Industrieökonomik Sommersemester Vorlesung,

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1 Industrieökonomik Sommersemester Vorlesung, PD Dr. Jörg Naeve Universität des Saarlandes Lehrstuhl für Nationalökonomie insbes. Wirtschaftstheorie (Mittwoch bis Freitag) 1 / 49

2 Preiswettbewerb bei homogenen Produkten Nash Im Cournot Duopol mit homogenen Produkten lautet die Preis Absatz Funktion p(y ) = α βy. Dabei ist Y die Gesamtmenge des Produkts auf dem Markt, die sich als Summe der von den beiden Duopolisten angebotenen Mengen ergibt Y = y 1 + y 2. So können wir zwar abbilden, dass beide Unternehmen jeweils ihre Menge wählen, aus Sicht das Marktes, d. h. insbesondere der Nachfrager, gibt es aber nur eine Menge und jedenfalls nur einen Preis. 2 / 49

3 Nachfragefunktion und Preiswettbewerb Nash Damit können wir die Preis Absatz Funktion zwar leicht invertieren und erhalten Y (p) = α β 1 β p = a bp. Wir haben aber aus zwei Gründen Schwierigkeiten Preiswettbewerb zu modellieren: 1. Preiswettbewerb führt dazu, dass es zwei unterschiedliche Preise für das homogene Produkt geben kann; es stellt sich die Frage, wie daraus der für die Nachfrage relevante Preis entsteht. 2. Als Ergebnis liefert die Nachfragefunktion die insgesamt auf dem Markt nachgefragte Menge, wir wollen aber wissen, wieviel jeder der beiden Duopolisten verkauft. Im Cournot Modell konnten wir ihre Mengen addieren, die umgekehrte Richtung ist aber unklar. 3 / 49

4 Der niedrigste Preis entscheidet Nash Wenn wir überlegen, was homogene Produkte bedeuten, wird klar, dass der für die Marktnachfrage relevante Preis stets das Minimum der Preise der Oligopolisten ist. Wir können die Nachfragefunktion demnach schreiben als Y (p 1,p 2 ) = a b min{p 1,p 2 }. Damit ist auch die zweite Frage im wesentlichen geklärt: Das Unternehmen mit dem niedrigeren Preis zieht die komplette Marktnachfrage auf sich, während das teurere nichts verkauft. 4 / 49

5 Nachfragefunktionen im Modell Nash Offen ist nur noch, wie sich die Nachfrage auf die Unternehmen verteilt, wenn beide den selben Preis setzen. Wenn beide Unternehmen ein homogenes Produkt verkaufen, gibt es aus Sicht der Konsumentinnen bei gleichen Preisen keinen Grund, lieber bei dem einen als bei dem anderen unternehmen zu kaufen. Wr müssen daher eine Rationierungsregel einführen, die determiniert, wie sich die Nachfrage auf die beiden Unternehmen aufteilt. Jede derartige Regel ist für sich genommen willkürlich. Ohne spezielle Gründe für eine andere Annahme, liegt es aber nahe, bei gleichen Preisen anzunehmen, dass beide Unternehmen jeweils die Hälfte der Marktnachfrage bedienen. 5 / 49

6 Nachfragefunktionen im Modell Nash Damit könnnen die Nachfragefunktionen des Duopolisten Unternehmen i wie folgt schreiben. y i (p i,p i ) = 0, falls p i > p i oder p i > a 1 2 (a bp i), falls p i = p i a a bp i, falls p i < p i und p i a. Die Fallunterscheidung wird durch den Minimumoperator in der Nachfragefunktion nötig gemacht. Das führt zu einer Unstetigkeit in den Nachfragefunktionen, die die Analyse des Modells erschwert; jedenfalls können wir die Techniken, die wir bisher verwendet haben in diesem Modell nicht einsetzen. 6 / 49

7 funktionen und Gewinne im Modell Nash Wie im Cournot Modell nehmen wir an, dass beide Duopolisten konstante Grenzkosen haben, d. h., ihre funktionen haben die Form C i (y i ) = c i y i, i = 1,2, mit c 1,c 2 0. Damit ergeben sich die Gewinne in Abhängigkeit von den Preisen als π i (p i,p i ) = p i y i (p i,p i ) c i y i (p i,p i ), i = 1,2. 7 / 49

