Magnetohydrodynamik (MHD)

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1 Magnetohydrodynamik (MHD) Übersicht: Grundgleichungen magnetischer Zug und Druck (Magnetohydrostatik) eingefrorene Magnetfelder (Magnetohydrokinematik) Dissipation von Feldern (Magnetohydrokinematik) Feldlinienverschmelzung (Reconnection) Magnetohydrodynamischer Dynamo Voraussetzungen: Teilchen werden als Flüssigkeit behandelt (keine Verteilungsfunktion, monoenergetisches Teilchenensemble; kinetische Theorie) das elektromagnetische Feld wird nicht vorgegeben sondern ist durch die Positionen und Bewegungen der Ladungen bestimmt selbst-konsistente Lösungen gesucht (zeitabhängig!) Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 1

2 Allgemeines Bewegungsgleichung: Übergang vom Einzelteilchen zur Teilchendichte und damit zur Kraftdichte mit u=<v>. zusätzlich interne Kräfte (WeWi der Teilchen unter einander) die totale zeitliche Ableitung setzt sich zusammen aus der lokalen zeitlichen Ableitung und der Advektion/Konvektion lokale zeitliche Ableitung Ableitung nach Kettenregel ε=ε(x,y,z,t) advektiver Term Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 2

3 Grundannahmen MHD Das Medium kann weder polarisiert noch magnetisiert werden: ε=µ=1. Strömungsgeschwindigkeiten und Änderungsgeschwindigkeiten sind klein gegen die Lichtgeschwindigkeit: u/c<<1 v_phase/c <<1 Daher können elektromagnetische Wellen im Rahmen der MHD nicht beschrieben werden. Die Leitfähigkeit ist hoch: σ Daher können sich keine starken elektrischen Felder ausbilden. MHD basiert auf den wesentlichen Erhaltungsgrößen der Strömungsmechanik: Masse, Impuls und Energie Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 3

4 Grundgleichungen MHD I Maxwell Gleichungen: Ohm sches Gesetz: Bewegungsgleichung (Navier-Stokes): Lorentz Gravitation Coriolis Zentrifugal Schubspannungstensor Druckgradientenkraft Gravitation Reibungskräfte Lorentz-Kraft Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 4

5 Grundgleichungen MHD II Anmerkung Bewegungsgleichung: einfach, da keine Coulomb-Stöße, keine Reibung zwischen unterschiedlichen Plasmakomponenten, keine Quellen und Senken (z.b. Ionisation, Rekombination) Kontinuitätsgleichung: Zustandsgleichung: Charakterisierung: Plasma-β Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 5

6 Grundgleichungen MHD 2-Fluid Maxwell Gleichungen: Ohm sches Gesetz: Strombeschleunigung Bewegungsgleichung: Hall effect (Lorentz-Kraft) Diffusionsstrom durch Druckgradienten Reibungskräfte (Coulomb-Stöße) Kontinuitätsgleichung: Zustandsgleichung: Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 6

7 Magnetohydrostatik Voraussetzung: das Medium ist in Ruhe, d.h. der Trägheitsterm in der Bewegungsgleichung verschwindet betrachtet wird die Energiebilanz von Teilchen und Feld Konzepte: magnetischer Druck: die Tendenz magnetischer Feldlinien, sich ab zu stoßen magnetischer Zug: die Tendenz magnetischer Feldlinien, sich zu verkürzen Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 7

8 Magnetischer Druck Formale Basis: Bewegungsgleichung (Trägheitsterm verschwindet) + Ampere sches Gesetz: dyadischs Produkt (Tensor), Tangentialspannungen (erst bei magnetischem Zug Formal: magnetischer Druck (entspricht Energiedichte) Anschaulich: ACHTUNG: magnetischer Druck nicht isotrop sondern senkrecht zum Feld!! Bsp: homogenes Magnetfeld, B=5T, magnetischer Druck entspricht 100fachem Atmosphärendruck am Boden Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 8

