Unternehmenstheorie Von der Technologie zur Entscheidung

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1 roduktionsfunktion Unternehmenstheorie Von der zur Entscheidung Herert Stocker Einführung Department of Economics University of Innsruck roduktionsfunktion roduktionsfunktion reislaufdiagramm Unternehmenstheorie ohnsatz S D Ziel dieses apitels: Ein kohärentes und konsistentes ausalmodell zur Erklärung des Verhaltens eines repräsentativen Unternehmers. Haushalte Areitsstunden reis S D Unternehmen Unternehmer sind Anieter auf Gütermärkten und Nachfrager auf Faktormärkten! Annahmen: Unternehmer verhalten sich rational, d.h. sie versuchen ihre Ziele unter Berücksichtigung der Restriktionen estmöglich zu erreichen (Optimierungsprinzip). Ziele: Unternehmer ollen Geinne maximieren, z. osten minimieren. Restriktionen: Unternehmer unterliegen technologischen Beschränkungen und Markteschränkungen. Gütermenge roduktionsfunktion roduktionsfunktion Unternehmenstheorie. Schritt: Modellierung der technologischen Restriktionen. Die ird nicht erklärt, sondern ähnlich ie die räferenzen in der Haushaltstheorie nur eschrieen; Aildung der in einer roduktionsfunktion.. Schritt: Modellierung des unternehmerischen Verhaltens unter Berücksichtigung der Ziele soie technologischen Restriktionen und Markteschränkungen (folgt später). roduktionsfunktion roduktionsfunktion roduktionsfunktion roduktionstheorie roduktionstheorie : Realisierare Möglichkeiten, Inputs in Outputs zu transformieren. roduktionsfaktoren: Inputs; z.b. Areit, physisches apital, Grund und Boden, Rohstoffe,... Achtung: Unterscheiden Sie physisches apital Finanz-apital roduktionsmöglichkeitenmenge: Alle technisch realisieraren Outputmengen, die mit gegeenen Inputmengen erzeugt erden können. roduktionsfunktion: Ordnet Inputmengen den maximal möglichen Output zu (impliziert technische Effizienz). = (, ) Die roduktionsfunktion hat im Unterschied zur Nutzenfunktion eine kardinale Interpretation, monotone Transformationen einer roduktionsfunktion führen zu unterschiedlichen en! Graphische Aildung: Oerfläche des roduktionsgeirges.

2 o-douglas roduktionsfunktion roduktionsfunktion Isoquanten roduktionsfunktion Sustituierare Faktoren: Isoquanten (rot) Isoquanten verinden Faktorkominationen mit gleicher Ausringungsmenge. höhere Ausringungsmenge Output y Input x Input x y x x roduktionsfunktion Beispiele für roduktionsfunktionen roduktionsfunktion Eine Isoquante zeigt alle möglichen Einsatzverhältnisse von und, mit denen ein estimmter (konstanter) Output hergestellt erden kann ( Grundriß des Ertragsgeirges ). Eine Ertragskurve zeigt den Zusammenhang zischen einer Faktoreinsatzmenge und dem maximal erzielaren Output unter onstanthaltung aller anderen Faktoreinsatzmengen, d.h. ceteris parius ( Aufriß des Ertragsgeirges ). Grenzertrag, z. Grenzproduktivität (M): Steigung einer Ertragskurve; um ieviel Einheiten steigt ceteris parius der Output, enn eine zusätzliche Faktoreinheit eingesetzt ird. Spezielle roduktionsfunktionen: imitationale roduktionsfunktionen: onstante roportionen (rechtinklige Isoquanten) { = (, ) = min α, } β ineare roduktionsfunktionen: erfekte Sustitute (lineare Isoquanten) = (, ) = α + β imitationale roduktionsfunktionen roduktionsfunktion ineare roduktionsfunktionen roduktionsfunktion onstante roportionen: z.b. = min{, } erfekte Sustitute: z.b. = + Achtung: nicht differenzierar! Achtung: Randlösungen! Beispiele für roduktionsfunktionen roduktionsfunktion Eigenschaften von n roduktionsfunktion o-douglas roduktionsfunktionen: (konvexe Isoquanten) = (, ) = A α β ES roduktionsfunktionen: enthalten alle vorhergehenden roduktionsfunktionen als Spezialfälle = (, ) = A[α ρ + β ρ ] /ρ Monotonie: Wenn mehr roduktionsfaktoren in der roduktion eingesetzt erden, ird der Output nicht anehmen; d.h. die roduktionsfunktion ist monoton steigend in und. onvexität: Wenn es zei unterschiedliche Faktorkominationen git, die eine estimmte Outputmenge erzeugen, kann mit einer (inear-) omination dieser Faktoreinsatzmengen mindestens die gleiche Outputmenge erzeugt erden. Interpretation: anehmende Grenzrate der technischen Sustitution; konvexe Isoquanten.

