Wellen. Inhaltsverzeichnis

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1 ite Z x 1 Inhaltsverzeichnis 1 Begriffe Harmonische Überlagerung von Überlagerung harmonischer Stehende Eigenschwingungen Interferenzen in 2 Dimensionen Beugung und Interferenz am Spalt und Doppelspalt Interferenz am Doppelspalt Reflexion und Brechung von Elektromagnetische Übungsbeispiele Überlagerung von I aufgaben: Von Laser, Kerzenlicht und Radar LÖSUNGEN: Übungsbeispiele stehende LÖSUNGEN Von Laser, Kerzenlicht und Radar...16

2 2 1 BegriffeDefinition: Welle: Störung, die sich in einem Stoff (in einem Gas, in einer Flüssigkeit oder in einem elastischen Festkörper) in einer, in zwei oder in drei Dimensionen ausbreitet. Handversuch: Der erste Teil eienr Kette von gekoppelten Schwingern wird angeregt. Z.B.. ein Feder-Seil. Wir stellen uns dieses vor wie viele kleine Federn, die miteinander verbunden / gekoppelt sind. Jedes angeregte Einzelstück überträgt Kraft auf das nächste und regt dieses wieder zum Schwingen an. Dies geht in zwei Richtungen: Querwelle (Transversalwelle): Störung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (Beispiel: Feder-Seil) In unserer Umgebung erfahrbar: Längswelle (Longitudinalwelle): Störung in Ausbreitungsrichtung (Beispiel: Schiene mit Magneten) In unserer Umgebung z.b. : transportieren Materie! Energie, aber keine Sie breiten sich räumlich aus anders als ein einzelner Schwinger haben sie daher auch eine Aubreitungsgeschwindigkeit c: Reflexion von : Grund: Energie der Welle bleibt am Ende des Mediums erhalten. Eine Reflexion kann nur verhindert werden, wenn die Welle am Ende des Mediums durch geeignete Reibung gedämpft werden kann (Beispiele: kette mit Wasserwanne, Schallisolation). a) Reflexion am f e s t e n Ende b) Reflexion am l o s e n Ende Eine Störung am festen Ende wir d mit Eine Störung am losen Ende wird mit Richtung der Amplitude reflektiert.

3 2 Harmonische Wir stellen uns eine Reihe von gekoppelten Pendeln vor (Bild). Das erste Pendel wird in eine harmonische Schwingung versetzt, pendelt also regelmässig hin und her. Dies hat zur Folge, dass nach und nach alle übrigen Pendel ebenfalls harmonisch schwingen, und zwar mit derselben Frequenz und Amplitude wie das erste. Die Schwingungen der benachbarten Pendel sind jedoch zeitlich verschoben (Phasenverschiebung). Zeitlicher Durchblick für ein einzelnes Pendel Jedes Pendel übt durch sein Hin-und-Her-Pendeln eine harmonische Schwingung aus. Diese Bewegung ergibt im Auslenkung-Zeit-Diagramm eine Sinuskurve mit der Schwingungsdauer (Periode) T. Der Kehrwert der Schwingungsdauer ist die Frequenz f = 1/T. Z eit Räumlicher Durchblick zu einem festen Zeitpunkt Die Momentaufnahme einer harmonischen Welle ergibt im Auslenkung-Ort-Diagramm eine Sinuskurve. Obwohl die einzelnen Pendel zeitlich versetzt schwingen, gibt es Pendel, die zu jedem Zeitpunkt dieselbe Auslenkung haben. Der Abstand zwischen zwei solchen Punkten heisst länge x Räumlicher und zeitlicher Durchblick Die harmonische Welle ist sowohl zeitlich und räumlich periodisch. Durch die Kopplung zwischen den Pendeln breitet sich die Information und Energie der Welle aus. Wie gross ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit c? Die Abbildung zeigt 13 Momentaufnahmen einer harmonischen Welle. Die Zeitspanne zwischen der obersten und untersten Abbildung beträgt genau eine Schwingungsdauer T. Das erste Pendel hat in dieser Zeit genau eine Schwingung absolviert. Währenddessen hat sich die Welle um eine länge ausgebreitet. Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle gilt: 3