9 Sonnenfleck und magnetischer Druck Beobachtung: kalt, daher dunkel (4000 K statt 6000 k) starkes Magnetfeld (3000 G statt wenige G) dunkel ist relativ (vergleichbar Vollmond) Modell: Druckgleichgewicht + hydrostatische Grundgleichung + B/ z=0 + Zustandsglg: nur erfüllbar wenn entsprechend der Beobachtungen die Temperatur im Fleck geringer ist als außen Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 9

10 Magnetischer Zug Formale Basis: Magnetfeld wird durch ein senkrecht darauf stehendes Geschwindigkeitsfeld verformt Magnetfeldlinien haben das Bestreben, sich zu verkürzen (wie magnetischer Druck ein anisotropes Phänomen!) Anwendung: Alfven-Welle Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 10

11 Filament und magnetischer Zug Beobachtungen Filament/Protuberanz: kalt, da in Draufsicht dunkel (7000 K vs. 1 Mio K) dicht, da am Rand gesehen hell (ca. 100fach) Höhe 30 Mm (ca. 100 Skalenhöhen) über viele Rotationen stabil, können dann aber als CME explosiv frei gesetzt werden ungefähr entlang einer Neutrallinie orientiert magnetischer Zug Ausgangsgleichungen Gravitation N Neutrallinie S erlauben Berechnung der Details der Magnetfeldkonfiguration, insbesondere im Aufhängungspunkt des Filaments Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 11

12 Magnetohydrokinematik Formale Voraussetzungen: vorgegebenes Geschwindigkeitsfeld (Bewegungsglg. muss nicht gelöst werden) gesucht: dadurch bewirkte Änderung des elektromagnetischen Feldes Annahme: keine Rückwirkung der elektromagnetischen Felder auf das Geschwindigkeitsfeld, d.h. großes Plasma-β relevante Gleichungen: Maxwell und Ohm Konzepte: eingefrorene Magnetfelder: ein bewegtes Plasma führt ein Magnetfeld mit sich (Voraussetzung: Leitfähigkeit unendlich) Dissipation von Magnetfeldern: ein Magnetfeld verschwindet um so schneller, je kleiner seine räumlichen Skalen sind (Leitfähigkeit endlich) Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 12

13 Eingefrorene Magnetfelder I magnetischer Fluss durch eine Fläche S umrandet von C: C bewegt sich: Änderung im magnetischen Fluss Umformen: eingefrorenes Magnetfeld: Anwendung: interplanetares Magnetfeld (Archimedische Spirale) Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 13

14 Eingefrorene Magnetfelder II eingefrorenes Feld: das Plasma führt das Magnetfeld mit sich, z.b. interplanetares Feld ausgefrorenes Feld: Plasma dringt nicht in ein Magnetfeld ein, z.b. Sonnenwind dringt nicht in die Magnetosphäre ein. eingefrorenes Feld: Φ 0 ausgefrorenes Feld: Φ = Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 14

15 Deformation von Magnetfeldern Annahme: σ räumlich und zeitlich konstant Ausgangsgleichungen: Faraday und Ohm stationäre Gleichung: Lösung: ein Plasmastrom B verformt das Feld so lange, bis erfüllt ist. Dann strömt Plasma senkrecht zum Feld Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 15

16 Dissipation von Magnetfeldern Annahme: das äußere Geschwindigkeitsfeld verschwindet formal analog: Wärmeleitungsglg., Vorticityglg. eindimensional B=B(Bx(y,t),0,0) Skalenanalyse magnetischer Diffusionskoeffizient Dm Dissipationszeit: Bsp: Magnetfeld Sonne 1.2E10a, Sonnenfleck 1000a Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 16

17 Magnetohydrodynamik Voraussetzungen: Grundvoraussetzungen der MHD (s.o.) selbstkonsistente Lösung von Feld- und Bewegungsgleichungen Konzepte: Feldlinienverschmelzung: erlaubt die Umwandlung von im Magnetfeld gespeicherter Energie in kinetische Energie des Plasmas Magnetohydrodynamischer Dynamo: erlaubt die Erzeugung magnetischer Energie aus der kinetischen Energie eines Plasmas Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 17

