12.2 Grauwertmorphologie

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1 12.2 Grauwertmorphologie Grauwertmorphologie Punktmenge eines Grauwertbildes Die Punktmenge eines Binärbildes besteht aus allen Pixeln vom Wert 1.Wie lässt sich nun ein Bild, das mehr als zwei Werte annehmen kann, als Punktmenge auffassen? Ein allgemeines einkanaliges Bild, z. B. ein Grauwertbild, lässt sich als eine skalarwertige Funktion g : Ω g R darstellen, die einer Fläche im dreidimensionalen Raum R 3 entspricht. Der Bildwert wird als weitere Dimension zusätzlich zu den örtlichen Dimensionen x, y aufgefasst. Die Punktmenge U eines skalarwertigen Bildes ist eine Teilmenge dieses dreidimensionalen Raums, und zwar die Menge aller Punkte unterhalb der Fläche z = g(x, y): U = {(x, y, z) T R 3 z g(x, y)}. (12.159) Die auf diese Weise konstruierte Punktmenge heißt Umbra ( Kernschatten ) des Bildes. Umgekehrt kann man aus einer Umbra das Bild rekonstruieren, indem man die Oberfläche der Punktmenge bestimmt, also für jedes Pixel (x, y) T das Element von U mit maximalem z-wert auswählt. Die Umbra-Operation lässt sich in allgemeinen N-dimensionalen Räumen R N, N 2, für Funktionen R N 1 R definieren [153, 252]. Im Folgenden werden diskrete, quantisierte, einkanalige Bilder betrachtet, sodass R = Z und N =3. Häufig handelt es sich um Grauwertbilder, weshalb hier in Übereinstimmung mit der Literatur von Grauwertmorphologie (gray-scale morphology) gesprochen wird. Besonders anschaulich ist aber auch die Anwendung morphologischer Operatoren auf ein Entfernungsbild wie z. B. ein Oberflächenrelief. Darüber hinaus können morphologische Verfahren auf die Kanäle eines Farbbildes komponentenweise angewendet werden. Einen alternativen Ansatz zur morphologischen Verarbeitung von Farbbildern stellt die Vektormorphologie dar, in der die Operationen min und max für Bildwertvektoren mit Hilfe von Abstandsmaßen oder Ordnungsrelationen definiert werden [226, 243]. Definition 12.8: Umbra Eine Menge U Z N heißt Umbra genau dann, wenn 12.8 (x T,g) T U z g : (x T,z) T U, (12.160)

2 Morphologische Bildverarbeitung wobei x =(x, y) T Z N 1 und g, z Z. Die Umbra einer Funktion g :Ω g Z, Ω g Z N 1, ist gegeben durch U{g} := {(x T,z) T Ω g Z z g(x)}. (12.161) Die Oberfläche (top oder top surface) einer Umbra U Z N ist eine Funktion { Ωg Z T{U} : x max{g (x T,g) T U} (12.162) mit Ω g := {x Z N 1 g Z : (x T,g) T U}. (12.163) Mithin ist U{ } ein Operator, der aus dem Bild g(x) eine Punktmenge in Form einer Umbra erzeugt, und T{ } ein Operator, der aus einer solchen speziellen Punktmenge wieder ein Bildsignal g(x) generiert. Diese beiden Operatoren sind im folgenden Sinne zueinander invers: 12.6 Satz 12.6: Umbra-Operator Für beliebiges g(x) :Ω g Z, Ω g Z N 1 gilt: T {U{g(x)}} = g(x). (12.164) Für jede Umbra U gilt: U {T{U}} = U. (12.165) Beweis 12.6 (Umbra-Operator): siehe [153]. Eine besonders anschauliche Interpretation der Umbra erhält man, wenn z = g(x, y) nicht als Intensitätsbild, sondern als Oberflächenrelief aufgefasst wird. In diesem Fall entspricht die Umbra einem dreidimensionalen Objekt, das g(x, y) als Oberfläche hat und in Richtung der negativen z-achse unendliche Ausdehnung besitzt. Umgekehrt liefert der Oberflächenoperator T{ } eine Funktion, die das Relief der Objektoberfläche in positiver z-richtung beschreibt. Morphologische Operationen lassen sich als mechanische Abtastung der Objektoberfläche mit einer Tastsonde veranschaulichen, wobei das

