Formelsammlung Physik I

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1 Forelalung Phyik I <Marco.Moeller@acrolab.de> Stand: Verion: Erhältlich unter Diee Forelalung baiert auf der Vorleung Phyik I von Prof. Dr. Dr. h.c. ult. Achi Richter an der Technichen Univerität Dartadt i Wintereeter 004/05. Die folgende Forelalung teht zu kotenloen Download zur Verfügung. Da Urheberrecht und ontige Rechte an de Text verbleiben bei Verfaer, der keine Gewähr für die Richtigkeit und Volltändigkeit der Inhalte übernehen kann. Inhaltverzeichni 1 Einheiten und Voratzzeichen 1.1 Einheiten Länge Winkel Zeit Mae Voratzzeichen Gleichungen Elatizität von Materialien Matheatiche Pendel (Fadenpendel) Haronicher Ozillator Gedäpfter haronicher Ozillator Linear gekoppelte haroniche Ozillatoren Erzwungene Schwingungen Liajou Figuren Nichtlineare Schwingungen Arbeit, Leitung, Energie und Energieerhaltung Arbeit und Leitung Verchiedene Foren der Arbeit Energie Energieerhaltung Bahnipul Sytee von Maenpunkten Schwerpunkt Stoprozee i Schwerpunktyte Reduzierte Mae Radioaktiver Zerfall 3 7 Drehbewegung tarrer Körper 10 3 Kineatik eine Maenpunkte Starre Körper Bahn Drehoent und Trägheitoent Phyikaliche Pendel Gechwindigkeit Vergleich von Linearer- und Rotationbewegung Kreibewegung Bechleunigung Drehipul Kreibewegung Verhalten eine freien Körper und Kreiel 11 4 Dynaik eine Maenpunkte - Kraft Hauptträgheitachen Begriff der Kraft Kreielbewegung Newton che Axioe Scheinkräfte in rotierenden Bezugyteen Gravitation, Gewicht und chwere Mae Zentrifugalkraft Planetenbewegung Coreolikraft Reibung Foucaultche Pendel

2 1 EINHEITEN UND VORSATZZEICHEN 1 Einheiten und Voratzzeichen Mae 1.1 Einheiten Alle Einheiten laen ich auf die 7 SI-Baieinheiten (Syte International) zurückführen. Die ind Länge (), Mae (kg), Zeit (), Strotärke (A), Teperatur (K), Stoffenge (Mol) und die Lichttärke (cd). Eine auführliche Auflitung finden ie in Tabelle 1 auf der nächten Seite Länge 1 it die Stecke die da Licht i Vakuu während der Zeit 1 c 0 durchläuft, it c 0 = Genauer Schwere Mae (laut Eintein Äquivalent zur Trägen Mae) [] = = 1kg 1 1, Atoe von 1 C = 5, Atoe von 1 C Unit 1u = 1unit = 1 1 Mae von 1 C = 1, kg Iotope Eleente it gleicher Kernladung-, aber unterchiedlicher Neutronen Anzahl Offt auch Nuklide genannt 1.1. Winkel Ebener Winkel α = l r = Laenge auf Krei Radiu Mittlere Atogewicht A r = a 1 1 (1 C) Durchchnittliche Atogewicht über alle Iotope hinweg bezogen auf 1 C [α] = 1rad = 360 π 1 = 60 (Bogeninuten) 1 = 60 (Bogenekunden) = 57, 95 Mol 1ol =diejenige Stoffenge, die genauoviele Teilchen enthält wie 1, 000g Kohlentoff 1 C Avogadro che Zahl N A = ( 6, 0045 ± ) ol 1ol enthält N A Teilchen Rauwinkel Ω = F r = Kugelflaeche Radiu [Ω] = 1r = 1Steradiant Elektron e = 9, kg 1. Voratzzeichen Siehe Tabelle. Ω ax = 4π Zeit Jede Phänoen, da ich elbt wiederholt, d.h. jeder periodiche Vorgang, kann al Maß für die Zeit benutzt werden. 1 = Schwingungen von 133 C Frequenz ν = n t = Ereignie Zeit Kreifrequenz ω = πν Periodendauer T = 1 ν = π ω Wellenlänge λ vakuu = c0 ν Lichtgechwindigkeit i Vaku- c 0 = u Wellenzahl ν = ν c = 1 λ vakuu Tabelle : Voratzzeichen und Abkürzungen da Deka 10 1 d Dezi 10 1 h Hekto 10 c Zenti 10 k Kilo 10 3 Milli 10 3 M Mega 10 6 µ Mikro 10 6 G Giga 10 9 n Nano 10 9 T Tera 10 1 p Piko 10 1 P Peta f Feto E Exa a Atto Z Zetta 10 1 z Zepto 10 1 Y Yotta 10 4 y Yocto Gleichungen Größengleichungen }{{} a = }{{} {a} [a] }{{} Forelzeichen Zahl Einheit

