Versuch 260 Fourieroptik

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1 Versuch 260 Fourieroptik Praktikum für Fortgeschrittene am Dritten Physikalischen Institut der Universität Göttingen 07. August 2008 Praktikant Johannes Dörr physik.johannesdoerr.de Durchführung am zusammen mit Oliver Schönborn Betreuer Dr. Robert Mettin

2 Unterschrift des Praktikanten: Johannes Dörr - Göttingen, den

3 INHALTSVERZEICHNIS 3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 4 2 Fraunhofersches und Fresnelsches Beugungsbild 4 3 Fouriertransformation Linearität Ähnlichkeitssatz Verschiebungssatz Faltung Fouriertransformation mit Linsen 6 5 Multiplikation zweier Beugungsobjekte 9 6 Qualitative Betrachtung Blendengröße Lochabstand Lochdurchmesser Raumfrequenzfilterung 13 8 Umwandlung von Phasen- in Amplitudenmodulation Dunkelfeldmethode Schlierenverfahren Diskussion 16

4 4 2 FRAUNHOFERSCHES UND FRESNELSCHES BEUGUNGSBILD 1 Einleitung Die Fouriertransformation spielt sowohl in der Theorie als auch in der Praxis eine wichtige Rolle. Durch die Transformation eines Signals kann mit ihr das Spektrum gewonnen werden, das Aufschluss über die Bestandteile des Signals liefert. Beispielsweise können in der Audio- Technik, um nur eine Anwendung zu nennen, mit einem sogenannten Equalizer bestimmte Frequenzbereiche (z.b. die Höhen oder Tiefen) verstärkt oder abgeschwächt werden. Abgesehen von der Transformation solcher Zeitsignale gibt es auch die optische Fouriertransformation, bei der einfache Linsen zum Einsatz kommen. Der große didaktische Vorteil hierbei ist, dass keine Elektronik nötig ist und man sich dennoch in Echtzeit die Eigenschaften der Fouriertransformation vor Augen führen kann. In diesem Protokoll verzichten wir zweckmäßigerweise auf die klassische Aufteilung in Theorieteil und Auswertung, da letztere im Großteil qualitativer Art ist und die theoretische Abhandlung untermauert. 2 Fraunhofersches und Fresnelsches Beugungsbild Bei der Beschreibung von Beugungserscheinungen unterscheidet man zwei Fälle. Stammen die einfallenden Strahlen von einer weit entfernten Lichtquelle und können aus diesem Grund als parallel angenommen werden, so spricht man von der Fraunhofer-Beugung. Abbildung 2.1: Übergang vom Fresnelschen zum Fraunhoferschen Beugungsbild (Quelle: Wolfgang Demtröder, Experimentalphysik 2) Handelt es sich jedoch um divergente oder konvergente Strahlen, so hat man es mit der Fresnel-Beugung zu tun. Am Beispiel eines Spalts der Breite b liegt diese Nahzone im Bereich x b2, wenn x also die Entfernung ist, in der wir das Feld betrachten wollen, und λ λ die Wellenlänge des Lichts. Ist die Entfernung hingegen viel größer (x b2 ), so findet λ man das Fernfeld vor.

5 5 In disem Versuch werden wir nur mit dem dort geltenden, Fraunhoferschen Beugungsbild zu tun haben, denn dieses liefert in der Brennebene einer Linse die Fouriertransformation des abgebildeten Objekts, worauf in Kapitel 4 eingegangen wird. Den Übergang der beiden Beugungsbilder kann man sich experimentell gut veranschaulichen, indem man einen Schirm direkt hinter die Linse hält und diesen dann immer weiter weg bewegt, während man das Beugungsbild beobachtet (siehe Abbildung 2.1). Auf eine quantitative Darstellung der beiden Beugungsbilder verzichten wir an dieser Stelle, da sie im weiteren Verlauf dieses Protokolls nicht benötigt wird. 3 Fouriertransformation Bei der Fouriertransformation handelt es sich um eine sogenannte Integraltransformation. Sie findet beispielsweise häufig bei der Spektralanalyse von Zeitsignalen Anwendung, die über das Vorkommen von Frequenzanteilen Auskunft gibt. Mathematisch ist die Fouriertransformierte Y (ω) = F[y(t)] einer Funktion y(t) definiert durch: Durch die Rücktransformation: Y (ω) = F[y(t)] = 1 2π y(t) = F 1 [Y (ω)] = 1 2π y(t) e iωt dt. (3.1) Y (ω) e iωt dω (3.2) des Spektrums erhält man wieder das Ausgangssignal. Die Fouriertransformation besitzt einige Eigenschaften, die im Folgenden angesprochen werden. 3.1 Linearität Die Fouriertransformation ist eine lineare Abbildung die Transformation der Summe zweier Funktionen y 1 (t) und y 2 (t) ist somit die Summe ihrere Fouriertransformierten: F[a 1 y 1 (t) + a 2 y 2 (t)](ω) = a 1 F[y 1 (t)](ω) + a 2 F[y 2 (t)](ω). 3.2 Ähnlichkeitssatz Der Ähnlichkeitssatz sagt aus, dass sich eine Verkleinerung des Objekts in einer Vergrößerung des Spektrums auswirkt. Die Amplitude des Spektrums wird hingegen geringer: F[y(at)](ω) = 1 ( ω ) a F[y(t)] a.

