NAME:. Quader. Anlage: Arbeitsblatt. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe BE

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1 $XIJDEH $QDO\WLVFKH*HRPHWULH NAME:. Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Beschreiben Sie dabei Ihre Vorgehensweise und kommentieren Sie Ihre Lösungen. Umfang und Qualität der textlichen Begleitung werden mitbewertet. Quader Vom Quader ABCDEFGH sind die folgenden Punkte gegeben: A(0 0 0), B( 0 0), D(0 6 0) und E(0 0 5). a) Geben Sie die Koordinaten der fehlenden Punkte an. b) Die Ebene K enthalte die Punkte P( 0 0), D und E. Geben Sie für die Ebene K eine Parametergleichung und eine Gleichung in Normalenform an. Zeichnen Sie die Ebene K in die vorbereitete Zeichnung ein. c) Prüfen Sie durch Rechnung, ob die dreiseitige Pyramide APDE mehr als 15 % des Quadervolumens enthält. d) Die Ebene L durch die Punkte A, F und H erfüllt die Koordinatengleichung L: 15x + 10y 1z = 0. Das brauchen Sie nicht nachzuweisen. Berechnen Sie die Schnittgerade g und den Schnittwinkel der Ebenen K und L. Zeichnen Sie die Ebene L und die Schnittgerade in die vorbereitete Zeichnung ein. Berechnen Sie die Länge des Abschnitts der Schnittgeraden g, der im Quader ABCDEFGH liegt. e) Die Ebene K wird um die Drehachse PD um einen Winkel von 90 gedreht, das Ergebnis sei die Ebene N. Geben Sie eine Ebenengleichung in Normalenform für die Ebene N an. Anlage: Arbeitsblatt Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe BE

2 $XIJDEH $QDO\WLVFKH*HRPHWULH NAME:. Quader Arbeitsblatt

3 $XIJDEH $QDO\WLVFKH*HRPHWULH NAME:. Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Beschreiben Sie dabei Ihre Vorgehensweise und kommentieren Sie Ihre Lösungen. Umfang und Qualität der textlichen Begleitung werden mitbewertet. Gerade und Ebene In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1 1 ), B( ), C(0 7), P( ) und Q( 5 10) gegeben. a) Die Punkte A, B und C bilden ein Dreieck. Zeigen Sie, dass dieses Dreieck gleichschenklig, aber nicht gleichseitig ist. b) Die Punkte A, B und C liegen in der Ebene E und die Punkte P und Q auf der Geraden g. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung für E und eine Parametergleichung für g. Ein mögliches Ergebnis für E ist: x y + z =. c) Bestimmen Sie Schnittpunkt S und Schnittwinkel zwischen E und g. d) Stellen Sie den Sachverhalt (Dreieck, Gerade, Schnittpunkt, Schnittwinkel) im beigefügten Koordinatensystem übersichtlich dar. e) Prüfen Sie rechnerisch, ob sich der Schnittpunkt S innerhalb oder außerhalb des Dreiecks ABC befindet. (Sollte Ihnen die Bestimmung von S nicht gelungen sein, so prüfen Sie bitte ersatzweise, ob sich der Punkt T(0,5,5 6) innerhalb oder außerhalb des Dreiecks befindet.) f) Für jede reelle Zahl t beschreibt E t : t x + ( t ) y + z = 1 eine Ebene. Je zwei Ebenen haben ein und dieselbe Gerade gemeinsam. Ermitteln Sie für diese allen Ebenen gemeinsame Gerade eine Parametergleichung. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe BE Anlage: Arbeitsblatt