3 roduktionsfunktion roduktionsfunktion Zusätzliche Annahmen onvexe onkave Grenzprodukt ( Grenzertrag): Um ieviele Einheiten verändert sich ceteris parius der maximal erzielare Output, enn eine zusätzliche Einheit von einem Faktor eingesetzt ird. Graphische Aildung: Anstieg der Ertragskurve. Formale Darstellung: artielle Aleitung der roduktionsfunktion = (, ) nach einer Faktoreinsatzmenge M z. M roduktionsfunktion roduktionsfunktion Beispiel Anehmendes Grenzprodukt: Jede zusätzlich eingesetzte Faktoreinheit produziert ceteris parius eniger zusätzlichen Output (Annahme!). Graphische Darstellung: Ertragskurve ird mit steigender Faktoreinsatzmenge flacher. Formale Darstellung: Die erste partielle Aleitung ist positiv, die zeite partielle Aleitung negativ! roduktionsfunktion: =,5 Da alle Faktoren außer konstant sind (d.h. in stecken ) ist dies zugleich die Ertragsfunktion. Grenzertrag: Anehmender Grenzertrag: =,5 > > ; < =, 5,5 < roduktionsfunktion roduktionsfunktion Beispiel Grenzrate der techn. Sustitution Ertragskurve: Grenzertragskurve: : Wie können zei Inputs sustituiert (d.h. gegeneinander ausgetauscht) erden, ohne daß sich dadurch der Output verändert? Die GRtS git an, ie zei Inputs (z.b. Areit und apital) sustituiert erden können, ohne daß sich dadurch das Ausringungsniveau ändert, d.h. das Austauschverhältnis zischen zei Inputs ei konstanter roduktionsmenge. =,5 / =,5 Grafisch ist die Grenzrate der technischen Sustitution GRtS = d/d die Steigung einer Isoquante in einem unkt. Grenzrate der techn. Sust.: GRtS roduktionsfunktion Anehmende GRtS roduktionsfunktion Diskret: Stetig: Anehmende Grenzrate der technischen Sustitution (GRtS): Soll eine Einheit Areit gegen eine solche Menge von apital ersetzt erden, daß sich dadurch die Outputmenge nicht ändert, so ird für jede zusätzlich eingesetzte Areitseinheit eniger apital eingespart ( onvexität). Je intensiver ein Faktor ereits eingesetzt ird, umso aufendiger ird es, ihn in der roduktion durch einen anderen Faktor zu ersetzen (Annahme!). Graphische Darstellung: Anstieg der Isoquante ist negativ und ird umso flacher, je eiter man auf der Aszisse nach außen andert, d.h. die Isoquanten sind konvex zum Ursprung.

4 GRtS: Beispiel roduktionsfunktion roduktionsfunktion GRtS als Verhältnis der Grenzproduktivitäten z.b. o-douglas roduktionsfunktion: GRtS: d d = Anehmende GRtS: d d = =,, =,,,,, =, ( ) = < Frage: Warum ist die GRtS gleich dem Verhältnis der Grenzproduktivitäten? d.h. GRtS d? = M d M GRtS: Steigung einer Isoquante (Schnitt durch das roduktionsgeirge parallel zur Grundfläche). Grenzproduktivität (z. Grenzertrag) von ( / M ): Steigung der Ertragskurve von in einem unkt (konstantes ) Ertragskurve von : Schnitt durch das roduktionsgeirge parallel zur -Achse (konstantes, d.h. ceteris parius). Zum Verständnis enötigt man das Totales Differential einer Funktion. Die nächsten Aildungen erläutern das Totale Differential grafisch. roduktionsfunktion Exkurs: Das Totale Differential von = (, ) roduktionsfunktion Exkurs: Das Totale Differential von = (, ) roduktionsfunktion Steigung: Steigung: Steigung: Tangentialeene Isoquante: d = Steigung: Steigung der Isoquante = GRtS d d = (, ) + d + d = d, d enn d = : d = / / GRtS roduktionsfunktion Exkurs: Das Totale Differential von = (, ) roduktionsfunktion Exkurs: Das Totale Differential von = (, ) Isoquante: d = Isoquante: d = d d + d = d, d Steigung der Isoquante: GRtS = d/d d enn d = : d = / / GRtS d d + d = d, d Steigung der Isoquante: GRtS = d/d d enn d = : d = / / GRtS Grenzrate der techn. Sust.: GRtS roduktionsfunktion roduktionsfunktion Die GRtS ist gleich dem Verhältnis der Grenzprodukte. Warum? = (, ) d = d + d }{{} Totales Differential Auf der Isoquante gilt d = GRtS d d = d= = d + d M M Definition geen an, ie sich der Output ei einer proportionalen Vervielfachung aller Inputfaktoren verhält (z.b. einer Verdoppelung aller Faktoreinsätze; totale Faktorvariation). Achtung: ei Grenzerträgen ird nur ein Faktor variiert (ceteris parius, partielle Faktorvariation). sind eine sehr ichtige Eigenschaft von n, aer es git keine Entsprechung dafür in der Haushaltstheorie, da räferenzen nur ordinal definiert sind.

