Lokale Multiskalenberechnung des Gravitationsfeldes des Mondes

Transkript

1 Lokale Multiskalenberechnung des Gravitationsfeldes des Mondes W. Freeden, AG Geomathematik, TU Kaiserslautern unter Mitwirkung von M. Gutting, AG Geomathmatik P. Granitzka, FB Physik B. Heinrich, FB Mathematik

2 Horizontal: Physik oder Geometrie? Topographie 0 Selenoid (Geoid)

3 Lotlinie der Schwerkraft (Schwere = Gravitation + Fliehkraft) Topographie 0 Äquipotentialfläche des Schwerefeldes Selenoid (Geoid)

4 Kenntnis des Gravitationsfeldes ist bedeutsam für (1) Bauingenieurwesen und Geodäsie Die geometrischen Höhen sind konvertierbar in nivellierte Höhen durch Subtraktion eines hochgenauen Geoids, d.h. der Äquipotenzialfläche des Gravitationspotentials auf Meereshöhe. (2) Satellitenorbits Für jede Unschärfe in der Positionierung ist der Orbit eines Satelliten und damit das Gravitationsfeld die limitierende Größe. (3) Innere Physik Masseninhomogenitäten und Gravitationsfeldänderungen bedingen sich gegenseitig. (4) Systemforschung Das Geoid (Selenoid) wird als statische Referenz ( frozen picture ) für schnell ablaufende Prozesse (z.b. der Umwelt etc.) angesehen. (5) Exploration und Prospektion Das Gravitationsfeld gibt Aufschluss über Gravitationsanomalien bezogen auf ein ellipsoidisches (sphärisches) Referenzmodell.

5 Kenntnis des Gravitationsfeldes ist bedeutsam für (1) Bauingenieurwesen und Geodäsie Die geometrischen Höhen sind konvertierbar in nivellierte Höhen durch Subtraktion einer Äquipotenzialfläche des Schwerepotentials (z.b. des Geoids).

6 Wie bestimmt man Schwere auf Erde (Schwere = Gravitation + Fliehkraft )? Hookesches Gesetz Absolutgravimeter Relativgravimeter Campus: TU München

7 SST: Satellite - to- Satellite - Tracking ( 1 ) homogene Kugel: raumfeste Keplerellipse ( 2 ) abgeplattetes Erdmodell: präzessierende Ellipse (Spirale) ( 3 ) wirkliche Erde: Modulation durch Gravitationssignal (IAPG, München)

8 Geoidbestimmung (klassisch) x(t) s(t) b

9 Die Erdoberfläche kann in guter Näherung als abgeplattetes Sphäroid (in numerischen Rechnungen oftmals ein Ellipsoid E) aufgefasst werden. Das Schwerefeld des Sphäroids U (d.h. das Normalfeld) ist eine Referenz für das Gravitationsfeld: W Definition des Störpotentials = U + T Schwerepotential Normalpotential Störpotential Das Störpotential T ist so über eine Fourierreihe nach Kugelfunktionen konstruiert, dass die Masse und die Massenzentren von Sphäroid und Erde übereinstimmen:

10 Kugel(funktions)approximation des Gravitationspotentials = Polynome zeigen ideale Frequenzlokalisation, aber keine Ortslokalisation!

11 Gleichverteilte Daten Integration äquivalent mit Gleichverteilung der Daten

12 Geoid (Modell fach überhöht) (ESA Medialab)

13 Geoid (ESA Medialab)

14 Kugelfunktionsentwicklung (Philosophie) Fouriermethoden mittels Kugelfunktionen sind erfolgreich zur Beschreibung von Frequenzen eines Signals, aber sie sind nicht in der Lage Eigenschaften mit lokal stark wechselnder räumlicher Variation zu beschreiben. Eine räumliche Evolution von Frequenzen ist nicht realisierbar.

15 Positionsbestimmung mittels GPS für den Mond km km α 7,43 r = km R = km

16 Moderne Satellitenmethoden (Geodaten) (nach Seeber) GPS SST-hi-lo, SGG Altimetrie (RADAR) SST-lo-lo LASER LASER und viele mehr...

17 Prinzip der Satellitengradiometrie Die GOCE Konfiguration liefert den vollen Hesse Tensor!!!!!!!!!

18 Positionsbestimmung mittels Dopplerverschiebung Beim Dopplerverfahren werden Entfernungsänderungen erhalten, indem die Differenzen zwischen der vom Satelliten ausgesandten Frequenz f s und der an der Bodenstation empfangenen Frequenz f D gemessen werden. Aus einer zeitlichen Integration der Frequenzänderungen lassen sich Entfernungsänderungen und der Zeitpunkt der größten Annäherung des Satelliten an die Stationen ableiten.