3 12.2 Grauwertmorphologie 737 strukturierende Element die Form der Tastspitze bestimmt (vgl. Abb ). Strukturierende Elemente werden in der Grauwertmorphologie ebenfalls durch Funktionen s(x) repräsentiert, deren Umbra gebildet werden kann Erosion und Dilatation Mit Hilfe der Operatoren Umbra U{ } und Oberfläche T{ } lassen sich die morphologischen Grundoperationen von Punktmengen auf Funktionen übertragen: Zunächst wird die Umbra der Funktionen g(x) und s(x) gebildet, dann werden die bekannten morphologischen Operationen auf diese Punktmenge angewandt, und schließlich transformiert man die resultierende Umbra wieder zurück in ein Bild [153]. Da die Dimension der Punktmenge in der Definition der binärmorphologischen Operatoren keine Rolle spielt, können die binärmorphologischen Operatoren unmittelbar auf die Umbra angewendet werden. Definition 12.9: Erosion und Dilatation in der Grauwertmorphologie Für Ω g, Ω s Z N 1 und Funktionen g :Ω g Z, s :Ω s Z sind Erosion g s und Dilatation g s als folgende skalarwertige Funktionen definiert: 12.9 g s := T {U{g} U{s}}, (12.166) g s := T {U{g} U{s}}. (12.167) Erosion und Dilatation auf den Umbren erfolgen entsprechend den Definitionen dieser Operationen für Punktmengen aus Abschn Die Handhabung der dreidimensionalen Punktmengen von Grauwertbildern ist mit erheblichem Rechen- und Speicheraufwand verbunden. Glücklicherweise zeigt eine detaillierte Analyse, dass einfache signalbezogene Operationen gefunden werden können, die zu den mengenbezogenen Operationen äquivalent sind [153]. Im Hinblick auf die Signale g(x) und s(x) selbst erhält man für die Erosion und die Dilatation: Satz 12.7: Erosion und Dilatation in der Grauwertmorphologie Die Erosion und die Dilatation von Funktionen gemäß Def lassen sich 12.7

4 Morphologische Bildverarbeitung wie folgt berechnen: (g s)(x) =min ξ Ω s {g(x + ξ) s(ξ)}, (12.168) (g s)(x) = max ξ Ω s x ξ Ω g {g(x ξ)+s(ξ)}, (12.169) wobei Ω s die Trägermenge von s(x) bezeichnet. Beweis 12.7 (Erosion und Dilatation in der Grauwertmorphologie): (g s)(x) =T {U{g} U{s}} (x) (12.170) =max { z (x T,z) T (U{g} U{s}) } =max { z (x T,z) T {(v T,w) T Z N (U{s}) (vt,w) T U{g}}} =max { z (x T,z) T {(v T,w) T Z N (ξ,ζ) U{s} : (ξ T,ζ) T +(v T,w) T U{g}} } =max { z (ξ,ζ) U{s} : (ξ T,ζ) T +(x T,z) T U{g} } =max { z ξ Ωs ζ s(ξ) : ζ + z g(ξ + x) } =max { z ξ Ωs : s(ξ)+z g(ξ + x) } =max { z z min ξ Ω s {g(ξ + x) s(ξ)} } =min ξ Ω s {g(ξ + x) s(ξ)}. (12.171) Der Beweis für die Dilatation verläuft ähnlich [153]. Mit diesen Rechenvorschriften lassen sich die morphologischen Operationen ohne explizite Betrachtung der Umbra durchführen. Der Aufwand entspricht dem einer Faltung im Ortsbereich mit einer Impulsantwort mit einem Definitionsbereich von Ω s. Da jedoch eine Extremwertbildung an die Stelle von Multiplikation und Addition tritt, sind die morphologischen Operationen nichtlinear. Veranschaulichen lassen sich diese Rechenvorschriften mit Hilfe der Analogie der mechanischen Abtastung (Abb ). Das strukturierende Element entspricht einer Tastsonde der Form s(x). Die Minimumbildung bei der Erosion lässt sich beschreiben als Abtastung der Oberfläche von unten, also aus dem Inneren der Umbra. Die Tastsonde wird an jedem Punkt x der x, y-ebene so nah wie möglich an die Oberfläche z = g(x) herangeführt. Die Oberfläche des erodierten Bildes verläuft dann durch den Nullpunkt des strukturierenden Elements. Die Umbra des Bildes U{g} wird horizontal