4 $XIJDEH $QDO\WLVFKH*HRPHWULH NAME:. Gerade und Ebene Arbeitsblatt

5 $XIJDEH $QDO\WLVFKH*HRPHWULH NAME:. Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Beschreiben Sie dabei Ihre Vorgehensweise und kommentieren Sie Ihre Lösungen. Umfang und Qualität der textlichen Begleitung werden mitbewertet. Aufgabe - Pyramide in Raumecke Gegeben sind Ihnen die Punkte A(6 0), B(8 6 0), C( 0) und S(7 8). a) Die Punkte A, B und S legen eine Ebene E fest. Geben Sie eine Gleichung der Ebene in Parameterform an und bestimmen Sie eine Gleichung in Koordinaten- oder Normalenform. Beschreiben Sie die besondere Lage der Ebene im Koordinatensystem. Zur Kontrolle: ein mögliches Ergebnis ist x y = 10. b) Die Punktmenge L λ ( 10 λ ) mit λ R stellt eine Gerade g mit der 10 0 Parametergleichung x r = + λ 0 dar. 0 1 Untersuchen Sie rechnerisch die Lage der Geraden g zur Ebene E. c) Durch die Punkte S und L 10 (10 10) verläuft eine Gerade h. Berechnen Sie die Schnittpunkte S xy und S yz dieser Geraden mit der x-y-ebene und mit der y-z-ebene. d) Betrachten Sie das beigefügte Arbeitsblatt. Die Punktmenge λ λ 0 ;10 soll eine Metallstange darstellen. Im Punkt L 10 befindet sich eine punktförmige Lichtquelle, die die Pyramide beleuchtet. Tragen Sie die Bezeichnungen für die Eckpunkte der Pyramide und L 10 ein. Berechnen Sie den Abstand der Lichtquelle von der Spitze der Pyramide und zeichnen Sie die Spitze des Schattens der Pyramide auf der hinteren Raumwand (der y-z- Ebene) ein. L mit [ ] e) Zwischen den drei Befestigungspunkten H(0 0 10), I(1 0 8) und J(0 10 0) wird ein Seil im Dreieck aufgespannt. Ergänzen Sie die Zeichnung durch das Seildreieck und berechnen Sie den Abstand der Spitze S der Pyramide von der Ebene HIJ. f) Der Befestigungspunkt J(0 10 0) ist auf einer zur x-y-ebene senkrechten Schiene befestigt und kann auf der Schiene nach oben verschoben werden. Die Seilkonstruktion soll durch ein dreieckiges Segeltuch ersetzt werden. Berechnen Sie, wohin der Punkt J verschoben werden muss, damit die Spitze der Pyramide das Segeltuch gerade noch berührt. (Es darf für die Rechnung vernachlässigt werden, dass das Segeltuch etwas durchhängen wird.) Anlage: Arbeitsblatt Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe BE

6 $XIJDEH $QDO\WLVFKH*HRPHWULH NAME: Pyramide in Raumecke: Arbeitsblatt

7 $XIJDEH $QDO\VLV NAME:. Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Beschreiben Sie dabei Ihre Vorgehensweise und kommentieren Sie Ihre Lösungen. Umfang und Qualität der textlichen Begleitung werden mitbewertet. Wurzelfunktion Gegeben ist eine Funktion f mit 1 f ( x) = x 9 x. a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich von f an und bestimmen Sie die Nullstellen von f. Untersuchen Sie den Graphen von f auf relative Extremalpunkte und deren Art sowie auf Wendepunkte. Berechnen Sie die Koordinaten von genau vier weiteren, sinnvoll gewählten Punkten mit ganzzahligen Abszissen und zeichnen Sie den Graphen von f für x (1 LE = 1 cm). 6 x Zur Kontrolle Ihrer eigenen Rechnung: f ( x) = 9 x x 1 Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden: f ( x) = (9 x) b) Nennen Sie die Definition von Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle x 0 und untersuchen Sie damit die Funktion f an den beiden Stellen 0 und 9 auf Differenzierbarkeit. Erklären Sie, ob Ihre Ergebnisse in b) mit der Zeichnung in a) in Einklang stehen oder nicht. c) Der Graph von f und die x Achse schließen ein Flächenstück ein. Bei Drehung dieses Flächenstücks um die x-achse entsteht ein Rotationskörper. Berechnen Sie dessen Volumen. d) Zeigen Sie, dass der Rotationskörper aus Aufgabenteil c) vollständig in einer Kugel mit dem Durchmesser d = 9 enthalten ist. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) Summe BE

