Mathematikaufgaben mit regionalem Zuschnitt mit Hilfe topographischer Karten von Sachsen-Anhalt (Top50) Beispiele für die S 1

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1 Mathematikaufgaben mit regionalem Zuschnitt mit Hilfe topographischer Karten von Sachsen-Anhalt (Top50) Beispiele für die S Bernd Budnik, IGS Halle Aufgabenübersicht Aufgabe Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Satz des Pythagoras Kosinussatz Flächenberechnungen Innenwinkel von Dreiecken Innenkreis von Dreiecken Trapezberechnung Hinweis zur verwendeten Software: Alle Aufgabenlösungen wurden mit MATHCAD (Ausgabe für Lehrer und Schüler) mathsoft & PAETEC erstellt. Mathcad-Dateien (*.mcd) können mit dem kostenlosen Viewer Mathcad EXPLORER 8 betrachtet werden. Das Elektronische Tafelwerk enthält die Vollversion 8 von Mathcad. Alle verwendeten Daten entstammen dem Programm TOP50 Version Amtliche Topographische Karten Sachsen-Anhalt. Aufgabe : Die Höhe der Stadt Halle (Mittelpunkt) wird auf einer Landkarte mit 86 m, die von Dessau mit 6 m angegeben. Die Entfernung laut Messung auf der Karte beträgt rund 43 km. Um wie viel Meter verlängert sich der zu fahrende Weg mindestens, wenn der Höhenunterschied mit berücksichtigt wird? Führe die Berechnung auch für andere Orte und Entfernungen durch. Schätze zuvor, um wie viel Meter sich der Weg verlängert. gegeben: h H := 86 m h D := 6 m Entf := 43 km gesucht: Längenunterschied in m; geschätzt: 00 m Lösung: h Diff := h H h D h H h D = 25m c sei die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes mit den Seiten a (Höhenunterschied) und b (Entfernung der Orte).

2 b:= h Diff a := Entf Satz des Pythagoras: Aus c² = a² + b² folgt c := a 2 + b 2 c = m Längenunterschied := c Entf Längenunterschied = m Kommentar: Bei großen Entfernungen und kleinen Höhenunterschieden ist das Ergebnis vernachlässigbar klein. Nach der Aufstellung des Lösungsalgorithmus ist die Lösung für jedes rechtwinklige Dreieck bei gegebenen Katheten einsetzbar. Der Schüler kann nun mit den Zahlenwerten für h H und h D sowie Entf experimentieren. Wie groß muss der Höhenunterschied der beiden Orte bei einer Entfernung von 50 km mindestens sein, damit der Längenunterschied 0 m beträgt? (Antwort: 000 m). Der Schüler erfährt, dass Variablennamen nicht nur aus einem Buchstaben bestehen müssen und der gefundene Lösungsweg wirklich für eine ganze Aufgabenklasse geeignet ist. Des Weiteren wird er auf die unterschiedliche Verwendung des Gleichheitszeichens aufmerksam gemacht. Aufgabe 2 Von der Mitte des Lutherplatzes in Halle ausgehend verlaufen die Turmstraße und die Liebenauer Str. in Richtung Zentrum. Sie werden gekreuzt von der Pfännerhöhe. Damit umschließen die drei Straßen ungefähr eine dreieckige Fläche. Finde heraus, in welchem Winkel die Liebenauer und die Pfännerhöhe vom Betrachter aus abgehen, wenn die Längen der entsprechenden Straßenabschnitte bekannt sind: Pfännerhöhe (680 m), Liebenauer Str. (660 m), Turmstraße (690 m). Schätze die Winkelgröße. Beweise vorher, dass es kein rechter Winkel sein kann. Vermutung: da die Längen der Dreiecksseiten wenig voneinander abweichen, ist das Dreieck annähernd gleichseitig. In einem gleichseitigen Dreieck sind die Innenwinkel gleich (60 ). Also wird der gesuchte Winkel nicht stark von 60 abweichen. Überprüfen, ob das gegebene Dreieck rechtwinklig ist: Genau dann wenn das Dreieck rechtwinklig ist gilt der Satz des Pythagoras. Die längste Seite sei c. c := 690 m Damit ergibt sich für c²: c 2 = 47600m 2 a := 660 m und b := 680 m ergeben als Summe ihrer Quadrate x := a 2 + b 2 x = m 2 2