3 3 Tabelle 1: Einheiten Größe Forel-Buchtabe Einheit Einheit-Nae Länge l Meter Mae kg KiloGra Zeit t Sekunde Strotärke I, i(t) A Apere Teperatur T, ϑ C Grad-Celiu K Grad-Kelvin Stoffenge Mol ol Lichttärke cd Candela el. Ladung Q C = A Coulob el. Spannung U, u(i) V = J C = kg 3 A el. Widertand R Ω = 1 S = V A = kg 3 A el. Leitwert G S = 1 Ω = A V = 3 A kg ag. Fluß φ W b = V = kg A ag. Flußdichte B T = V = kg A A ag. Feldtärke H Induktivität L H = V A = kg A Leitung P W = V A = kg 3 Energie W J = W = N = kg el. Kapazität C F = C V = A V = A 4 kg Gechwindigkeit v Bechleunigung a Kraft F N = kg Volt Oh Sieen Weber Teler Henry Watt Joule Farrad Newton Jeder Wert beeht au Zahl und Einheit Die Einheit etzt ich au den 7SI- Baieinheiten zuaen welche jeweil einen Exponenten au Z haben Sicherer da an Fehler an falchen Einheiten erkennen kann z.b. P = UI = 0V 15A = 3300V A = 3300W Zahlenwertgleichungen z.b. W = 4, 186 c ϑ wenn C in cal g k, in kg, ϑ in K nicht benutzt, da Problee it Einheiten / in richtiger Dienion (,c,,k,...) Zugechnittene Größengleichungen W z.b. W = 4,186 c ϑ cal elten benutzt, aber icherer al Zahlenwertgleichungen, da Einheiten it benutzt werden Radioaktiver Zerfall Zerfallgeetz N (t) = N 0 e λt N = λn Halbwertzeit T 1/ it N0 = N 0e λt 1/ T 1/ = ln() λ λ = ln() T 1/ = 1 τ τ ittlere Lebendauer C 14 Datierung Aunutzten, da in aller lebenden Materie da C14 C 1 Verhältni kontant it, und ert ab de Abterben abnit. Uraniu Datierung Aunutzen, da bei Verfall von eine U 38 Ato genau ein Pb 06 und 8 He 4 Atoe enttehen 3 Kineatik eine Maenpunkte Kineatik it die Lehre von der Bewegung Dynaik Verbindung zwichen Bewegung und deren Urachen Maenpunkt Mae die keine Räuliche Audehnung beitzt 3.1 Bahn Da Koordinatenyte it o zu wählen, da die Bechreibung einfach wird.

4 4 4 DYNAMIK EINES MASSENPUNKTES - KRAFT Ort von lät ich durch einen Vektor r = fetlegen x y z Bahn von it der Ort al Funktion der Zeit r (t) Bewegung von it eine Ortveränderung r i Zeitrau t Bahnkurve x(t) = a(t) t + v 0 t + x 0 Tranlation gradlinige Bewegung 4 Dynaik eine Maenpunkte - Kraft Dynaik Bechreibung von Bewegungen durch Kräfte 4.1 Begriff der Kraft Ipul p = v Rotation Kreibewegung 3. Gechwindigkeit Gechwindigkeit v = d r dt = r v Zeigt in Richtung der Tangente von der Bahn v = v e t [v] = r (t) = t t 1 v (t) dt 3..1 Kreibewegung Winkelgechwindigkeit ω (t) =zurückgelegte rad pro Liegt in der Drehache / Senkrecht zur Drehbewegung Gechwindigkeit v = ω r 3.3 Bechleunigung Mittlere Bechleunigung a = v v1 t t 1 = v t = v Bechleunigung a = v = d v dt = r = d r dt [v] = a = v e t + vė t = v e t + ve n = v e t + v ρ ėt Bechleunigung lät ich zerlegen in Tangentiale und Norale Koponente. ρ it der Krüungradiu der Bahn. [p] = kg It eine Erhaltunggröße bleibt über die Zeit geehen in der Sue kontant Kraft F = a [F] = kg = 1Newton = 1N hier geht die Träge Mae ein (Äquivalent der Schweren Mae) Lät ich auf Ihrer Wirklinie belibig verchieben. Kräftegleichgewicht ( Fi = 0): Bechleunigung verchwindet. 4. Newton che Axioe Trägheiprinzip (N 1 ) Jeder Körper verharrt i Zutand der Ruhe oder in gleichförig geradliniger Bewegung, fall er nicht durch äußere Kräfte gezwungen wird, dieen Zutand zu verlaen. v = cont a = 0 Aktionprinzip (N ) Die zeitliche Änderung de Ipule it gleich einer Kraft. F = p Reaktionprinzip (N 3 ) Die Sue aller Kräfte in eine abgechloenen Syte ind 0. Aktion = Reaktion F = 0 Erdbechleunigung a = g = 9, Kreibewegung Zentripetalchleunigung a z = ω v nach Innen gerichtet bei gleichäßiger Bewegung a z = v r Frequenz f Kreifrequenz ω = πf Periodendauer T = 1 f Innere Kräfte (Wechelwirkungkräfte) treten ier Paarweie auf, und ind in der Sue Gravitation, Gewicht und chwere Mae Gravitationkraft F = G 1 r r it der Abtand zwichen den Maen e r = r r it der Radiale Einheitvektor r r