6 6 4 FOURIERTRANSFORMATION MIT LINSEN 3.3 Verschiebungssatz Bei der Verschiebung der Funktion y(t) um τ ergibt sich nur ein zusätzlicher Phasenfaktor: F[y(t + τ)](ω) = F[y(t)](ω) e iωτ. In der optischen Fourieranalyse geht generell jede Phaseninformation verloren, da das Auge nur Intensitäten wahrnehmen kann. Aus diesem Grund bleibt die beobachtete Amplitude des Spektrums bei Verschiebung des Beugungsobjektes unverändert. 3.4 Faltung Die Faltung zweier Funktionen y 1 (t) und y 2 (t) ist wie folgt definiert: (f g)(t) = f(t) g(t τ) dτ. Mit ihr gilt der Faltungssatz: F[y 1 (t) y 2 (t)](ω) = F[y 1 (t)](ω) F[y 2 (t)](ω). Die Fouriertransformierte eines Produkts zweier Funktionen ist also dasselbe wie die Faltung der einzelnen Fouriertransformierten. Dasselbe gilt in umgekehrter Richtung: F[y 1 (t) y 2 (t)](ω) = F[y 1 (t)](ω) F[y 2 (t)](ω). Die Faltung ist zwar nicht unmittelbar anschaulich, besitzt jedoch große praktische Bedeutung. Beispielsweise kann mit ihr ein Gitter mathematisch beschrieben werden, das aus sich periodisch wiederholenden Löchern besteht. Dabei faltet man die Funktion des Lochs (zum Beispiel die circ-funktion) mit einem Dirac-Kamm (comb-funktion), was in Abschnitt 5 genauer beschrieben wird. 4 Fouriertransformation mit Linsen Wird eine optische Vorlage wie z.b. ein Spalt oder Gitter in der Brennebene einer Linse angebracht, so findet man in der gegenüberliegenden Brennebene die Fouriertransformierte der Vorlage. Anstatt der in den vorigen Abschnitten behandelten Funktionen, die von der Zeit abhängen, werden hier Funktionen des Ortes, also zum Beispiel die Spalt- oder Gitterfunktionen, transformiert. Die Frequenz wird zur Raumfrequenz. Dennoch lassen wir im Folgenden die Bezeichnungen t und ω unverändert. Die zu einem Bildpunkt x gehörende Raumfrequenz ν erhält man durch die Relation ν = x λ f, (4.1)

7 7 wenn f die Brennweite der Linse und λ die Wellenlänge der Lichtes ist. Mit ω = 2πν erhält man für die Kreisfrequenz die entsprechende Formel. Bei einem Spalt der Breite a erhält man hinter der Linse eine eine sinc-funtion, denn diese ist die Fouriertransformierte der rect-funktion, die dem Spalt entspricht: ( ) { t 1 wenn t a 2 s(t) = rect = a 0 sonst F[s(t)](ω) = 1 2π a 2 a 2 e iωt 2 ( ωa ) dt = sin 2π ω 2 = a 2π sinc ( ωa ). (4.2) 2 Das Auge und auch der verwendete CMOS-Kamerachip können keine Amplituden wahrnehmen, sondern nur Intensitäten. In Abbildung 4.1 ist das Beugungsbild eines Spalts abgebildet, das also (nur) das Betragsquadrat der Amplitude festhält, also sinc 2. Abbildung 4.1: Beugungsbild des Spalts Ein ähnliches Beugungsbild (Abbildung 4.2) ergibt sich für eine Lochblende, nur ist dieses (wie die Blende selbst) rotationssysmmetrisch. In der Abbildung ist zudem das Beugungsbild für mehrere Lochdurchmesser dargestellt. Offenbar haben schmale Lochblenden breite Spektren und umgekehrt. Eine Skalierung der Zeitachse t führt also zu einer Stauchung der Frequenzachse ω, was genau die Aussage des Ähnlichkeitssatzes ist. Mathematisch beschreibt man eine Blende mit Radius r durch die Funktion circ r (t x, t y ). Ihre Fouriertransformierte lautet: 2πr ) F[circ r (t x, t y )](ω x, ω y ) = J ω 2 x + ωy 2 1 (r ωx 2 + ωy 2. (4.3) Dabei ist J 1 die Besselfunktion erster Ordnung.

