt man, dass die Lichtgeschgwindigkeit nun durch eine vom Medium abhängige Konstante variiert. Diese ergibt sich als: Man sieht hier, dass δ, der Term des komplexen Teil des Brechungsindex, eine Phasenverschiebung hervorruft. Der Term des β verändert nur die Amplitude der Welle, es handelt sich hier um die Absorption. Im dem Bild 1 kann man dies erkennen. Nun n = ɛ r µ r (1) Dabei bezeichnet man ɛ r als Dielektrizitätskonstante, µ r als Permeabilitätszahl. Beide Konstanten sind dabei von der Frequenz der elektromagnetischen Welle abhängig. Außerdem ist es dabei möglich, dass eine der Konstanten < 0 werden und somit wird der Brechungsindex imaginär, wodurch man diesen schreiben kann als: n(ω) = a(ω) + i b(ω) (2) Wir wissen, dass der Brechungsindex dabei nur wenig von 1 abweicht: n(ω) = 1 δ(ω) i β(ω) (3) Wie verändert sich durch diesen Brechungsindex eine elektromagnetische Welle? Dazu Betrachten einer eindimensionalen Welle: A(k n, z 0, ω, t) = A e i(ωt knz0) (4) mit dem Wellenvektor k n im Medium. k 1 stellt den Wellenvektor im Vakuum dar. Nun einsetzen des Brechungsindex: k n = ωn c k 1 = ω c (5) (6) A(k n, z 0, ω, t) = A e i(ωt k1z0) e i ωz 0 c δ e ωz 0 c β (7) Abbildung 1: Der komplexe Brechungsindex sind Absorption und Dispersion für jede chemische Verbindung besonders in der Nähe von Absorptionskanten charakteristisch, so dass man durch die Bestimmung des Brechungsindex die chemische Verbindung der Probe analysieren kann(man kann z.bsp. Graphit und Benzene voneinander unterscheiden.). Interferometer Um nun den Brechungsindex zu bestimmen, muss man Absorption und Dispersion ausmessen: Absorption: erhält man durch Transmissionsexperimente, bei denen die Strahlintensität des Röntgenlichtes nach Durchdringen der Probe gemessen wird. Phasenverschiebung: 1

2 Dazu ist es nötig die Phasenverschiebung einer Welle zu bestimmen. Dies kann man durch Interferometer realisieren (Bestimmen des Ablenkwinkels in Prismen, Messung der Reflexionskurve von Einkristallen (Bragg)). Nun wollen wir den Brechungsindex bestimmen bei einer Röntgenenergie von 100 ev bis 40 kev für nahezu alle Probematerialen. Bei den meisten Interferometern werden die zwei elektromagnetischen Wellen, die man später zur Interferenz überlagern möchte, durch einen Strahlteiler aus einem Strahl erzeugt, wie man es von dem Michelson Interferometer kennt. Da für Röntgenstrahlung solche Strahlteiler sehr aufwendig und teuer sind, sollen diese bei den folgenden Interferometern nicht benutzt werden, stattdessen sollen zwei Strahlungsquellen verwendet werden. Diese müssen dann allerding immer koheränt zueinander sein. So kann man sich einen Versuchsaufbau theoretisch überlegen, wie in Bild 2. Um zwei zuein- ander kohärente Strahlungsquellen zu bauen wird der Elektronenstrahl des MAMI benutzt. Geht der Elektronenstrahl durch die erste Quelle, wird hier das erste Wellenpaket erzeugt. Dann bewegt sich der Elektronenstrahl weiter zur zweiten Quelle und erzeugt hier ein weiteres Wellenpaket. Nun ist dadurch der Abstand der beiden Wellenpakete fest und gegeben aus dem Abstand der beiden Quellen und wie lange der Elektronenstrahl braucht von einer Quelle zur anderen. Da beide Wellenpakete nun einen festen Abstand haben, sind beide Wellen auch immer kohärent zueinander und können interferieren. Jedoch handelt es sich hier um Wellenpakete, die noch voneinander getrennt sind. Um eine Interferenz möglich zu machen müssen die Wellen zu einem