3 Wenn die Summe von a² und b² ungleich c² ist kann das Dreieck nicht rechtwinklig sein. Es gilt auch die Umkehrung des Satzes. Berechnen des gesuchten Winkels: Mit Hilfe des Kosinussatzes lässt sich für beliebige Dreiecke bei gegebenen Seitenlängen jeweils der eingeschlossene Innenwinkel berechnen. Wenn c die längste Dreiecksseite ist so sei γ der gegenüberliegende Innenwinkel. Dann gilt nach dem Kosinussatz: c² = a² + b² - 2abcosγ. y := c 2 a 2 + b 2 2 a b y = 0.47 cos ( γ ) auflösen, cos ( γ ) acos( y) = 62Grad Antwort: Die Vermutung trifft zu, da der errechnete Innenwinkel (rund 62 ) nicht stark vom Innenwinkel gleichseitiger Dreiecke (60 ) abweicht. Kommentar: Mit dem ersten Teil der Aufgabenlösung kann flexibel nach Dreiecksseiten gesucht werden, die ein rechtwinkliges Dreieck ergeben (Satz des Pythagoras muss erfüllt sein). Mit dem zweiten Teil wird die Gültigkeit auch für rechtwinklige Dreiecke gezeigt. Mit Hilfe einer einzigen Gleichung kann jeder Innenwinkel in jedem beliebigen Dreieck bei gegebenen Dreiecksseiten berechnet werden lassen. Aufgabe 3 In die Rabeninsel in Halle lässt sich ein 5seitiges unregelmäßiges Polynom mit dem Umfang von 2,85 km einbeschreiben. Beim Vorliegen einer topographischen Karte in digitaler Form lässt sich auch die Fläche des Polynoms sofort ablesen. Sie betrage 0,4 km². Gesucht ist eine gleichgroße kreisförmige oder quadratische oder dreieckige (gleichseitige) Fläche, die den geringstmöglichen Umfang hat. Stelle eine Vermutung auf. Vermutung: der Kreis hat bei den gegebenen Bedingungen den geringsten Umfang. gegeben 5-Eck mit A := 0.4 km 2 und U := 2.85 km gesucht: Umfang von Quadrat, Kreis und gleichseitigem Dreieck mit dem vorgegebenen Flächeninhalt. Lösung: Quadrat: Die Flächenformel A = a² nach a umstellen und in die Umfangsformel U = 4a einsetzen. Kreis: Die Flächenformel A = π/4 d² nach d umstellen und in die Umfangsformel U = πd einsetzen. Gleichseitiges Dreieck: Die Flächeninhaltsformel A = 3 4 a 2 Dr nach a Dr umstellen und in die Umfangsformel U = 3a Dr einsetzen. 3

4 Bestimmung der Seitenlänge des Quadrates 2 x Qu := A a Qu auflösen, aqu Umfang des Quadrates: x Qu = m U Qu := 4x Qu Kreisdurchmesser km km 2.53 U Qu = 2.53 m x Kr := A π 4 d 2 Kr Kreisumfang: auflösen, d Kr km km x Kr = m U Kr := π x Kr U Kr = m Seite eines gleichseitigen Dreiecks x Dr := A 3 4 a 2 Dr auflösen, a Dr km km Dreiecksumfang: x Dr = m U Dr := 3 x Dr U Dr = m Antwort: Der Kreis hat bei vorgegebenem Flächeninhalt im Vergleich zu Quadrat und gleichseitigem Dreieck den geringsten Umfang (2242 m). 4

5 Aufgabe 4 Hinweis: Geländeschnitt entstammt dem digitalen Kartenmaterial TOP50 Auf der Abbildung ist der Geländeschnitt zwischen dem halleschen Marktplatz (Höhe 86 m) und dem höchsten Punkt in der Dölauer Heide zu sehen. Unter welchem Winkel könnte ein Betrachter auf dem Marktplatz (theoretisch) mit einem Fernglas jemand auf dem höchsten Punkt in der Dölauer Heide sehen? Wie weit sind die beiden Punkte voneinander entfernt? Stelle auf Grund des Geländeschnittes Vermutungen auf und diskutiere dann das Ergebnis. gesucht: Die gerade Strecke c zwischen den Betrachtern in m und der Blickwinkel in Grad. Lösung: die Entfernung der beiden Punkte (blaue Strecke) sei c, der Höhenunterschied b und der Abstand der beiden Fußpunkte voneinander a. Dann ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c. Es werden abgelesen aus dem Geländeschnitt a := 4.58 km h := 27 m h 2 := 86 m Höhenunterschied b:= h h 2 b = 4m c² = a² + b² c := a 2 + b 2 c = m 5

