41533 KE1 - Anpassungsprozesse bei Gutenbergs Produktions- und Kostenfunktion Methode der voroptimierten Grenzkostenfunktionen

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1 Grundlage einer typischen Aufgabenstellung ist das Problem eines kombinierten sprozesses von mehreren funktionsgleichen, aber kostenverschiedenen Aggregaten. Gegeben sind (pro Aggregat): Verbrauchsfunktionen: a i (λ) bzw. ρ i (λ) (werden gleichwertig gebraucht, weil eigentlich immer d= gilt, Verbrauchsfunktionen werden pro Faktor aufgestellt). Die Verbrauchsfunktionen müssen in Kostenfunktionen umgewandelt werden, indem sie mit Preisen q i bewertet werden: k i (λ) = q i a i (λ). Die Kostenfunktionen der einzelnen Faktoren aufaddieren zur Kosten- Leistungsfunktion des Aggregats k(λ) = k (λ)+...+k i (λ) (Evtl. wird in der Aufgabe auch schon eine Kosten-Leistungsfunktion pro Aggregat gegeben. Der Inde beim k steht dann nicht für die einzelnen Faktoren, sondern für die verschiedenen Aggregate.). falls gefragt, umwandeln in Zeit-Kosten-Leistungsfunktion nochmal mit λ multiplizieren z(λ) =k(λ) λ z(λ) k(λ) k (λ) z(λ) k(λ) λ opt k (λ) Rolf Baumanns/ Claudia SS 006 Seite von 8

2 4. zur Bestimmung des Bereichs für zeitliche, λ opt berechnen:. Kosten-Leistungsfunktion k(λ) ableiten und gleich 0 setzen k (λ)=0. Überprüfung: Liegt berechnetes λ opt im Gültigkeitsbereich? Falls λ opt NICHT im Gültigkeitsbereich für λ liegt gibt es zwei Möglichkeiten: λ ma λ opt λ opt λ min λ ma < λ opt Nur zeitliche mit l ma möglich, keine intensitätsmäßige möglich! λ opt < λ min Zeitliche mit l min, danach intensitätsmäßige.!! Die zeitliche kann nur gewählt werden, wenn das Aggregat auch stillgesetzt werden kann!! Grundsätzlich kann bei diesen Aufgabentypen davon ausgegangen werden, dass das Aggregat auch stillgesetzt werden kann. Wenn eine Stillsetzung nicht möglich ist, wird im Aufgabentet eplizit darauf hingewiesen!. Stückkosten für das gefundene λ opt berechnen: k(λ=λ opt ) 4. Daraus leitet man die Gesamt-Kostenfunktion für die zeitliche durch Multiplikation der so errechneten Stückkosten mit aus: K()= k(λ opt ) 5. Als letzte Berechnung für diese muss nun noch der Gültigkeitsbereich der zeitlichen berechnet werden, indem man λ opt (bzw. im Sonderfall λ ma oder λ min ) mit ma. Zeit t ma multipliziert. Grenze für = λ opt t ma Rolf Baumanns/ Claudia SS 006 Seite von 8

3 5. zur Bestimmung der Kostenfunktion für den Bereich der intensitätsmäßigen muss wieder auf die Kosten-Leistungsfunktion zurückgegriffen werden:. In k(λ) λ durch /t ma (z.b. /8) ersetzen (zunächst einfach in Klammern statt λ einsetzen und dann ausmultiplizieren), so wandelt sich die Kosten- Leistungsfunktion in die Stückkostenfunktion um: k(λ=/t)=k(). Dieser (meist quadratische) Term muss dann mit multipliziert werden, damit man auf die Gesamt-Kostenfunktion kommt: K(X)=k() 6. Zweigeteilte Kostenfunktion aufschreiben: K( ) k( ) k( ) t 0 λ t t = opt ma ma ma λ opt < λ Bei der Methode der voroptimierten Grenzkostenmethode müssen die Schritt bis hierhin für jedes Aggregat durchgeführt werden!! 7. Nun sollte man für jede so errechnete Kostenfunktion eine tabellarische Übersicht der jeweiligen Grenzkostenfunktionen (vorsortiert nach aufsteigenden Grenzkosten) der entsprechenden Bereiche aufstellen. Als Vorlage kann man die Tabelle aus der Kurseinheit nehmen: ma t Nr. Grenzkostenfunktion für den Bereich zeitlicher Bereich zeitlicher K ()=6 ma 0 λ* t K ()=8 ma 0 λ* t K ()=5 ma 0 λ* t Grenzkostenfunktion für den Bereich intensitätsmäßiger K ()= + K ()=0, K ()= Bereich intensitätsmäßiger λ* t ma λ ma ma t λ* t ma λ ma ma t λ* t ma λ ma ma t 8. Die Aggregate werden in der Reihenfolge der vorsortierten Grenzkosten herangezogen. Angefangen wird immer mit der günstigsten zeitlichen! 9. Je nach Anzahl der Aggregate hat man unterschiedliche Anzahl von Phasen der skombinationen, hier sollen beispielhaft bisher vorgekommene und in den KE behandelten Fälle gezeigt werden. Bereiche Aggegrate Aggregate ohne Einschränkung (Kurseinheit) Aggegrate mit Einschränkung (Aufgabe 4 aus Klausur 0/999) 5 Bereiche 8 Bereiche 5 Bereiche A: Zeitliche A: Zeitliche A:- A: zeitliche A: zeitliche A: Intensitätsm. A: Intensitätsm. A: - A: - A: - A: - A: intensitätsm. Rolf Baumanns/ Claudia SS 006 Seite von 8