langen Wellenzug werden. Hierzu benutzt man ein Spektrometer. Spektrometer An einem Spektrometer wird nur eine Frequenz der elektromagnetischen Welle durchgelassen, es kommt also zu einer Monochromatisierung. Um nun zu zeigen, was am Monochromator tatsächlich passiert, benutzen wir die Fourier-Transformation. Zunächst erzeugen die Röntgenquellen Wellenpakete. Ein solches Wellenpaket ist im Bild 3 zu sehen. Nun kann man dieses Wellenpaket transformieren Abbildung 3: Ein Wellenpaket mit Hilfe der Fourier-Transformation in den Frequenzraum. Hier erhält man für ein Wellenpaket eine Gaußkurve, wie sie in dem Diagramm 4 zu sehen ist. In diesem Bild wurde die Darstellung Abbildung 2: Der theoretische Versuchsaufbau Abbildung 4: Die Fourier-Transformierte des Wellenpakets der spektralen Leistungsdichte F (ω) 2 gewählt. Nun kommt es am Spektrometer zur Monochromatisierung und nur eine Frequenz wird durchgelassen. Das bedeutet es wird in der spektralen Leistungsdichte nur ein schmales Frequenzband durchgelassen. Das heißt nach der Monochromatisierung erhält man Abbildung 5. Wenn man diesen Peak nun zurück transformiert in den Ortsraum erhält 2

3 Monochromatisierung der Wellenpakete und nun können die beiden Wellen interferieren. Am Detektor wird deswegen die Intensität zu: Abbildung 5: Nach der Monochromatisierung man eine einfache cos-welle, die nun sehr lang geworden ist (siehe hierzu Bild 6), so dass nun beide Wellenpakete der Quellen ausgedehnt sind, so dass sie sich nun überlagern und interferieren können. I = A r 2 + A A r A 0 cos ( ω }{{}}{{} c ) }{{} (8) 1 : Intensität der Welle r 2 : Intensität der Welle 0 3 : Interferenz der beiden Wellen mit Phasenverschiebung In Abhängigkeit vom Abstand d der Undulatoren kommt es somit zur Interferenz. Das heißt, wenn = nλ ist, kommt es zur konstruktiven Interferenz und wenn = 2n+1 2 λ entsteht destruktive Interferenz. So entstehen also Maxima und Minima. Dies wurde im Bild 8 als roten Verlauf dargestellt. Nun wird die Probe, die Folie, zwischen den Un- Abbildung 6: Durchführen der Rücktransformation. Das erste Experiment Der experimentelle Aufbau ist in Abbildung 7 dargestellt. Als Strahlungsquelle dienen zwei Mini- Undulatoren. Hier durchlaufen die Elektronen des Abbildung 8: Der erwartete Intensitätsverlauf dulatoren eingebracht. Deswegen ändert sich nun die Phasenbeziehung der Wellen und somit das Interferenzbild. Die Intensität am Detektor lässt sich dann folgendermaßen beschreiben: I = A r 2 + A 0 2 e 2 ω c β(ω)t0 }{{} 4 Abbildung 7: Der Versuchsaufbau mit Undulatoren Strahls zunächst die zwei Undulatoren im Abstand d und es entstehen zwei zueinander kohärente Wellenpakete mit dem Abstand. Ohne eingebracht Probe, also ohne Folie, haben beide Wellen dann eine bestimmte Phasenverschiebung zueinander in Abhängigkeit von d. Am Gitter kommt es dann zur +2A r A 0 cos ( ω c + δ(ω) ) e ω c }{{}}{{ β(ω)t0 } (9) 5 6 Hier bedeutet: 4 : Absorption der Welle 0 durch die Probe 5 : Phasenverschiebung aufgrund der Dispersion in der Probe. 6 : Absorption der Welle 0 in der Probe. Dadurch wird die am Detektor gemessene Intensität abhängig von der Dispersion, also der Phasenverschiebung der Probe, wodurch sich δ(ω) bestimmen lässt. Die zu erwartende Intensität ist auch noch einmal im Bild 8 dargestellt als blauer Verlauf. Hier sieht man auch Absorption (Intensität ist 3