5 roduktionsfunktion roduktionsfunktion onstante : eine Verdoppelung aller Faktorinputs führt zu einer exakten Verdoppelung des Outputs, d.h. [(), ()] = Anehmende : Output steigt um eniger als das Doppelte, enn alle Faktorinputs verdoppelt erden, d.h. [(), ()] < Zunehmende : Output ird mehr als verdoppelt, enn alle Faktorinputs verdoppelt erden. [(), ()] > Beispiel: elche liegen vor? () a () a = a a = a a a a = a+ a a a = a a = Verdoppelung der Inputs Verdoppelung des Outputs konstante! roduktionsfunktion roduktionsfunktion Dem ökonomischen onzept der entspricht das mathemtische onzept des Homogenitätsgrads einer roduktionsfunktion. Die Funktion = (, ) ist homogen vom Grad τ enn gilt: [(t), (t)] = t τ (, ) für t > τ = konstante (d.h. die roduktionsfunktion ist linear homogen) τ < anehmende τ > zunehmende. Graphische Aildung: Astand der Isoquanten, enn Isoquanten für diskrete Ausringungsmengen (z.b. für =,,,...) gezeichnet erden. Bei konstanten n leit der Astand der Isoquanten konstant, ei anehmenden n ird er größer, ei zunehmenden n kleiner. roduktionsfunktion roduktionsfunktion onstante : =,, Anehmend: =,, Zunehmend: =,, Isoquanten für =,,,... Für = 5 und = 5: (5, 5) = 5, 5, = 5 Für = und = : (, ) =,, = ( 5, 5) = 5, 5,, ( 5, 5) = 5, 5,, 9 (, ) =,, (, ) =,, Isoquanten für =,,,... urz- vs. angfristig roduktionsfunktion Unternehmens- vs. Haushaltstheorie roduktionsfunktion Definition urzfristig: die Menge mindestens eines Faktors ist fixiert, d.h. kann nicht angepaßt erden. angfristig: die Menge aller Faktoren kann optimal angepaßt erden. Wir erden später noch andere aer damit zusammenhängende Definitionen von kurz- z. langfristig kennenlernen, die v.a. mit der Geschindigkeit von reisanpassungen zusammenhängen. räferenzen roduktionsfunktion Nutzenfunktion Grenzprodukt (Grenzertrag) Grenznutzen Isoquante Indifferenzkurve GRtS GRS (im onsum) Nutzenmaximierung Ausgaenminimierung Isokostengerade Budgetgerade Expansionspfad Einkommens-onsumkurve

6 Üung roduktionsfunktion Üung roduktionsfunktion Berechnen Sie Grenzprodukte M, GRtS und für folgende roduktionsfunktionen: = (, ) = + = (, ) =,, = (, ) = +,, = (, ) = ( + ) = (, ) = (, +,) önnen zunehmen, oohl alle Grenzerträge anehmen? Ja, z.b. =,7, Grenzerträge: eide Grenzerträge nehmen a, da =,,, < ; nehmen zu, da =,,7, < (t),7 (t), = t,7+,,7, = t,5 τ =, 5 > zunehmende! Optimierung unter Neenedingungen: o-douglas roduktionsfunktion und Isokosten : mit zei Faktoren x x osten Isokostengerade Unternehmer müssen die Inputs ezahlen. Die Gesamtkosten sind per Definition die Summe der Inputkosten = + r Umformen: nach (oder ) lösen Isokostengerade: = r r jeder unkt auf der Isokostengerade verursacht die gleichen osten! r = + r = r r = r Isokostengerade: Steigung: = r r d d = r Interzept: für = ist = = r : graphisch Dimensionen r r d d = r = + r = r r Isoquante git eine (elieige) Outputmenge an. Was ist die illigste Art die Outputmenge herzustellen? Dort, o der Ordinatenastand minimal und die roduktion von noch möglich ist! Dort haen Isokostengerade und Isoquante die gleiche Steigung! Dimension von /r: z.b.: = Euro pro Areitsstunde (AStd); r = 5 Euro pro Maschinenstunde (MStd) Euro r = AStd. 5 Euro MStd. = MStd. AStd. Also: Maschinenstunden kosten am Markt gleich viel ie eine Areitsstunde.

7 Dimensionen Optimaler Faktoreinsatz: Beispiel Dimension von GRtS: z.b. = d.h. Maschinenstunden können in der roduktion gegen eine Areitsstunde getauscht erden, ohne daß sich dadurch der Output ändert. Angenommen = Euro/AStd., r = 5 Euro/MStd. und der Unternehmer produziert ei =, d.h. r = MStd. < MStd. = AStd. AStd. Wenn der Unternehmer Maschinenstunden eniger einsetzt spart er 5 Euro. Dafür kann er am Markt eine zusätzliche Areitsstunde für Euro kaufen, damit der Output unverändert leit, und er hat osten von 5 Euro gespart. Also ürde ein Unternehmer eniger Maschinen- stunden und mehr Areitsstunden nachfragen! Optimaler Faktoreinsatz : analytisch Diese Art Aritrage funktioniert solange, is im optimalen unkt r = GRtS keine eiteren Einsparungen möglich sind. Der Unternehmer ird die Faktoren also solange gegeneinander sustituieren, is das Tauschverhältnis in der roduktion (= GRtS) gleich dem Tauschverhältnis am Markt ist! Dies estimmt das optimale Faktoreinsatzverhältnis. Zielfunktion min = + r, Neenedingung: technologische Restriktion = (, ) Marktrestriktion: vollst. onkurrenz alle reise sind exogen (vorgegeen)! Entscheidungsvarialen:, mit agrange mit agrange Bildung der partiellen Aleitungen und diese gleich Null setzen: rolemformulierung: min = + r, unter der NB = (, ) Aufstellen der agrange Funktion : = + r + λ [ (, )] = λ! = = r λ! = λ = (, ) =! Die ösungen dieser drei Gleichungen nach den drei Unekannten, und λ definieren die edingten Faktornachfragefunktionen: = (, r, ) = (, r, ) Marginaledingungen Marginaledingungen Wir dividieren die erste Gleichung durch die zeite Gleichung r = Die kann man einfach umformen zu M M M = M r Eine notendige Bedingung für ein ostenminimum ist, daß der Grenzertrag pro Geldeinheit für alle Faktoren gleich groß ist (arum?). r = M M Wir issen ereits, daß das Verhältnis der Grenzprodukte der eiden Faktoren gleich der Grenzrate der technischen Sustitution ist, da d = = d + d dies läßt sich umformen zu d d GRtS = (totales Differential) = M M