8 8 4 FOURIERTRANSFORMATION MIT LINSEN Abbildung 4.2: Beugungsbilder verschiedener Lochblenden (v.l.n.r.: 0.6mm, 0.8mm, 1mm Durchmesser) Lassen wir nur den reinen Laserstrahl die Linse passieren, so finden wir in der hinteren Brennebene keine Veränderung vor. Die Intensitätsverteilung des Querschnitts des Laserstrahls weist ein Gaußprofil auf, und die Fouriertransformation einer Gaußfunktion ist wiederum eine Gaußfunktion, was die Beobachtung erklärt. Bei periodischen Objekten wie einem Mehrfachspalt beobachtet man den Ähnlichkeitssatz oft noch deutlicher, da die Intensitätsmaxima wesentlich schärfer sind als beispielsweise beim einfachen Spalt. In Abbildung 4.3 sind die Beugungsbilder zweier Mehrfachspalte abgebildet, die sich in ihrem Spaltabstand unterscheiden. Derjenige mit dem kleineren Abstand besitzt das breitere Beugungsbild. Mathematisch beschreibt man einen Mehrfachspalt als Dirac-Kamm: comb(t, T ) = δ(t kt ), k= der fouriertransformiert wiederum einen Dirac-Kamm mit inverser Periode ergibt: ( 2π ω F[comb(t, T )](ω) = T comb 2π, 1 ). (4.4) T Die beiden Vorlagen aus Abbildung 4.3 unterscheiden sich auch in der Lochbreite, was sich jedoch nicht auf den Abstand der Lichtpunkte (Intensitätsmaxima) auswirkt. Vielmehr wird das Beugungsbild des Mehrfachspalts durch das des Einzelspalts überlagert, weshalb die Intensitätsmaxima unterschiedliche Intensitäten besitzten nämlich beschrieben durch die Verteilung des Einzelspalts. Im oberen Bild ist das Spektrum zwar breiter auf Grund des kleineren Spaltabstands, die Intensitätsverteilung ist jedoch schmaler die ersten Maxima strahlen wesentlich stärker als der Rest. Im unteren Bild sind hingegen alle Maxima ungefähr gleich hell. Die Spaltbreite ist dort also kleiner. Die Auswirkung einer Verschiebung des Beugungsobjekts wurde mit einem Spalt überprüft. Nach dem Verschiebungssatz (siehe Abschnitt 3.3) erwarten wir bei lateraler Verschiebung nur eine Änderung der Phase. Diese ist jedoch nicht sichtbar, da mit dem Auge

9 9 bzw. dem CCD-Chip nur Intensitäten aufgenommen werden können, was das Experiment bestätigt. Abbildung 4.3: Beugungsbilder von zwei Mehrfachspalten (oben: 0.8mm Spaltabstand und 0.8mm Spaltbreite; unten: 1.6mm Spaltabstand und 0.1mm Spaltbreite) 5 Multiplikation zweier Beugungsobjekte Das Übereinanderlegen von zwei Beugungsobjekten entspricht mathematisch der Multiplikation der Funktionen, die die Objekte beschreiben. Wollen wir das Beugungsbild des zusammengesetzten Objekts bestimmen, lässt sich der Faltungssatz anwenden, denn nach ihm wird die Multiplikation bei der Fouriertransformation zur einer Faltung. In dem Versuch wird ein Gitter, das wir bisher als unendlich ausgedehnt approximiert haben, indem der Laserpunkt immer kleiner als dieses gehalten wurde, mit einem Fenster versehen. Es handelt sich also um eine Multiplikation der Gitterfunktion mit einer Fensterfunktion. Die Gitterfunktion konstruieren wir zum einen aus einem zweidimension Dirac-Kamm comb(t x, T x ) comb(t y, T y ) comb T (t x, t y ). Dieser stellt das Gittermuster da. Falten wir disese Funktion mit circ R (t x, t y ), so erhalten wir die Gitterfunktion, die Löcher mit dem Radius R im Abstand T in x- und y-richtung besitzt. Nun wird die Gitterfunktion mit