4 A: Zeitliche A: Zeitliche 4 A: intensitätsm. A: intensitätsm. A: intensitätsm. A: intensitätsm. 5 A: - A: intensitätsm. A: - A: intensitätsm. 6 A: - A: zeitl. 7 A: - A: intensitätsm. A: intensitätsm. 8 A: - A: intensitätsm. eins zeitlich eins intensitätsmäßig eins konstant, eins zeitlich beide intensitätsmäßig eins konstant, eins intensitätsmäßig A: zeitliche A: - A: intensitätsm. A: intensitätsm. A: - A: intensitätsm. 0. Grundsätzlich kann man folgende Aussagen treffen:. nach einer Phase zeitlicher folgt eine Phase intensitätsmäßiger des gleichen Aggregats (es sei denn, die intensitätsmäßige wird wg. des o.a. Sonderfalls ausgeschlossen). in den Phasen, in denen mehrere Aggregate intensitätsmäßig angepasst werden, werden die Intensitäten der Aggregate so angepasst, dass immer gleiche Grenzkosten erzeugt werden. Fallunterscheidungen bei den Phasenübergängen machen:. Ein Aggregat wird intensitätsmäßg angepasst: Gleichsetzen der Grenzkostenfunktion für den zweiten Bereich mit der zeitlichen Grenzkostenfunktion des nächstgünstigeren Aggregats (evlt. Fallstrick: vielleicht gibt es keine Schnittstelle, wenn die intensitätsmäßigen Grenzkosten nie die zeitlichen des nächsten Aggregats erreichen). Mehrere Aggregate werden intensitätsmäßig angepasst: zunächst Grenzkosten der maimalen Intensitäten der Aggregate berechnen die so erreichneten niedrigeren Grenzkosten gleichsetzen mit der Grenzkostenfunktion des teureren Aggregats in der anschließenden Phase wird dann das günstigere Aggregat nicht mehr angpasst. Bereichsgrenzenberechnung für die Produktionsmengen der verschiedenen sphasen: Bei zeitlicher des betrachteten Aggregats: λ* t ma berechnen und diese Menge auf die von den anderen Aggregaten produzierte Menge aufaddieren. Bei intensitätsmäßiger : Bei den Phasenübergängen hat man bereits ein berechnet, an dem entweder das nächste Aggregat zeitlich angepasst wird, oder bei der die eines Aggregats nicht mehr möglich ist. Diese Menge ist nicht der Menge hinzuzurechnen, die mit dem gleichen Aggregat durch zeitliche produziert wird, sondern beinhaltet diese Menge. Sie ist aber zu den Mengen zu addieren, die mit anderen Aggregaten erzeugt werden! Rolf Baumanns/ Claudia SS 006 Seite 4 von 8

5 Die Schritte sollen anhand einer Beispielaufgabe (Aufgabe aus März 00) nochmal nachvollzogen werden: Es sind gegeben, zwei funktionsgleiche, aber kostenverschiedene Aggregate. Gegeben: Die zwei Kosten-Leistungsfunktionen der Aggregate, somit entfallen Schritt und Schritt. k (λ )=0,5λ -5λ +7,9 0 λ 5 k (λ )=0,λ -6λ λ 0 0 t 8. könnte ebenfalls entfallen, Berechnung der Zeit-Kosten-Leistungsfunktion war nicht verlangt, zur Vollständigkeit: z (λ )=0,5λ -5λ +7,9λ 0 λ 5 z (λ )=0,λ -6λ +47λ 0 λ 0 Schritt 4 bis 6 für jedes Aggregat durchführen: Aggregat 4. optimale Intensitäten berechnen a) ableiten und gleich 0 setzen k (λ )= λ -5! = 0 λ opt =5 b) liegt im Gültigkeitsbereich c) Stückkosten bei optimaler Intensität: k (λ opt )=5,4 d) Kostenfunktion für zeitliche Intensität: K() = 5,4 e) Grenze des Bereiches für zeitliche : λ opt t ma = 5 8 = Kostenfunktion für den intensitätsmäßigen Bereich: a) λ durch /t ma bzw. /8 ersetzen: k( ) = 0,5( ) 5 + 7, = + 7,9 8 8! b) Kostenfunktion für den intensitäsmäßigen Bereich: 5 K ( ) = + 7, Rolf Baumanns/ Claudia SS 006 Seite 5 von 8

