Physik I - Formelsammlung

Transkript

1 Phyik I - Forelalung von Julian Merkert, Wintereeter 004/05, Prof. Drexlin Fehlerrechnung Mittelwert (Arithetiche Mittel) x und wahrer Wert x w : i= x = n n i= x i x w = li n n Standardabweichung σ einer Einzeleung und σ de Mittelwerte: σ = n (x x i ) σ = n (x x i ) = σ n n (n ) n Mittelwert von n Meÿwerten, die in k Intervallen x i geeen wurden: n i= x i i= Norierte Gauÿfunktion: σ: Breite der Kurve x = n k n i x i i= Maxiu: x w! Vertrauenbereich: x w = x ± n σ f (x) = πσ Poion-Verteilung: x x! e x Fehlerfortpanzung - Standartabweichung der Funktion f (x, y): σ f = σ x ( f x (x xw ) e σ ) + σ y ( ) f y Mittlere quadratiche Abweichung (n Mewerte x,..., x n it Mewerten y,..., y n : χ = (y i f (x i ))...iniieren! Foreln zur Betiung der Augleichgerade (Regreiongerade) y = a x au den Mewerten: Kineatik Ortvektor: Gechwindigkeit: v (t) = d r = r Bechleunigung: a (t) = d v = v = r [ a = xy x y x x b = y ax Tranlation eine Maenpunkte [ Dynaik Ipul (bzw. Bewegungzutand): p = v Kraft: F = d p = a r (t) = [ kg = Newton = N [ kg x (t) y (t) z (t) [Einheit:

2 Hangabtriebkraft: F = g in α Federkraft (Hook'che Geetz): FF = k x k : F ederkontante ω = k, T = π k Gravitationkraft: F ( r) = GM R r (Noralkraft N, Haftreibungkoezient µ H, Gleitreibungkoezient µ G ) Haftreibungkraft: f H = µ H N Gleitreibungkraft: f G = µ G N Arbeit = Kraft x Weg, die Arbeit it kalar! Arbeit, Energie und Kraftfelder W = P P F d r [N = Joule Leitung: P = dw [ J = W att I konervativen Kraftfeld gilt (v ( r): Potential): W = F d r = 0 F ( r) = v ( r) = grad v ( r) rot F = F = 0 Kinetiche Energie: E kin = v, Potentielle Energie: E pot = gh, W = E kin W = E pot Sytee von Maenpunkten, Stöÿe Maenchwerpunkt (CM = centre of a) (Voluen V, Dichte ϱ = V ): r CM = i r i = rd = ϱ M Schwertpunktgechwindigkeit: v CM = d r CM = M i i v i Schwerpunktbechleunigung: a CM = d v CM = M i ia i i r ( r) dv Geatipul: P CM = i p i = M v CM, i abgechloenen Syte erhalten! Reduzierte Mae: µ = + Elaticher Stoÿ: Ipul und Energie erhalten, v,i + v,f = v,i + v,f Inelaticher Stoÿ: nur Ipulerhaltung. Innere Energie Q = µv rel Rotation Radiu R, Bahngechwindigkeit v, Ulaufzeit T, Frequenz ν, Länge de Kreibogen Rotationkineatik [ Winkel i Bogenaÿ: ϕ = R rad = 360 π Winkelgechwindigkeit: ω = dϕ = v R = π T = πν [ rad Winkelbechleunigung: α = dω = ϕ = ϕ = a T R (a T : Tangentialbechleunigung) Zentripetalbechleunigung: a z = ω R = v R Zentripetalkraft F z = a z