4 4 Fragen: Welche Einheit hat die Schwingungsdauer? länge? Welche Einheit hat die Welche Distanzen können zum Messen der länge benutzt werden? a) zwischen 2 benachbarten bergen c) zwischen 2 benachbarten Schnittpunkten mit der x-achse b) zwischen 2 benachbarten tälernd) zwischen 2 benachbarten synchron schwingenden Teilchen 3 Überlagerung von Was passiert wenn sich zwei begegnen, kreuzen, überholen oder überlagern? Dieses Phänomen heisst auch Interferenz. Feststellung 1: Zwei gehen ungestört aneinander vorbei. Sie behalten dabei ihre Form, Amplitude und Energie (Bild rechts). Feststellung 2: Die Auslenkungen von zwei überlagern sich. Dort wo sich verschiedene überschneiden, kann man die Auslenkungen der einzelnen einfach aufsummieren. Dies führt zu zwei Arten von Interferenz: Konstruktive Interferenz: Zwei Berge überlagern sich zu einem besonders hohen berg. Analog dazu verursachen zwei täler, die sich überlagern, ein besonders tiefes tal. Destruktive Interferenz: Die Überlagerung von einer positiven und einer negativen Auslenkung (Berg und Tal) führt zu einer gegenseitigen Abschwächung. Frage: Wann löschen sich zwei Störungen vollständig aus?

5 5 3.1 Überlagerung harmonischer 1. Gleiche Frequenz Zwei harmonische gleicher Frequenz ergeben wieder eine harmonische Welle der gleichen Frequenz. Deren Amplitude hängt vom Gangunterschied x der Teilwellen ab. Konstruktive Interferenz: x=n 2.Unterschiedliche Frequenz Destruktive Interferenz: x=(n ½) Die Überlagerungen von zwei harmonischen mit verschiedener Frequenz ergibt keine harmonische Welle mehr. Die Überlagerungswelle ist nur dann periodisch, wenn das Verhältnis der Teilfrequenzen rational ist. 3. Fast Frequenz gleiche Zwei harmonische von ähnlicher Frequenz überlagern sich zu einer Schwebung. Die Schwebungsfrequenz fs entspricht der Differenz der Teilfrequenzen. Beispiel: Laustärkeschwankungen bei zwei leicht verstimmten Saiten einer Gitarre. Siehe auch: ; 4 Stehende Spielen Sie ein Musikinstrument? Dann begegnen Sie stehenden regelmässig. Aber auch für das Verständnis von Quantenphysik oder für die stabile Konstruktion von Brücken ist dieses Phänomen wichtig. Wenn sich zwei identische harmonische entgegen kommen, bildet sich eine stehende Welle aus. Bei einer solchen Welle ist keine Bewegung nach links oder rechts feststellbar. Stehende haben Knoten, welche nicht schwingen. Diese liegen in regelmässigen Abständen von einer halben länge. Dazwischen befinden sich die Bäuche, wo die Teilchen mit maximaler Amplitude auf und ab schwingen. Benachbarte Bäuche haben jeweils entgegen gesetzte Auslenkung.

6 6 4.1 Eigenschwingungen Wann kommen sich zwei gleiche entgegen, so dass sich stehende bilden können? Dies ist häufig der Fall, wenn am Ende eines Mediums reflektiert werden (z.b. am Rand der Badewanne). Feste Enden erzeugen einen Knoten, lose Enden einen Bauch. Ist ein träger beidseitig begrenzt (z.b. Gitarrensaite), können sich nur stehende bilden, wenn sie genau hineinpassen. Man spricht von Eigenschwingungen. Zwei feste Enden z.b. Gitarrensaite, Luftdruck in beidseitig geschlossenem Rohr Zwei lose Enden z.b. Wasserbecken, Luftdruck in Blockflöte und Orgel Ein festes und ein loses Ende z.b. einseitig geschlossene Pfeife, Ton erzeugen mit Glasflasche Grundschwingung Grundschwingung Grundschwingung 0 = f0 = 1. Oberschwingung 1 = f1 = 2. Oberschwingung 2 = f2 = Obertonfolge: f0 ; f1= ; f2 = ; 0 = f0 = 1. Oberschwingung 1 = f1 = 2. Oberschwingung 2 = f2 = 0 = f0 = 1. Oberschwingung 1 = f1 = 2. Oberschwingung 2 = f2 = 4.2 Stehende : Eine weitere Erklärung zu Resonanzphänomenen Impulse S , 307 Wieso ertönt bei einer richtig gestimmten klassischen Gitarre beim Anzupfen der untersten Saite immer der Ton E? Wieso weiss die Gitarre, dass sie diesen Ton erklingen lassen muss; könnte sie nicht auch einen anderen Ton erklingen lassen? Dieselben Fragen gelten beispielsweise auch für eine Orgelpfeife: Wieso klingt gerade diese Tonhöhe an? Es macht den Anschein, dass ein schwingendes System (= Oszillator) nur bestimmte Schwingungsfrequenzen zulässt, sogenannte Eigenfrequenzen.