10 10 6 QUALITATIVE BETRACHTUNG der Fensterfunktion rect s (t x, t y ) multipliziert, die die Seitenlänge s besitzt. Als Variation wird statt des Quadrats eine Kreisblende mit dem Radius r, beschrieben durch circ r (t x, t y ), verwendet. Damit erhalten wir die Funktion g(t x, t y ) des gesamten Objekts: { rect s (t x, t y ) g(t x, t y ) = comb T (t x, t y ) circ R (t x, t y ). }{{} circ r (t x, t y ) Gitterfunktion Das Beugungsbild ergibt sich aus der Fouriertransformation. Hierbei wenden wir den Faltungssatz an, sodass aus der Multiplikation eine Faltung wird und umgekehrt: { F[rect s (t x, t y )] F[g(t x, t y )](ω x, ω y ) = F[comb T (t x, t y )] F[circ R (t x, t y )]. F[circ r (t x, t y )] Die einzelnen Fouriertransformierten (4.2), (4.3) und (4.4) setzten wir nun ein: F[g(t x, t y )](ω x, ω y ) = 2π ( T comb ωx 2 1 T 2π, ω ) y 2π 6 Qualitative Betrachtung 2πR ) J ω 2 x + ωy 2 1 (R ωx 2 + ωy 2 { s 2 sinc( ω xs 2π 2 2πr ω 2 x +ωy 2 ) ( sinc ωys ) ( 2 J 1 r ω 2 x + ωy 2 ). (5.1) Wir betrachten nun die Aufname eines Gitters, über dem eine quadratische Blende liegt, und bestimmen daraus die Größe der Blende sowie Durchmesser und durchschnittlicher Abstand der Löcher des Gitters. Dabei betrachten wir prinzipiell die drei Faktoren aus (5.1) separat, werden jedoch den Teil der Blende und den des Gitters eindimensional betrachten. Der Kamerachip besitzt eine Auflösung von Pixeln und hat eine Seitenlänge von 6.4mm. Mit diesen Daten kann das aufgenommene Bild ausgemessen werden. 6.1 Blendengröße Die Blendengröße s steht im direkten Verhältnis zur Größe der Bildpunkte, die entsprechend quadratische Form haben. Ihr Intensitätsverlauf wird angegeben durch die sinc- Funktion, denn diese ist laut (4.2) die Fouriertransformierte der rect-funktion. Die Größe der Lichtpunkte ergibt sich somit aus der ersten Nullstelle u der sinc-funktion. Es ergibt sich mit (4.1) also: [ F rect ( t s )] (ω) ( ωs ) ( ) πus sinc = sinc = 2 λf π = πus λf s = λf u. ( sin πus λf ) πus λf = 0

11 6.2 Lochabstand 11 Statt der Nullstelle messen wir bei der Auswertung des aufgenommenen Bildes die Seitenlänge 2u eines Lichtpunktes (siehe Abbildung 6.1). Hierfür erhalten wir 2u = 6px = 0.075mm. Mit der Wellenlänge des He-Ne-Laserlichts von λ = 632.8nm und der Brennweite der Fouriertransformationslinse f = 0.5m ergibt sich für die Größe der Blende s = 8.44mm. Die in diesem Versuch verwendete Blende besitzt eine Seitenlänge von 6mm. Erwartungsgemäß findet man zwischen diesem und dem eben errechneten Wert eine deutliche Abweichung, schließlich haben wir die Größe der Blende anhand sehr kleiner Bildpunkte errechnet, die mit 6 Pixeln als Seitenlänge sehr schlecht aufgelöst sind. Abbildung 6.1: Ausmessung des Beugungsbildes bei Lochabstand T = 1mm, Lochradius R = 0.15mm und Seitenlänge s = 6mm der quadratischen Blende 6.2 Lochabstand Als Nächstes soll nun der durchschnittliche Lochabstand T des Gitters bestimmt werden. Dieses wird beschrieben durch die comb-funktion mit der Periode T, das Beugungsbild ergibt sich wieder aus der Fouriertransformation nach (4.4): F[comb(t, T )](ω) 1 ( ω T comb 2π, 1 ) = 1 T T n= ( ω δ 2π n ) = 1 T T n= ( v δ λf n ) T Dabei ist v der Ort des Beugungsreflexes der Raumfrequenz ω und ergibt sich wieder aus (4.1). Den Abstand zweier benachbarter Beugungsreflexe erhalten wir, indem wir zwei.

12 12 6 QUALITATIVE BETRACHTUNG benachbarte Peaks der comb-funktion betrachten. An den Peaks gilt: v λf n T = 0. Das nullte Maximun (n = 0) finden wir trivialerweise an der Stelle v = 0, das erste bei v = λf. Daraus erhalten wir, da wir v aus der Auswertung des Beugungsbildes kennen, den T Lochabstand: T = λf v. Wir erhalten mit v = 20px = 0.325mm einen Lochabstand von T = 0.97mm. Dies ist ein recht gutes Ergebnis, der auf dem Gitter angegebene Lochabstand beträgt genau 1mm. 6.3 Lochdurchmesser Der Lochradius R macht sich im Beugungsbild durch ringförmige Dunkelstellen bemerkbar. Diese Nullstellen sind diejenigen der Besselfunktion J 1 in Gleichung (5.1) sie sind an den Stellen j 1 = 3.8 und j 2 = 7.0 zu finden. Es gilt also: j n = R ωx,n 2 + ωy,n 2 = 2πR λf w n, wobei nun w n nach (4.1) der gemessene Radius ist. Der zu bestimmende Lochradius ergibt sich dann aus: R = λfj n 2πw n. Die Radien in der Aufnahme ermitteln wir zu w 1 = 90px = 1.12mm bzw. w 2 = 180px = 2.25mm und erhalten damit die Werte 0.17mm bzw. 0.15mm für den Lochradius. Diese Werte weichen von der Angabe 0.3mm/2 nur gering bzw. gar nicht ab. Zwar wird prinzipiell das Ausmessen von größeren Strecken genauer, allerdings sind die hier gemessenen Radien zumindest auf unserer Aufnahme recht schlecht zu erkennen, weshalb dieses gute Ergebnis etwas überrascht.

13 13 7 Raumfrequenzfilterung Mit Hilfe einer zweiten Linse kann die Fouriertransformierte in der mittleren Bildebene wieder rücktransformiert werden, sodass man wieder das ursprüngliche Bild erkennt. Einen solchen Aufbau nennt man 4f-Anordnung. In der mittleren Ebene kann man nun sogenannte Raumfrequenzfilter anbringen. Abbildung 7.1: Dünner Draht als Vorlage, aufgenommen ohne Filter (links); mit Tiefpassfilterung (mittig); mit Hochpassfilterung (rechts) Ein Beispiel hierfür ist ein Tiefpassfilter, der lediglich eine kleine Lochblende darstellt. Durch diese werden hohe Frequenzen, die im Spektrum ja weit außen liegen, herausgefiltert. Ein Tiefpassfilter wird schon bei der ursprünglichen Versuchsapparatur in Form des Pinholes gleich hinter dem Laser verwendet. Dadurch werden Störungen, verursacht durch Verunreinigungen wie zum Beispiel dünne Staubteilchen, aus dem Laserstrahl entfernt. Insbesondere ist jedes optische Instrument auf Grund einer endlichen Öffnung ein Tiefpassfilter. Abbildung 7.2: Fourierhaus ohne Filter (links); mit waagerechter Filtereinstellung (rechts) Ein Hochpassfilter blendet niedrige Frequnzen aus, indem in die Mitte des Spektrums ein punktförmiges Schreibchen gesetzt wird, das nur weiter außen liegende Teile des Spektrums