8 Definition des Nash s Nash Definition Ein Nash besteht aus Mengen y1 b und yb 2 sowie Preisen pb 1 und pb 2 derart, dass gilt 1. der Preis p b 1 löst das Maximierungsproblem ( ) ( ) max π p 1,p b p 2 = (p 1 c 1 ) y 1 p 1,p b 2, 1 2. der Preis p b 2 löst das Maximierungsproblem ) ) max π (p b p 2 1,p 2 = (p 2 c 2 ) y 2 (p b 1,p 2 3. und y 1 und y 2 sind durch die Nachfragefunktion bestimmt. Die Preise im Nash bilden also gegenseitige beste Antworten. 8 / 49

9 Unstetigkeit im Modell Nash Ein wichtiger Punkt im Modell ist die Unstetigkeit des Gewinns bzw. der Auszahlungsfunktionen. Wenn die von beiden Unternehmen gesetzten Preise gleich sind, ändert sich die Auszahlung unstetig, sobald ein unternehmen seinen Preis ändert: Bei einem auch nur etwas höheren Preis eines Unternehmens ist dessen Marktanteil und damit der Gewinn gleich 0. Eine geringe Senkung des Preises führt dazu, dass es einen zusätzlichen Marktanteil von 50% erhält. Wir werden im weiteren unterstellen, dass die Unternehmen ihre Preise kontinuierlich ändern können, d. h., dass es keine gibt. 9 / 49

10 -Modell ohne Nash Implizit wird im Modell angenommen, dass beide Uternehmen stets in der Lage sind, die auf se entfallende Nachfrage auch zu befriedigen. Wir nehmen also an, dass es keine Kapaztätsschranken gibt, die Unternehmen also beliebige Menge zu den vorgegebenen konstanten Grenzkosten herstellen können. Wir werden später analysieren, wie sich die Ergebnisse des Modells ändern, wenn wir einführen. 10 / 49

11 s Nash Nash Für symmetrische Unternehmen, die die selben Grenzkosten aufweisen, ist das Nash wie folgt charakterisiert. Satz: Wenn die Unternehmen die gleiche struktur aufweisen (c 1 = c 2 = c) und a > c gilt, dann ist das eindeutige Nash durch p b 1 = p b 2 = c und y b 1 = y b 2 = a c 2 b gegeben. 11 / 49

12 Herleitung des symmetrischen Nash s Nash Beweis: Wir beginnen mit zwei Vorüberlegungen. Da jedes Unternehmen sich Nullgewinne sichern kann (etwa durch überbieten des Konkurrenten) können die Gewinne im nicht negativ sein. Daher muss für i = 1,2 gelten, dass p i c i ist, wenn p i der niedrigste Preis ist. Der niedrigste Preis im wird niemals über dem Monopolpreis liegen, da das Unternehmen mit diesem Preis ja die gesamte Nachfrage erhält und unter diesen Umständen der Monopolpreis gewinnmaximierend ist. 12 / 49

13 Herleitung des symmetrischen Nash s (Forts.) Nash Als nächstes wird gezeigt, dass im Nash beide Unternehmen den gleichen Preis setzen werden. Angenommen, dies sei nicht der Fall, d. h. o. B. d. A., dass p b 1 > pb 2. Falls p b 2 > c ist, könnte Unternehmen 1 seinen Preis auf p 1 mit p b 2 > p 1 > c setzen, den gesamten Markt bekommen und einen positiven Gewinn (statt Nullgewinn) machen, sich also verbessern. Falls p b 2 = c ist, könnte Unternehmen 2 seinen Preis etwas erhöhen und dennoch unter dem Preis von Unternehmen 1 bleiben. Damit würde es einen positiven Gewinn (statt Nullgewinn) machen, sich also verbessern. 13 / 49

14 Herleitung des symmetrischen Nash s (Forts.) Nash Wir wissen nun, dass gelten muss p b 1 = pb 2. Angenommen, es wäre p b 1 = pb 2 > c. Dies kann kein sein, denn in diesem Fall kann ein Unternehmen seinen Preis etwas senken, um dadurch die gesamte Nachfrage (statt der Hälfte) zu erhalten und so seinen Gewinn zu erhöhen. Q.E.D. Wenn also die beiden Unternehmen die gleiche struktur haben, dann ergeben sich im Nash genau wie bei vollständiger Konkurrenz für beide Unternehmen Preise gleich den Grenzkosten und die angebotene Menge ist die gleiche wie bei vollkommenem Wettbewerb. 14 / 49