8 $XIJDEH 6WRFKDVWLN NAME:. Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Beschreiben Sie dabei Ihre Vorgehensweise und kommentieren Sie Ihre Lösungen. Die Qualität der textlichen Begleitung wird mitbewertet. Aufgabe 5 - Handy am Steuer Auf einer Durchgangsstraße soll der Anteil der Autofahrer untersucht werden, die während der Fahrt das Handy benutzen. Wir nehmen an, dass die Autofahrer unabhängig von einander telefonieren oder nicht telefonieren. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Autofahrer telefoniert sei p. a) Bestimmen Sie zunächst für p=15 % die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 10 vorbeifahrenden Autos mindestens ein Fahrer sein Handy benutzt. b) Bestimmen Sie nun allgemein in Abhängigkeit von p die Wahrscheinlichkeit P(A) für das Ereignis A, dass unter 10 vorbeifahrenden Autos nur das. und das 5. Auto von einer telefonierenden Person gelenkt wird. c) Ermitteln Sie die unbekannte Wahrscheinlichkeit p dafür, dass unter 10 vorbeifahrenden Autos mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % mindestens eines von einer telefonierenden Person gelenkt wird. d) Bestimmen Sie für p = 15 % die Anzahl der Autos, die man mindestens überprüfen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % oder mehr mindestens einmal ein Fahrer mit Handy angetroffen wird. e) Bei bekannter Wahrscheinlichkeit p=15 % kontrolliert man die vorbeifahrenden Autos so lange, bis man einen telefonierenden Fahrer entdeckt, höchstens aber 10 Fahrzeuge. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass tatsächlich 10 Fahrzeuge kontrolliert werden. f) Das Ereignis, dass bei einer Kontrolle von 10 Fahrzeugen die ersten vier Autos von keiner telefonierenden Person gelenkt werden, aber trotzdem unter den 10 Fahrern genau zwei Personen während der Fahrt das Handy benutzen, werde mit B benannt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit P(B) allgemein in Abhängigkeit von p. g) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person am Steuer das Handy benutzt, ist P(H) = 15 %. Während einer Langzeitkontrolle wird beobachtet, dass von den Personen, die am Steuer telefonieren, 0 % weiblich sind. Bei 75 % aller Fahrzeuge sitzen Männer hinter dem Steuer. Eine zufällig kontrollierte Person am Steuer ist männlich. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person telefoniert. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) g) Summe BE

9 Ã 1LFKWI UGLH+DQGGHUU IOLQJH $XIJDEHXDGHU Aufgabenteil Erwartete Leistung a) Angabe der Koordinaten der Punkte: C( 6 0), F( 0 5), G( 6 5), H(0 6 5) b) Gleichung für K in Parameterform: K: r x = 0 + r 6 + s Bestimmung eines Normalenvektors und Angabe einer Normalenform, z. B. 10 r K: x 0 5 = Zeichnung der Ebene K durch die Punkte D, E und P: BE in AFB Erbrachte Leistung I II III BE Begutachtung 5 c) Quadervolumen: V = 10 Pyramidenvolumen: V = 15; Anteil der Pyramide am Quader: 1,5 % des Quadervolumens d) Parameterform der Ebene K in Gleichung von L einsetzen ergibt als Bedingung r = 7s. Schnittgerade: g: 1 r x = 18 + t 0 5 Schnittwinkel: ϕ 6, Zwischensumme 1 1 0

10 1LFKWI UGLH+DQGGHUU IOLQJH $XIJDEHXDGHU Noch d) Ergänzung der Zeichnung um L und g: Übertrag Begutachtung e) Länge d des Geradenabschnitts im Quader ist gleich dem Abstand der Punkte Y(0,5) und X( ) d,7 Erkennen, dass der Vektor PD r und der Normalenvektor von K Richtungsvektoren der Ebene N sind, daraus einen Normalenvektor bestimmen, z.b. 1 r n = 6 5 Angabe einer Ebenengleichung in Normalenform 5 Summe mögliche BE 0 erreichte BE: Bei der Bemessung der Anzahl der Bewertungseinheiten und bei der Zuordnung zu den Anforderungsbereichen wurde die Dauer der Unterrichtszeit im MA- bis zur Probeklausur berücksichtigt und von den inhaltlichen Vorgaben im Fachbrief vom ausgegangen.

11 1LFKWI UGLH+DQGGHUU IOLQJH $XIJDEH*HUDGHXQG(EHQH Aufgabenteil Erwartete Leistung a) Vektoren für Dreiecksseiten aufstellen, Längen berechnen; Ergebnis: AB = 8, BC = AC = 6 b) c) Koordinatengleichung über eine Parametergleichung, z. B. 1 1 E : x r = 1 + λ + µ ; 0 Koordinatenform z.b. E : x y + z = 5 Geradengleichung. in Parameterform; 1 1 Ergebnis z.b. g : x r = 1 + m 5 5 Schnittpunkt. durch Einsetzen in die Koordinatengleichung; Ergebnis: S(1 5) Schnittwinkel über die Formel r r a n sin(α ) = r r ; a n Ergebnis: α 5 BE in AFB Zwischensumme 1 0 Erbrachte Leistung I II III BE Begutachtung