14 14 8 UMWANDLUNG VON PHASEN- IN AMPLITUDENMODULATION durchlässt. Abbildung 7.1 zeigt die Aufnahmen eines dünnen Drahts sowohl direkt als auch hinter einem Tief- bzw. Hochpass. Es ist deutlich zu erkennen, dass der Draht vom Tiefpass aus dem Bild herausgefiltert wird, während er praktisch der einzige Teil des Bildes ist, der vom Hochpass durchgelassen wird. Eine Bandsperre kann als Ring auf einer Glasscheibe realisiert werden, der einen bestimmten Teil des Spektrums absorbiert. Analog dazu wäre ein Bandpass als Aussparung in einer Dunkelblende denkbar. Mit Hilfe eines drehbaren Spalts in der mittleren Brennebene können wir statt nach bestimmten Raumfrequenzen nach Orientierungen des Spektrums filtern. Als geeignete Vorlage erweist sich das sogenannte Fourierhaus, in dem verschiedene Bereiche aus in verschiedene Richtungen orientierten Streifen besteht (Abbildung 7.2). Mit dem Filter können dann gezielt die einzelnen Bereiche durchgelassen werden (siehe auch Abbildung 7.3) Abbildung 7.3: Fourierhaus mit weiteren Filtereinstellungen 8 Umwandlung von Phasen- in Amplitudenmodulation Die bisher betrachteten Vorlagen sind Amplitudenobjekte sie absorbieren Licht und können somit vom Auge wahrgenommen werden. Es gibt jedoch auch sogenannte Phasenobjekte, die nur die Phase des Lichtes verändern, aber ihre Amplitude konstant lassen (und somit transparent sind). Dennoch kann man sie mit Hilfe von Raumfrequenzfiltern sichtbar machen, was eine Umwandlung von Phasen- in Amplitudenmodulation bedeutet. Im Versuch werden wir hiermit einen Fingerabdruck auf einer Glasplatte sowie die erhitze Luft über einem Widerstand sichtbar machen. 8.1 Dunkelfeldmethode Die elektronmagnetische Welle, die das Phasenobjekt passiert, schreiben wir als: E(t x, t y ) τ(t x, t y ) = a e iϕ(tx,ty).

15 8.2 Schlierenverfahren 15 Dabei ist die Amplitude a konstant und die entstehende Phasenverschiebung ϕ(t x, t y ) abhängig vom Ort im Phasenobjekt. Wir nehmen an, dass die entstehende Phasenverschiebung nur sehr gering ist und nähern die e-funktion an: τ(t x, t y ) a (1 + i ϕ(t x, t y )). Die Welle lassen wir nun eine Linse durchlaufen, wodurch eine Fouriertransformation stattfindet: F[τ(t x, t y )] = a (δ(ω x ) δ(ω y ) + F[i ϕ(t x, t y )]). In der Brennebene wird eine Blende angebracht, die die nullte Ordnung wegfiltert. Damit fällt der erste Summand weg und für die Rücktransformation des somit Hochpass-gefilterten Signals τ HP erhält man: F 1 [F[τ HP ]] = ia ϕ( t x, t y ). Somit hängt die beobachtete Intensität, die sich aus dem Betragsquadrat ergibt, von der Phase ab. Dies bestätigt sich im Versuch: Abbildung zeigt links die Aufnahme einer Glasplatte, auf der ein Fingerabdruck vorhanden ist. Dieser wird erst durch die Dunkelfeldmethode sichtbar (mittig). Der Name der Methode kommt daher, dass die nullte Ordnung, die am meisten Intensität besitzt, weggefiltert wird und die entstehenden Bilder entsprechend dunkel sind. Andere Versuchsaufbauten, bei denen gerade die nullte Ebene vorhanden bleibt (Tiefpassfilter), nennt man entsprechend Hellfeldmethoden. Abbildung 8.1.1: Fingerabdruck ohne Filter (links); Dunkelfeldmethode (mittig); Schlierenverfahren (rechts) 8.2 Schlierenverfahren Eine andere Möglichkeit zum Sichtbarmachen der Phasenverschiebung ist das Schlierenverfahren. Dabei wird statt eines Hochpassfilters ein Halbebenenfilter eingefügt, der das

16 16 9 DISKUSSION gesamte Spektrum zur Hälfte ausblendet. Für die beobachtete Intensitätsverteilung ergibt sich damit eine Abhängigkeit von der Ortsableitung in Richtung des Halbebenenfilters der Phasenverschiebung. Mit dieser Methode wurde im Versuch sowohl der Fingerabdruck (siehe Abbildung 8.1.1, rechts) sowie die aufgeheizte Luft über einem Widerstand (Abbildung 8.2.1) sichtbar gemacht. Abbildung 8.2.1: Heiße Luft, sichtbar gemacht mit dem Schlierenverfahren 9 Diskussion Mit den Ergebnissen dieses Versuchs sind wir sehr zufrieden. Die relativ kurze quantitative Auswertung lieferte mit den Angaben gut übereinstimmende Ergebnisse. Der übrige qualitative Teil macht mit den Eigenschaften der Fouriertransformation sowie der Handhabung der optischen Geräte vertraut. Die gemachten Aufnahmen sind sowohl bei der 2f- sowie der 4f-Anordnung gut geworden und ließen eine problemlose Auswertung zu.