5 4.5 Reibung 5 11 N G = 6, kg it die Gravitationkontante (auch anchal γ) g = G ME R E Erdbechleunigung Abhängig von der Höhe und vo Breitengrad, da Erde nicht ideal Kugelförig Gewicht Die Kraft die der Auchlag der Federwaage anzeigt, it gleich de Gewicht G de Körper, d.h.: Gewicht = Kraft [Gewicht] = N 1kg ˆ=9, 81N Schwere Mae chwer = = Gewicht g hat nicht zu tun it der Trägen Mae ( t ), die wir über Bechleunigung definiert haben. e lät ich zeigen, da = t gilt 4.4 Planetenbewegung Kepplerchen Geetze (K1) Bahnen der Planeten u die Sonne ind Ellipen, in deren eine Brennpunkt die Sonne liegt (K) Radiuvektor von der Sonne zu Planeten (Fahrtrahl) übertreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Bechleunigung / Kräfte it ier Radial zur Sonne gerichtet. Eine olche Kraft nennt ich Zentralkraft - Ier radial auf / von Zentru gerrichtet. (K3) Da Verhältni au der Ulaufzeit zur 3.ten Potenz und de Quadrat der Ulaufzeit it für alle Planetenbahnen gleich. a , T = Hierau lät ich die Sonnenae betien Gilt innerhalb eine Sonnenyte (bzw. Planet it Monden oder o) Satellitenbahn v = G E r v auf Kreibahn r Bahnradiu G Gravitationkontante Ulaufperiode T = πr r G E Unabhängig von Satellitenae Fluchtgechwindigkeit v 0 = gr E Abchugechwindigkeit die Nötig it, einen Körper in Unendliche zu befördern. D.h. er wird nieal auf die Erde zurückfallen. 4.5 Reibung Fete Körper F ax r = µf n Die Reibung wirkt ier entgegen der Bewegungrichtung, it aber nieal größer al die Bechleunigende Kraft. F n it die Noralkoponente der Kraft, die den Körper auf die Oberfläche Pret µ It eine Materialkontante (anhängig von beiden Materialien) µ H Haftreibung µ G Gleitreibung µ R Rollreibung µ R < µ G < µ R Flüigkeiten / Gae F R = γv Wirkrichtung entgegengeetzt zu v o nur für kleine Körper. Bei großen Körpern F R v. γ = kη Materialkontante η Eigenchafft der Flüigkeit / de Gae. Zähigkeit / Vikoität [η] = 1 g c = 1Poie = 1P k Getalt de Körper Spezialfall: Kugel vo Radiu R - Stokeche Geetz F R = 6πηR v Auftrieb in Flüigkeiten/Gaen F = verdr g verd Mae der Verdrängten Flüigkeit / Ga Endgechwindigkeit v e = verdr k η g 4.6 Elatizität von Materialien Spannung σ = F A Kraft die Pro Querchnittfläche in eine Material wirkt Dehnung ǫ = l l Elatizitätodul σ = Eǫ Nur für ǫ < 1% o, darüber beginnt da platiche Fließen wa nichtlinear und voralle irreveribel it. hängt nicht nur von Material, ondern auch von deen innerer Struktur und dait der Vorgechichte de Material ab.

6 6 4 DYNAMIK EINES MASSENPUNKTES - KRAFT 4.7 Matheatiche Pendel (Fadenpendel) Punktförige Mae gewichtloer Faden nur kleine Auchläge de Pendel Schwingfrequenz ω = g l Bewegunggleichung ϕ(t) = A co(ωt) 4.8 Haronicher Ozillator x(t) = x 0 (1 + t)e t Ruhelage für t = erreicht Überkritiche Däpfung > ω 0 Krichfall aperiodicher Fall abklingende Schwingung C 1 = λx0 λ λ 1 x(t) = x 0 ( C = λ1x0 λ 1 λ λ λ λ 1 e λ1t + ) λ1 λ 1 λ e λt Allgeein ẍ = Dx ẍ = ω 0 x Matheatiche Pendel hat folgende Idealiierungen: Lineare haroniche Schwingung it Kreifrequenz ω. Heißt haronich, da nur inu und coinu There auftreten X Aplitude ϕ Phaenlage x(t) = Aco(ω 0 t) + B in (ω 0 t) = X co(ω 0 t + ϕ) Feder-Mae Schwinger ω o = D D = F Federkontante ( = DF Hook che Geetz) x(t) = x 0 co(ω 0 t) + v0 ω 0 in (ω 0 t) x 0 Anfangaulekung v 0 Anfanggechwindigkeit 4.9 Gedäpfter haronicher Ozillator Allgeein