18 Feldlinienverschmelzung I Idee: explosive Freisetzung von Energie durch Umstrukturierung eines Magnetfeldes, ermöglicht die Speicherung (und das Anwachsen der gespeicherten Energie über längere Zeiträume) Hinweise aus Beobachtungen: Umstrukturierung Magnetfeldtopologie auf der Sonne im Zusammenhang mit Flares und Koronalen Massenauswürfen Flux-Transfer Events an der Magnetosphäre Teilchenbeschleunigung im Schweif der Magnetosphäre Formale Voraussetzungen: hohe Leitfähigkeit (eingefrorene Felder) Problem: spezielle Magnetfeldtopologie benötigt Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 18

19 Feldlinienverschmelzung II Topologie: Strom in der Neutralschicht: Ablauf: eingefrorenes Feld Plasmastrom komprimiert Feld an Neutralschicht Strom in Neutralschicht nimmt zu Dissipation des Feldes wandelt magnetische Feld in kinetische Energie um Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 19

20 Details in der Neutralschicht Annahme: Neutralschicht unendlich dünn, gleichförmiger Widerstand Magnetfeld parallel zum Plasmastrom kann bestimmt werden zeitliche Variation Dicke der Neutralschicht: zur Umwandlung zur Verfügung stehende Energie Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 20

21 Stationäre Reconnection Annahme: Beginn der Reconnection verändert die allgemeine Feld- und Plasmakonfiguration nicht grundlegend Ohm und Ampere: stationär: Faraday gibt E = const, also Breite der Neutrallinie: Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 21

22 Energiebilanz Kontinuität Magnetfeld: skalar (u B): Kontinuitätsgleichung (Massenbilanz): ergeben zusammen: und Energiebilanz: Reconnectionrate: Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 22

23 Reconnectionrate Sweet-Parker Reconnection: langsamer Prozess ca. Hälfte der zugeführten magnetischen Energie wird in kinetische umgewandelt Flux-Transfer Events Petchek Reconnection: kleinere räumliche Skalen schneller auf Grund kleinerer Skalenlänge 3/5 der magnetischen Energie wird in kinetische Energie umgewandelt Stoßwellen Flares und koronale Massenausstöße Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 23

24 Feldlinienverschmelzung in der Magnetosphäre Flux Transfer Events Polarlichtteilchen Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 24

25 Simulation Feldlinienverschmelzung Feldlinienkonvektion: Flux Transfer Events auf der Tagseite Konvektion der Magnetfeldlinien mit dem Sonnenwind auf die Nachtseite Feldlinienverschmelzung im Schweif Rotation dort geschlossener Feldlinien auf die Tagseite Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 25

26 Feldlinienverschmelzung auf der Sonne Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 26

27 MHD Dynamo I Idee: Umwandlung Rotationsenergie in magnetische Energie Hinweise aus Beobachtungen: planetare Magnetfelder hängen von Rotationsrate ab magnetisches Moment parallel Rotationsachse Umpolung planetarer und stellarer Magnetfelder Formale Voraussetzungen: hohe Leitfähigkeit (eingefrorene Felder) Problem: Dynamo-Modelle haben Schwierigkeiten mit der Umpolung Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 27

28 MHD Dynamo II Ströme erzeugen Magnetfelder bewegtes Plasma erzeugt B. homogener Dynamo: keine Spulen, Drähte etc. sondern rotierendes homogenes Medium: Saatfeld parallel Drehachse; Lorentzkraft erzeugt radiale elektromotorische Kraft (Strom); Durch geschickte Anordnung der Kontakte Verstärkung des Saatfeldes; Mechanische Energie wird in Feldenergie konvertiert. Felder sind axialsymmetrisch: unipolarer Induktor? Cowlings Theorem: es gibt kein endliches Geschwindigkeitsfeld, das stationäres axialsymmetrisches Feld erhalten kann (Herleitung aus Induktionsgleichung) Sonne: v = 1E-9 m/s ausreichend Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 28