7 7 Ein Oszillator kann durch eine äussere periodisch wirkende Kraft angeregt werden. Der Oszillator schwingt unter der Wirkung einer äusseren Kraft bei der aufgezwungenen Erregerfrequenz. Die Schwingung des Oszillators ist besonders stark, wenn die Erregerfrequenz nahe bei einer Eigenfrequenz liegt (= Resonanzfall) und wenn die Dämpfung des Systemes gering ist. a) keine Dämpfung b) mittlere Dämpfung c) stark gedämpft Exp.: - 2 Stimmgabeln in Resonanz sie regen sich gegenseitig an - Schwingendes Gummiband (Saite eines Instrumentes) - Schwingende Platten (Chladni-Figuren) - Film über Tacoma-Brücke Beobachtung: Nur bei bestimmten Anregungsfrequenzen schwingt das Gummiband an. Man nennt diese die Resonanzfrequenzen (oder Eigenfrequenzen). Es existiert eine tiefste Resonanzfrequenz f0. Man nennt diese Schwingung die Grundschwingung des Systems. Diese erzeugt den Grundton einer Saite. Die weiteren Schwingungen nennt man Oberschwingungen, diese erzeugen die Obertöne. Bei Anregungsfrequenzen zwischen diesen Resonanzfrequenzen ist das Gummiband (Saite) praktisch in Ruhe (vorwärtslaufende Welle löscht reflektierte Welle aus Zusammenspiel von Reflexion und Interferenz). Es existieren Orte auf der Saite, an denen die Auslenkung dauernd verschwindet. Man nennt diese Orte: Der Abstand zwischen zwei beträgt. Die Resonanzfrequenzen lassen sich wie folgt berechnen: f n f0 (n = 1, 2, 3,...) Auf der Länge L der Saite liegt ein ganzzahliges Vielfaches einer halben länge: L n 2 (n = 1, 2, 3,...) Die Grundschwingung ist durch die Geometrie (Länge) der Saite festgelegt: c f f0 c c 2 L

8 8 Pfeifeninstrumente haben auch nur ganz bestimmte Resonanzfrequenzen. An einem festen (gedeckten) Ende entsteht ein Schwingungsknoten, am offenen Ende ein Schwingungsbauch. Für eine offene Pfeife ergibt sich dieselbe Grundfrequenz wie bei einer Saite: f0 c c 2 L Eine einseitig gedeckte Pfeife hat die Grundfrequenz: f0 c c 4 L Interessanter Link dazu: Aufgaben: 1) Eine Gitarrensaite ist 57 cm lang. Beim Anzupfen ertönt ein a (440 Hz). a) Wie gross ist die länge der Grundschwingung? b) Wie gross ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle auf der Saite? 2) Wieso ertönt beim Anzupfen einer Saite ein höherer Ton, wenn man die Saitenspannung durch Drehen an der Schnecke erhöht? Was ändert sich bei der Veränderung der Saitenspannung? 3) Bei einer Panflöte ertönt der Ton c (528 Hz). Wie lang ist die Pfeife? 4) Eine offene Orgelpfeife wird geschlossen. Wie ändert sich die Tonhöhe? Beim Anzupfen einer Saite oder Blasen einer Pfeife entsteht ein Klang. Ein Klang ist aus dem Grundton und den Obertönen zusammengesetzt. Da die Grundschwingung im allgemeinen die meiste Energie abstrahlt, bestimmt der Grundton die Klanghöhe, während die Obertöne die Klangfarbe festlegen. Kommentar zu Konsonanz und Dissonanz: Vor 2500 Jahren fiel dem Griechen Pythagoras auf, dass zwei gleichartige Saiten nur dann angenehm zusammenklingen, wenn ihre Längen in einem einfachen Zahlenverhältnis stehen, wie etwa 1:2 oder 2:3. Ist dies nicht der Fall, so ertönt ein Missklang. Pythagoras musste sich mit der Feststellung dieses Sachverhaltes begnügen. Wenn sich die Längen der Saiten wie 1:2 verhalten, so stehen die Frequenzen der Grundschwingungen im Verhältnis 2:1. Es erklingt die Oktave, welche als ausgesprochen angenehm