ẍ + ω 0 x + ẋ = 0 Bei Feder ω0 = D und = γ wobei γ Reibungkontante Anatz x = Ae λt Schwach gedäpfte Syte < ω 0 ω = ω 0 1 ω 0 x(t) = x 0 e t ( co(ωt) + ω in(ωt)) ϕ = arctan ( ) ω C = 1 arcco(ϕ) x(t) = x 0 e t C co(ωt + ϕ) T = π ω exponentiell gedäpfte Schwingung Däpfungverhältni k = x(t) x(t+t) = e T 4.10 Linear gekoppelte haroniche Ozillatoren Zwei Wagen x 1 und x werden it eine Guiband gekoppelt (Federkontante d), jeweil an den Rändern it einer Feder D befetigt und in Schwingung veretzt. Dabei gibt e zwei charakteritiche Schwingungtypen - Noraloden. Beide Pendel chwingen gegenphaig (gegeneinander) it ω bzw. ie chwingen geeina ω +. Beobachtung ω + < ω. λ 1/ = ± ω0 x = C 1 e λ1t + C e λt [λ] = 1 kritiche Däpfung = ω0 Allgeein ẍ 1 = ω 0 x 1 d (x 1 x ) ẍ = ω 0 x d (x x 1 )

7 4.1 Liajou Figuren 7 Löung X = A + co(ω + t + ϕ + ) Y = A co(ω t + ϕ ) ǫ = Verhalten q(ω α 0 0 ω 1) +( ω 1) erhalten durch Additon und Subtraktion der oberen Gleichungen X = x 1 + x Y = x 1 x ω + = ω 0 ω = ω0 + d Diee Noraloden ind ozuagen Standardbaivektoren und alle anderen Schwingungen laen ich au ihnen kobinieren x 1 = A + co(ω +t + ϕ + ) + A co(ω t + ϕ ) x = A + co(ω +t + ϕ + ) A co(ω t + ϕ ) E findet kein Energieautauch zwichen den Schwingungnen in Noraloden tatt Spezialfall - Schwebung x 1 x ϕ + = ϕ = 0 A + = A = A = Aco (ω t t)co( ωt) = Ain (ω t t)in( ωt) ω = ω ω+ Schwebungfrequenz ω t = ω +ω+ Trägerfrequenz Energie chwingt zwichen x 1 und x hin und her Aplitude der Schwingung it u o größer, je größer α 0 it Aplitude der Schwingung it u o größer, je geringer der Unterchied zwichen ω 0 und ω 1 it. Aplitude der Schwingung it u o größer, je geringer die Däpfung it. ǫ ax bei ω knapp unter ω 0 bzw bei ω = ω 0 ǫ (ω 0 ) ǫ (ω ) Phae bleibt i Reonanzfall u π zurück. Gütefaktor Q = ω 0 τ = α 0 ω 0 it τ = 1 = γ 4.1 Liajou Figuren ǫ(ω) ǫ 0(ω 1=0) ǫ(ω0) ǫ 0(ω 1=0) = Liajou Figuren entprehen, durch die haroniche Aulenkung eine Punkte in der x und y Ebene al Bahnkurve diee Punkte. x (t) = x0 co(ω x t) y (t) = y0 co(ω y t + ϕ) Krei ϕ = π ω x = ω y x0 = yo x0 = x + y Gerade ϕ = 0 ω x = ω y Vo Punkt ( x0, y0 ) bi ( x0, y0 ) 4.11 Erzwungene Schwingungen Ellipe ϕ = π ω x = ω y Anregung eine gedäpft chwingenden Syte durch eine von Außen wirkende periodiche Kraft (inuförig). Allgeein ẍ + ω 0 x + ẋ = α 0 co(w 1 t) Bei Feder ω0 = D und = γ wobei γ Reibungkontante α 0 = F0 von außen wirkende Kraft geteilt durch die Schwingae Löung x(t) = ǫ co(ω 1 t + ϕ) ( ) ϕ = arctan ω1 ω0 ω 1 ( ) ( ) x x0 + x x0 = 1 Acht ϕ = π nω x = ω y n > Nichtlineare Schwingungen Da Geetz F = Dx it nur eine Näherung für kleine x. Näherung F = Dx D 3 x 3 DGL ẍ + ẋ + ω 0x + δx 3 = α co(ωt) δ = D3

8 8 5 ARBEIT, LEISTUNG, ENERGIE UND ENERGIEERHALTUNG Effekte Analytich nicht ehr löbar nueriche Siulation Überhängen der Reonanzkurve. E gibt eine Hyteree zwichen hin und Rücklaufende ω E enttehen zuätzliche (kleinere) Reonanzen bei ganzzahligen Vielfachen / Brüchen von ω 0 Ein nichtlinearer Ozillator braucht nicht it der Anregungfrequenz chwingen. E tritt Periodenverdoplung auf Die kann zu einer Periodenverdopplungkakade führen Verdopplungen: aperiodiche Schwingung / chaotiche Schwingung 5 Arbeit, Leitung, Energie und Energieerhaltung 5.1 Arbeit und Leitung Arbeit W = F r ( ) = Fr co F, r N dt = p dv [F] = 1N = 1W = 1Jule = 1J = F ( r) d r = W hat ein neegative Vorzeichen, fall Arbeit verrichtet werden u (Konvention) Leitung N = dw dt = Ẇ oben it die oentane Leitung angegeben. Die ittlere Leitung it: N = W t [N] = 1 N = 1 J = 1Watt = 1W 5. Verchiedene Foren der Arbeit Hubarbeit W = gh Federarbeit W = 1 Dx Bechleunigungarbeit W kin = 1 v auch kinetiche Energie genannt. 