12 1LFKWI UGLH+DQGGHUU IOLQJH $XIJDEH*HUDGHXQG(EHQH Ã Übertrag 1 0 d) Zeichnerische Darstellung des Dreiecks, der Geraden g durch die Punkte P und Q und des Schnittpunktes S 6 e) Idee entwickeln: wo schneidet Gerade durch Dreieckseckpunkt und Schnittpunkt die gegenüberliegende Seite? 0 1 Z.B. von C aus: x r = + q 1 ; 7 liefert für q=1 den Punkt S Schnitt mit AB liefert q=; Folgerung: S liegt innerhalb des Dreiecks Zwischensumme

13 1LFKWI UGLH+DQGGHUU IOLQJH $XIJDEH*HUDGHXQG(EHQH f) Ansatz mit zwei Ebenengleichungen für t 1 und t, ; Gleichsetzen und Wählen eines freien Parameters, z.b. x=n, liefert y=-n und z=1-n, Geradengleichung z.b.: 0 1 x r = 0 + n 1 1 Übertrag Summe mögliche BE 0 erreichte BE: Bei der Bemessung der Anzahl der Bewertungseinheiten und bei der Zuordnung zu den Anforderungsbereichen wurde die Dauer der Unterrichtszeit im MA- bis zur Probeklausur berücksichtigt und von den inhaltlichen Vorgaben im Fachbrief vom ausgegangen.

14 1LFKWI UGLH+DQGGHUU IOLQJH $XIJDEH\UDPLGHLQ5DXPHFNH Aufgabenteil Erwartete Leistung a) Aufstellen einer Ebenengleichung für die Ebene durch A, B und S in Parameterform, z. B. 6 1 E : x r = + λ + µ Bestimmen einer Koordinatenform oder einer Normalenform, z. B. r E : 1 x 10 = 0. 0 Angabe, dass die Ebene parallel zur z- Achse liegt. 8 b) Einsetzen der Koordinaten der Punktmenge in die Koordinatenform der Ebene oder des Geradenterms in die Normalenform Feststellung, dass g E mit g E. 6 c) Aufstellen der Parameterform für die Grade durch S und L 10, z. B. 7 h : x r = + t. 8 BE in AFB Berechnung von S yz (0 6 / 10 / ) und von S xy( 5 1 0). 6 d) Benennung von L 10 und der Pyramidenpunkte A, B, C und S: Erbrachte Leistung I II III BE Begutachtung Zwischensumme 1 6 0

15 1LFKWI UGLH+DQGGHUU IOLQJH $XIJDEH\UDPLGHLQ5DXPHFNH e) Übertrag Abstand d = 17, 1 Einzeichnen des Schattens der Spitze auf der Rückwand; z. B. unter Verwendung von S (0 6 10). yz Einzeichnen des Seildreiecks: Berechnung eines Normalenvektors der Ebene durch die Punkte H,I und J, 1 z.b. n r = 6, Berechnung des Abstands 6 d = 19 / 7, ( LE). 7 f) Aufstellen einer Gleichung der Ebenenschar durch H, I und J k, z.b. in Koordinatenform: 0 x + 1 y (10 k) + 10 z = 100, Ermittlung der z-koordinate z. B. durch eine Punktprobe von S in die Koordinatenform: z = 95 7, Summe mögliche BE 0 erreichte BE: Bei der Bemessung der Anzahl der Bewertungseinheiten und bei der Zuordnung zu den Anforderungsbereichen wurde die Dauer der Unterrichtszeit im MA- bis zur Probeklausur berücksichtigt und von den inhaltlichen Vorgaben im Fachbrief vom ausgegangen.

16 1LFKWI UGLH+DQGGHUU IOLQJH $XIJDEH:XU]HOIXQNWLRQ Aufgabenteil a) Erwartete Leistung Angabe des Definitionsbereiches D f = { x R x 9 } 1 Nennen der (notwendigen und hinreichenden) Bedingung für Nullstellen f ( x) = 0 und Berechnung der Nullstellen 0 und 9 Nennen von Bedingungen für lokale Extrema, Berechnung der 1. Ableitung und Verwenden der notwendigen Bedingung: f ( x) = 0 x = 6 1 Berechnung von f (6) = und Folgerung (aus f (6) = 0 f (6) < 0 ), dass 6 relative Maximalstelle ist, sowie Angabe von H ( 6 ) BE in AFB Nennen der notwendigen Bedingung für Wendestellen; Feststellung, dass f ( x) = 0 keine Lösung besitzt, da 1 D f oder 1 D f gilt, und darum keine Wendestelle existieren kann. Sinnvoll sind nur ( 1 11) P ( 7 ) und ( 5 ) P ( 7 7 ) oder ( 8 ) 8 Zeichnung des Graphen P, P sowie P. Erbrachte Leistung I II III BE Begutachtung Zwischensumme 1 5 0