8 Marginaledingungen Optimierung unter Neenedingungen Daraus folgt: r = M M = d d = GRtS Eine notendige Bedingung für ein ostenminimum ist, daß die Grenzrate der technischen Sustitution (= d/d) gleich dem Faktorpreisverhältnis (= /r) ist. Optimaledingung: GRtS = Faktorpreisverhältnis Expansionspfad Steigung: d d d= Steigung: r d= Expansionspfad In der grafischen Darstellung ist Marginaledingung in allen Tangentialpunkten von Isokostengerade und Isoquante erfüllt. Alle unkte, für die diese Bedingung erfüllen, definieren den Expansionspfad. Ein kostenminimierender Unternehmer ird die Ausringungsmenge stets so ählen, daß diese Bedingung erfüllt ist, d.h. alle kostenminimierenden Faktornachfragekominationen liegen auf dem Expansionspfad. Für homogene roduktionsfunktionen ist der Expansionspfad immer eine Gerade durch den Ursprung. Die edingten Faktornachfragefunktionen erhält man als Ergenis des Minimierungsprolems min = + r, unter der NB = (, ) und geen die kostenminimierende Faktornachfrage in Ahängigkeit von exogenen Faktorpreisen und Ausringungsmenge an = (, r, ) = (, r, ) funktionen: = (, r, ) = (, r, ) Sie heißen edingte Faktornachfragen, eil sie den Zusammenhang zischen Faktornachfrage und Ausringungsmenge für gegeene Faktorpreise angeen. Wie ändert sich die edingte Faktornachfrage, enn ein Faktorpreis sinkt? = : min, unter der NB: GRtS: (Annahme: r = ) d d =! = r ösung: = = = + r = (, ) = = ; = ; =, 5; =, [(/r)] =,5 r,5 =,5 r,5 Eigenschaften der edingten Faktornachfragefunktionen = (, r, ); = (, r, ) Eigenschaften der edingten Faktornachfragefunktionen = (, r, ); = (, r, ) ) Die edingten Faktornachfragemengen nehmen ei einer Faktorpreiserhöhung nie zu, d.h. z.b.: ; r =.5 r.5 =.5.5 r.5 < ) Wenn sich alle Faktorpreise verdoppeln ändert sich die Faktornachfrage nicht; oder in anderen Worten: die Faktornachfrage- funktionen sind homogen vom Grad Null in den reisen [(t), (tr), ] = t = ; [(t), (tr), ] = t =

9 - - mit o-douglas-: zei variale Inputfaktoren rolemformulierung: min, unter der NB = + r = a Aufstellen der agrange Funktion : = + r + λ [ a ] = + r + λ [ a ] Bildung der partiellen Aleitungen und diese gleich Null setzen: = λa a! = = r λa! = λ = a! = - - Auflösen nach, und λ: Wir dividieren die erste Gleichung durch die zeite Gleichung r = = λaa λ a = a = a ( ) ar (Expansionspfad) Einsetzen in die. Gleichung (d.h. in die Aleitung der agrange Funktion nach λ) ergit: ( ) = a ar ( = a ar ( ) = ar d = (, r, ) = ) ( ) = ar ( a ) r - Einsetzen in die Gleichung des Expansionspfades ergit: ( ) = d ar ( a a d = (, r, ) = ) a a r Da die Faktornachfrage edingt ist (d.h. für einen gegeenen Output) git es keine Entsprechung zum Einkommenseffekt in der Haushaltstheorie: enn ein Faktor teurer ird kann die edingte Nachfrage nach diesem Faktor nicht zunehmen! Also nimmt die edingte Faktornachfrage nie zu, enn der Faktor teurer ird! d d r Die Faktornachfragefunktionen sind nicht zunehmend in den Faktorpreisen: d = (, r, ) = a d = (, r, ) = a r a a r a d = ( a a + ) r < d r = a ( a a a + ) a a r < Die Faktornachfragemengen ändern sich nicht, enn alle Faktorpreise verdoppelt erden, d.h., die Faktornachfragemengen sind homogen vom Grad Null in den Faktorpreisen: ( a d = (, r, ) = ) r ( a a d = (, r, ) = ) a a r [(t), (tr), ] = ( a ) (t) (tr) = t + = t = ( a a [(t), (tr), ] = (t) ) a a (tr) = t =

10 Die edingten Faktornachfragefunktionen sind das Ergenis einer unter Berücksichtigung der technologischen Beschränkungen ( rodutionsfunktion) und Markteschränkungen ( vollständige onkurrenz, reise sind keine Entscheidungsvarialen). Sie sind edingt, eil sie die kostenminimierende Faktornachfragemenge für die Erstellung eines gegeenen Outputs angeen. Sie erfüllen die Bedingung GRtS d d = r Der Expansionspfad ist die Verindungslinie aller kostenminimierenden Faktoreinsatzkominationen für unterschiedliche Ausringungsmengen. Für homogene roduktionsfunktionen ist der Expansionspfad immer eine Gerade durch den Ursprung. Die edingten Faktornachfragefunktionen sind nicht anehmend in den Faktorpreisen. Eine Verdoppelung aller Faktorpreise ändert die optimale edingte Faktornachfrage nicht. ostenfunktion funktionen Definition: Eine ostenfunktion ordnet für gegeene Faktorpreise jeder Ausringungsmenge die minimalen osten zu, die für die roduktion dieser Outputmenge erforderlich sind ( optimale Faktorallokation) = (, r, ) Aus jeder ülichen roduktionsfunktion kann eine eindeutige ostenfunktion hergeleitet erden, die nicht nur die gesamte technologische Information der roduktionsfunktion enthält, sondern zusätzlich auch die relevante ökonomische Information (reise!). ostenfunktion ostenfunktion Man erhält die ostenfunktion, indem man die edingten Faktornachfragefunktionen in die Isokostengerade (d.h. in die Definition der osten = + r) einsetzt: = (, r, ) + r (, r, ) Die ostenfunktion ist deshal eine Funktion der Faktorpreise und der Ausringungsmenge: Da der reis des Outputs für die Herleitung der ostenfunktion keine Rolle spielt kann sie auch für die Analyse von Unternehmen auf Gütermärkten mit unvollständiger onkurrenz (z.b. Monopole) verendet erden, nur auf den Faktormärkten muß vollständige onkurrenz herrschen. = (, r, ) für spezielle roduktionsfunktionen Einsetzen der edingten Faktornachfragefunktionen (s. vorhergehendes apitel) ( a d = (, r, ) = ) r ( a a d = (, r, ) = ) a a r in = (, r, ) + r (, r, ) git nach einigen lästigen Umformungen [ (a = (, r, ) = ) a ( a + ) ] a r