3 Rotationdynaik Drehipul: L = r p = ( r v) = J ω Drehoent: D = dl = r 0 F = Jα [ kg [ kg = N ( r 0 : Kraftar F ) Trägheitoent: J = N i Rotationenergie: E rot = ϕ ϕ D(ϕ)d ϕ = Jω i a i, = R 0 a d = ϱ R 0 a dv = εmr (ε = 0..., a: Abtand zur Drehache) Steiner'cher Satz: J B = J CM + a (a: Abtand der Drehache in B zu CM) Hebelgeetz: F F = r r Kreiel Nutation: geeinae Bewegung der Figurenache c und der oentanen Drehache ω u die raufete Drehipulache L (z.b. rotationy. Kreiel erhält kurzen Stoÿ) Präziion: E wirkt ein äuÿere Drehoent D, L it nicht ehr raufet. Präziionfrequenz: ω P = D L in α = g r J ω Bezugytee Intertialytee bewegen ich it kontanter Gechwindigkeit und ind zur Bechreibung phyikalicher Geetze äquivalent. Rotierende Bezugytee (Gechw. i ruhenden Syte v, Gechw. i bechl. Syte v ) v = v + u = v + ω r ( u: Relativgechwindigkeit ω, r) Coriolikraft: F C = ( v ω) Zentrifugalkraft: F Zf = ω ( r ω) Kepler'che Geetze Gravitation. Die Planeten bewegen ich auf Ellipen, in deren eine Brennpunkt die Sonne teht. Der Radiuvektor (Fahrtrahl) von der Sonne zu Planeten übertreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen 3. Die Quadrate der Ulaufzeiten der Planeten verhalten ich wie die dritten Potenzen ihrer gröÿten Halbachen: T T = a3 a 3 = cont Newton'che Gravitationgeetz: F ( r) = G M ˆ r r Gravitationpotenzial: E pot = G M r, augedehnte Körper: de pot = G dm r Relativitiche Mechanik Tranforationen Inertialyte S bewegt ich it v = v x relativ zu Inertialyte S. Ortvektor r = (x, y, z) it Gechwindigkeit u, Bechleunigung a und Zeit t (' geeen in S ). Lorentzfaktor: γ = q v c Galilei Lorentz x = x vt x = x + vt x = γ(x vt) x = γ(x + vt ) y = y y = y y = y y = y z = z z = z z = z z = z t = t t = t t = γ ( ) ( ) t vx c t = γ t + vx c u = u v u = u + v u x = ux v v a = a a = a u y,z = 3 u x = u c ux u y,z γ( v ux) u y,z = c x +v + v c u x u y,z γ(+ v c u x)

4 Zeitdilatation: t = γ t ( t geeen i Ruheyte de Objekt, t geeen i Syte S, in de ich die Uhr bewegt.) Längenkontraktion (Lorentz-Fitzgerald-Kontraktion): l = γ l (l: Eigenlänge i ruhenden Bezugyte, l geeen i bewegten Syte) Relativitiche Dynaik Relative Maenzunahe: (v) = γ 0 = Relativiticher Ipul: p = v = γ 0 v Relativitiche Kraft: F = 0 aγ 3 v c v + a 0 q v c Verbindung von Energie und Trägheit: E = c Relativitiche kinetiche Energie: E kin = 0 c (γ ) Geatenergie: E tot = E kin + 0 c = γ 0 c Relativitiche Energie-Ipul-Beziehung: E tot = p c + ( 0 c ) Schwingungen Aplitude A, Phae ϕ, Kreifrequenz ω 0 = k Freier haronicher Ozillator Hook'che Geetz: F = k x = d x Dierentialgleichung: d x + ω 0x = 0 Exponential-Anatz (c, λ C): x(t) = ce λt λ, = ± ω 0 = ± i ω 0 Dartellungforen der Bewegunggleichung:. x(t) = ce iω0t + c e iω0t (c = a + ib; a, b R au Anfangbedingungen). x(t) = c [e i(ω0t+ϕ) + e i(ω0t+ϕ) (Euler-Dartellung au c = c e iϕ ) 3. x(t) = c co(ω 0 t) + c in(ω 0 t) (au e iϕ = co ϕ + i in ϕ, c = c + c = c co ϕ, c = i(c c ) = c ( ) in ϕ) 4. x(t) = A co(ω 0 t + ϕ) Schwingungdauer (Periode): T = f = π ω 0 Freier gedäpfter Ozillator Dierentialgleichung: d x = kx b dx d x Exponential-Anatz liefert: λ, = γ ± γ ω 0 + γ dx + ω 0x = 0 (γ = b : Däpfungkontante). Schwache Däpfung (Schwingfall): ω 0 > γ λ, = γ ± iω ω = ω 0 γ x(t) = e γt (ce iωt + c e iωt ) = Ae γt co(ωt + ϕ) (e γt : exponentieller Däpfungter) Relaxationzeit τ der Energie (bei gedäpften Ozillator nicht erhalten!). τ = b = γ, E tot = E 0 e γt = E 0 e t τ ( ) Logarithiche Dekreent: δ = ln x(t) x(t+t ) = γt = T τ Gütefaktor Q: Q π = τ T, Q = ωτ (hohe Güte geringe Däpfung). Starke Däpfung (Kriechfall): γ > ω 0 (Überdäpfung) λ, = γ ± γ ω0 = γ ± α (α reell!) x(t) = e γt [c e αt + c e αt (Keine Schwingung!) 3. Aperiodicher Grenzfall: γ = ω 0 (Entartung) λ = λ = γ = ω 0 Modizierter Anatz: x(t) = c(t)e λt x(t) = (c t + c ) }{{} =c(t) e γt 4