9 9 empfunden wird. Wie man am Frequenzspektrum sieht (siehe Aufgabe 3), hat der höhere Klang nur Obertöne, welche auch im tieferen Klang enthalten sind. Wenn sich die Längen der Saiten wie 2:3 verhalten, so stehen die Frequenzen der Grundschwingungen im Verhältnis 3:2. Es erklingt die Quint (siehe Verhältnisse im Formeln und Tafeln 169), welche ebenfalls einen angenehmen Eindruck macht. Diesmal ist jeder zweite Oberton des höheren Klanges im tieferen Klang enthalten. Je komplizierter das Zahlenverhältnis der Saitenlängen wird, desto geringer wird die Zahl der gemeinsamen Obertöne, desto dissonanter wird das Zusammenklingen. Wir kommen zu folgendem Ergebnis: Zwei Klänge werden als wohlklingend (konsonant) empfunden, wenn sie viele gemeinsame Obertöne besitzen. Andernfalls sind die Klänge misstönend (dissonant). Will man die Klangfarbe verändern, so muss man die Ausbildung der Obertöne beeinflussen. Die Obertöne sind es, die den Klangcharakter eines Instrumentes festlegen. Eine Violine beispielsweise produziert viel mehr Obertöne als ein Klavier. Unser Ohr zerlegt einen Klang in seine Grundbestandteile: In der Gehörschnecke wird mit der Basilarmembran ein Klang nach seinen Frequenzbestandteilen analysiert. Frequenzspektrum Neuere technische Geräte können ebenfalls einen Klang in sein Frequenzspektrum zerlegen, man nennt diesen Vorgang Fourieranalyse. Dieser Vorgang ist beispielsweise sehr wichtig bei der computerunterstützten Spracherkennung. Lösungen zu 10: 1) a) Grundschwingung: n = 1 = 2 L = 1.14 m b) c = f = m/s 2) Ausbreitungsgeschwindigkeit ändert Frequenz ändert bei konstanter länge c 3) Aus f0 l = 16.1 cm 4 l 4) Siehe Pfeifen-Skizze verdoppelt sich Frequenz halbiert sich (tiefere Oktave)

10 10 5 Interferenzen in 2 Dimensionen, die sich in zwei oder drei Dimensionen ausbreiten, können vielfältige Interferenzerscheinungen zeigen. Zwei wichtige Spezialfälle sind die Kugel- oder Kreiswelle und die ebene Welle. Abb. 1: Überlagerung zweier Kreiswellen gleicher länge Die Abbildung zeigt eine Momentaufnahme der bilder von zwei Kreiswellen gleicher länge. Ausgezogene Linien symbolisieren berge, gestrichelte Linien täler. 1. Verbinden Sie mit einer Farbe (z.b. grün) die Punkte, wo sich fronten treffen, welche gleichzeitig von ihrer Quelle angeregt wurden und somit den gleichen Weg zurückgelegt haben. Herrscht hier konstruktive oder destruktive Interferenz? 2. Verbinden Sie nun mit der gleichen Farbe die Punkte, wo der Unterschied zwischen den Distanzen, welche die beiden von ihrer Quelle aus durchlaufen haben, eine länge beträgt. Verfahren Sie gleich mit Punkten, wo der Wegunterschied zwei resp. drei längen beträgt. Herrscht hier konstruktive oder destruktive Interferenz? 3. Verbinden Sie nun mit anderer Farbe (z.b. rot) die Punkte, wo der Unterschied zwischen den Distanzen, welche die beiden von ihrer Quelle aus durchlaufen haben, (k + ½) beträgt (mit k = 0, 1, 2). Auf was für einer Kurve liegen diese Punkte? Herrscht hier konstruktive oder destruktive Interferenz? Applet zur Lsg: abstrakt: Mit Wasserwellen etc: Phet Wave Interference

11 11 Experiment: Interferenz von zwei Wasserwellen in der wanne: Wie hängt das Interferenzmuster z.b. der Abstand der Hyperbeläste φ von dem Abstand g der zentren der länge λ ab? 6 Beugung und Interferenz am Spalt und Doppelspalt Beugung am Spalt Experiment: Ebene Wasserwellen gehen durch eine kleine Öffnung ( Spalt ): Öffnung d < Öffnung d Öffnung d >> Hinter einer sehr kleinen Öffnung breitet sich eine Kreiswelle aus! Weil die strahlen dabei ihre Richtung ändern, spricht man von Beugung. Je grösser die Öffnung wird, desto schwächer die Beugung. Grund: Interferenz von aus verschiedenen Stellen der Öffnung. Bei sehr grossen Öffnungen lässt sich Beugung ins geometrische Schattengebiet fast nicht mehr beobachten.