5.3 Energie Energie Arbeitfähigkeit de Syte, d.h. der Aufwand von Arbeit gibt de Syte elbt wieder die Möglichkeit Arbeit zu leiten. E + W = 0 Potentielle Energie Arbeitfähigkeit der Lage de Syte W pot = 1 F d r = U ( r 1 ) U ( r ) Die Kräfte de Potentialfelde laen ich erittel it F = U ( r) I Potentialfelder erzeugen konervative Kräfte konervative Kräfte F d r = 0 Die it Hei F it rotationfrei Kräfte die die nicht erfüllen heißen nicht konervative Kräfte Kinetiche Energie Arbeitfähigkeit eine Syte, die au de Bewegungzutand folgt. W kin = 1 ( v ) v Energieerhaltung Energieerhaltung W kin + W pot = kontant gilt nur in Syteen wo keine anderen Energieforen it hineinpielen unter vernachläigung der Reibung Bewegung t t 0 = r r 0 dr (W Wpot) W = Geatenergie de Syte r 0, t 0 Anfangpoitionen 5.5 Bahnipul Ipulerhaltungatz i i v i = kont ohne äußere Einwirkung bleibt in eine abgechloenen Syte die Sue aller Ipule kontant. Stoßproze i Energieverlut Q p i i = Q + i Elaticher Stoß Q = 0 Unelaticher Stoß Q 0 p i i

9 Größen ohne vor de Stoß, it nach de Stoß zentraler elaticher Stoß p 1 zweite Kugel in Ruhe p = 0 p 1 = 1 p = 1+ p 1 1+ p 1 v 1 = 1 v = 1+ v v 1 p 1 = 1 p 1 + zentraler unelaticher Stroß v 1 = v zweite Kugel in Ruhe p = 0 p 1 = 1 1+ p 1 p = 1+ p v 1 = v = Q > 0 Q Wkin vorher 1 1+ v v 1 = 1+ Wirkunggrad η = 1 1+ Nicht zentraler elaticher Stoß Q = 0, p = 0 p 1 = p 1 + p Die Vektoren p 1 und p gehorchen folgender Kreigleichung p 1 = (x, y) (x x ) + (y y ) = R x = R = 1 1+ v 1 y = 0 Sonderfall 1 = p 1 p bei zentralen Stoß erfolgt Gechwindigkeitautauch, d.h. p 1 = 0 Sonderfall 1 Ipul p 1 kann nach de Stoß alle Richtungen haben, ein Betrag bleibt praktich erhalten bei zentralen Stoß wird 1 reflektiert v 1 v 1 Energieübertragung W kin, 4 1 W kin,1 Energieübertrag uo Größer, je kleiner der Maenunterchied Sonderfall 1 Der toende Körper 1 behält praktich eine Gechwindigkeit und Richtung bei p 1 p 1 der Körper tößt den anderen vor ich her. 6 Sytee von Maenpunkten 6.1 Schwerpunkt Allgeein ein olche Syte it i Maen, zu jeder Mae deren Lage, Gechwindigkeit und Bechleunigung. Zwichen dieen Kräfen herchen (paarweie identiche) innere Kräfte, die i folgenden vorläufig nicht Berrückichtigt werden, ondern nur die äußeren Kräfte (alle übrigen). Maenittelpunkt / Schwerpunkt R = P n R Pi=1 i ri n = R r d i=1 i d = R r dv R dv Wenn die Geatae it M = n i=1 i gegeben it, gilt: R P n i=1 = i ri Ipul M R = P M Äußere Kraft F a = P = M R Dichte = d dv Lage relativ zu de Maen it unabhängig von der Wahl de Koordinatenyte Ipulerhaltung P = kontant P = 0 R = kontant 6. Stoprozee i Schwerpunktyte Vorteil leichter zu rechen Nachteil vo / zu ebaren i Laboryte u ert Tranforiert werden Sto zweier Maen P 1 = P und P 1 = P 1 = P = P Diee Beziehung gilt owohl vor, al auch nach de Stoß. P i it dabei der Ipul relativ (de Gechw. Vektor) zu Maenchwerpunkt (der In Bewegung ein kann): p i = P + P i bei zwei Maen, findet der Stoß i Schwerpunkt tatt. Wenn die Maen identich ind, gilt obrige Gleichheit auch für die Gechwindigkeiten Fall eine Mae in Ruhe vor de Stoß und Maen identich gilt zude P = P 1 =... ) Rakete v e = v a + v 0 ln( Ma M e 9