6 Mit Hilfe des Sinus lässt sich der gesuchte Innenwinkel errechnen: b sin( β) := b c x := x = c asin( x) = 0.5Grad Antwort: Der höchste Punkt der Dölauer Heide ist vom Marktplatz aus in einem vernachlässigbar kleinen Winkel zu sehen, da die Kathete b sehr viel kürzer als die Kathete a ist. Deshalb ist auch die Hypotenuse c nur um einige Zentimeter länger als die Kathete a. Der Geländeschnitt lässt einen viel größeren Blickwinkel vermuten, da die Achsen des Koordinatensystems unterschiedliche Längeneinheiten haben. Der Längenunterschied beträgt: Längendifferenz := c a Längendifferenz = 8 cm Aufgabe 5 Hinweis: Kartenausschnitt entstammt dem digitalen Kartenmaterial TOP50 Auf einem unbebauten dreieckigen Stück Land auf der Rabeninsel soll ein größtmöglicher kreisförmiger Spielplatz errichtet werden. Aus der digitalen Karte lassen sich folgende Längen für die Grundstücksgrenzen entnehmen: 0,90 km; 0,084 km und 0,205 km. Ermittle, wie groß der Spielplatz sein wird, welcher Teil der Grundstücksfläche durch ihn eingenommen wird und wie man seinen Mittelpunkt finden kann. gegeben: Länge der Dreiecksseiten a := 0.90 km b := km 6

7 c := km gesucht: Kreisfläche A in m² und Radius r in m. Lösung: Der größtmögliche Kreis im Sinne seiner Fläche kann nur der Inkreis sein. Also sind die Fläche und der Radius des einbeschriebenen Kreises gesucht. Mit Hilfe der HERONschen Formel lassen sich die Dreiecksfläche und der Radius des Inkreises berechnen. U U:= a + b + c und s := also U = 479m und s = 239.5m 2 Dann gilt: A Dr := s ( s a) ( s b) ( s c) also A Dr = m 2 Für den Inkreisradius gilt dann ( s a) ( s b) ( s c) r := also r = m s Damit hat die Inkreisfläche folgende Größe A Kr := π r 2 und damit A Kr = m 2 Das Verhältnis Grundstücksfläche zur Spielplatzfläche beträgt A Dr = 2.3 A Kr oder prozentual ausgedrückt A Kr = 43.7% A Dr Der Mittelpunkt des Kreises lässt sich finden, indem zwei der Innenwinkel des Dreiecks halbiert werden und der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ermittelt wird. Antwort: Der kreisrunde Spielplatz hat eine Fläche von rund 3500 m² und ist damit knapp halb so groß wie die Gesamtfläche. Kommentar: Der Lösungsalgorithmus ermöglicht das Experimentieren mit den Eingangsgrößen. Zusatz: Stelle eine Vermutung auf, für welche Dreiecksarten der Anteil der Inkreisfläche an der Dreiecksfläche am größten ist. Vermutung: In einem gleichseitigen Dreieck mit a = b = c nimmt die Fläche des Inkreises den größten Teil der Dreiecksfläche ein (Flächenanteil von über 60 %). 7

8 Aufgabe 6 Hinweis: Kartenausschnitt mit eingefügter Graphik entstammt TOP50 In einem s-förmigen Bogen der Elbe bei Schönebeck liegt der Ort Ranis. Er ist besonders hochwassergefährdet, da er von drei Seiten durch den Fluss begrenzt wird. Es ist grob die gefährdete Fläche (s. Schraffur in der Abbildung) in Quadratkilometern zu berechnen, wenn einige Größen des gekennzeichneten Trapezes bekannt sind: Längen der parallelen Seiten und Abstand der Strecken voneinander. Ermittle, wie viele Fußballfelder der Fläche entsprechen (angenommen, ein Fußballfeld sei 0 m lang und 73 m breit). gegeben: Trapez mit a := 4 km c := 2.5 km und Höhe :=.2 km gesucht: Flächeninhalt Tr := 2 ( a + c) Höhe Flächeninhalt Tr m 2 = Quadratkilometer m 2 := Flächeninhalt Tr = 3.69 Quadratkilometer Fläche eines Fußballfeldes: Breite := 73 m Länge := 0 m Fußballfeld := Breite Länge Flächeninhalt Tr Vergleich := Fußballfeld Fußballfeld = 8030m 2 Vergleich = Antwort: Der Inhalt der gefährdeten Fläche beträgt 3,69 km² und ist damit rund 460-mal so groß wie ein Fußballfeld. 8