Was eine Pendeluhr mit Geo- und fundamentaler Gravitationsphysik verbindet Klaus Retzlaff

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1 Wa eine Pendeuhr mit Geo- und fundamentaer Graitationphyik erbindet Kau etzaff Ana für diee keine phyikaiche Abhandun it die Bemerkun de Uhrmachermeiter, Joachim Hoppe, da früher die Uhrmacher eruchten, durch Veränderun der Pendemae die Uhr zu eichen, aber dann waren ie darüber ehr erwundert, da der Uhrenan nicht on der Pendemae, ondern on der Pendeäne abhäni war. Wie da kommt und wa da mit fundamentaer Graitationphyik zu tun hat, darüber wird hier berichtet. Doch die Geichunen eben Ana für einen Bick darüber hinau und aen un taunen * * * Zuammenfaun: Einereit it eine Pendeuhr ein impe Intrument zur Zeitmeun, auf der anderen Seite it ie auch ein Graimeter. E wird nicht nur ezeit, wa fundamentae phyikaiche Prinzipien in der Pendeuhr für eine oe pieen, ondern, wie e eint, mitte einer Pendeuhr die ae der Erde, die Fabecheuniun und chießich oar den Erdradiu und damit die ittere Dichte der Erde zu meen. Die Pendeuhr bechreiben wir im ahmen de Formaimu on Larane. In einem karteichen Koordinatenytem, weche ich an der Oberfäche der Erde befindet, wo die x-koordinatenache eine anente zur Erdoberfäche im Abtand om Erdmittepunkt bidet und die y-ache die Höhe über dem Abtand bechreibt, ereben ich für die Poition der Pendemae die Beziehunen: x in. (1) y 1 co Dabei it der Winke die Auenkun de Pende und it die Pendeäne. Die Larane-Funktion it die Differenz zwichen kineticher Enerie und potentieer Enerie U: L U. () Die fazinierende Pendeuhr Otto on Guericke. Gehen wir daon au, da die Pendeäne kein eenüber dem Abtand zum Erdmittepunkt it, d.h., da it, o kann da Graitationfed im Bereich der Pendeäne a kontant aneehen werden. In dieem Bereich it dann die zum Erdmittepunkt erichtete Fabecheuniun: f. () Kau etzaff, Cochtedt, 1..1

2 Wa eine Pendeuhr mit Geo- und fundamentaer Graitationphyik erbindet Kau etzaff Die Größe f it die Newtonche Graitationkontante und it die aktie chwere ae der Erde, weche da Erdraitationfed erzeut. Für die Larane-Funktion () eribt ich durch Einetzen der entprechenden Audrücke: L m m y (4) In der Beziehun (4) it m die träe Pendemae, it da Quadrat der Gechwindikeit und m it die paie chwere Pendemae. Diee Beriffe, träe ae, paie chwere ae und aktie chwere ae, ind für un on Bedeutun. Die träe ae it jene, weche für den Widertand een eine Änderun de Beweunzutande zutändi it und die wir au dem. Newtonchen Axiom F m a (5) kennen. Die paie chwere ae bezeichnet die Eienchaft eine Körper, auf ein eebene Graitationfed zu reaieren: F m (6) Die Beziehun (6) bechreibt die Graitationkraft. an ma anmerken, da (5) und (6) beide da. Newtonche Axiom repräentieren, wei die Fabecheuniun it und dem zu Foe m m triia eten müte, und diee Geichheit kein fundamentae Prinzip ei. Doch man bedenke, da die Kraft F bei einem im Graitationfed ruhenden Objekt emeen wird. Daher repräentiert da Graitationfed und it zueich die Fabecheuniun für ein eichen, weche ich frei beween kann. Diee frei bewete eichen, pürt aber erade nicht die Kraft F, wei diee Kraft exakt durch die räheitkraft F aueichen wird. Dieer Aueich it nicht triia aber typich für die Graitation. In einem Couomb-Fed erhät e ich nicht o. Schießich it die Größe die Fedtärke der Graitation: f (7) In (7) eht die aktie chwere ae, ao die ae, die da Graitationfed erzeut, ein. (7) it die ektoriee Schreibweie der Beziehun (), wobei der Vektor om aenmittepunkt der Erdmae aueht. Wir ehen ao hier, da in der Newtonchen Phyik aen in anz unterchiedicher phyikaicher Bedeutun orkommen. Für da Quadrat der Gechwindikeit können wir unter Anwendun de Satze on Pythaora auch chreiben: x y. (8) Hier bedeuten die Punkte über den Buchtaben die zeitiche Abeitun, d.h.: dx x dt dy y dt x y (9) (9) ibt die x- und y-komponente der Gechwindikeit an. Um die endütie Form der Larane- Funktion zu finden, müen wir ao noch die Zeitabeitun der Beziehun (1) biden, um diee dann in (4) einzuetzen. Da woen wir tun: x y x co y in (1) Kau etzaff, Cochtedt, 1..1