11 ineare roduktionsfunktion Die o-douglas ostenfunktion [ (a ) a ( a ] = (, r, ) = + ) a r läßt sich für fixe Faktorpreise einfacher schreien als mit = Ψ [ (a ) a ( a ] Ψ = + ) a r Wie lautet die für folgende roduktionsfunktion? ( Randlösung!) = + Für die roduktion einer Einheit enötigt man enteder eine hale Einheit oder eine Einheit, je nachdem, as illiger ist. Die osten für die roduktion einer Einheit etragen also mindestens.5 oder r, je nachdem, elcher Wert kleiner ist. Also: = min{.5, r} ineare roduktionsfunktion imitationale roduktionsfunktion Allgemein: Die roduktionsfunktion führt zur ostenfunktion = min = a + { a, } r Wie lautet die für die roduktionsfunktion = min{, } nicht differenzierar! Zur roduktion einer Einheit enötigen ir mindestens eine Einheit und eine hale Einheit (setzen Sie diese Werte in die oige roduktionsfunktion ein!). Die osten für die roduktion einer Einheit etragen also mindestens +.5r. Daraus folgt = ( +.5r) imitationale roduktionsfunktion Allgemein: Die roduktionsfunktion = min{a, } Eigenschaften von führt zur ostenfunktion = ( a + ) r Eigenschaften der ostenfunktion und ostenfunktion Die ostenfunktion ist nicht anehmend in den Faktorpreisen, r d.h. die minimalen osten zur Erstellung eines estimmten Outputs nehmen zu (oder zumindest nicht a), enn die Faktorpreise steigen. Eine Verdoppelung aller Faktorpreise führt zu einer Verdoppelung der minimalen osten (oder in anderen Worten: die ostenfunktion ist homogen vom Grad in den Faktorpreisen). [(t), (tr), ] = t (, r, ) Es git einen engen Zusammenhang zischen n einer und dem Verlauf der ostenfunktion: Werden alle Faktoreinsatzmengen verdoppelt, so verdoppeln sich auch die osten. Bei anehmenden n ird der Output aer um eniger als das Doppelte steigen! Deshal erden ei anehmenden n ei einer Verdoppelung aller Faktoreinsatzmengen die Durchschnittskosten / zunehmen! (der Nenner steigt eniger stark als der Zähler.)

12 und ostenfunktion ostenfunktion und Durchschnittskosten: fallende implizieren steigende Durchschnittskosten, konstante implizieren konstante Durchschnittskosten, und steigende implizieren fallende Durchschnittskosten. Für t > und τ Homogenitätsgrad: = (t ) + r(t ) t τ = t t τ Die o-douglas ostenfunktion mit fixen Faktorpreisen ist Die Durchschnittskosten sind mit = Ψ = = Ψ = Ψ a = ( ) a Ψ a a + ostenfunktion ostenkurven und = ( ) a Ψ a a + Das Vorzeichen dieser Aleitung hängt nur vom oeffizienten a! Die Durchschittkosten nehmen a, enn a + >, die Durchschittkosten nehmen zu, enn a + <, die Durchschittkosten sind konstant, enn a + =. Anehmende, konstante und zunehmende Anehmende : =.+. = onstante : =.5+.5 = Zunehmende : = + =.5 Der Verlauf der Durchschnittskostenkurve hängt von den n a! ; ; M Fixkosten urzfristige ostenkurven Fixkosten müssen für Faktoren ezahlt erden, deren Einsatz nicht angepaßt erden kann, und deshal unahängig vom Output ist. urzfristig kann z.b. der Einsatz von apital nicht variiert erden. Wenn ir den fixen apitaleinsatz mit ezeichnen kann die roduktionsfunktion z.b. lauten,5 =,5 Der Unternehmer kann kurzfristig nur üer entscheiden, deshal lautet die rolemstellung mit fixen Faktoren mit fixen Faktoren rolemformulierung: min = + r unter der NB =,5,5 Aufstellen der agrange Funktion : = + r + λ [ ],5,5 Bildung der partiellen Aleitungen und diese gleich Null setzen: = λ [, 5,5,5]! = λ =,5,5! = ösen nach (folgt ereits aus der zeiten Gleichung) = Dies ist die edingte Faktornachfragefunktion.