12 Fragen: 12 Schallwellen laufen bei geöffneter Türe um die Ecke, Lichtwellen laufen aber geradlinig durch die Türe raus. Erklären Sie dieses Verhalten. Welche Schallwellen werden stärker gebeugt, die hohen oder tiefen Töne? 6.1 Interferenz am Doppelspalt Vom Experiment über die geometrische Darstellung zur Berechnung: Herleitung der Formel zur Berechnung der Winkel der Interferenzmaxima: Benötigtes Vorwissen: Bedingung für konstruktive/destruktive Interferenz. Winkel in ähnlichen Dreiecken. tan α ; sin α bei kleinen Winkeln; Gesucht 1: sin α = f ( λ, g ) Gesucht 2: λ = f ( g, d, a ) d Abstand 0. zu n-ten Max/Min g Gitterabstand a Abstand Gitter/Spalt zu Schirm Interferenz am Strichgitter Formeln: Zum Nachvollziehen der Herleitung empfohlen:

13 13 Auch Licht zeigt Beugungs- und Interferenzerscheinungen! Es muss sich bei Licht also um eine Welle handeln ( Elektromagnetische ). Beispiel: Beugung und Interferenz von Laserlicht am Einfachspalt (oben) und am Doppelspalt (unten). 7 Reflexion und Brechung von Oder: Warum funktioniert die geometrische Optik? Fällt ein Lichtstrahl schräg auf einen durchsichtigen Körper (z.b. ein Stück Glas), so wird ein Teil des Lichtes reflektiert. Der andere Teil dringt in den Körper ein und ändert dabei seine Richtung. Man sagt, das Licht wird gebrochen. Diese Erscheinung heisst Brechung des Lichtes. Sie tritt allgemein auf, wenn ein Lichtstrahl schräg auf eine Grenzfläche zweier Medien mit unterschiedlichen Brechzahlen fällt. Diese Erscheinung lässt sich auch mit der Vorstellung von Lichtwellen (statt Lichtstrahlen) erklären. Allgemein tritt eine Brechung auf, wenn eine Welle von einem Medium ein anderes mit anderer Ausbreitungsgeschwindigkeit übergeht. Experiment mit Wasserwellen (wanne):

14 14 8 Elektromagnetische Link Physic-Supplements James Clerc Maxwell stellte 1856 eine Theorie auf, welche alle Eigenschaften elektrischer und magnetischer Felder beschreiben konnte (bekannt als Maxwell-Gleichungen ). Er folgerte aus seinen Gleichungen, dass veränderliche elektrische und magnetische Felder sich gegenseitig erzeugen können und sich wie ( elektromagnetische ) ausbreiten, und zwar unabhängig von ihren Quellen, den Ladungen und Strömen! Elektromagnetische sind Querwellen, d. h. ihre Ausbreitungsrichtung steht senkrecht zur Schwingungsrichtung. Sie benötigen kein Medium, um sich auszubreiten, breiten sich also auch im Vakuum aus. Maxwell konnte auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen berechnen: mit (elektrische Feldkonstante) und (magnetische Feldkonstante). Diese Geschwindigkeit entspricht genau der vorher schon bekannten. Also: Heinrich Hertz konnte rund 20 Jahre später erstmals elektromagnetische erzeugen und nachweisen. Guglielmo Marconi gelang 1901 die erste Funkverbindung über den Atlantik. Film: Hertzscher Dipol Ausbreitung Film EM in Luft Applet zur HA: EM um eine Dipolantenne Applet Feldenstehung händisch

15 Elektomagnetisches Spektrum: 15

16 16 Aufgabe: Radiowellen Radio Pilatus Sendet auf einer Frequenz von 88,7 Mhz. Wie gross ist die länge dieses Senders? Was wäre eine optimale Antennenlänge, um Radio Pilatus gut zu empfangen? Was können Sie daraus schliessen, dass Antennen für den Empfang von Radiowellen aus dem Weltraum ( n*10m) so viel grösser sind als optische Teleskope? Bei einer Radiowelle zeigt zu einer bestimmten Zeit der E-Vektor nach Osten und der B-Vektor nach oben. In welche Richtung breitet sich die Welle aus? Aufgabe: Interferenz am Gitter Bringt man in einen Laserstrahl ein senkrechtes stehendes Haar, so entsteht auf einem Schirm ein Interferenzmuster. 1. Beschreiben Sie dieses Muster. 2. Erklären Sie, wie dieses Muster entsteht. 3. Die Maxima 1. Ordnung sollen einen möglichst großen Abstand voneinander haben. Beschreiben Sie mit Hilfe der entsprechenden Gleichung, welche Möglichkeiten das Experiment dazu bietet. 4. Ein Haar hat eine Dicke von 0,06 mm. Auf einem 2 m entferntem Schirm haben die beiden Maxima 1. Ordnung einen Abstand von 4,6 cm Welche länge hat das Licht des verwendeten Rubin-Lasers? Aufgabe Interferenz am Gitter 2 Bei einem Beugungsversuch mit einem optischen Gitter wurden folgende Werte festgestellt: Das verwendete Natriumlicht hat eine länge von 590 nm. Der Auffangschirm ist vom Gitter 2,0 m entfernt. Der Abstand der beiden Beugungsstreifen 1. Ordnung beträgt 18 cm. Wie groß ist die Gitterkonstante? Aufgabe Interferenz am Gitter 3 Eine Folie, die als Beugungsgitter in einem Spektroskop Verwendung findet, wird direkt vor die Öffnung einer Laser-Wasserwaage gehalten. An der Wand, die 70 cm von der Folie entfernt ist, entsteht ein typisches Interferenzbild mit einem Maximum 0. Ordnung und zwei Maxima 1. Ordnung, die jeweils 24 cm vom mittleren Maximum entfernt sind. Der Laser der Wasserwaage hat laut Aufdruck eine länge zwischen 635 nm und 660 nm. Wie viele Linien sind je Millimeter auf der Folie?