15 Ökonomische Interpretation des symmetrischen Nash s Nash Die ökonomische Erklärung ist die folgende: Wenn beide Unternehmen Preise oberhalb der Grenzkosten setzen, dann könnte ein Unternehmen den gesamten Markt erhalten, wenn es den Preis nur um einen infinitesimalen Betrag unterbieten würde. Der Erlös pro Stück würde sich daher nicht (bzw. fast nicht) verändern, aber die abgesetzte Menge würde sprunghaft ansteigen. Das andere Unternehmen würde dann seinerseits den Preis des Konkurrenten unterbieten. Dieses gegenseitige Unterbieten führt dazu, dass die Preise sich immer mehr den Grenzkosten annähern. Erreichen die Preise die Grenzkosten, lohnt sich ein weiteres Unterbieten nicht mehr, da es zu Verlusten führen würde. 15 / 49

16 Vergleich Mengen und Preiswettbewerb Nash Dieses Ergebnis des Modells ist sehr bemerkenswert und steht in krassem Gegensatz zu unseren Erkenntnissen aus der Analyse des Mengenwettbewerbs. Dort hatten wir gesehen, dass wir mit zunehmender Zahl der Unternehmen eine schrittweise Entwicklung mit sinkendem Preis und steigender Menge vom Monopol über das Duopol und Oligopol bis hin zum vollkommenen Wettbewerb hatten, den wir als Grenzfall eines Oligopols mit unendlich vielen Unternehmen erhalten. Während es beim Monopol keinen Unterschied macht, ob wir es als preis- oder mengensetzendes Unternehmen modellieren, ergibt sich ein völlig anderes Bild, sobald wir mehrere Unternehmen betrachten: Schon im Duopol führt Wettbewerb zum gleichen Ergebnis wie vollkommener Wettbewerb. 16 / 49

17 struktur: Intuition Nash Wenn wir die Symmetrieannahme aufgeben, d. h. zwei Unternehmen mit unterschiedlichen Grenzkosten betrachten, handeln wir uns technische Probleme ein. Wir nehmen im Folgenden an, dass c 2 > c 1 ist. Intuitiv scheint klar zu sein, was das Ergebnis des Wettbewerbs sein wird: Das effiziente Unternehmen 1 kann Unternehmen 2 unterbieten, indem es seinen Preis knapp unter dessen Grenzkosten setzt. Dadurch erhält es einen positiven Gewinn, der um so höher ausfällt, je größer die differenz c 2 c 1 ist. 17 / 49

18 struktur: Kein Nash Es stellt sich aber heraus, dass diese Intuition im Modell nicht so leicht zu fassen ist. Wenn wir an der Annahme kontinuierlich veränderbarer Preise und der Rationierungsregel festhalten, gibt es kein. Das Problem ist, dass es keine beste Antwort von Unternehmen 1 gibt, da die Idee eines Preises knapp unter c 2 nicht wohldefiniert ist. Nehmen wir an, Unternehmen 2 wählt p 2 = c 2. Dann kann Unternehmen 1 eine Preis p 1 = c 2 ε wählen, mit sehr kleinem positiven ε. So lange c 2 aber unterhalb des Monopolpreises von Unternehmen 1 liegt, könnte Unternehmen 1 sich noch weiter verbessern, indem es den Preis leicht auf p 1 = c 2 ε 2 erhöht. Aus analogen Gründen ist aber auch p 1 keine beste Antwort. 18 / 49

19 struktur: alternative Modellierung Nash Es gibt zwei mögliche Auswege, aus dieser Situation: 1. Wir können die Rationierungsregel ändern. 2. Wir können eine einführen, d. h. statt kontinuierlicher nur noch diskrete Preisänderungen zulassen. Dadurch wäre klar, was ein Preis knapp unter c 2 bedeutet, nämlich ein Preis exakt eine darunter. 19 / 49

20 struktur: alternative Rationierungsregel Nash Wir beginnen mit der Rationierungsregel. Bisher hatten wir angenommen, dass, falls p 1 = p 2 = p gilt, beide Unternehmen exakt die Hälfte der Gesamtnachfrage Y (p) = a p b erhalten. Nun unterstellen wir stattdessen, dass bei Preisgleichheit alle Konsumenten bei Unternehmen 1 kaufen. 20 / 49