4 geringer) und Dispersion (Intensitätsmaxima und - minima sind verschoben) noch einmal sehr gut. Nun kann man die Phasendifferenz beider Wellenpakete verändern durch variieren von d. Da aber die Phasenänderung im Bereich von nm liegt, müsste man auch d in diesem Bereich verändern. Jedoch ist es hier von Vorteil, dass der Abstand d im bewegten System kontrahiert: = d 2γ 2 (10) Als Beispiel bei E P h < 2 kev bedeutet es, dass d = 20 cm sich transformiert zu = 35 nm. Hier wird verständlich, dass eine große Änderungen von d eine kleine Änderungen der Phasenbeziehung zur Folge hat. Durch Verändern von d kann man also nun die Intensität verändern wie im Diagramm 8. Nun können solche Messungen wiederholt werden für verschiedene Energie des Röntgenstrahls. So entstehen viele solcher Diagramme aus denen die Phasenverschiebung und Absorption durch die Probe bestimmt wird. Diese wird in ein Diagramm eingezeichnen, so dass Absorption und Dispersion gegen die Energie der Röntgenstrahlung aufgetragen wird. Wird diese Messung für Kohlenstoff an dessen K-Absorptionskante durchgeführt, so erhält man für unterschiedliche Kohlenstoffverbindungen (Graphit & Kohlenwasserstoff) das Diagramm 9. In diesem Diagramm kann man gut beide chemischen Verbindungen voneinander unterscheiden, da die unterschiedliche Bindungsorbitale des Kohlenstoffs unterschiedliche Absorptionspeaks hervorrufen. Abbildung 9: Das Messergebnis ne dünne Scheibe aus dem Festkörper, so sieht man, dass hier aber die Dipole sich nicht mehr gegenseitig wegheben. Es enstehen also sich zeitliche veränderliche Dipole, wie in der Skizze 10. Diese Übergangsstrahlung Wenn geladene Teilchen durch ein Medium hindurchfliegen mit einer Geschwindigkeit, die größer als die Lichtgeschwindigkeit in diesem Medium ist, so entstehen in diesem Medium aufgrund der Ladung des Teilchen nicht verschwindende Dipole. Da diese sich zeitlich verändern, strahlen sie elektromagnetische Wellen in Form von Licht ab. Will man nun aber in einem Festkörper Röntgenlicht erzeugen, so sieht man, dass hier der Brechungsindex n 1 ist. Das bedeutet dann aber, dass v c sein müsste. Dies ist allerdings nicht zu realisieren. Daher kann man Röntgenlicht nicht in einem Festkörper erzeugen. Schneidet man nun ei- Abbildung 10: Eine dünne Schicht des Festkörpers erzeugen wiederum Strahlung die konstruktiv interferiert. Reiht man nun mehrere dieser Schichten aneinander entsteht ein Bild wie in der Skizze 11. Hier erkennt man nun, dass es aber irgendwo wieder eine solche Schicht gibt, an der nun die Strahlung so entsteht, so dass die Wellen beider Schichten destruktiv interferieren. Da ein Festkörper sehr vieler solcher Schichten enthält, ist es immer so, dass solche zwei Schichten existieren, deren Wellen gerade destruktiv interferieren. Es bleibt nur die Strahlung, die in kleinen, abgeschlossenen Bereichen des 4

5 Abbildung 11: Mehrere dünne Schichten Festkörpers entsteht. Es kann also nur Röntgenstrahlung am den Übergängen zwischen Festkörper und Vakuum entstehen. Dies sieht man in Bild 12. Dabei ist Z der Formationsfaktor, der angibt wie Abbildung 13: Der Abstrahlwinkel Abbildung 12: Die Übergangsstrahlung groß der Bereich ist, indem es zur konstruktiven Interferenz kommt. Die Abstrahlungscharakteristik der Übergangsstrahlung ist in Abbildung 13 dargestellt. Somit hat die Abstrahlung ihr Maximum unter: θ = 1 γ (11) Außerdem ergibt sich bei der Übergangsstrahlung ein nahezu kontinuierliches Spektrum, das bis zu einer maximalen Energie hω geht, wie in dem Diagramm 14 gezeigt. Die Grenzenergie ergibt sich mit der Plasmafrequenz ω p (eine Materialkonstante) zu: hω = γ hω p (12) ω p = 4πc 2 r 0 n e (13) Das hier gezeigte Diagramm wurde für die Messungen am MAMI erstellt. Hier liegt die Grenzenergie bei 44 kev. Abbildung 14: Das Energiespektrum Versuchsaufbau mit Übergangsstrahlung Nun kann man als Quelle für die Röntgenstrahlung auch die Übergangsstrahlung benutzen. Das bedeutet als kohärente Quellen kann man dünne Folien verwendet, an denen es zur Übergangsstrahlung kommt. Nun kann man den Versuch zur Bestimmung des Brechungsindex auch umsetzen mit dünnen Folien als Strahlungsquellen. Nun handelt es sich bei der Probenfolie auch um eine dünne Folie an der Übergangsstrahlung entstehen wird. Wodurch nun drei Folien Übergangsstahlung erzeugen. Jedoch werden nur zwei Quellen gebraucht, so dass man eine Quelle nicht benötigt. Es ergibt 5

6 sich somit die Möglichkeit den Versuch zu realisieren, wie im Abbildung 15 dargestellt ist. Die von weitere Röntgenenergien vermessen kann. Wobei dies nur möglich ist, weil nach der Bragg-Reflexion die erzeugte Röntgenstrahlung unter verschiedenen Winkeln auch verschiede Energie aufweist. Unter dem Winkel von 0 hingegen erwarten wir auch keine Strahlung (siehe Diagramm 13). Mit Hilfe der hier gewonnen Messwerte ist es nun möglich, wieder Absorption und Dispersion zu bestimmen. Hier wurde nun eine Nickelfolie vermessen. Dabei konnte für verschiedene Röntgenenergien an der Nickel K-Absorptionskante die Dispersion vermessen werden, wie man sie in Abbildung 17 sieht. Die mit Abbildung 15: Der Versuchsaufbau Quelle 2 emittierte Welle durchdringt auf dem Weg zum Detektor die Probefolie an der die Welle ensteht. Beim Durchgang der ersten Welle wird diese von der Probenfolie geschwächt (Absorption β bestimmbar) und unterliegt einer Phasenverschiebung (Dispersion δ bestimmbar). Diese Überlegungen für ein Interferometer wurden am MAMI in die Realität umgesetzt. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 16 dargestellt. Als Abbildung 17: Messergebnisse an der Nickel K- Absorptionskante diesem Versuch gewonnen Messwerte sind hier als schwarze, gefüllte Punkte dargestellt. Die durchgezogene Linie, die man hier sehen kann, entstammt der Kronig-Kramer-Transformation. Dies wiederum ist eine Berechnung des Verlaufs der Dispersion, die über eine Integraltransformation aus der Absorption die Dispersion bestimmt. Abbildung 16: Der Versuchsaufbau am MAMI Spektrometer muss nun hier wegen der größeren Röntgenenergie ein Bragg-Spektrometer, also ein Silizium Einkristall verwendet werden. Als Detektor wurde hier ein CCD-Kamera-Chip eingesetzt, so dass es möglich ist nicht nur unter einem Reflexionswinkel und somit nur eine Röntgenenergie zu vermessen, sondern dass man nun gleichzeitig Literaturangaben Oliver Kettig, Entwicklung und Test eines Röntgeninterferometers auf der Basis von Übergangsstrahlung, Dissertation, Institut für Kernphysik, Mainz, 2000 (Die Bilder wurden aus dieser Quelle entnommen.) Michael Cherry, Gernot Hartmann, Dietrich 6

7 Müller and Thomas Prince, Transition Radiation from relativistic electrons in periodic radiators, Physical Review D 10 (1974), P Hans Joachim Eichler, Axel Fleischer, Jürgen Kross, Michael Krystek, Heinwig Lang, Heinz Niedrig, Helmet Rauch, Günter Schmahl, Heinz Schoenebeck, Erwin Sedlmayr, Horst Weber und Kurt Weber, Optik, Bergmann- Schfer, Band 3, Walter de Gruyter, Berlin and New York,