19 Selenoid

20 Gravitationsfeld des Mondes Das Schwerefeld des Mondes ist in mannigfacher Hinsicht sehr verschieden von dem der Erde:

21 Gravitationsfeld des Mondes Auch wenn die interne Struktur des Mondes verglichen mit der anderer Planeten ziemlich einfach ist, ist das Gravitationsfeld des Mondes recht komplex. Die Komplexität rührt aus der ungleichen Dichteverteilung innerhalb des Mondes und der nicht gleichmäßigen Struktur der Oberfläche her.

22 Gravitationsfeld des Mondes Im Falle der Erde befindet sich der größte Teil der Kruste in engem isostatischen Equilibrium. Folglich sind die Kugelfunktionskoeffizienten niederer Frequenz nicht mit der Topographie korreliert. Der Mond jedoch ist nicht dominiert durch Isostasie. Dies impliziert, dass das Schwerefeld und die Topographie sogar bei niederen Frequenzen korreliert ist.

23 Gravitationsfeld des Mondes Als Resultat ist das globale terrestrische Schwerefeld mit wenigen Kugelfunktionskoeffizienten beschreibbar und die absoluten Werte der Kugelfunktionskoeffizienten nehmen entsprechend ihres Grades und der Ordnung in bestimmter Weise ab. Für den Mond hingegen zeigen die Kugelfunktionskoeffizienten nur eine schwache Tendenz zur Abnahme.

24 Gravitationsfeld des Mondes Mehr noch, die Werte der Kugelfunktionskoeffizienten des Mondes sind um fast eine Ordnung größer als die entsprechenden Koeffizienten der Erde. Für das Selenoid, welches die lunare Entsprechung des Geoides ist, findet man eine maximale Selenoidundulation in einer Ordnung von 500 m. Dies ist ungefähr um einen Faktor 5 größer als beim Geoid.

25 Gravitationsfeld des Mondes Beachtet man, dass der Radius des Mondes nur 27 % des Erdradius beträgt, so wird klar, dass das Schwerefeld des Mondes bei weitem inhomogener ist als das terrestrische. Zudem ist es nur auf der erdzugewandten Seite bisher einer entsprechenden Beobachtung zugänglich.

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27 Störpotential des Mondes (2003) (Zitat)

28 Störpotential des Mondes (2003)

29 Störpotential des Mondes (2003)

30 Anforderungen an eine geeignete mathematische Methode zur Selenoidmodellierung 1. Verwendung tatsächlicher Daten 2. Modellierung nur für Bereiche mit Daten 3. Keine zusätzlichen asymptotischen Annahmen 4. Basisfunktionen mit lokalem Träger 5. Zooming-In in Bereiche mit hoher Datendichte

31 Y 2,-2 Y 2,-1 Y 2,0 Y 2,1 Y 2, Y 1,-1 Y 1,0 Y 1,1 + + Zonaler Kern

32 Zonaler Kern

33 Zonale Kerne konvergierend zum Dirac Kern

34 je schneller die Konvergenz zum Dirac-Kern, desto stärker die Ortslokalisation! (2009) Zonale Kerne konvergierend zum Dirac Kern

35 Dirac Approximation formal formal (Symbol des Dirac Funktion(al)s) Der Dirac Kern zeigt ideale Ortslokalisation, aber keine Frequenzlokalisation!

36 Schwerefeldapproximation Dirac-Approximation Kugelfunktionsapproximation Multiskalenapproximation Erfüllung eines Mathematiker - Traumes: Wenn ich zwei Grenzprozesse vertausche, dann bekomme ich methodisch was völlig Neues mit einer Vielzahl von Anwendungsmöglichkeiten!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

37 Rekonstruktion eines Signals mittels Skalierungsfunktionen * = * = * =

38 Rekonstruktion eines Signals mittels Skalierungsfunktionen * = * = * = (Geomathematics Group, 2006)

39 Multiskalenmethode (Philosophie) Multiskalenmethoden ermöglichen eine räumliche Evolution in den Frequenzen und eine grob-zu-fein Modellierung durch ein Zooming-In..

40 Multiskalenapproximation Faltung (Filterung) mit Skalierungsfunktionen numerische (lokale) Integration nur diskrete Punkte Ortlokalisierende Skalierungsfunktionen

41 Tiefpassfilterung (Störpotential der Erde).nur in diskreten Daten verfügbar!!! * =

46 Numerischer Aufwand (Reduktion) Die Konzeption der Multiskalenapproximation klingt vernünftig, bis jetzt allerdings ist der numerische Aufwand beträchtlich!!!

