4.2.1 Das Verfahren von Wagner und Whitin

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1 4.2.1 Das Verfahren von Wagner und Whitin I) Annahmen und Anwendungsgebiete Wann verwendet man typischerweise dynamische Verfahren der Bestellmengenplanung? Dynamische Verfahren der Bestellmengenplanung werden typischerweise dann eingesetzt, wenn die Prämissen der statischen Bestellmengen-Planungsverfahren (über die Zeit konstante Periodenbedarfe, Lager- und Fehlmengenkostensätze sowie bestellfixe Kosten) nicht mehr erfüllt sind. Nennen Sie die Charakteristika sowie die Prämissen des Wagner/Whitin- Verfahrens zur Lösung des dynamischen Bestellmengenproblems! Die Charakteristika des Wagner- Whitin- Modells sind: variabler Bedarf; d.h. der Bedarf einer Periode ist zwar deterministisch bestimmt, jedoch von unterschiedlicher Größe, variable Planungszeiträume; d.h. das Unternehmen kann für eine Periode oder aber für mehrere Perioden planen, und in zeitlicher Folge variable bestellfixe Kosten und variable Lagerkostensätze. Des Weiteren gelten folgende Prämissen: Es wird nur ein einzelnes Gut/Produkt betrachtet. Der Lagerbestand des Gutes ist zu Beginn der Periode 1 bzw. am Ende der Periode 0 und auch am Ende der letzten Periode des Planungszeitraums gleich Null. Gegebenenfalls ist der jeweilige Periodenbedarf um den abweichenden Lagerbestand zu korrigieren. Die Lieferung des bestellten Gutes erfolgt schlagartig. Der Periodenbedarf tritt in voller Höhe zu Beginn der Periode auf, und Fehlmengen sind nicht erlaubt d.h. der Periodenbedarf muss vollständig zu Beginn der Periode aus dem Lagerbestand oder aus der Lieferung gedeckt werden. Warum setzt man in der Praxis häufig Heuristiken statt exakter Verfahren zur Lösung des dynamischen Bestellmengenproblems ein? Bei dem exakten Verfahren von Wagner und Whitin wird die optimale Bestell- und Lagerhaltungspolitik erst mit dem Erreichen der letzten Periode des Planungshorizontes durch anschließendes Zurückrechnen bestimmt. Gerade die Bedarfe und Kostensätze der letzten Perioden des Planungszeitraums sind jedoch schwer prognostizierbar, so dass man die Planungsergebnisse in nachfolgenden Perioden im Rahmen der rollierenden Planung regelmäßig revidieren müsste. Die ursprünglich ermittelte Bestellund Lagerhaltungspolitik ist dann jedoch nicht mehr zwangsläufig optimal. Daher setzt man in der Praxis häufig statt der exakten, so genannte heuristische Verfahren der Bestellmengenplanung ein, die unter Anwendung einer vereinfachten Lösungsprozedur und mit erheblich geringerem Rechenaufwand auf das Auffinden exakter Lösungen verzichten und sich vielmehr mit suboptimalen Lösungen in der Nähe des tatsächlichen Optimums begnügen. Man hofft dabei, dass die mit der Verwendung suboptimaler statt optimaler Lösungen verbundenen Kostenerhöhungen durch den geringeren Rechenaufwand bzw. die einfachere Handhabung (Datenerhebung) heuristischer Verfahren ausgeglichen werden können. Katharina Nuenighoff/Rolf Baumanns WS 06/07 überarbeitet:m.thulke SS09 Seite 1

2 II Rechnerische Bestimmung der optimalen Lagerhaltungspolitik (Bsp. 4 der KE) geg: Perioden: 6 Monate Rohstoffbedarf pro Periode in Tonnen: (1)100, (2) 120, (3) 80, (4) 110, (5) 80, (6) 40 Bestellfixe Kosten: 250 GE Lagerkosten pro Tonne und Monat: 2,00 GE Annahmen: Bedarf zum Monatsbeginn, Lieferung zum Monatsbeginn, Bestellung für ganze Monate ges: optimale Bestell- und Lagerhaltungspolitik Lösung: Grundüberlegung: Bedarf kann zu Beginn eines jeden Monats durch eine neue Bestellung für genau eine Periode gedeckt werden (Bestellfixe Kosten) oder Bedarf kann durch eine Bestellung gedeckt werden, die den Bedarf mehrerer Perioden abdeckt (Reichweite der Bestellmenge >1; Bestellfixe Kosten und Lagerkosten) oder Kombination aus beidem (Bestellfixe Kosten und Lagerkosten) Schritt 1: Um die optimale Politik zu erhalten, müssen erstmal die Lagerhaltungskosten ermittelt werden (ggf. mit der folgenden Hilfstabelle). Hilfstabelle Perioden Rohstoffbedarf Hilfszahl Lagerkosten Berechnung: Rostoffbedarf x (Periode + negative Hilfszahl) x Lagerkostens=LK Beispiel: 120 x (2-1) x 2 = 240 Hinweis: Lesart: Bei der Hilfstabelle werden die jeweiligen Lagerkosten für den Rohstoffbedarf einer bestimmten Verbrauchsperiode bezogen auf eine bestimmte Lagerzeit ermittelt. Wird beispielsweise in der Periode 2 (negative Hilfszahl) der Rohstoffbedarf für die Periode 4 mitbestellt, so betragen die Lagerkosten für die Rohstoffe, die in Periode 4 verbraucht werden insgesamt 440 GE= 110 t x (4-2 Perioden) x2 GE/t) Die Periode (Verbrauchperiode) wird mit der negativen Hilfszahl (Bestellperiode x -1) addiert und entspricht dem Lagerzeitraum. Bei Gleichheit der Perioden (sofortiger Verbrauch der bestellten Menge) ergibt sich so annahmegemäß auch ein Wert von Null für die Lagerkosten (Bsp. Bestellung erfolgt in Bestellperiode 2 für Verbrauchsperiode 2). In diesen Fällen ist in der Hilfstabelle jeweils eine Null einzutragen. Der linke Teil der Matrix bleibt frei, da man am Bestellzeitpunkt nicht mehr für vergangene Verbrauchperioden bestellt, sondern nur für die aktuelle und/ oder für zukünftige Perioden. Katharina Nuenighoff/Rolf Baumanns WS 06/07 überarbeitet:m.thulke SS09 Seite 2