21 struktur: alternative Rationierungsregel Nachfragefunktionen Nash Die Nachfragefunktionen der beiden Unternehmen sind also (1) y 1 (p 1,p 2 ) = 0 falls p 1 a 0 falls p 1 > p 2 a p b falls p 1 = p 2 = p < a a p 1 b falls p 1 < min{a,p 2 }. und (2) y 2 (p 1,p 2 ) = 0 falls p 2 a 0 falls p 2 > p 1 0 falls p 2 = p 1 = p < a a p 2 b falls p 2 < min{a,p 1 }. 21 / 49

22 struktur: alternative Rationierungsregel Nash Mit dieser Rationierungsregel erhalten wir wieder ein Nash. Satz: Wenn a+c 1 2 c 2 > c 1 gilt und die Rationierungsregel zu den Nachfragefunktionen gemäß den Gleichungen (1) und (2) führt, ist ein Nash gegeben durch p b 1 = p b 2 = c 2 sowie y b 1 = a c 2 b und y b 2 = / 49

23 Nash Herleitung des Nash s mit asymmetrischen und alternativer Rationierung Beweis: Wir müssen lediglich zeigen, dass sich keines der beiden Unternehmen durch Abweichen verbessern kann. Unternehmen 1 macht positiven Gewinn. Würde es seinen Preis erhöhen, verlöre es die gesamte Nachfrage an Unternehmen 2 und sein Gewinn wäre null. Da es bei den gegebenen Preisen bereits die gesamte Marktnachfrage erhält und der Preis unterhalb des Monopolpreises a c 1 2 liegt, kann es sich auch durch eine Preissenkung nicht verbessern. Unternehmen 2 macht einen Gewinn von null. Durch eine Preiserhöhung würde es weiterhin nichts verkaufen und der Gewinn wäre immer noch null. Eine Preissenkung würde hingegen zwar dazu führen, dass Unternehmen 2 die gesamte Marktnachfrage erhält, da der Preis dann aber unter den Grenzkosten, die gleichzeitig die Durchschnittskosten sind, läge, würde es einen Verlust erleiden. Q.E.D. 23 / 49

24 struktur: alternative Rationierungsregel multiple e Nash Leider verlieren wir aber mit der neuen Rationierungsregel die Eindeutigkeit des Nash s. Es existiert nämlich noch ein Kontinuum von (allerdings unplausiblen) en, nämlich alle Preiskombinationen p 1 = p 2 = p mit c 2 > p c 1. 1 In diesen en macht Unternehmen 2 jeweils einen Nullgewinn. Jedes Abweichen nach unten führt zu Verlusten, während ein Abweichen nach oben ebenfalls einen Nullgewinn ergibt. Unternehmen 1 macht (außer für p = c 1 ) einen positiven Gewinn, der durch Abweichen nach unten sinkt. Durch Abweichen nach oben würde auch Unternehmen 1 einen Gewinn von null machen. 2 1 Wir verzichten auf den Beweis, dass weitere e nicht existieren. 2 Weicht Unternehmen 1 nach oben ab, macht Unternehmen 2 Verluste, daher ist das unplausibel, es ist z. B. nicht trembling hand perfekt (vgl. Selten 1975). 24 / 49

25 Weitere Modifikation der Rationierungsregel als Ausweg Nash Wenn wir wollten, könnten wir allerdings das unerwünschte unplausible durch eine erneute Rationierungsregel eliminieren, indem wir für gleiche Preise unterhalb c 2 annehmen, dass wieder beide Unternehmen je die Hälfte der Nachfrage erhalten. Auf den ersten Blick mag es seltsam erscheinen, dass wir je nach Bedarf verschiedene Rationierungsregeln aus dem Hut zaubern. Wir müssen uns aber klar machen, dass jede solche Regel im Grunde willkürlich ist. Wenn die beiden Unternehmen das selbe homogene Produkt zu gleichen Preisen anbieten, gibt es für die Konsumenten keinen Grund, lieber bei dem einen oder dem anderen zu kaufen. Entweder stellen wir uns also eigentlich differenzierte Güter vor, oder jede Aufteilung der Gesamtnachfrage auf die beiden Unternehmen ist so plausibel wie jede andere. 25 / 49

26 Alternative Interpretation des Nash s Nash Diese Überlegung motiviert uns zu einer alternativen Interpretation der Definition des Nash s. Die Definition lautete wie folgt. Definition: Ein Nash besteht aus Mengen y1 b und yb 2 sowie Preisen pb 1 und pb 2 derart, dass gilt 1. der Preis p b 1 löst das Maximierungsproblem ( ) max π p 1,p b p 2, 1 2. der Preis p b 2 löst das Maximierungsproblem ) max π (p b p 2 1,p 2 3. und y 1 und y 2 sind durch die Nachfragefunktion bestimmt. 26 / 49