5 12.2 Grauwertmorphologie 739 g(x + ξ) (g s)(x) (g s)(x) g(x ξ) min {g(x + ξ) s(ξ)} ξ Ω s (a) Erosion (b) Dilatation Abbildung Veranschaulichung der Rechenvorschriften für die Grundoperationen der Grauwertmorphologie. Dargestellt ist ein Schnitt in der x, z-ebene der dreidimensionalen Umbren. in zwei Dimensionen verschoben, die Umbra des strukturierenden Elements U{s} wird in einer Dimension vertikal verschoben. Das Ergebnis der Erosion folgt aus allen Verschiebungskonstellationen, bei denen das strukturierende Element das Signal g von unten berührt. Die Dilatation entspricht infolge der Maximumbildung einer Abtastung von oben. Denn nach Definition ist g s = T{ {w ( (U{s}) R ) w U{g} }}, (12.172) insbesondere wird das strukturierende Element bei der Dilatation gespiegelt, vgl. Def Die umgedrehte Tastsonde wird also an jedem Punkt x von oben so weit an die Umbra herangeführt, dass sie sich noch mit ihr überlappt. Die dilatierte Oberfläche verläuft dann durch den Ursprung des strukturierenden Elements in der z-position, in der es die Umbra gerade noch berührt (Abb (b)). Weitere Eigenschaften der grauwertmorphologischen Grundoperationen lassen sich direkt aus der Binärmorphologie übertragen, da die Umbra- Operation ein Homomorphismus ist.

6 Morphologische Bildverarbeitung 12.8 Satz 12.8: Umbra-Homomorphiesatz 1. Seien U, V Umbren. Dann sind die Erosion U Vund die Dilatation U V ebenfalls Umbren. 2. Die Bildung der Umbra ist ein Homomorphismus bezüglich der Operationen Erosion und Dilatation: U{g s} = U{g} U{s}, (12.173) U{g s} = U{g} U{s}. (12.174) 3. Die Relation g 1 g 2 für Funktionen g 1,g 2 : Ω g Z entspricht der Teilmengenbeziehung ihrer Umbren: U{g 1 } U{g 2 } x Ω g : g 1 (x) g 2 (x). (12.175) Beweis 12.8 (Umbra-Homomorphiesatz): 1. Siehe [153]. 2. Mit 1. folgt aus Satz 12.6: U{g s} = U {T {U{g} U{s}}} (12.176) = U{g} U{s} (12.177) und analog für die Dilatation. 3. Sei zunächst U{g 1 } U{g 2 }. Für ein beliebiges x Ω g ist (x T,g 1 (x)) T U{g 1 }, also auch (x T,g 1 (x)) T U{g 2 }. Nach der Definition der Umbra muss daher g 1 (x) g 2 (x) sein. Sei nun g 1 (x) g 2 (x) für alle x. Für ein beliebiges (x T,z) T U{g 1 } gilt z g 1 (x) g 2 (x). Daher folgt (x T,z) T U{g 2 } und insgesamt U{g 1 } U{g 2 }. Da die grauwertmorphologischen Operatoren in Def auf die allgemeinen Definitionen für Punktmengen zurückgeführt werden, übernehmen sie dank der Homomorphie alle Eigenschaften aus Abschn Beispiel 12.3 (Assoziativität der grauwertmorphologischen Dilatation): Mit Hilfe des Umbra-Homomorphiesatzes sieht man, dass die Dilatation eines Grauwertbildes g mit den strukturierenden Elementen s 1 und s 2 asso-