17 1LFKWI UGLH+DQGGHUU IOLQJH$XIJDEH:XU]HOIXQNWLRQ b) c) d) Übertrag Definition für Differenzierbarkeit an einer Stelle, Bestimmung von lim x x = 1 und Feststellung, x 0 x 0 dass f an der Stelle 0 differenzierbar ist Untersuchung von lim x x, x 9 x 9 x 9 x x 9 x x = =, x 9 (9 x) 9 x x Feststellung, dass für 9 x 9 x gilt und f an der Stelle 9 nicht differenzierbar ist Reflexion, ob Tangentensteigung im Koordinatenursprung den Wert 1 hat und ob der gezeichnete Graph im Punkt N (9 0) eine senkrechte Tangente zulässt. V = 9 π 0 V = π f π ( x) dx = x (9 x) dx [ 1 1 x x ] 6 V = π ( VE), V 191( VE) 9 0 Mögliche Idee: für 0 x 9 muss der Graph von f vollständig auf oder innerhalb eines Halbreises (oder Kreises) mit Radius r =, 5 um den Mittelpunkt M (,5 0 ) verlaufen, d.h. jeder Punkt des Graphen von f hat zu M (,5 0 ) einen Abstand d, 5. Mögliche rechnerische Lösung: d = x 1 9 ( x,5) + ( 1 x 9 ), 5 ergibt x x + 9x 0 (für x 9 ) x x ( ) 1 x x ( x 9) 0 x 0, also ist d, 5 für alle x 0 erfüllt. Summe mögliche BE 0 erreichte BE:

18 1LFKWI UGLH+DQGGHUU IOLQJH $XIJDEH+DQG\DP6WHXHU Aufgabenteil Erwartete Leistung a) Bernoullikette der Länge n=10 mit der Trefferwahrscheinlichkeit p=0,15. P ( X 1) = 1 P( X = 0) = 1-B(10;0,15;0) = 1-0,85 10 = 0,801 6 b) Abkürzungen H: Handynutzer; x kein Handynutzer; Trefferwahrscheinlichkeit p. P(A)==p (1-p) 8 c) X liefert die Anzahl der telefonierenden Fahrzeuglenker. Es liegt eine Bernoullikette der Länge n=10 mit der unbekannten Trefferwahrscheinlichkeit p vor, wobei mindestens 1 Treffer mit 95% Wahrscheinlichkeit erzielt werden soll: P ( X 1) = 1 P( X = 0) = 0, B (10; p;0) = 0,05 (1 ) 0 p p 0,1 p = 1 0,05 0,59 d) P ( X 1) = 1 P( X = 0) 0, 95 n 10 = 0,05 P( X = 0) = 1 0,15 0,85 = 0, 85 0 n BE in AB n log0,05 1 0,85 0,95 ; n 18, log0,85 Man muss wenigstens neunzehn Autos kontrollieren, um mit mindestens 95% Wahrscheinlichkeit einen Fahrer mit Handy zu anzutreffen. 7 e) X liefert die Anzahl der bei diesem Vorgehen kontrollierten Autos. E habe die Bedeutung, dass im 10. Auto ein telefonierender Fahrer sitzt oder im 10. Auto immer noch kein telefonierender Fahrer sitzt: P(E)=(1-p) 9 p+(1-p) 10 =(1-p) 9 =0,85 9 =0, bei bekanntem p=0,15. 5 Zwischensumme Erbrachte Leistung I II III BE Begutachtung 5

19 1LFKWI UGLH+DQGGHUU IOLQJH $XIJDEH+DQG\DP6WHXHU f) Die ersten vier sind keine Handybenutzer, Ereignis F: P(F)=(1-p) ; die nächsten sechs mit zwei Handybenutzern: Bernoullikette der Länge n=6 mit genau zwei Treffern 6 B(6;p;)= (1 p) p. Somit erhält man P(B)=P(F)B(6;p;) g) 8 Übertrag = 15 p (1 p) Erfassen der Daten, z.b. mit Baumdiagrammen: P( H m) P( H m) P( H m) = = P( m) 0,75 P ( H m) = 0,15 0,8 = 0,1 P ( H m) = 0,16 5 Summe 15 1 mögliche BE 0 erreichte BE: