Berechnung von Sonnenuhren mit Vektorrechnung

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Karlheinz Fertig
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1 Berechnun on Sonnenuhren mit Vetorrechnun Übicherweise werden Sonnenuhren berechnet, indem zunächst die Koordinaten des Äquatorsystems (Deination der Sonne, Stundenwine der Sonne τ) mit Hife on ebener und sphärischer Trionometrie auf die Koordinaten des Horizontsystems (Azimut a, Sonnenhöhe h) umerechnet werden. Anschießend wird mit Übereunen aus der ebenen Trionometrie die Lae des Schattenpuntes der Zeierspitze auf dem Ziffernbatt ermittet. Ich möchte hier eine Voransweise orsteen, die as einzies Bezussystem die Erde benützt und im Wesentichen unter Verwendun der Vetorrechnun die Lae des Schattenpuntes für beiebi edrehte und eneite Sonnenuhren diret aus der Deination der Sonne und dem Stundenwine der Sonne τ ermittet. Im ersten Schritt wird die Lae eines um den Wine α edrehten und den Wine β eneiten Ziffernbattes in Bezu auf das Koordinatensystem der Erde beschrieben. Dies erfot durch Anabe des Normaetors n der Ebene, der Richtun h einer horizontaen Geraden, die sich auf dem Ziffernbatt befindet, sowie der Richtun einer dazu senrechten Geraden. Die Vetoren werden jeweis auf die Läne normiert. Anschießend wird der durch die Gnomonspitze ehende Lichtstrah in Bezu auf das Koordinatensystem der Erde durch eine Punt-Richtuns-Form aneeben. Zuetzt werden der Schnittpunt des Lichtstrahs mit dem Ziffernbatt sowie die Abstände auf dem Ziffernbatt und y berechnet. Zusammenfassun der Erebnisse: Bezeichnunen:... Deination der Sonne τ... Stundenwine α... Drehun des Ziffernbattes aus der Südrichtun β... Neiun des Ziffernbattes... Georaphische Breite 0... Normaabstand der Gnomonspitze om Ziffernbatt, y... Koordinaten des Schattenpuntes auf dem Ziffernbatt.. cos ( α.β. + ϕ.cosβ. + cosϕ.cosα.β.τ. y. ( cos ϕ. α. cos α. mit: n.s ϕ.cos + cos ϕ. β. τ. cos cos ϕ.cos β. + ϕ.β. 0 ϕ.cosβ + cosϕ.β n.s > 0, damit der Lichtstrah on orne auf das Ziffernbatt trifft Schwarz Afred Berechnun on Sonnenuhren mit Vetorrechnun Seite

2 . Lae des Ziffernbattes a) Vertiaes, nach Süden erichtetes Ziffernbatt: Die Lae des Ziffernbattes im Koordinatensystem der Erde een wir durch Anabe des Normaetors n, der Richtun einer horizontaen Geraden auf dem Ziffernbatt h und der Richtun einer dazu senrechten Geraden fest. Die foenden Sizzen eranschauichen die Berechnun der Koordinaten on n, h und für die ertiae, nach Süden erichtete Sonnenuhr, die sich auf der eoraphischen Breite befindet: z. h n y z n cos n h ϕ n 0, cosϕ 0 h und cosϕ 0 ϕ b) Vertiaes, edrehtes Ziffernbatt: Nun wird das Ziffernbatt um den Wine α nach Osten edreht. Drehachse ist der Vetor. Die Richtun der Vertiainie beibt bei diesem Voran erhaten ( neuen Normaetors n eribt sich aus foenden eometrischen Übereunen: ). Die Richtun des α h α n q.n tan α cos Schwarz Afred Berechnun on Sonnenuhren mit Vetorrechnun Seite

3 q.n 0 ϕ n + tanα. tanα cosϕ Die Läne des Vetors.n beträt: q.n ( ϕ) + ( tanα) + ( cosϕ) + ( tanα) cosα Durch Mutipiation mit cos α erhaten wir den Normaetor n mit der Läne : n ϕ.cos α α cos ϕ.cosα Die Richtun der Horizontainie h des edrehten Ziffernbattes erhaten wir aus dem Vetorprodut aus und n : h cosϕ ϕ.cosα 0 α ϕ cosϕ.cosα ϕ.α ( ϕ).cosα + ( cosϕ) cosϕ.α ϕ.α.cosα cosα. cosϕ.α c) Gedrehtes und eneites Ziffernbatt: Nun ippen wir das edrehte Ziffernbatt um den Wine β nach hinten. Drehachse ist die Horizontainie h. Die Richtun der Horizontainie beibt bei diesem Voran erhaten ( h h ). Die Richtunen des neuen Normaetors n und der neuen Vertiainie erhaten wir durch foende eometrische Übereunen: Um in der n, - Ebene zu beiben, biden wir die Vetoren q. n und q. as Linearombinationen on n und : a. n q q.n n + a.. a. n q. β h β n q. n a. Schwarz Afred Berechnun on Sonnenuhren mit Vetorrechnun Seite 3

4 Für die Koeffizienten a und a it: a. n a. a tanβ und a.n a. a tanβ Die Läne der beiden Vetoren q und. n q. beträt jeweis. cosβ Nebenrechnun: n + tanβ. ( ϕ.cos α + cos ϕ.tanβ) + ( α) + ( cos ϕ.cos α + ϕ. tanβ) ( ϕ).( cosα) +.ϕ.cosϕ.cosα.tanβ + ( cosϕ).( tanβ) + ( α) + ( cosϕ).( cosα) ϕ.cosϕ.cosα.tanβ + ( ϕ).( tanβ) ( cosα) + ( α) + ( tanβ) + ( tanβ) cos ( cosβ) β Durch Mutipiation mit cos β önnen sie auf die Läne normiert werden. Wir erhaten schießich as Bestimmunsstüce der edrehten und eneiten Ebene: Normaetor: n ϕ.cosβ + cosϕ.β β cosϕ.cosβ + ϕ.β Vertiainie: cosϕ.cosβ ϕ.cosα.β α.β ϕ.cosβ + cosϕ.cosα.β Horizontainie: h ϕ.α cosα cosϕ.α z. Richtun des Sonnenstrahes Ein Strah on der Sonne schießt mit der y Ebene den Wine ( Deination) ein. Wenn sich nun die Erde um die z Achse um den Wine τ ( Stundenwine) dreht, dann erändert sich die Richtun der einfaenden Sonnenstrahen (in Bezu auf das,y,z Koordinatensystem) nach der Forme: τ y s cos Die Orientierun on τ wird so ewäht, dass der Wine im Laufe des Taes zunimmt. As schattenwerfenden Punt ( Endspitze des Gnomons) wähen wir jenen Punt ( /0/0) auf der Achse, der om Ziffernbatt den Normaabstand 0 hat. Schwarz Afred Berechnun on Sonnenuhren mit Vetorrechnun Seite 4

5 Aus 0. n n 0 0 erhaten für den Wert 0 ϕ.cos β + cos ϕ. β Die Geichun des Sonnenstrahs durch diesen Punt in Vetorform autet: cos y 0 + λ. z 3. Lae des Schattenpuntes auf dem Ziffernbatt Wir erschieben nun die edrehte und eneite Ebene so, dass sie durch den Ursprun eht. Die Ebeneneichun in Normaetorform autet dann: ϕ.cosβ + cosϕ.β β. y 0 cos.cos.cos siin z ϕ α β + ϕ β Nun bestimmen wir den Schnittpunt des Lichtstrahs mit der Ebene: Für λ erhaten wir den Wert mit: n.s ϕ.cos β + cos ϕ.β + λ.cos β. λ. 0 cos.cos.cos siin. ϕ α β + ϕ β λ ϕ.cos β cos ϕ.β λ. ϕ.cos + cos ϕ. β. τ. cos cos ϕ.cos β. + ϕ.β. Der Schnittpunt P (und Schattenpunt auf der Ebene) hat die Koordinaten: β. cos ϕ.cos β. + ϕ.β. P. ϕ.cos β + cos ϕ.β. n.s ϕ.cos β. cos ϕ.β. Natürich ist das Erebnis nur dann no, wenn der Lichtstrah on orne auf die Ebene auftrifft, wenn aso der Wine zwischen s und n einer as 90 ist bzw. n.s > 0 it. Wi man nun die reatien Koordinaten und y des Schattenpuntes auf dem Ziffernbatt ermitten, dann muss man den Vetor P auf die Horizonta- bzw. die Vertiainie projizieren. (Der Ursprun entspricht dabei dem Mittaspunt für 0.) Man erhät: P.h. α.β. + ϕ.cosβ. + cosϕ.cosα.β.τ. cos h ( ) P y n Schwarz Afred Berechnun on Sonnenuhren mit Vetorrechnun Seite 5

6 P. y. ( cosϕ.α. cosα. Nun ann für jedes beiebi edrehte und eneite Ziffernbatt zu jedem Zeitpunt der Ort des Schattens berechnet werden. Mit einem einfachen Ece-Sheet önnen Zeit- und Datumien ezeichnet werden, (z.b α 4, β 60 ): Für Vertiauhren bzw. Süduhren muss β 0 bzw. α 0 esetzt werden. Nebenrechnunen: cos ϕ.cos β cos ϕ.β y ϑ n.s z.(ϕ.cos + cosϕ. β.τ. cos cos ϕ.cos β. + ϕ.β. ϕ.cos cos ϕ..( β. cos ϕ.cos β. + ϕ.β. n.s P.h.(ϕ. α.cosβ. + ϕ.cosϕ.β. ϕ.α.β. ( ) ( ) ( cos α).cosβ. + cos ϕ.cos α.β. ϕ.cos ϕ. β. + ϕ. ( cosϕ).α.β.. ϕ.cos β.. ( α) + ( cos α) ) α.β.. ( ϕ) + ( cos ϕ) ) ( ( ) + cos ϕ.cos α. β. τ. cos n.s y P..( cos ϕ. α. ( cos β). + ϕ. α. β τ ( cos ϕ).cos α. ( cos β). ( cos α). β. + ϕ.cos ϕ. β. ( ϕ).cos α. ( β). + ϕ. ϕ. α. β. cos ϕ.. α. ϕ.cos ϕ..( cos ( β). ( ϕ).cos α. ( cos β). ( cos α). β. ϕ.cos ϕ.. β. ( cos ϕ).cos α. ( β). ϕ. α.. ( β) + ( cos β) ) cos α. ( cos β).. ( ϕ) + ( cos ϕ) ) ( ) ( β).. ( ϕ) + ( cos ϕ) cosα. ).( cos ϕ. α. cos α Schwarz Afred, A-40 Hemonsödt, Sonnenhan 4, E-mai: afred.schwarz@eduhi.at Schwarz Afred Berechnun on Sonnenuhren mit Vetorrechnun Seite 6

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