13 mit fixen Faktoren ostenkurven Durch Einsetzen der edingten Faktornachfragefunktion in die Isokostengerade erhalten ir die ostenfunktion = + r = }{{} + }{{} r Var. osten Fixkosten Fixkosten entstehen dadurch, daß nicht alle Faktoren angepaßt erden können, deshal sind Fixkosten ein kurzfristiges hänomen. Sehr langfristig können per Definition alle Faktoren angepaßt erden, deshal git es langfristig keine Fixkosten! Gesamtkosten = variale osten + Fixkosten = V() + F Variale osten hängen von der roduktionsmenge a, Fixkosten fallen unahängig von der roduktionsmenge an. Division durch die roduktionsmenge git die Durchschnittskostenkurven = V + F z. = AV + AF Durchschnittskostenkurven Typische ostenverläufe Der Verlauf der Durchschnittskostenkurve hängt esentlich von den zugrundeliegenden n a! Mit Fixkosten und anehmenden n in den varialen Faktoren eist die Durchschnittskostenkurve typischereise einen U-förmigen Verlauf auf. Die durchschnittlichen Fixkosten AF nehmen immer mit der Ausringungsmenge a (Fixkostendegression). Die durchschnittlichen varialen osten AV liegen unter den durchschnittlichen Gesamtkosten und nehmen meist mit der Ausringungsmenge zu, können aer auch einen U-förmigen Verlauf haen. M AV AF = = AV =.5 =.5 AF =.5 M = = Typische ostenverläufe Typische ostenverläufe M = = = AV AF Anehmende = AV =.5.5 =.5.5 AF =.5 M = =.5.5 AV = M AF onstante Zunehmende Grenz- und Durchschnittskosten Grenz- und Durchschnittskosten Die Grenzkostenkurve schneidet soohl die Durchschnittskostenkurve als auch die die variale Durchschnittskostenkurve immer in deren Minimum. Warum? Die Durchschnittskosten geen die osten einer durchschnittlichen Ausringungseinheit an. Die Grenzkosten geen die osten der letzten Ausringungseinheit an. Die Durchschnittskosten steigen, enn zum estehenden Durchschnitt eine größere Zahl dazugezählt ird, enn also die Grenzkosten üer den Durchschnittskosten liegen! Wenn die Grenzkosten kleiner sind als die Durchschnittskosten (die Grenzkostenkurve also unter der Durchschnittskostenkurve liegt) ird zum estehenden Durchschnitt eine kleinere Zahl dazugezählt, also erden die Durchschnittskosten fallen. Da die Durchschnittskostenkurve fällt, enn die Grenzkosten unter den Durchschnittskosten liegen, und steigt, enn die Grenzkosten üer den Durchschnittskosten liegen, muß die Grenzkostenkurve die Durchschnittskostenkurve in deren Minimum schneiden.

14 Grenz- und Durchschnittskosten Grenz- und Durchschnittskosten Beeis: Wir erechnen das Minimum der Durchschnittskostenfunktion () (uotientenregel!) ( ) d () d d = ()! d = / d d = Eine notendige Bedingung für ein Minimum der Durchschnittskostenfunktion ist also M =. Typische Verläufe von Grenz- und Durchschnittskostenkurven: M AV sind das Ergenis einer unter Berücksichtigung der technologischen Beschränkungen ( roduktionsfunktion) und Markteschränkungen ( vollständige onkurrenz, d.h. reise sind keine Entscheidungsvarialen). Man erhält die ostenfunktion, indem man die edingten Faktornachfragefunktionen [ = (, r, ) und = (, r, )] in die Isokostengerade = + r einsetzt. Die ostenfunktion hängt nur von den Faktorpreisen und der Ausringungsmenge a: = (, r, ) Zei Eigenschaften der ostenfunktion sind: Die ostenfunktion ist nicht anehmend in den Faktorpreisen., r Eine Verdoppelung aller Faktorpreise führt zu einer Verdoppelung der minimalen osten. [(),(r),] = (,r,) Es git einen ichtigen Zusammenhang zischen dem Verlauf der Durchschnittskostenkurve und den n der zugrundeliegenden roduktionsfunktion: anehmende implizieren steigende Durchschnittskosten, konstante implizieren konstante Durchschnittskosten, und zunehmende implizieren fallende Durchschnittskosten. Fixkosten entstehen, enn einzelne Faktoren nicht optimal angepaßt erden können, und sind deshal ein kurzfristiges hänomen. Bei Fixkosten und anehmenden n eist die Durchschnittskostenkurve einen typischen U-förmigen Verlauf auf. Die Grenzkostenkurve schneidet die Durchschnittskostenkurve immer in deren Minimum.