6 6. Gesamtkostenfunktion des Aggregats : 5, K ( ) = 5 + 7,9 00 < Aggregat : 4. optimale Intensitäten berechnen: a) ableiten und gleich 0 setzen k (λ )= 0,4λ -6! = 0 λ opt =5 b) liegt im Gültigkeitsbereich c) Stückkosten bei optimaler Intensität: k (λ opt =5)=5,4 d) Kostenfunktion für zeitliche Intensität: K() = e) Grenze des Bereiches für zeitliche : λ opt t ma = 5 8 = 0 5. Kostenfunktion für den intensitätsmäßigen Bereich: a) λ durch /t ma bzw. /8 ersetzen:! k ( ) = 0,( ) = b) Kostenfunktion für den intensitäsmäßigen Bereich: K ( ) = Gesamtkostenfunktion des Aggregats : 0 0 K ( ) = < Tabelle mit Grenzkosten aufstellen, sortiert nach aufsteigenden Grenzkosten bei zeitlicher : Nr. Grenzkostenfunktion für den Bereich zeitlicher Bereich zeitlicher K ()= 0 0 K ()=5, Grenzkostenfunktion für den Bereich intensitätsmäßiger K ( ) = 0 K ( ) = ,9 Bereich intensitätsmäßiger Rolf Baumanns/ Claudia SS 006 Seite 6 von 8

7 8.-. sphasen und Übergänge Beginnen mit zeitlicher von Aggregat bis zur maimalen Menge λ opt 8=5*8=0 (siehe Punkt 8) Fortsetzung mit intensitätsmäßiger des gleichen Aggregats (siehe Punkt 0). Übergang wenn Grenzkosten der intensitätsmäßigen gleich der Grenzkosten der zeitlichen des nächstgünstigeren Aggregats (Aggregat ) sind (siehe Punkt.) K ( ) = + 47 = 5,4 = K ( ) 0 = 80 ± 64 = 44. Übergang wenn Grenze des Bereichs der zeitlichen von Aggregat erreicht: λ opt 8 =00. Die Menge von 00 muss zu der von Aggregat produzierten Menge addiert werden: 44+00=44 (siehe Schritt.) Phase mit intensitätsmäßiger beider Aggregate. Welches hört zuerst auf? (siehe Schritt.) Berechnung der Grenzkosten der maimalen Intensitäten bzw. Produktionsmengen: K (=80)=45,4 K (=40)=7 Aggregat wird bis zum Schluss angepasst. Wo ist der Übergang? Grenzkostenfunktion des teureren Aggregats (A) gleichsetzen mit maimalen Grenzkosten von Aggregat : 5! K ( ) = + 7,9 = = 47,55 Beim Übergang werden mit Aggregat eine Menge von = 47,55 produziert, aufaddieren zur Menge, die von Aggregat (ma. Kapazität =40) produziert wird: 40+47,55 = 487,55 (siehe Schritt.) Endmenge ist bei = 50 K =45,4 i.a. A K =7 K =5,4 z.a. A i.a. A z.a. A i.a. A+A gleiche Grenzkosten! Rolf K = Baumanns/ Claudia SS 006 Seite 7 von 8 =0 =44 =44 =487,55 =50

8 Nette Zusatzaufgabe: Ab und zu (z.b. in dieser Aufgabe) wird gefragt, wie eine bestimmte Produktionsmenge von auf die Aggregate verteilt wird. Z.B. war hier =480. Dies fällt in den Bereich, in dem beide Aggregate intensitätsmäßig angepasst werden (ansonsten macht die Aufgabe auch nicht viel Sinn). In diesem Bereich sind die Grenzkosten gleich, weiterhin macht man sich die Gleichung = + (wie eigentlich immer bei einer Aufteilung einer Produktionsmenge) also hier 480= + bzw. =480- zu nutze. K ( ) = 5 (480 ) (480 ) + 7,9 = ( ) ,9 = ,9 = ,9 + = ,9 = ,9 = , ,9 = ( λ 8 048,89 54,445) ,89 = 0 = 7504,558 95,89 = 8689,668 54,445 = ± 89,97 = 5,5 = 9,9, λ 8 + 7,9 = 0 = 5, = = 0, = K = 44,85 ( ) + 47 Rolf Baumanns/ Claudia SS 006 Seite 8 von 8