17 17 9 Übungsbeispiele 9.1 Überlagerung von I 1. Gitarrensaite Eine Saite der Länge 60cm ist an beiden Enden eingespannt. Auf ihr breiten sich mit 400m/s aus. a) Wie gross ist die Frequenz der stehenden Welle mit der kleinsten Frequenz? b) Um welche Saite handelt es sich (Tonhöhe)? c) Skizzieren Sie ein Momentbild der Saite, wenn sie in der 4. Oberschwingung schwingt. d) Wie gross sind länge und Frequenz der 4. Oberschwingung? e) Was verändert die Gitarristin, wenn sie die Saite stärker anzieht? f) Was verändert die Gitarristin, wenn sie die Saite im ersten Bund drückt? 2. Kinder auf eine Hängebrücke Wenn Kinder in der Mitte einer 20m langen Hängebrücke alle 2 Sekunden aufspringen, regen sie eine starke Eigenschwingung der Brücke in der Grundfrequenz an. a) Wie schnell breiten sich entlang der Brücke aus? b) Was müssten die Kinder tun, um die 1. Oberschwingung zu treffen? 3. Orgelpfeifen Hinweis: Bei Orgelpfeifen unterscheidet man zwischen (beidseitig) offenen Pfeifen und solchen die auf einer geschlossen sind (gedeckte Pfeifen). Die offenen Pfeifen erzeugen einen besseren Klang. Eine Orgelpfeife besitzt zwei aufeinander folgende Obertöne der Frequenzen 450Hz und 630Hz. a) Handelt es sich um eine offene oder um eine gedeckte Pfeife? b) Berechnen Sie die Frequenz des Grundtones und die Länge der Pfeife. c) Was ist der Vorteil von gedeckten Pfeifen? 4. Erdrutsch in einen Teich Durch einen Erdrutsch gerät das Wasser in einem kleinen See in Bewegung: Eine Welle erreicht nach 5s das 35m entfernte Ufer und wird dort reflektiert. Dadurch entsteht eine stehende Welle, das Wasser scheint hin und her zu schwappen. a) Bedeutet das Seeufer für Wasserwellen ein festes oder ein loses Ende? b) Zeichnen Sie (mit verschiedenen Farben) den Zustand der Wasseroberfläche in der Grundschwingung und in der zweiten Oberschwingung dar. Wie gross sind die Frequenzen dieser Eigenschwingungen?

18 aufgaben: Von Laser, Kerzenlicht und Radar 1. Ein Gitter wird mit Laserlicht der länge 632 nm beleuchtet. Die Richtungen zum Hauptmaximum und zum 1. Minimum unterscheiden sich um Wie viele Striche pro cm hat das Gitter? 2. Im Nachbarraum liest Ihr Freund bei Kerzenlicht. a. Sie haben keinen direkten Blickkontakt zur Kerze, sehen jedoch die Helligkeit durch die Tür. Warum? b. Nun spricht Ihr Freund zu Ihnen. Tritt der Effekt von vorhin auch bei Schall auf? Was kommt noch dazu? 3. Bei der Geschwindigkeitskontrolle mit Radar werden Mikrowellen ausgesendet, welche am Auto reflektiert werden. Nimmt die länge zu oder ab, wenn sich das Auto vom Radargerät entfernt? 4. In der folgenden Figur ist der zeitliche Verlauf einer Welle dargestellt. a. Wie entsteht eine derartige Welle? Wie lautet der Fachbegriff dafür? b. Antworten Sie nun möglichst quantitativ, was Sie tun müssen, um eine derartige Welle zu erhalten.