27 Alternative Interpretation des Nash s (Forts.) Nash Bislang hatten wir den dritten Punkt so interpretiert, dass die Mengen beider Unternehmen sich aus ihrer jeweiligen Nachfragefunktion ergeben muss, in der eine Rationierungsregel eingebaut ist. Im Grunde war ein also durch die Strategien, also p b 1 und pb 2 gegeben, die Menge ergaben sich daraus. Dies entspricht der spieltheoretischen Denkweise, etwa der Definition des Nash s, die ja auch nur eine Strategiekombination festlegt, aus der dann die Ergebnisse und Auszahlungen folgen. 27 / 49

28 Alternative Interpretation des Nash s (Forts.) Nash Die Art, wie die Definition formuliert ist, erinnert aber eher an die Definition eines Walras s in der Theorie des allgemeinen s. Ein besteht demnach aus Mengen und Preisen, die konsistent mit der Annahme an das individuelle Optmierungsverhalten sind. In diesem Sinne interpretieren wir den dritten Punkt nun als y1 b + y2 b = Y ( { ), min p b 1,p2} b d. h., wir fordern nur noch, dass die Gesamtmenge der gesamten Nachfrage entspricht, die sich ihrerseits aus dem niedrigsten Preis ergibt. 28 / 49

29 Nash Alternative Interpretation des Nash s (Forts.) Dadurch taucht die Rationierungsregel nur noch implizit durch die Angabe der Mengen y b 1 und yb 2 auf. Unsere obigen Analysen laufen dann auf die folgenden Aussagen hinaus. 1. Die Kombination y1 b = a c 2 b, y2 b = 0, pb 1 = pb 2 = c 2 ist ein Nash. 2. Jede Kombination y1 b = a p b, yb 2 = 0, pb 1 = pb 2 = p, mit p [c 1,c 2 ), ist ein Nash (aber kein perfektes). 3. Die Kombination y1 b = a c 2 2 b, yb 2 = a c 2 2 b, pb 1 = pb 2 = c 2 ist kein Nash. 4. Keine Kombination y b 1 = a pb 1 2 b, yb 2 = 0, pb 1 < pb 2 = c 2 ist ein Nash. 29 / 49

30 Nash e mit kleinster Geldeinheit Nash Unser zweite Ausweg aus dem Dilemma, dass für unterschiedliche Grenzkosten kein Nash existiert, eine kleinste Geldeinheit einzuführen, liefert zwar das gewünschte Ergebnis, aber wieder tauchen zugleich eine Reihe zusätzlicher e auf, von denen die meisten unplausibel erscheinen. Wir machen uns dies an einem Beispiel klar. Sei c 1 = 3, c 2 = 4 und die Dann können wir uns überlegen, dass p 1 = 3.99 und p 2 = 4 ein Nash ist. Um dies zu tun, müssen wir für beide Unternehmen überprüfen, ob es eine Möglichkeit gibt, profitabel abzuweichen. 30 / 49

31 Nash e mit kleinster Geldeinheit (Forts.) Nash Unternehmen 1 erhält die gesamte Nachfrage, verkauft zu einem Preis oberhalb seiner Stückkosten und macht daher einen positiven Gewinn. Erhöht es seinen Preis um 0.01, erhält es nur noch die Hälfte der Nachfrage, die zudem durch die Preiserhöhung zurückgeht, dadurch sinkt sein Gewinn. Weitere Preiserhöhungen resultieren in einem Nullgewinn, da dann die Nachfrage für Unternehmen 1 verschwindet. Bezüglich einer Preissenkung ist der Effekt auf Unternehmen 1 wie der auf einen Monopolisten: Der Preis sinkt, die Menge steigt und der Effekt auf den Gewinn hängt von der Elastizität der Nachfrage ab. Da wir angenommen haben, dass der Monopolpreis für Unternehmen 1 oberhalb von c 2 liegt, folgt aber, dass im relevanten Bereich der Gewinn von Unternehmen 1 bei einer Preissenkung zurückgeht. 31 / 49