7 12.2 Grauwertmorphologie 741 ziativ ist: g (s 1 s 2 )=T {U{g} U{s 1 s 2 }} (12.178) = T {U{g} (U{s 1 } U{s 2 })} (12.179) = T {(U{g} U{s 1 }) U{s 2 }} (12.180) = T {U{g s 1 } U{s 2 }} (12.181) =(g s 1 ) s 2. (12.182) Auf Punktmengen gilt die Assoziativität U{g} (U{s 1 } U{s 2 }) = (U{g} U{s 1 }) U{s 2 } gemäß Satz Beispiel 12.4 (Enthaltenseinsrelation der grauwertmorphologischen Erosion): Sei (0, 0, 0) T U{s}, also s(0) 0. Dann gilt nach Satz 12.1: U{g} U{s} U{g}. (12.183) Mit dem Homomorphiesatz erhält man daraus U{g s} U{g} x : (g s)(x) g(x). (12.184) Obwohl morphologische Operationen für Binär- und Grauwertbilder auf denselben theoretischen Grundlagen beruhen, gibt es grundsätzliche Unterschiede in ihren Auswirkungen auf das Ergebnisbild: Während binäre morphologische Operatoren sich nur auf den Rand von Objekten im Bild auswirken, ändern Grauwertoperatoren die Bildwerte nahezu des gesamten Bildes. Beispielsweise führt eine Dilatation zu einer Erhöhung des Bildwerts auch innerhalb von örtlich homogenen Objekten. Die Ursache für diese Unterschiede liegt in der Bedeutung der Dimensionen der Punktmengen: Während die zweidimensionale Punktmenge eines Binärbildes ausschließlich örtliche Dimensionen besitzt, kommt bei der Punktmenge eines Grauwertbildes die Dimension des Bildwerts hinzu. Die morphologischen Operatoren sind auf den Punktmengen identisch definiert, ihre Auswirkungen unterscheiden sich jedoch aufgrund der unterschiedlichen Semantik der Dimensionen. Wie alle Eigenschaften der binärmorphologischen Operationen besitzt auch die Dualität von Erosion und Dilatation ihre Entsprechung in der Grauwertmorphologie [152,153]. An die Stelle der Komplementbildung tritt hier die Negation der Funktion g. Die Negation ist allerdings nicht äquiva-

8 Morphologische Bildverarbeitung lent zur Komplementbildung der Umbren, wie man sich am Beispiel des strukturierenden Elements aus Abb klar machen kann Satz 12.9: Dualität der Erosion und Dilatation in der Grauwertmorphologie Zwischen Erosion und Dilatation eines skalarwertigen Bildes g mit einem strukturierenden Element s besteht folgende Dualitätsbeziehung: (g s) =( g) s R, (12.185) wobei s R (x) :=s( x) eine Funktion s R :Ω R s Z ist. Beweis 12.9 (Dualität der Erosion und Dilatation in der Grauwertmorphologie): ( (g s))(x) = max {g(x ξ)+s(ξ)} (12.186) ξ Ω s x ξ Ω g = min { g(x ξ) s(ξ)} (12.187) ξ Ω s x ξ Ω g = min ξ Ω R s x+ξ Ω g { g(x ξ) s R (ξ) } (12.188) = ( ( g) s R) (x). (12.189) Öffnung und Schließung Öffnung und Schließung werden ebenso wie für Binärbilder als Verkettung einer Dilatation und einer Erosion mit dem gleichen strukturierenden Element definiert Definition 12.10: Öffnung und Schließung in der Grauwertmorphologie Sei g :Ω g Z ein skalarwertiges Bild und s :Ω s Z ein strukturierendes Element. Die Öffnung g s und die Schließung g s sind wie folgt definiert: g s := (g s) s, (12.190) g s := (g s) s. (12.191) Bei Verwendung üblicher strukturierender Elemente heben sich Erosion und Dilatation auf örtlich homogenen Bereichen des Bildes gegenseitig auf,