19 19 5. Ein Laser leuchtete einmal durch einen Spalt der Breite d = 0.05mm und einmal durch zwei ganz feine Spalten mit Abstand d = 0.05 mm. Auf einer Leinwand 2m hinter den Spalten gab es folgende Helligkeitsmuster. a. Welches Muster gehört zum Einfachspalt? Welches stammt vom Doppelspalt? b. Wie gross war die länge des Lasers? c. Was lässt sich aus solchen Experimenten für die Eigenschaften des Lichts folgern? 6. Wie verändert sich die Energiedichte einer Welle, wenn der Abstand zur Quelle verdoppelt wird a. bei einer Glühbirne? Welche anderen verhalten sich ähnlich? b. bei Oberflächenwellen eines Erdbebens? Welche anderen verhalten sich ähnlich? 7. Die Abbildung zeigt die Draufsicht einer Wasserwanne mit zwei Erregern von Kreiswellen mit der länge. Die Erreger haben einen Abstand voneinander, der 2.5 mal so gross ist wie die länge der. a. Warum gibt es an einigen Stellen der Wanne stärkere und an anderen Stellen schwächere bewegungen? Verwenden Sie korrekte Fachausdrücke. b. Entscheiden und begründen Sie, ob an den Punkten A, B und C jeweils starke oder schwache bewegung herrscht.

20 20 LÖSUNGEN: Übungsbeispiele stehende 1. a. = 2L; f = c / = c / (2L) = 333 Hz b. 330 Hz = e c. Wie unten links, aber 5 Bäuche d. = 2L/5 = 24 cm; f = c / = 5c / (2L) = Hz 2. a. f0 = 0.5 Hz, = 2L e. c nimmt zu. f. L wird kleiner c = f = 2L f = 20 m / s b. Sie müssen sich in zwei Gruppen aufteilen und bei ¼ und ¾ der Brückenlänge aufstellen (Bäuche der 1. Oberschwingung). Dann müssen im 1s-Takt springen, und beide Gruppen abwechselnd (=um 0.5 s versetzt). 3. a. f = 180 Hz; Bei offenen Pfeifen gilt für die Frequenzfolge von Grundton und Obertönen; f 0, 2 f0, 3 f0, 4 f0, und damit f = f0. Dies ist hier nicht möglich, da die beiden Frequenzen nicht durch 180 teilbar sind. Es muss also eine gedeckte Pfeife sein mit f0, 3 f0, 5 f0, 7 f0 b. f0 = f / 2 = 90 Hz c. Die beiden benachbarten Obertöne entsprechen 5 f0, 7 f0 Die Pfeife muss für die gleiche Tonhöhe nur halb so lang sein, was insbesondere bei tiefen Tönen ein Vorteil ist. 4. a. Es handelt sich um ein loses Ende. Der Wasserstand am Ufer ist nicht fix, sondern kann auf und ab schwappen. b. Skizzen s. unten mittlere Spalte; c = x / t = 35 m/s. f0 = c / (2 L) = 0.1 Hz; f2 = 3 c / (2 L) = 0.3 Hz Zwei feste Enden z.b. Gitarrensaite, Luftdruck in Blockflöte und Orgel Zwei lose Enden z.b. Wasserbecken, Luftdruck in beidseitig geschlossenem Rohr Ein festes und ein loses Ende z.b. einseitig geschlossene Pfeife, Ton erzeugen mit Glasflasche Grundschwingung Grundschwingung Grundschwingung 0 = 2 L f0 = c / 2L 1. Oberschwingung 1 = L f1 = c / L 0 = 2 L f0 = c / 2 L 1. Oberschwingung 1 = L f1 = c / L 0 = 4 L f0 = c / 4L 1. Oberschwingung 1 = (4/3) L f1 = 3c / 4L 2. Oberschwingung 2. Oberschwingung 2. Oberschwingung 2 = (2/3) L f2 = 3 c / 2L Obertonfolge : f0, 2 f0, 3 f0, 4 f0 2 = (2/3) L f2 = 3 c / 2 L Obertonfolge : f0, 2 f0, 3 f0, 4 f0 2 = (4/5) L f2 = 5c / 4L Obertonfolge : f0, 3 f0, 5 f0, 7 f0