15 Entscheidung der Unternehmer: Annahme: Unternehmer maximieren ökonomische Geinne! (Ökonomische) Geinne sind definiert als Üerschuß der Erlöse üer die (Opportunitäts-)osten. Unter Verendung der ostenfunktion π = (, r, ) Marktrestriktion Annahme vollständiger onkurrenz: Die reise, und r sind keine Entscheidungsvarialen, sondern erden auf einem anonymen Markt estimmt! Achtung: Die folgende Analyse gilt ausschließlich für Märkte mit vollständiger onkurrenz! : max : π = (, r, ) Eine notendige Bedingung für ein Geinnmaximum ist deshal oder π =! = = M Verlorener Geinn M M MR= M Welche Menge sollte ein Unternehmen produzieren? Wenn die Grenzkosten kleiner sind als der Grenzerlös sollte die Unternehmung mehr produzieren! Wenn die Grenzkosten größer sind als der Grenzerlös sollte die Unternehmung eniger produzieren! M Eine Unternehmung kann ihre solange Geinne erhöhen, is der Erlös der letzten Einheit (MR) gleich den osten dieser letzten Einheit (M) sind, d.h. = MR = M : alternative Darstellung π M π π Geinne ei gegeenem Marktpreis und unterschiedlichen Ausringungsmengen: π = = ( ) Die Geinne sind maximal, enn die Unternehmerin die Ausringungsmenge so ählt, daß M() = Ein geinnmaximierender Unternehmer ird immer die Ausringungsmenge ählen, ei der die Grenzkosten gleich dem exogenen reis sind: Gilt dies immer? Nein! Die gilt nicht, enn die Grenzkosten sinken... < M = Sinkende Grenzkosten Solange die Grenzkosten sinken kann ein Unternehmer ei gegeenem Marktpreis den Geinn erhöhen, enn er die roduktion ausdehnt. Deshal ird eine Unternehmerin im Bereich sinkender Grenzkosten die roduktion ausdehnen is die Grenzkosten ansteigen (oder zumindest is zur apazitätsgrenze). Formal: Bedingung. Ordnung für ein Maximum: Was passiert, enn <? Erinnern ir uns π = () ( = () ) = ( ) π = < d.h. die Grenzkosten müssen zunehmen! M > Wenn < ürde die Unternehmung Verluste machen! In diesem Falle ären nicht die Geinne maximal, sondern die Verluste minimal.

16 A B B A B A M AV AF ) Wenn = A : A kleinste effiziente Betriesgröße ) Wenn < A : langfristig Marktaustritt ( exit point ) ) Wenn < B : sofortige roduktionseinstellung ( shutdon point ) Individuelles Angeot & Marktangeotsfunktion einer Unternehmung urzfristige Die einer Unternehmung auf einem Markt vollständiger onkurrenz ist der ansteigende Ast der Grenzkostenkurve, der üer der Durchschnittskostenkurve liegt. Wenn der reis nur kurzfristig unter das Minimum der Durchschnittskostenkurve fällt ird die Unternehmung die roduktion nicht sofort einstellen, da sie noch einen Teil der Fixkosten decken kann. Erst enn der reis unter das Minimum der varialen Durchschnittskostenkurve fällt ird sie die roduktion sofort einstellen. A B B B S sr AV AF urzfristige Angeotskurve einer Unternehmung: Der ansteigende Ast der Grenzkostenkurve, der üer den durchschnittlichen varialen osten liegt. Wenn der Marktpreis zischen A und B liegt macht die Unternehmung Verluste, kann aer zumindest einen Teil der Fixkosten decken. angfristige Marktangeotsfunktion A A A S lr AV AF angfristige Angeotskurve einer Unternehmung: Der ansteigende Ast der Grenzkostenkurve, der üer den gesamten varialen osten liegt. Wenn der Marktpreis unter A fällt ird die Unternehmung langfristig den Markt verlassen (exit point)! Wenn der Marktpreis üer A liegt macht die Unternehmung Geinne! Die Marktangeotsfunktion (S) für einen Markt vollständiger onkurrenz erhält man ieder durch Aggregation der individuellen en, d.h. indem man die üer die Mengen (horizontal) addiert. Mengen können nie negativ erden, deshal dürfen nur positive Mengen addiert erden. Marktangeot für einen Markt mit N Unternehmen: S = N i für alle i > i= und onkurrenz Vollständige onkurrenz impliziert freien Marktzu- und austritt. Wenn der Marktpreis üer dem Minimum der Durchschnittskosten (Opportunitätskosten!) liegt machen Unternehmer Geinne, und es erden neue Unternehmer auf den Markt treten. Der Eintritt neuer Unternehmer drückt den Marktpreis langfristig auf das Minimum der Durchschnittskosten! Marktreaktion kurz- & langfristig

17 Beispiel Beispiel Angenommen, fünf Unternehmer auf einem Markt vollständiger onkurrenz areiten mit der gleichen i =.5 i.5 i Wir nehmen an, daß der apitalstock kurzfristig gegeen ist, und daß =, = r =.75 Die Marktnachfrage sei D = Welche Menge ird produziert und verkauft? Wie groß sind die Geinne? Was passiert mittelfristig? rolemformulierung: min = + r unter der NB i =.5 i.5 i Individuelle : (oher kommt diese?) { enn <.5, i = sonst. Marktangeot ei 5 Unternehmen: 5 S = i = enn.5 i= : kurzfristig : mittelfristig Einzelunternehmen Gesamtmarkt Einzelunternehmen Gesamtmarkt i =.75i +.75 M i π i kurzfr. Marktangeot S k = 5 i= i π i =.75 i +.75 M i i Marktzutritte! kurzfr. Marktangeot S k = 5 i= i S m = i= i i D = S Reaktion des Unternehmers i D = S : langfristig Einzelunternehmen π = M i i Marktzutritte! Reaktion des Unternehmers i Gesamtmarkt kurzfr. Marktangeot S k = 5 i= i langfr. Marktange. S l = 5 i= i D = S Freie Marktzu- und -austritte drücken den Marktpreis langfristig auf das Minimum der Durchschnittskosten des Grenzanieters. Wenn ei diesem Marktpreis ein Anieter einen höheren reis verlangt kann er nichts verkaufen. Bei einem niedrigeren reis macht er Verluste! Da jeder einzelne Anieter nur einen sehr kleinen Marktanteil hat glaut sich jeder einzelne einer vollkommen elastischen Marktnachfrage gegenüer, d.h. die ahrgenommene Marktnachfragekurve verläuft horizontal! Vollständige onkurrenz i Unternehmen mit: i =.75 i +.75 M i repräsentatives Unternehmen ahrgenommene Marktnachfrage Marktnachfrage: = 9.5D Marktnachfrage Marktangeot urzfristig: Wenn eine Unternehmerin auf einem Markt vollständiger onkurrenz höchstmögliche Geinne realisieren möchte ird sie die Ausringungsmenge immer so ählen, daß die Grenzkosten dieser Ausringungsmenge gleich dem gegeenen Marktpreis sind: M() = 5 7 9