10 10 7 DREHBEWEGUNG STARRER KÖRPER v e Endgechwindigkeit der Rakete v a Anfanggechwindigkeit der Rakete M e Endae der Rakete M a Anfangae der Rakete v o Autrittgechwindigkeit de Treibtoffe au der Rakete 6.3 Reduzierte Mae Drehoent T = N i=1 r i F i = I ω = L r beüglich der Drehache / Drehpunkt geeen (kürzeter Abtand zu dieer) [T] = 1N entpricht Kraft F bei Tranlation Hier gilt in etwa (N), da heißt für gleichäßige bewegung gilt i T i = 0 Reduzierte Mae µ = P 1 1 i i = 1+ 1 = 1+ 1 Trägheitoent I = i r i d = r d = r dv Bewegung µ a 1 = F 1 Für ein Zweikörperproble, bei de nur innere Kräfte wirken a 1, F 1 ind die Werte relativ zwichen den beiden Körpern 1 und Überlagert it der Bewegung de Schwerpunkte ergibt die die Einzelbewegungen 7 Drehbewegung tarrer Körper 7.1 Starre Körper Starre Körper augedehnete, kontinuierliche Syte von tarr verbundenen Maeneleenten, d.h der Abtand r ij = r i r j = kontant, auch wenn äußere Kraft aufgewendet wird Idealiierung, da Körper innere Freiheitgerade beitzen. D.h. Verfort werden können durch Einflu von Druck, Teperatur uw. ittlere Dichte = V = d dv 7. Drehoent und Trägheitoent Zurückgelegter Winkel ϕ = 1 ωt + ω 0t + ϕ 0 entpricht Weg bei Tranlation Winkelgechwindigkeit ω = ϕ entpricht Gechwindigkeit v bei Tranlation Winkelbechleunigung ω = ϕ entpricht Bechleunigung a bei Tranlation Ulaufgechwindigkeit v i = ω r i [I] = kg entpricht Mae bei Tranlation Holzylinder I = ( r a + r i ) bei Drehung u Zylinderache Kreicheibe I = R Trägheitradiu A = I entprich eine Radiu A o, da I = A gilt. [A] = Drehipul L = I ω Rotation Energie W rot = 1 Iω Drehpendel ϕ(t) = ϕ 0 co(ωt) ω = D I Periodendauer T = π D Steinercher Satz I A = I S + l I S Trägheitoent i Schwerpunkt bzgl. der gleichen (nur parallelverchobenen) Drechache l Abtand de neuen Drehpunkt A vo Schwerpunkt S I A Trägheitoent i Punkt A Energieerhaltung W kin + W pot + W rot = kont erweiterte Energieerhaltung Bietet löungantatz, durch Ableiten und Nulletzen it anchließende löen der Differentialgleichung.

11 Phyikaliche Pendel Unter eine phyikalichen Pendel verteht an ein Pendel, bei de die Mae nicht auf eine Punkt konzentriert it, wie bei atheatichen Pendel, ondern Räulich verteilt Bewegung ϕ(t) = ϕ 0 co(ωt) Kreifrequenz ω = g I A = g I S+ = T ax I Geatdrehipul wird von inneren Kräften nicht verändert Syte beinflut d L dt = L = i L i = i T i = T a Die änderung de Drehipule eine Geatyte it gleich de äußeren Drehoent I kräftefreien Fall gilt auch hier L = i L i = kontant. Mae de Pendel I Trägheitoent i Schwerpunkt Antand de Aufhängepunkt vo Schwerpunkt reduzierte Pendellänge l r = IA = IS+ entpricht Länge eine atheatichen Pendel it der elben Schingungdauer Wenn ein Pendel antatt in A u l r verchoben aufgehangen wird, o ergibt ich die elbe Kreifrequenz. Reverionpendel ω = g l r Doppelpendel / Chaotiche Pendel hier werden zwei aneinander gekoppelte Rotoren in Bewegung geetzt. Deren Bewegungablauf extre tark von den Anfangbedingungen abhängt. Hier it e alo nicht ehr öglich eine Bahn vorrauzuberrechnen. 7.4 Vergleich von Linearer- und Rotationbewegung Siehe Tabelle 3 auf der nächten Seite. 8 Drehipul Drehipul L = ( r v) = r p = I ω [ ] L = 1 kg = 1W Erhaltung L = kontant Wenn von außen kein Drehoent auf da Syte wirkt. d L dt = T = 0 Syte L = i L i Geatdrehipul de Syte 9 Verhalten eine freien Körper und Kreiel 9.1 Hauptträgheitachen Freie Achen Drehachen it de größten und kleinten Trägheitoent und diee Achen it die Bewegung tabil Trägheitellipolid Mit an I de Körper u 1 verchiedene Achen und trägt die Größe I al fkt. der Achenrichtung vo Schwerpunkt SP au auf, dann erhält an den ogenannten Trägheitellipoid de Köper. Hauptträgheitacheen Die Achen de Trägheitellipoid heißen Hauptträgheitachen Drehipul L = I ω I it ein Tenor, d. h. da der Drehipul in eine Andere