47 Skalierungs und Waveletfunktionen = = = =

48 Wavelet-Approximation (Erde) +

52 Rekonstruktion (Fast-Wavelet-Transform) =

53 Gleichverteilte Daten

54 Locally (Non-equidistributied) Knots Integration von sich lokal verdichtenden Daten

55 Integration lokaler Daten

56 EGM2008 auf Alpentopographie Alpentopographie Gravitationspotential ETOPO 1 Global Relief Model 43,5 N (unten) - 48,5 N (oben) 5 O (links) - 17 O (rechts) EGM2008, Grad Approximation zur Skala 14

57 EGM2008 auf Alpentopographie Skala 5 Skala 6 Skala 7 Tiefpassfilter Bandpassfilter

58 EGM2008 auf Alpentopographie Skala 8 Skala 9 Skala 10 Tiefpassfilter Bandpassfilter

59 EGM2008 auf Alpentopographie Skala 11 Skala 12 Skala 13 Tiefpassfilter Bandpassfilter (A. Kohlhas (2009))

60 Multiskalenresolution ( Zooming-In ) (a) Skala j = 0 (b) Skala j = 1 (c) Skala j = 2 (d) Skala j = 2 (e) Skala j = 3 (f) Skala j = 4 (g) Skala j = 5 (h) Skala j = 5 (i) Skala j = 6 (j) Skala j = 7 (k) Skala j = 8 (l) Skala j = 9

61 Multiskalenresolution ( Zooming-In ) + + (a) Tiefpassgefiltert (b) Details, Skala 4 (c) Details, Skala (d) Resultat von Bild (a), (b) & (c) (e) Details, Skala 6 (f) Details, Skala (g) Resultat von Bild (d), (e) & (f) (h) Details, Skala 8 (i) Details, Skala 9 usw. (K. Wolf (2009))

62 Multiskalenapproximation (Mond) das läuft ja genauso wie bei der Erde!!!

63 wir rechen mit Lunar Prospector Daten!

64 Multiskalenapproximation (Mond) +

67 Multiskalenapproximation ( Mond) +

69 Multiskalenapproximation (Störpotential des Mondes) +

70 Multiresolution (Mond) Skala 2 Skala 3 Skala 4 Details Skala 2 Details Skala 3 Details Skala 4 (AG Geomathematik 2009)

71 Multiresolution (Mond) Skala 5 Skala 6 Skala 7 Details Skala 5 Details Skala 6 Details Skala 7 (AG Geomathematik 2009)

72 Lokale Multiskalenapproximation mittels lokal-kompakter Kerne dort rechnen, wo es eigentlich nur erlaubt ist!!!

73 Störpotential für die sichtbare Oberfläche des Mondes Skala 2 Skala 3 Skala 4 Details Skala 2 Details Skala 3 Details Skala 4 (AG Geomathematik 2009)

74 Störpotential für die sichtbare Oberfläche des Mondes Skala 5 Skala 6 Skala 7 Details Skala 5 Details Skala 6 Details Skala 7 (AG Geomathematik 2009)

75 schaffen eine verbesserte Datenlage!!! Lunar Reconnaissance Orbiter Kayuga Selene

76 Mond und Erde im Vergleich Erde Zentralkörper Sonne Eigenschaften des Orbits Große Halbachse 1 AE (149, km) Periapsis 0,983 AE Apoapsis 1,017 AE Exzentrizität 0,0167 Bahnneigung 0 Umlaufzeit 365,256 d Mittlere Orbitalgeschwindigkeit 29,78 km/s Physikalische Eigenschaften Äquator Poldurchmesser * km Masse 5, kg Mittlere Dichte 5,515 g/cm 3 Fallbeschleunigung * 9,80665 m/s 2 Rotationsperiode 23 h 56 min 4,1 s Neigung der Rotationsachse 23,44 Albedo 0,367 Fluchtgeschwindigkeit 11,186 km/s *bezogen auf dass Nullniveau der Erde Mond Zentralkörper Erde Eigenschaften des Orbits Große Halbachse km Periapsis km Apoapsis km Exzentrizität 0,0549 Bahnneigung 5,145 Umlaufzeit 27,3217 Tage Mittlere Orbitalgeschwindigkeit 1,023 km/s Physikalische Eigenschaften Mittlerer Durchmesser km Masse 7, kg Mittlere Dichte 3,341 g/cm³ Fallbeschleunigung 1,62 m/s² Siderische Rotation 27,322 Tage Achsneigung 6,68 Albedo 0,12 Fluchtgeschwindigkeit m/s Oberfläche km²

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