3 Wa eine Pendeuhr mit Geo- und fundamentaer Graitationphyik erbindet Kau etzaff Nun etzen wir (1) und (1) in die Larane-Funktion (4) ein und erhaten o: 1 L m co m (1 co ) in L m d L m dt und (1) umeformt ibt da: 1 L m (in co ) m (1 co ) und wei immer in co 1 it, fot endüti: L m m (1 co ) (11) it Aunahme der Anfanbedinunen enthät die Larane-Funktion (11) ae Informationen über die Pendebeweun. Au der Larane-Funktion kann die Beweuneichun abeeitet werden. Die Beweuneichun it die o enannte Larane-Geichun. Im Aemeinen handet e ich um ein Sytem on Geichunen, in unerem Fa reduziert ich da Probem auf eine einzie Differentiaeichun für den Winke (t). Unere Schreibweie (t) errät, da wir da zeitiche Verhaten de Winke bechreiben woen, d.h. die Pendebeweun. Die Larane-Geichun it: d dt L L. (1) Wir müen ao die einzenen Abeitunen biden: L m in (14) Setzen wir (1) und (14) in (1) ein, dann eribt ich: m m in (15) Die Löun dieer Differentiaeichun bechreibt da zeitich Verhaten de Winke (t). Leider handet e ich hierbei nicht um eine ineare Differentiaeichun und daher it die Löun chwieri. Aber für keine Auenkunen it: in, und dann autet die Differentiaeichun: m m (16) Da it eine ineare homoene Differentiaeichun. Ordnun und ihre Löun tet kein Probem dar. Formen wir ie zunächt erinfüi um: m (17) m Dann erkennen wir, da ie eine Sinuchwinun mit der Frequenz m (18) m bechreibt, denn mit (18) wird (17) zu: Kau etzaff, Cochtedt, 1..1

4 Wa eine Pendeuhr mit Geo- und fundamentaer Graitationphyik erbindet Kau etzaff (19). Betrachtet man nun (19), dann überzeut man ich eicht, da ( t) in( t) () eine Löun on (19) dartet, denn co( t). (1) in( t) Setzt man (1) in (19) ein, eribt ich: in( t) in( t). Die Löun () bechreibt ao tatächich da zeitiche Verhaten der Auenkun und e handet ich um eine Sinuchwinun. Dabei it die Ampitude. Wei die Schwinundauer mit der Frequenz zuammenhänt, e it: 1, () fot durch Einetzen on (18) die Schwinundauer: m. () m Da it die Geichun, weche für unere Dikuion on entcheidender Bedeutun it und weche die Uhrmacherkunt de Bau on Pendeuhren in Beziehun zur Graitationphyik etzt. Wir hatten ja eehen, da in der Newtonchen Phyik aen in anz unterchiedichen phyikaichen Bedeutunen orkommen. Diee aen ind anz unterchiedich definiert und erfüen entprechend unterchiediche phyikaiche Funktionen. In der Geichun () kommen die aen in aen dieen unterchiedichen Funktionen eichzeiti or. Wir finden die träe, die paie chwere und die aktie chwere ae in ihr. Dabei it die aktie chwere ae ween (), bzw. ween (7) in erteckt, d.h. (). Auf Grund ihrer unterchiedichen Funktionen wäre die Annahme erechtferti, da diee unterchiedichen aenarten nicht miteinander zu tun haben könnten und in unterchiedichen Stoffen könnten die aenarten in unterchiedichen Verhätnien orkommen. Dann würden bei einer eebenen chweren ae m unterchiediche Periodendauern für unterchiediche Stoffe reutieren, je nachdem, wie ie träe ae der Körper enthaten würde. Wenn aber für ae Stoffe tet m m (4) it, dann kürzen ich die träe und die paie chwere ae au der Beziehun () unter aen Bedinunen herau und e it: (5) Unter der Bedinun (4) it die Periodendauer der Pendechwinun nicht on der Pendemae, ondern nur on der Pendeäne und der Stärke de Graitationfede abhäni. Im freien Fa oder bei einem erchwindenden Graitationfed, beibt die Pendeuhr tehen, denn für fot. Wa ao die Uhrmacher erwunderte, war die Gütikeit de in (4) zum Audruck kommenden o enannten chwachen Äquiaenzprinzip on räheit und paier Schwere. Diee Prinzip it der Grund dafür, da unter Vakuumbedinunen ae Körper Kau etzaff, Cochtedt, 1..1