32 Nash e mit kleinster Geldeinheit (Forts.) Nash Unternehmen 2 verkauft nichts, macht also eine Gewinn von null. Erhöht es seinen Preis, ändert sich an dieser Situation nichts. Eine Preissenkung durch Unternehmen 2 verschafft ihm zwar Nachfrage, da der Preis dann unterhalb der Stückkosten läge, würde dies aber zu Verlusten führen. Wir haben also ein Nash gefunden. Mit den selben Argumenten ergibt sich aber, dass auch p 1 = 4 und p 2 = 4.01 ein Nash ist. Bei höheren Preisen würde sich stets ein Unternehmen durch Unterbieten des Konkurrenten um 0.01 verbessern können. 32 / 49

33 Nash Nash e mit kleinster Geldeinheit (Forts.) Allerdings gibt es noch viele weitere e, in denen Unternehmen 2 Preise p 2 < c 2, also unterhalb seiner Grenzkosten setzt. So lange der Preis aber oberhalb des Preises p 1 des Konkurrenten liegt, verkauft Unternehmen 2 nichts und macht daher erneut einen Gewinn von null. Dass die folgenden Kombinationen (p 1,p 2 ) e sind, sieht man mit den selben Argumenten wie oben. Sie sind sämtlich nicht trembling hand perfekt: Würde Unternehmen 1 nach oben abweichen, wäre die Strategie von Unternehmen 2 keine beste Antwort mehr. Auf der nächsten Folie haben wir alle zusätzlichen e aufgelistet. 33 / 49

34 Nash Nash e mit kleinster Geldeinheit (Forts.) (3.98, 3.99), (3.97, 3.98), (3.96, 3.97), (3.95, 3.96), (3.94, 3.95), (3.93, 3.94), (3.92, 3.93), (3.91, 3.92), (3.90, 3.91), (3.89, 3.90), (3.88, 3.89), (3.87, 3.88), (3.86, 3.87), (3.85, 3.86), (3.84, 3.85), (3.83, 3.84), (3.82, 3.83), (3.81, 3.82), (3.80, 3.81), (3.79, 3.80), (3.78, 3.79), (3.77, 3.78), (3.76, 3.77), (3.75, 3.76), (3.74, 3.75), (3.73, 3.74), (3.72, 3.73), (3.71, 3.72), (3.70, 3.71), (3.69, 3.70), (3.68, 3.69), (3.67, 3.68), (3.66, 3.67), (3.65, 3.66), (3.64, 3.65), (3.63, 3.64), (3.62, 3.63), (3.61, 3.62), (3.60, 3.61), (3.59, 3.60), (3.58, 3.59), (3.57, 3.58), (3.56, 3.57), (3.55, 3.56), (3.54, 3.55), (3.53, 3.54), (3.52, 3.53), (3.51, 3.52), (3.50, 3.51), (3.49, 3.50), (3.48, 3.49), (3.47, 3.48), (3.46, 3.47), (3.45, 3.46), (3.44, 3.45), (3.43, 3.44), (3.42, 3.43), (3.41, 3.42), (3.40, 3.41), (3.39, 3.40), (3.38, 3.39), (3.37, 3.38), (3.36, 3.37), (3.35, 3.36), (3.34, 3.35), (3.33, 3.34), (3.32, 3.33), (3.31, 3.32), (3.30, 3.31), (3.29, 3.30), (3.28, 3.29), (3.27, 3.28), (3.26, 3.27), (3.25, 3.26), (3.24, 3.25), (3.23, 3.24), (3.22, 3.23), (3.21, 3.22), (3.20, 3.21), (3.19, 3.20), (3.18, 3.19), (3.17, 3.18), (3.16, 3.17), (3.15, 3.16), (3.14, 3.15), (3.13, 3.14), (3.12, 3.13), (3.11, 3.12), (3.10, 3.11), (3.09, 3.10), (3.08, 3.09), (3.07, 3.08), (3.06, 3.07), (3.05, 3.06), (3.04, 3.05), (3.03, 3.04), (3.02, 3.03), (3.01, 3.02). 34 / 49