5 Erzwungene Schwingungen Inhoogene DGL: d x = kx b dx + F 0 co ωt ẍ + γẋ + ω0x = F0 co ωt Hoogene DGL: allgeeine Löung A e γt co(ω t + ϕ ) Inhoogene DGL: pezielle Löung A co(ωt + ϕ ) Schwingung) x(t) = A e γt co(ω t + ϕ ) + A co(ωt + ϕ ) Phaenverchiebung ϕ : tan ϕ = γω ω 0 ω Aplitude A : A = F 0 (ω 0 ω ) +(γω) Reonanzfrequenz: ω R = ω 0 γ (ω: Erregerfrequenz, ω Frequenz der freien gedäpften Schwebung ( ) ω ω x(t) = a co t }{{} Aplitude A(t) ( ω + ω co ) t }{{} har. Schwingung (Die haroniche Schwingung hat die 'Mittenfrequenz') Pendel Matheatiche Pendel: a = αl = ϕl ϕ + g l in ϕ = 0 ϕ + g l ϕ = 0 (haroniche Näherung: in ϕ = ϕ) Phyikaliche Pendel: ϕ + RMg J ϕ = 0, ω 0 = RMg J Wellen Frequenz ν, Wellenlänge λ, Schwingungperiode T, Kreifrequenz ω = π T, Wellenzahl k = π λ, Dichte ϱ = d V, Aplitude A, lineare Maendichte µ tranverale Wellen: Aulenkung Aubreitung longitudinale Wellen: Aulenkung Aubreitung Phaengechwindigkeit: v P h = λν = ω k bzw. λ = v P h T (Diperionrelation) { } Wellenfunktion: Ψ(z, t) = A in(ωt kz) = ce i(ωt kz) = A in ω(t z v P h ) Wellengleichung für ebene Wellen: Ψ z = Ψ vp t h Wellengleichung einer entpannten Saite: x z = µ x F S t (v P h = FS µ ) Wellengleichung in 3D: Ψ = Ψ vp t h (Laplace-Operator: = x + y + z ) Intenität: I = ϱ v P h A ω Leitung: P = µ v P h A ω Gruppengechwindigkeit: v G = dω dk = v P h + k dv P h dk = v P h λ dv P h dλ Schallwellen Boltzann-Kontante k =, J K, abolute Teperatur T, Molekülae, Hörchwelle I 0 = 0 W Schallgechwindigkeit: v S = kt Lauttärke: LS = 0 log I I 0 [db Doppler-Eekt hin weg Quelle bewegt ich it u Z λ = λ 0 u Z T λ = λ 0 + u Z T f = f 0 u Z f = f 0 v + u Z P h v P h Beobachter bewegt ich it u B f = f 0 ( + u B v P h ) f = f 0 ( u B v P h ) 5

6 Doppler-Verchiebung: f = f f 0 Önungwinkel de Mach'chen Kegel: in β = v P h u Fete Körper Elatiche Verforung Dehnung L L, Spannung F A, Elatizitätodul E [ N, relative Voluenabnahe V V, Fläche A, Kraft F Zugkräfte i linearen Bereich: L L = E Scherodul: G = F/A L/L = F/A tan θ [ N Kopreionodul: K = p V/V Theriche Eigenchaften Längenänderung: L L = α T (α: Längenänderungkoezient) Voluenänderung: V V Wäretranport: = 3α T Wäreleitung: Energietranport durch Stöÿe, ortfete Atoe Konvektion: Energietranport durch Stotranport Strahlung: Energietranport durch elektroagnetiche Strahlung Wäretro: dq Teperaturgradient: dt dx Wäretro: dq Wäreenge dq = Zeiteinheit F A = Teperaturänderung dt Längeneinheit dx dt = λa dx (λ: theriche Leitfähigkeit [ W K Flüigkeiten Pacal'che Geetz: p(h) = p 0 + ϱ F l g h (h: Höhe) Auftriebkraft = Gewichtkraft der durch den Körper verdrängten Flüigkeit Hydrauliche Pree: F = F A A, h = A A h 6