21 LÖSUNGEN Von Laser, Kerzenlicht und Radar 1. Für ein den Abstand d zweier Linien beim Gitter gilt die gleiche Formel wie beim Doppelspalt. Das Muster beim Gitter wird einfach deutlicher und schärfer. Für das erste Minimum gilt: sin = x / d mit x = 0.5 Einsetzen: d = 0.5 / sin = 5 mgitter mit 2000 Strichen pro cm 2. a. Das Licht wird von Wänden, Boden und Decke sowie an Staubteilchen der Luft reflektiert. Diese Reflexion erfolgt ungeordnet in alle Richtungen, man spricht auch von Streuung. b. Beim Schall gibt es auch Reflexion (Echo) an den Wänden. Zusätzlich kommt der Effekt der Beugung dazu: Der Schall breitet sich nach der Türöffnung in alle Richtungen aus. Beim Licht ist die länge im Vergleich zur Türbreite zu klein. 3. Das Radargerät sendet im Zeitabstand T (weniger als eine Nanosekunde) Mikrowellen-Berge aus. Wenn eine berg das Auto erreicht, muss der nachfolgende noch genau eine länge zurücklegen. Dafür wäre normalerweise die Zeit T nötig. In dieser Zeit ist das Auto jedoch schon ein winziges Stück weiter gerollt. Die Mikrowellen-Berge treffen im Zeitabstand von T > T beim Auto ein und werden auch in diesem Zeitabstand reflektiert. Die Frequenz f = 1 / T gilt somit f < f, für die länge = c / f gilt deshalb >.!!!! 4. a. Diese Erscheinung tritt auf, wenn sich zwei harmonische mit leicht unterschiedlicher Frequenz überlagern, z.b. Schallwellen von zwei leicht verstimmten Gitarrensaiten. Das Resultat ist ein Laut-und-Leise werdender Ton (iiuiiuiiuiiu). Man nennt dies Schwebung. b. Bei 0s, 1s, und 2s überlagern sich jeweils die Berge der beiden leicht unterschiedlichen und es gibt einen lauten Ton. Bei 0.5s und 1.5s überlagert sich ein Berg der einen Welle mit einem Tal der anderen: der Ton löscht sich aus. Während 1s macht also die eine Welle genau 1 Schwingung mehr als die andere: Der Frequenzunterschied beträgt 1 Hz. Aus dem Abzählen der einzelnen Berge (11 pro Sekunde) kann man abschätzen, dass es sich um zwei der Frequenz 10 Hz bzw. 11 Hz handelt. 5. a. Sowohl beim Einzelspalt aus auch beim Doppelspalt liegt gerade aus ein Maximum. Beim Doppelspalt erfolgt das erste Nebenmaximum in derjenigen Richtung, wo die gebeugten der beiden Spalte einen Wegunterschied von 1 aufweisen, denn in dieser Richtung fallen die berge wieder zusammen. Für den Einzelspalt liegt in dieser Richtung des ersten Minimums: Die gebeugten von den beiden Spalträndern haben für diese Richtung ebenfalls einen Wegunterschied von 1. Im Spalt zwischen ihnen kommt somit jede Auslenkung einmal vor, so dass sich insgesamt alles auslöscht.

22 22 b. Der Winkel zum 1. Nebenmaximum des Doppelspalts beträgt: tan = 2cm / 2m = 0.01 = Für diesen Winkel gilt beim Doppelspalt (vgl. Theorie): sin = / d(k=1 beim 1. Nebenmaximum) c. Somit: = d sin = 500 nm Solche Maxima und Minima sind mit dem Lichtstrahlmodell nicht erklärbar: Beim Einzelspalt würde es genau einen Lichtfleck geben, beim Doppelspalt zwei. Der Rest wäre im Schatten. Das Helligkeitsmuster legt nahe, dass das Licht Eigenschaften einer Welle hat. Mit Interferenz von lässt sich das Muster erklären! 6. a. Die fronten verbreiten in 3 Dimensionen. Man kann sich die fronten als Kugelflächen (A = 4 r2) vorstellen. Die Energiedichte nimmt damit proportional zum Quadrat des Abstandes ab. Im doppelten Abstand ist nur noch ein Viertel der Energie übrig. Bei der Glühbirne in einem Raum wird jedoch das Licht von den Wänden reflektiert, so dass die Abnahme schwächer ist! Die Überlegung gilt deshalb nur, wenn die Welle sich gleichmässig 3-dim in alle Richtungen ausbreitet und es kaum Reflexionen gibt. Ähnlich ist es bei Schallwellen oder P-und S- bei Erdbeben. b. Oberflächenwellen verbreiten sich nur in 2 Dimensionen. Man kann die fronten als Kreise (U = 2 r) ansehen. Die Energiedichte nimmt proportional zu r ab: Doppelter Abstand, halbe Enerige. Dasselbe gilt auch für Wasserwellen. 7. a. Für die Überlagerung gilt: Die Auslenkungen addieren sich (Berg + Berg = hoher Berg usw.). Bei synchronen Quellen ist der Wegunterschied der von den beiden Quellen entscheidend, ob sich jeweils zwei Berge treffen (starke bewegung) oder je ein Berg und Tal (kaum bewegung). b. A: Wegunterschied x = 2.5 Abschwächung B: Gleiche Distanz von beiden Quellen, Berge kommen gleichzeitig an: x = 0 C: Pythagoras: Abstand x1 = ; x2 = ; x = 1.5 Verstärkung Abschwächung