35 Das Modell mit Nash Wir hatten bereits diskutiert, dass das Ergebnis des Modells, dass Preiswettbewerb schon im Duopol zu dem selben Ergebnis führt, wie vollständiger Wettbewerb bemerkenswert ist. Es heißt nämlich, dass die Zahl der Unternehmen für das Marktergebnis keine Bedeutung hat. Unabhängig von der Anzahl der Unternehmen realisiert sich immer das gleiche Ergebnis wie bei vollkommener Konkurrenz. Dies hätte die Konsequenz, dass falls Preiswettbewerb herrscht selbst in hochkonzentrierten Märkten keine Notwendigkeit zu staatlichen Eingriffen bestehen würde. Dies erschien vielen Ökonomen nicht zufriedenstellend. Sie kritisierten insbesondere die unrealistische Annahme, dass jedes Unternehmen jede beliebige Menge zu gleichen Stückkosten anbieten kann. 35 / 49

36 Das Modell mit (Forts.) Nash Es erscheint sicherlich realistischer, davon auszugehen, dass die Unternehmen bei größeren Outputmengen nur mit steigenden Grenzkosten produzieren können. Im Extremfall können dazu führen, dass ein Unternehmen maximal die seiner Kapazität entsprechende Menge produzieren kann. Dies lässt sich auch so auffassen, dass die die Grenzkosten einer Produktion, die über der Kapazität der Unternehmen liegen, unendlich groß sind. 36 / 49

37 Das Modell mit (Forts.) Nash Betrachten wir das folgende Beispiel mit 4 Konsumenten, von denen der erste maximal einen Preis von 3, der zweite von 2 und der dritte und der vierte von 0 für eine Einheit des Gutes zu zahlen bereit ist. Grafisch stellt sich die Nachfrage wie folgt dar. p Y 37 / 49

38 Das Modell mit (Forts.) Nash Angenommen, es gibt zwei Unternehmen, die mit konstanten Grenzkosten c 1 = c 2 = c = 0 produzieren. Ohne wäre das Nash durch Preise p b 1 = pb 2 = 0 charakterisiert. Wenn die Unternehmen eine Kapazitätsschranke von einer Einheit haben, dann sind Preise p 1 = p 2 = 0 kein mehr. Unternehmen 1 könnte seinen Gewinn erhöhen, wenn es den Preis von 0 auf 3 erhöhen würde und eine Einheit des Gutes an den Konsumenten mit dem höchsten Reservationspreis verkaufen würde. Unternehmen 2 verkauft seine Produktion an einen der anderen Konsumenten zum Preis von / 49

39 Das Modell mit (Forts.) Nash Allerdings wäre dies auch kein. Denn bei p 1 = 3 und p 2 = 0 würde Unternehmen 2 einen Preis von p 1 ε verlangen. In diesem Fall verkauft Unternehmen 1 nichts und Unternehmen 2 verkauft eine Einheit an den Konsumenten mit der höchsten Zahlungsbereitschaft. Diese Form des gegenseitigen Unterbietens würde weitergehen, bis p 1 = p 2 = 2 gilt. Dann würden beide Unternehmen eine Einheit verkaufen. Nun lohnt es sich aber wieder auf p 1 = 3 abzuweichen und eine Einheit an Konsument 1 zu verkaufen. Es existiert im Rahmen dieses Modells kein. 39 / 49

40 Edgeworth Zyklus Nash Ein derartiges zyklische Verhalten der Preise wurde bereits von dem englischen Ökonomen Francis Edgeworth beobachtet. Das Resultat wird daher als Edgeworth Zyklus (Edgeworth cycle) bezeichnet. Allerdings sind nicht die einzige Möglichkeit, bei Preiswettbewerb höhere als Grenzkostenpreise zu erklären. Alternativen dazu sind differenzierte Produkte oder wiederholte Interaktionen. 40 / 49

41 Nash 41 / 49

42 Cournot Modell versus. Modell Nash Wenn man das Cournot Modell und das Modell vergleicht, ist es irritierend, dass eine einfache Änderung in den strategischen Variablen (von Mengen- zu Preissetzung) zu derart dramatischen Änderungen in den Marktergebnissen führt. Kreps und Scheinkman (1983) haben daher versucht, zwischen den beiden Modellen einen Zusammenhang herzustellen. In ihrem Modell wird das folgende zwei-perioden-spiel konstruiert: In der ersten Periode wählen die Unternehmen ihre produzierte Menge, d. h., sie bauen Lagerbestände auf. In der zweiten Periode können nur noch die Preise gewählt werden, die Mengen sind die in der ersten Periode festgelegten Lagerbestände. Es zeigt sich, dass in diesem Spiel die Ergebnisse die gleichen sind, wie im Cournot Modell, in dem die Unternehmen nur die Mengen wählen. 42 / 49