29 Formal Grundlagen Dynamo Induktionsgleichung Bei verschwindendem Geschwindigkeitsfeld Dissipation (Zeitskala Erde Jahre) Umwandlung mechanische Energie in Feldenergie Eingefrorene Felder (Erhaltung des magnetischen Flusses) zusammen mit Massenerhaltung: in inkompressiblen turbulenten Feldern ergibt sich eine Dynamowirkung! Kinematischer Dynamo: Saatfeld und Geschwindigkeit werden vorgegeben, eine Rückwirkung des erzeugten Feldes auf das Geschwindigkeitsfeld erfolgt nicht Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 29

30 Statistischer Dynamo I turbulente Bewegung in der Konvektionszone der Sonne: mittleres Magnetfeld axialsymmetrisch turbulentes Feld überlagert, nicht axial-symmetrisch Korrelationsfunktion (Produkt der fluktuierenden Größen): verschwindet nicht, da Fluktuationen nicht unabhängig sind (eingefrorenes Feld) kann angenähert werden als α,β sind aus den Eigenschaften der fluktuierenden Größen zu bestimmen Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 30

31 Fluktuierende Größen die physikalischen Größen in den Grundgleichungen lassen sich durch einen Mittelwert und ihre Fluktuationen darstellen: der Mittelwert über die Fluktuationen verschwindet: die Fluktuationen sind klein gegen die Mittelwerte: Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 31

32 Reynolds-Axiome I Mittelwert einer Summe fluktuierender Größen: Mittelwert der Produkte fluktuierender und mittlerer Größen: Mittelwert der Produkte mittlerer Größen: Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 32

33 Reynolds-Axiome II Produkte momentaner Größen: Kovarianz oder Korrelationsprodukt: Differentiation und Integration: Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 33

34 Statistischer Dynamo II Herleitung der Korrelationsfunktion aus den Feldgleichungen unter Verwendung von Mittelwert und Fluktuation: Ohm sches Gesetz Induktionsgleichung: Proportionalitäten: Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 34

35 Korrelationsfunktion Korrelationsfunktion: β-term: Zunahme magnetische Diffusion durch turbulente Bewegung α-term: Abweichung von Axial-Symmetrische Im Gegensatz zur Diffusionsgleichung gilt Cowlings-Theorem hier nicht Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 35

36 Toroidale und Poloidale Felder Magnetfeld divergenzfrei darstellbar als Summe aus toroidalem und poloidalem Feld Erzeugende Funktionen: Zusammenhang: ein toroidales Feld kann durch ein poloidales Stromsystem erzeugt werden und umgekehrt: Darstellung z.b. in Kugelflächenfunktionen; Anwendung im Bullard-Gellman-Ansatz (Reihenansatz; konvergiert leider nicht) Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 36

37 αω-dynamo αω-dynamo aus differentieller RotationΩ α-effekt Ohm sches Gesetz: mit Faraday und turbulenter Leitfähigkeit: turbulente Dissipationszeit: Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 37

38 αω-dynamo im Detail Erzeugung des toroidalen Feldes aus dem poloidalen (ω- Effekt) trivial Problem: Erzeugung des poloidalen Feldes aus dem toroidalen (ω-effekt) Daher Probleme mit der eigentlichen Umpolung! Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 38

39 Dynamo-Simulation Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 39

40 Zusammenfassung MHD Grundgleichungen: Erhaltungsgrößen Masse, Ladung, Impuls, Energie sowie Feld- und Zustandsgleichungen Unterscheidung 1-Flüssigkeits- oder 2-Flüssigkeitsmodell für viele Plasmen sind die Ionen ein stationärer Hintergrund und nur die Elektronen mobil (1-Flüssigkeitsbild ausreichend) Randbedingung: sehr hohe Leitfähigkeit Grundkonzepte (aus 1-Flüssigkeitsmodell): magnetischer Zug und Druck in der MHStatik eingefrorene Felder und Dissipation von Feldern in der MHKinematik Feldlinienverschmelzung und magnetohydrodynamischer Dynamo in der MHDynamik Space Physics WS 2003/ Kap. 3: Magnetohydrodynamik 40