Richtung al ω zeigen kann. Rotationellipoid Rotationyetricher Ellipoid 9. Kreielbewegung Figurenache C geoetrich augezeichnete Syetrieache (gleichzeitig Ache it größte I) Moenteane Drehache ω Drehipulache Richtung von L i Rau Stoß eine Kreiel ω und C Achen bewegen ich it fete Winkelabtand u raufete Drehache L Nutation tritt bei Kräftefreien Kreiel auf, wenn Drehache und Figurenache nicht zuaenfallen. Drehache und Figurenache rotieren u L. Der Drehipul bleibt erhalten. Torkelbewegung. Wenn ω und C nicht zuaenfallen, achten ω und C Bewegungen auch Kegelantel it L al Mittelache

12 1 10 SCHEINKRÄFTE IN ROTIERENDEN BEZUGSSYSTEMEN Tabelle 3: Vergleich von Linearer- und Rotationbewegung Linear Einheit Rotation Einheit Ort x ϕ rad Winkel rad Gechw. v = ẋ ω = ϕ Winkelgechw. rad Bechl. a = v = ẍ ω = ϕ Winkelbech. Mae kg I = r d kg Trägheito. Kraft F = a = P N = kg T = I ω = L = r F J = N Drehoent Ipul P = v N = kg kg L = Iω = r p Drehipul Kin. En. W kin = 1 v J = N W rot = 1 Iω J = N Rot. En. Da ω Ache nun vechoben it, und L aber gleich bleibt, u e noch eine weitere Rotation geben, die ich it ω überlagert, dait L erhalten bleibt. Präzeion tritt auf, wenn bei beweglicher Drehache ein Drehoent angreift. Der Kreiel weicht dann in enkrechter Richtung au. Der Drehipul bleibt nicht erhalten. Der Betrag von L bleibt zwar erhalten, aber eine Richtung ändert ich. E wird ein Kreiel auf eine Balkenwaage quer aufgeteckt, da ganze aubalanciert, und in Rotation veretzt. Wenn diee Wage nun it eine Gewicht belatet wird, beginnt die Wage ich nur ein wenig zu neigen, und da Ganze Rechtwinklig zur Gewichtkraft und Rotationache ich zu drehen. Diee nennt an Präzeion Präzeionfrequenz ϕ = ω p = α Winkel zwichen T und L T L in α = T I ω in α Der Betrag von T enkrecht zu L ändert nur deen Richtung, aber nicht den Betrag von L Der Betrag von T parallel zu L ändert nur Betrag von L, aber nicht deen Richtung Die Drehbewegung erfolgt in Richtung T Bei Kinderkreiel gilt ω = rg L unabhängig vo Neigungwinkel α r höhe de Schwerpunk über de Boden 10 Scheinkräfte in rotierenden Bezugyteen Scheinkräfte In bechleunigten Bezugyteen haben wir zuätzliche Kräfte: Scheinkräfte 10.1 Zentrifugalkraft Wir beobachten einen Gegentand der kreiförig it ω i Abtand r vo Drehzentru rotiert. Al ruhender Beobachter ehen wir F z = ω r hält auf Kreibahn. Ein itrotierender Beobachter ruht i rotierenden Koordinatenyte, aber e zieht eine nach außen gerichtete Kraft F z = ω r an ih, die Zentrifugalkraft. F z = [ ω [ ω r]] F z wirkt ier o, da da Trägheitoent axial it. Wirkt zuätzlich zu der Correolikraft 10. Coreolikraft Proble Wie bewegt ich ein wagen auf eine Rotierenden Plattenteller, wenn er ich (durch ein nachlaende Seil) weiter vo Zentru entfernt. L = r ω bleibt bei Zentralkraft erhalten. r kleiner ω > ω 0 F c = ω 0 v r F c = [ ω v] v r Radialgechwindigkeit von auf de Teller Wirkt zuätzlich zu der Zentrifugalkraft In Vektorgleichung wird da koplette v genoen, und nicht nur deen Radialkoponente! Die Tangentialkoponente it zuaen it der Zentrifugalkraft (von ω) und zu v zugehörigen Zentripetalkraft die Geat auf die Mae wirkende Radialkraft. Wirkung von F c : gerade radiale Bewegung auf einer rotierenden Kreicheibe (externer Beobachter) it in Wirklichkeit eine gekrüte Kurve (Beobachter auf Kreicheibe) Foucaultche Pendel Pendel auf Erdoberfläche aufgehangen. Wenn ich die Erde unter de Pendel wegdreht, verucht e eine Pendelache beizubehalten. d.h. e e hat eine Rotatiogechwindigkeit der ache von ω 0 = π 4h in(α) (α it Breitengrad der Erde).