3 Alternative für das Ausfüllen der Tabelle mit weniger Rechenaufwand: Zunächst wird die 0-Diagonale eingetragen, d.h. es werden die Felder mit einer 0 ausgefüllt, in denen Bestellung und Verbrauch zusammenfallen und daher keine Lagerkosten entstehen. Hilfszahl Danach wird in der Diagonale darüber jeweils die Menge der entsprechenden Periode mit dem Lagerkostensatz multipliziert eingetragen: Hilfszahl Beispiel: (Periode 4) 110 x 2 = 220. Dann kann jede Spalte von unten nach oben ausgefüllt werden, indem für jeden Schritt nach oben noch einmal die zuerst berechneten Lagerkosten hinzugezählt werden. Hilfszahl Beispiel: (Periode 6) Unterste Zelle: 0 Darüber: Lagerkostensatz x Periodenbedarf = 2 x 40 = 80. Darüber: = 160. Darüber: = 240. Usw. Katharina Nuenighoff/Rolf Baumanns WS 06/07 überarbeitet:m.thulke SS09 Seite 3

4 Schritt 2: Die Lagerkosten müssen nunmehr kumuliert werden sowie um die bestellfixen Kosten ergänzt werden, um die Gesamtkosten zu erhalten. Ausgangstabelle: Hilfstabelle Perioden Rohstoffbedarf Hilfszahl Lagerkosten Berechnung: kumul. Zeilenmenge (addieren der Lagerkosten und bestelllfixen Kosten) bis zur jew. Verbrauchsperiode Beispiel: = = =250 Ergebnistabelle: Bestellperiode Endtabelle Verbrauchsperiode Hinweis: Lesart: Wird in Periode 2 die gesamte Rohstoffmenge für die Verbrauchsperioden 2 bis 5 bestellt ergeben sich Gesamtkosten (bestellfixe Kosten und Lagerkosten) in Höhe von 1330 GE Die optimale Politik ist an dieser Tabelle noch nicht ablesbar Schritt 3: Anhand dieser Daten muss nun die optimale Politik ermittelt werden, welche die Gesamtkosten über die sechs Monate minimiert. Dazu erweitert man schrittweise den Planungshorizont und errechnet die für den betrachteten Planungshorizont minimalen Gesamtkosten. Hinweis: Um alle Möglichkeiten zu berücksichtigen, sollte man die Spalten nacheinander abarbeiten. Innerhalb der Spalten werden die Zeilen ebenfalls nacheinander betrachtet. Katharina Nuenighoff/Rolf Baumanns WS 06/07 überarbeitet:m.thulke SS09 Seite 4

5 Planungshorizont 1 Monat (Spalte 1 der Endtabelle): Die einzige Möglichkeit ist zu Beginn des ersten Monats den Bedarf für den ersten Monat zu decken (bestellfixe Kosten) K1*=min K11= 250 optimale Politik p1*=p11 Planungshorizont 2 Monate (Spalte 2): Zeile 1) Man kann zu Beginn des ersten Monats den Bedarf für beide Monate bestellen oder Zeile 2) Optimalbestellung für Planungshorizont 1 vornehmen sowie im zweiten Monat für den zweiten Monate bestellen K2*=min[K12, (K1*+K22)]= min [490, ( )]= 490 optimale Politik p2*=p12 Planungshorizont 3 Monate (Spalte 3): Zeile 1) zu Beginn des ersten Monats den Bedarf für alle drei Monate bestellen Zeile 2) Optimalbestellung für Planungshorizont 1 vornehmen sowie im zweiten Monat für die Monate zwei und drei bestellen Zeile 3) Optimalbestellung für den Planungshorizont 2 vornehmen sowie im dritten Monat für den dritten Monat bestellen K3*=min [K13, (K1*+K23), (K2*+K33)]= min [810, ( ), ( )] = min [810, 660, 740]= 660 optimale Politik p3*=(p1*,p23) Planungshorizonte 3-6 Monate analog berechnen: Schritt 4: K4*= 910 GE; p4*= (p3*, p44) K5*=1070 GE p5*= (p3*, p45) K6*=1230 GE p6*= (p3*, p46) Durch Rückwärtsrechnen ermittelt man nun die optimale Politik für den gesamten Zeitraum: p6*= (p3*, p46) p3*= (p1*, p23) p1*= p11 p6* entspricht (p11, p23, p46) Es entstehen Bestell- und Lagerkosten in Höhe von GE Hinweis: Die Gesamtkosten der optimalen Politik lassen sich einerseits beim Planungshorizont 6 Monate und andererseits auch aus der Endtabelle ( = 1230) ablesen. Endtabelle Bestellperiode Verbrauchsperiode Katharina Nuenighoff/Rolf Baumanns WS 06/07 überarbeitet:m.thulke SS09 Seite 5