9 12.2 Grauwertmorphologie 743 sodass sich Öffnung und Schließung nur auf Kanten und andere Strukturen im Bild auswirken. Aufgrund des Umbra-Homomorphiesatzes 12.8 bleibt Satz 12.4 auch für die grauwertmorphologischen Operationen gültig. Öffnung und Schließung besitzen daher u. a. folgende Eigenschaften: Satz 12.10: Eigenschaften der grauwertmorphologischen Öffnung und Schließung g s g g s (12.192) (g s) s = g s (12.193) (g s) s = g s (12.194) g s = T (U{s}) z (12.195) z {z Z N (U{s}) z U{g}} (g s) =( g) s R (12.196) Beweis (Eigenschaften der grauwertmorphologischen Öffnung und Schließung): Die ersten vier Beziehungen folgen mit Satz 12.8 aus Satz Die letzte Gleichung erhält man mit Hilfe von Satz 12.9 [153]. Anhand von (12.195) kann man die Öffnung als mechanische Abtastung veranschaulichen: Das strukturierende Element U{s} tastet die Oberfläche von unten, aus dem Inneren der Umbra ab. Die geöffnete Umbra ist die Vereinigung aller verschobenen Tastsonden, die vollständig in der Umbra enthalten sind. Die Öffnung entfernt daher schmale Maxima der Oberfläche, in die das strukturierende Element nicht hineinpasst (Abb (a)). An jedem Bildpunkt x entspricht die geöffnete Oberfläche dem maximalen Wert s(ξ), der an einer Stelle ξ eines der verschobenen strukturierenden Elemente angenommen wird. Die Maximumbildung ist also nicht auf den Nullpunkt bzw. den Maximalwert des strukturierenden Elements beschränkt, sondern erstreckt sich über das gesamte verschobene strukturierende Element [153]. Die Schließung lässt sich wegen der Dualität (12.196) schreiben als g s = (( g) s R ). (12.197)

10 Morphologische Bildverarbeitung g g s g s g (a) Öffnung (b) Schließung Abbildung Veranschaulichung der Öffnung und Schließung von skalarwertigen Bildern als mechanische Abtastung. Sie entspricht daher anschaulich einer Abtastung der an der x, y-ebene gespiegelten Oberfläche g von unten. Dies ist äquivalent zu einer Abtastung der ursprünglichen Oberfläche g von oben mit dem gespiegelten strukturierenden Element (U{s}) R. Diese Tastsonde wird von oben so über die Oberfläche g geführt, dass sie nicht in das Objekt eindringt. Am Bildpunkt x verläuft die geschlossene Oberfläche durch den tiefsten Punkt auf einer der verschobenen Tastsonden. Schmale Täler der Oberfläche, in die das strukturierende Element nicht hineinpasst, verschwinden (Abb (b)). Die grauwertmorphologischen Operationen Öffnung und Schließung sind verwandt zur Medianfilterung aus Abschn und eignen sich daher zur Störungsunterdrückung [152]. Beispiel 12.5 (Störungsunterdrückung): Wegen der geschilderten Eigenschaften können Öffnung und Schließung zur Störungsunterdrückung eingesetzt werden. Im Gegensatz zur Konvention bei der Darstellung von Binärbildern repräsentieren hohe Bildwerte g in der Grauwertmorphologie wie üblich helle Bereiche im Bild, während niedrige Bildwerte dunklen Bereichen entsprechen. Die Öffnung entfernt Störungen, die kleiner als das strukturierende Element und heller als die umgebenden Bildwerte sind. Die Schließung entfernt Störungen, die dunkler als die Bildwerte in ihrer Umgebung sind. Die Verkettung beider Operationen unterdrückt sowohl helle als auch dunkle Störungen. In Abb wird dieses Verhalten an einem Beispielbild mit künst-