13 Index Überkritiche Däpfung, 6 äußeren Kraft, 9 Abkürzungen, abklingende Schwingung, 6 Aktionprinzip, 4 Aplitude, 6 aperiodicher Fall, 6 Arbeit, 8 Atogewicht, Auftrieb, 5 Avogadro che Zahl, Bahn, 3, 4 Bahnipul, 8 Bahnkurve, 4 Baieinheiten, Bechleunigung, 4 Bechleunigungarbeit, 8 Bewegung, 4 Bogeninuten, Bogenekunden, C14 Datierung, 3 Chaotiche Pendel, 11 Coreolikraft, 1 Däpfung, 6 Däpfungverhältni, 6 Datierung, 3 Dehnung, 5 Dichte, 9, 10 Doppelpendel, 11 Drehipul, 10, 11 Drehipulache, 11 Drehipulerhaltung, 11 Drehoent, 10 Drehpendel, 10 Dynaik, 3, 4 ebener Winkel, Einheit, Einheiten, SI-B., Elatizität, 5 Elatizitätodul, 5 Elektron, Energie, 8 Energieerhaltung, 8, 10 Erdbechleunigung, 4, 5 Erhaltunggröße, 4 Erzwungene Schwingungen, 7 Fadenpendel, 6 Fahrtrahl, 5 Feder-Mae Schwinger, 6 Federarbeit, 8 Federkontante, 6 Figurenache, 11 Fluchtgechwindigkeit, 5 Forelzeichen, Foucaultche Pendel, 1 freie Achen, 11 Frequenz,, 4 Gütefaktor, 7 Gedäpfter haronicher Ozillator, 6 Gechwindigkeitautauch, 9 Gewicht, 5 Gleichgunen Zahlenwert, 3 Gleichungen, Größen, Zugechnittene Größen, 3 Gleitreibung, 5 Größengleichungen, Gröen, 3 Gravitationkontante, 5 Gravitationkraft, 4 Haftreibung, 5 Halbwertzeit, 3 haroniche Schwingung, 6 haronicher Ozillator, 6 Hauptträgheitacheen, 11 Hauptträgheitachen, 11 Holzylinder, 10 Hook che Geetz, 6 Hubarbeit, 8 Ipul, 4 Ipulerhaltung, 9 Ipulerhaltungatz, 8 Innere Kräfte, 4 innere Kraft, 9 Iotope, Kepplerche Geetze, 5 Kinderkreiel, 1 Kineatik, 3 kinetiche Energie, 8 Koervative Kräft, 8 Kräftegleichgewicht, 4 Kraft, 4 Kreibewegung, 4 Kreielbewegung, 11 Kreifrequenz,, 4 Kreicheibe, 10 Krichfall, 6 kritiche Däpfung, 6 Länge, Lebendauer, 3 Leitung, 8 Liajou Figuren, 7 Mae,, 5 Maenittelpunkt, 9 13

14 14 INDEX Maenpunkt, 3 Matheatiche Pendel, 6 ittlere Bechleunigung, 4 ittlere Atogewicht, N1, 4 N, 4 N3, 4 Newton che Axioe, 4 nichtlineare Schwingungen, 7 Noraloden, 6 Nuklide, Nutation, 11 Ort, 4 Ozillator, 6 Pendel, 11 Phyikaliche, 11 Periodendauer,, 4 Periodenverdoplung, 8 Phaenlage, 6 Planetenbewegung, 5 Poie, 5 Potentielle Energie, 8 Präzeion, 1 Präzeionfrequenz, 1 Rakete, 9 Rauwinkel, Reaktionprinzip, 4 reduzierte Mae, 10 reduzierte Pendellänge, 11 reflektiert, 9 Reibung, 5 Reverionpendel, 11 Rollreibung, 5 Rotation, 4 Rotation Energie, 10 Rotationellipoid, 11 Stoßproze, 8 Stokeche Geetz, 5 Torkelbewegung, 11 Träge Mae, 4 trägen Mae, Trägerfrequenz, 7 Trägheiprinzip, 4 Trägheitellipolid, 11 Trägheitoent, 10 Trägheitradiu, 10 Tranlation, 4 Ulaufgechwindigkeit, 10 Unit, Vikoität, 5 Voratzzeichen, Wechelwirkungkräfte, 4 Wellenlänge, Wellenzahl, Winkel, Winkelbechleunigung, 10 Winkelgechwindigkeit, 10 Wirklinie, 4 Wirkunggrad, 9 Zahl, Zahlenwertgleichungen, 3 Zeit, Zentraler Stoß, 9 Zentralkraft, 5 Zentrifugalkraft, 1 Zentripetalchleunigung, 4 Zerfallgeetz, 3 Zugechnittene Größengleichungen, 3 Satellitenbahn, 5 Scheinkräfte, 1 chwach gedäpfte Syte, 6 Schwebung, 7 Schwebungfrequenz, 7 Schwere Mae, chwere Mae, 5 Schwerpunkt, 9 Schwingfrequenz, 6 Schwingung, 6 aperiodiche, 8 chaotiche+, 8 Schwingungen Nichtlineare, 7 Si-Baieinheiten, Spannung, 5 tarre Körper, 10 Steinercher Satz, 10 Stoß, 9 Elatich, 8 unelatich, 8