43 Kombiniertes Modell: Kreps und Scheinkman (1983) Nash Das Modell soll hier nur an einem einfachen Beispiel illustriert werden. Die Preis Absatz Funktion ist gegeben durch p(y ) = 10 Y. Beide Unternehmen habe die selbe funktionen, nämlich c i (y i ) = y i. Wie immer wird zur Analyse eines zwei-perioden-spiels die Methode der Rückwärtsinduktion herangezogen. Zuerst wird untersucht, welche Preise die Unternehmen in der zweiten Periode für unterschiedliche produzierte Mengen verlangen. Danach wird dann die optimale Menge bestimmt, die sie in der ersten Periode produzieren. 43 / 49

44 Kreps und Scheinkman (Forts.) Nash Die zweite Periode Angenommen, die Unternehmen haben in der ersten Runde die Kapazitäten (Mengen) y1 c = yc 2 = 3 gewählt. Der Gesamtoutput ist dann Y = 6. Im Nash in der zweiten Periode wählen die beiden Unternehmen Preise, die für die gewählten Mengen den Markt räumen. Jedes Unternehmen setzt also p i = 4 = p. p / 49 Y

45 Kreps und Scheinkman (Forts.) Nash Zwar können die Unternehmen beliebige Preise verlangen, aber andere Preise als p 1 = p 2 = p = 4 können kein sein. Angenommen, Unternehmen 2 senkt seinen Preis auf p 2 < 4 gegeben den Preis p 1 = 4. In diesem Fall führt die Preissenkung nicht zu einer Erhöhung der Verkaufsmenge, denn die Kapazität war ja in der ersten Periode auf 3 festgelegt worden. Eine Preiserhöhung auf p 2 > 4 führt zu einer geringeren Verkaufsmenge y 2 < 3 und erhöht ebenfalls nicht den Gewinn. Wenn Unternehmen 2 den Preis erhöht, dann bekommt es nur noch die Restnachfrage, die nach der von Unternehmen 1 verkauften Menge übrig bleibt. Da y1 = 3 ist, bleibt als Restnachfrage für Unternehmen 2 y 2 (p 2 ) = Y (p 2 ) 3 = 7 p 2. Die entsprechende Preis Absatz Funktion ist p 2 = 7 y / 49

46 Kreps und Scheinkman (Forts.) Nash p 10 Grafisch kann man sich diese Restnachfrage wie folgt verdeutlichen. p Grenzerlös Restnachfrage 3 10 Y y 2 46 / 49

47 Kreps und Scheinkman (Forts.) Nash Entscheidend ist, dass die Grenzerlöskurve für diese Restnachfrage positiv ist für alle Outputmengen, die kleiner sind als 3,5. In diesem Bereich ist die Restnachfrage also elastisch. Eine Preiserhöhung führt daher zu einer Senkung des Erlöses für Unternehmen 2. Wir können diesen Sachverhalt im folgenden Lemma festhalten. Lemma: Wenn für die in Periode 1 gewählten Outputniveaus gilt y 1 + y 2 6, dann werden im Nash in der zweiten Periode die Unternehmen die Preise so wählen, dass der Markt geräumt wird. 47 / 49

48 Kreps und Scheinkman (Forts.) Nash Die erste Periode Wenn die Preise, die in der zweiten Periode gewählt werden, die markträumenden Preise sind, ist die Wahl der Kapazität, d. h.der Menge in der ersten Periode genau die gleiche, wie im üblichen Cournot Modell. Das bedeutet, dass die Unternehmen in der ersten Periode die Cournot Mengen y 1 = y 2 = 3 wählen. Die ökonomische Erklärung ist die folgende: In der ersten Periode wissen die Unternehmen, dass die Preise in der zweiten Periode so gewählt werden, dass der Markt gegeben die in der ersten Periode produzierten Mengen geräumt wird. Aufgrund dieser Tatsache ist das Problem in der ersten Periode identisch zum üblichen Cournot Problem. 48 / 49

49 Kreps und Scheinkman (Forts.) Nash Das obige Lemma ist jedoch kein Beweis für diese Behauptung, denn es gilt nur für den Fall y 1 + y 2 6. Für den Fall y 1 + y 2 > 6 wurde keine Aussage getroffen. Auch für diesen Fall lässt sich eine entsprechende Aussage zeigen. Der Beweis ist jedoch aufwändiger und setzt die Verwendung gemischter Strategien voraus. Daher werden wir ihn hier nicht durchführen. 49 / 49