11 12.2 Grauwertmorphologie 745 (a) g s (b) g s (c) g s (d) (g s) s Abbildung Beispiel zur grauwertmorphologischen Störungsunterdrückung: (a) Testbild mit künstlich eingebrachten hellen und dunklen Störungen, (b) Öffnung mit dem links unten dargestellten strukturierenden Element s, (c) Schließung, (d) Öffnung und nachfolgende Schließung. lich eingebrachten Störungen illustriert. Öffnung und Schließung führen zu einer Glättung von Strukturen, die kleiner als das strukturierende Element sind. Größere Strukturen bleiben nahezu unverändert erhalten. Ist man umgekehrt nur an schmalen Extrema im Bild interessiert, z. B. an hellen oder dunklen Linien, kann man das Differenzbild zum ursprüngli-

12 Morphologische Bildverarbeitung chen Bild berechnen [136]: g (g s) white top-hat (12.198) (g s) g black top-hat (12.199) Abbildung veranschaulicht diese beiden Operationen an einem Testbild. Das Ergebnis enthält helle bzw. dunkle Strukturen, die schmaler als das verwendete strukturierende Element sind Kantendetektion Ebenso wie die Binärmorphologie zur Randextraktion in Binärbildern eingesetzt werden kann, ermöglicht die Grauwertmorphologie eine Kantenextraktion in skalarwertigen Bildern. Wie in Abschn beschrieben, kann eine Kantendetektion auf Grundlage der ersten Ableitung oder der zweiten Ableitung erfolgen. Beide Varianten lassen sich grauwertmorphologisch realisieren. Der sogenannte Beucher-Gradient liefert eine Approximation des Gradientenbetrags: grad g +const. (g s) (g s). (12.200) Das erodierte Bild wird vom dilatierten Bild subtrahiert [256]. Eine Näherung für die zweite Ableitung erhält man durch den morphologischen Laplace-Operator: Δg =div(gradg) (g s)+(g s) 2g. (12.201) Beispiel 12.6 (Morphologische Kantendetektion): In Abb werden die beiden Kantenoperatoren auf das Testbild aus Abb (a) angewendet. Die Verstärkung des Rauschens mit jedem Differentiationsschritt ist auch bei der morphologischen Kantenextraktion deutlich zu erkennen. Die Verwendung größerer strukturierender Elemente bewirkt eine gewisse Glättung auf Kosten der Lokalisierbarkeit und der Detektion feiner Strukturen. Zum Vergleich mit anderen Kantenoperatoren zeigt Abb die Ergebnisse der beiden vorgestellten morphologischen Operatoren am Beispielbild aus Kap. 11.

13 12.2 Grauwertmorphologie (a) g(x) (b) g(x, y 0) s (c) g (g s) (d) g (g s) s (e) (g s) g (f) (g s) g Abbildung Grauwertmorphologische Extraktion heller bzw. dunkler Punkte und Linien: (a) Testbild, künstlich mit weißem Rauschen überlagert; (b) eindimensionaler Grauwertverlauf an der markierten Linie; (c), (d) white top-hat mit dem dargestellten strukturierenden Element s; (e), (f) black top-hat.

14 Morphologische Bildverarbeitung s (a) (b) s (c) (d) s (e) (f) Abbildung Grauwertmorphologische Kantenextraktion: (a) Beucher-Gradient, berechnet für das Testbild aus Abb (a) mit dem dargestellten strukturierenden Element s vom Radius 1; (b) eindimensionaler Grauwertverlauf an der in Abb (a) markierten horizontalen Linie; (c), (d) Beucher-Gradient mit einem kreisförmigen strukturierenden Element vom Radius 3; (e), (f) Ergebnis des morphologischen Laplace-Operators.

15 12.2 Grauwertmorphologie 749 (a) Beucher-Gradient (b) morphologischer Laplace-Operator Abbildung Morphologische Kantenoperatoren am Beispiel von Abb (a).

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