5 Wa eine Pendeuhr mit Geo- und fundamentaer Graitationphyik erbindet Kau etzaff unabhäni on ihrer ae zu jedem Zeitpunkt eich chne faen, wenn ihre Anfanbedinunen identich waren. Diee Prinzip hat Eintein auf die Idee der Geometriierun der Graitation ebracht und e it ein wichtie Fundament der Graitationphyik heute da konnten die erwunderten Uhrmacher zu ihrer Zeit aerdin noch nicht ahnen. Da wir on der Gütikeit de Äquiaenzprinzip überzeut ind, können wir un in den weiteren Betrachtunen auf die Beziehun (5) tützen. Wei wir die Periodendauer meen können und die Läne de Pende kennen, können wir eine Pendeuhr auch a Graimeter erwenden. Dazu mu ediich die Geichun (5) nach umetet werden: 4 (6) und die Uhr reati zur Graitationquee ruhen. itte (6) it e möich, durch eun der Periodendauer da Graitationfed zu ermeen. Kennen wir da Graitationfed, die Graitationkontante und den Erdradiu, dann können wir eine Pendeuhr auch prinzipie zur Vermeun der Erdmae erwenden. Dazu müen wir ediich () nach der ae umteen: Aber man kann noch mehr, z.b. die Höhe de adeburer Dom betimmen. Gaubt ihr nicht? Da it anz einfach! Nehmen wir an, wir haben am Fuße de adeburer Dom eine Fabecheuniun ( ) und auf der höcht möichen Poition im Dom die Fabecheuniun h ( h), wobei h den Höhenunterchied bezeichnet, dann bewirken die unterchiedichen Fabecheuniunen einen Ganunterchied, d.h., e it: 1 1 (9) h Zur Hereitun dieer Beziehun haben wir (5) erwendet. Um nun die Höhe de adeburer Dom betimmen zu können, müen wir da Graitationeetz erwenden: h f f h () Die Beziehunen () etzen wir in (9) ein und formen nach der euchten urmhöhe um, dann erhaten wir: f (7) h f. (1) Nach Einetzen on (6) in (7) finden wir: f 4 (8) - wa man mit einer Pendeuhr o ae machen kann! een wir den Unterchied der Periodendauer der Schwinunen, dann können wir bei Kenntni der Erdmae die Höhe de adeburer Dom betimmen, oder bei Kenntni der Hohe die Erdmae - ohne den Erdradiu zu kennen! Da iet daran, da ich bei der Hereitun der Beziehun (1) ae erme weheben, wo der Erdradiu auftaucht und Kau etzaff, Cochtedt, 1..1

6 Wa eine Pendeuhr mit Geo- und fundamentaer Graitationphyik erbindet Kau etzaff dieer bemerkenwerte Umtand erchafft un jetzt anz neue öichkeiten. Statt (1) zu benutzen, um die urmhöhe zu betimmen, oten wir (1) nach der Erdmae umteen, und die bekannte urmhöhe benutzen, um itte der Pendeuhr die ae der Erde auzurechnen: h () f Wenn wir in dieer Form ückich die ae der Erde betimmt haben, dann können wir (6) erwenden, um die Fabecheuniun am Fuße de urm zu betimmen. Denn kennen wir diee Fabecheuniun, dann müen wir nur () nach dem Erdradiu umteen f () und finden o mit () für da Voumen der Erde: V 4 4 f. (4) Schießich bekommen wir mitte () und (4) die mittere Dichte der Erde herau: h 5. (5) V f Wenn wir nun in die Beziehun (5) für die Erdmae erneut die Beziehun () einetzen und für die Fabecheuniun die Beziehun (6) erwenden, dann erhaten wir für die mittere Dichte der Erde die einfache Geichun: 1 f h. (6) Die Geichun (6) beat, da für die eun der mitteren Dichte der Erde oder irendeine anderen Paneten mitte einer Pendeuhr aein die Kenntnie der Graitationkontante, der Pendeäne und der Höhendifferenz der epunkte über dem mitteren Panetenradiu nöti ind, wobei ich der untere epunkt etwa auf dem mitteren Panetenradiu befinden mu. Heiie Pendeuhr! Projektidee: In einem eakuierten Behäter wird die Otto on Guericke - Uhr patziert. itte einer Laerichtchranke wird über einen onat der akt der Uhr am Fuße om adeburer Dom emeen und emittet, die zweite eun erfot an der höcht möichen Stee de Dom, erneut für die Dauer on einem onat. Nach Bekantabe der Erebnie, die zeien oen, wa mit Otto Uhr möich it, wird die Uhr offizie an die Otto-on-Guericke-Geechaft übereben. Ein Projekt mit doppetem Otto on Guericke Bezu. Kau etzaff, Cochtedt, 1..1