18 angfristig: Werden ei diesem Marktpreis ökonomische Geinne realisiert erden neue Unternehmer auf den Markt treten und den reis langfristig auf das Minimum der Durchschnittskosten des Grenzanieters drücken. angfristig gilt also leinste effiziente Betriesgröße M() = = G oei G die Durchschnittskosten des Grenzanieters sind. leinste effiziente Betriesgröße leinste effiziente Betriesgröße (MES) MES und : Bei U-förmigen Durchschnittskostenkurven definiert das Minimum der Durchschnittskostenkurve die kleinste effiziente Betriesgröße ( minimum efficient size oder MES); (U-förmige resultieren z.b. ei Fixkosten mit anehmenden n) Zunehmende (Fixkostendegression) annähernd konstante Anehmende Bei großen Firmen git es in der Regel einen größeren Bereich, in dem die Durchschnittskosten annähernd konstant leien. In diesem Fall ist die MES die Outputmenge einer Unternehmung, ei der die langfristige Durchschnittskostenkurve annähernd horizontal ird. MES leinste effiziente Betriesgröße leinste effiziente Betriesgröße MES & Markteintritte: Die hale kleinste effiziente Betriesgröße (/ MES) ist ein Indikator für Marktzutrittsarrieren. MES MES Hohe Eintrittsarrieren MES MES Wetteersintensität, Mergers & Acquisitions,... MES Niedrige Eintrittsarrieren MES Die kleinste effiziente Betriesgröße estimmt (unter idealisierten Bedingungen) die Anzahl der Unternehmen, die langfristig auf einem Markt estehen können. Durch die onkurrenz unter den Anietern ird der Marktpreis auf das Minimum der langfristigen Durchschnittskostenkurve gedrückt. Die Marktnachfrage ei diesem reis estimmt die Größe des Gesamtmarktes. Die Anzahl der Unternehmungen, die langfristig auf dem Markt estehen können, erhält man, indem man die Größe des Gesamtmarktes durch die kleinste effiziente Betriesgröße dividiert. angfristig angfristig kann der Einsatz aller Faktoren optimal angepaßt erden, deshal eisen n langfristig vermutlich konstante auf. onstante implizieren horizontal verlaufende Grenzund Durchschnittskosten, d.h. ei konstanten n verläuft die horizontal, oder in anderen Worten, ei konstanten n (langfristig) reagiert das Angeot vollkommen elastisch! Bei konstanten n kann deshal die Anzahl der Unternehmen auf einem Markt nicht estimmt erden. Die langfristige Marktangeotsfunktion verläuft ülichereise horizontal, eil reiserhöhungen zu Marktzutritten führen und/oder eil n langfristig häufig konstante aufeisen. ann die langfristige Marktangeotsfunktion steigend verlaufen? Ja, enn z.b. die steigende Nachfrage am Faktormarkt zu einem Anstieg der Faktorpreise führt (gilt selst ei konstanten n!). Ja, ei U-förmig Durchschnittskosten (d.h. keine konstante!), enn verschiedene Unternehmen eine unterschiedliche minimale effiziente Betriesgröße haen.

19 angfristig Achtung: Der Begriff langfristig ird hier unterschiedlich geraucht: Die Zeitperiode, in der der Einsatz aller Faktoren optimal angepaßt erden kann. Die Zeitperiode, in der die onkurrenz den Marktpreis auf das Minimum der Durchschnittskostenkurve drückt. Die iteratur kennt noch einige andere Definitionen, z.b. in elcher Zeit estimmte reise reagieren. Wenn eine Unternehmung den Geinn maximieren möchte muß sie die Ausringungsmenge immer so ählen, daß die Grenzkosten der Ausringungsmenge gleich dem exogen gegeenen Marktpreis ist (M() = ). Dies gilt nur, enn die Grenzkosten in diesem Bereich ansteigen und enn der Marktpreis üer den Durchschnittskosten liegt (π = [ ()] ). Die einer Unternehmung auf einem Markt vollständiger onkurrenz ist der ansteigende Ast der Grenzkostenkurve, der üer der Durchschnittskostenkurve liegt. Die Marktangeotsfunktion eines Marktes vollständiger onkurrenz erhält man durch Aggregation üer die (positiven!) Mengen der individuellen en. Der Schnittpunkt der Marktangeotsfunktion mit der Marktnachfragefunktion estimmt den Marktpreis. Machen ei diesem Marktpreis Unternehmer noch ökonomische Geinne erden neue Anieter in den Markt eintreten (vollständige onkurrenz impliziert freien Marktzu- und -austritt). Die onkurrenz unter den Anietern drückt den Marktpreis langfristig in das Minimum der Durchschnittskostenkurve des Grenzanieters. Das Minimum der Durchschnittskostenkurve ird minimale effiziente Betriesgröße ( minimum efficient size ) genannt. Bei konstanten n verlaufen Grenz- und Durchschnittskostenkurven und damit auch die horizontal! Danke!