Die Lemniskate als Beziehungsbahn

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1 Die Lemniskate als Beziehungsbahn Hermann Bauer Eine Astronomie, die das Wesenhafte der Sterne ernst nimmt, wird von den Beziehungen der Gestirne zueinander ausgehen, und sie wird nicht nur phsische, sondern auch seelisch-geistige Wirkungen zwischen ihnen anerkennen. Äußerlich finden diese Beziehungen in den erscheinenden Bahnen und Stellungen ihren Ausdruck. So drückt sich das, was die Planeten für die Erde bedeuten, wesentlich in ihren Erscheinungen am Sternhimmel aus. Im Schauspiel auf dem Theater kann man ein Bild dafür sehen. Beim griechischen Schauspiel war die reinigende Wirkung auf die Zuschauerseelen noch voll im Bewusstsein. Aber auch heute dient alles, was auf der Bühne und was hinter den Kulissen spielt, der Wirkung auf den Zuschauer. Die moderne Astronomie erforscht nur das, was sich an Kräftewirkungen gleichsam hinter den Kulissen des großen Himmelsschauspiels vollzieht. Das ist sicher wichtig und kann auch in die folgenden Betrachtungen wieder einbezogen werden (s.u.), erfasst aber nicht die wesenhafte Bedeutung des Ganzen. Ein besonderer Fall von Bewegungsbeziehung ergibt sich, wenn man eine Bewegung mit einer anderen vergleicht, die gar nicht real stattfindet, die aber für die wirkliche Bewegung Bedeutung hat. Wenn sich ein Wanderer verirrt, also vom rechten Weg abkommt, so hat der richtige Weg ständig Bedeutung für ihn, und es ist ihm wichtig, in welcher Weise er von ihm abweicht. Ein astronomisches Beispiel ist die Störungsrechnung, wo man z.b. eine Planetoidenbahn zunächst ohne die Einwirkung eines großen Planeten berechnet und dann die von diesem bewirkte Abweichung als Störung dazurechnet. Ganz allgemein kann man so die Beziehung einer realen Bewegung zu einer Bewegung ermitteln, die nur gedacht oder auch von etwas anderem durchlaufen wird. Man hat dann einerseits die Bewegung auf der realen Bahn, zum anderen die gedachte Bewegung auf der Grundbahn und dazu eine Beziehungsbahn, welche ständig von der gedachten zu der realen Bahn führt. Man kann dann die reale Bahn als ein gleichzeitiges Durchlaufen der Grundbahn und der Beziehungsbahn auffassen. Beispiele dafür sind sphärische Bewegungen. Man kann eine Bewegung auf einem Großkreis der Himmelssphäre auf eine gleichartige Bewegung auf einem anderem Großkreis beziehen und die Abweichung als Beziehungsbahn ermitteln. Sie ist eine Lemniskate. Das soll hier untersucht werden, wobei durch die Figur im Zentrum der Bilder angedeutet wird, dass die Bahnen von innen beobachtet werden. In Bild 1a (bzw. 1c) soll sich ein Punkt vom O (hinten auf der Kugel) beginnend in Pfeilrichtung nach links oben auf der realen Kreisbahn K herumbewegen. Gleichzeitig startet ein gedachter Punkt ebenfalls bei O in Pfeilrichtung nach links und läuft stets mit der gleichen Geschwindigkeit wie der erste auf dem waagrechten Grundkreis G, so dass beide nach einer Runde wieder gleichzeitig in O ankommen. Wenn der erste Punkt bis E gelaufen ist, erreicht der zweite A. Beide Punkte haben dann einen Bogen der Länge w durchmessen, der zugleich den Winkel (im Bogenmaß) vom Kugelmittelpunkt zu den Bogenenden angibt, wenn wir mit der Einheitskugel rechnen. Die Beziehungsbahn ist eine Lemniskate. Wir erhalten ihren Punkt L, wenn wir die Kugel um den senkrechten Durchmesser so drehen, dass A wieder nach dem (nicht mitgedrehten) O kommt. Dann kommt E nach L. Der geometrische Beweis von Locher-Ernst ist sehr schön (s. [], S ), aber etwas mühsam zu verfolgen. Ich skizziere einen trigonometrischen Beweis 1 : Um O ist ein räumliches kartesisches Koordinatensstem angedeutet, dessen z Achse (unsichtbar) nach vorne, dessen x-achse nach rechts und dessen -Achse nach oben geht. Für den -Wert von L erhält man sofort (siehe Bild 1b) mit Hilfe des sphärischen Dreiecks OET: (1) = sin h = sin sin w. 1 Die Betrachtung der Phänomene ohne Mathematik geht nach den Formeln (4) weiter. 1

2 Für die Strecke OT = u ergibt sich aus demselben Dreieck () tan u = cos tan w, also u = atan (cos tan w) B K A E T u w O L B G E h 1 T M Bild 1b. Zur Beziehung von und h G K Bild 1a. Reale Kreisbahn und Grundkreis K A E h T 90 w u L O O x B x z L L O M Bild 1d. Übergang zu Cassinischen Lemniskaten Bild 1c. Ausschnitt von Bild 1a

3 Um den Winkel u ist auch E auf seinem Breitenkreis B gegenüber O nach links gedreht. Es muss nun um den Winkel w nach L zurückgedreht werden, wodurch für L eine Winkeldrehung der Größe w u (von = 0 aus gerechnet) positiv nach rechts resultiert. Der x- Wert von L ist dann entsprechend: x = sin (w u ) cos h, weil die Breitenkreise entsprechend verkürzt sind. So erhält man insgesamt für x (mit cos²h = 1 sin²h, sin h aus (1) und u aus ()): w a tan(cos tan w) 1 (sin sin w) x sin, was nach einigen Umformungen mit Hilfe trigonometrischer Identitäten zum Resultat führt (dem ich die -Gleichung (1) nochmals und die Gleichung für z ohne Beweis anfüge): (3) sin x sin(w) ; sin sin w ; sin z 1 cos(w). Die entstehende sphärische Lemniskate hat z.b. Locher-Ernst ([], S. 86f) beschrieben. Jede Lemniskatenschleife hat im Bogenmaß auf der Einheitskugel die Länge. Die Lemniskate erscheint von vorne, also in die x--ebenen projiziert, als Lissajousche Schwinglemniskate mit dem Kreuzungswinkel, von oben (x-z-ebene) ist sie ein doppelt durchlaufener Kreis mit dem Radius sin, von der Seite (-z-ebene) ein Parabelbogen. Sie vereinigt also drei grundlegende Kurvenformen. Wenn man jeden Punkt der sphärischen Lemniskate durch einen Kreisbogen parallel zur -z-ebenen mit Mittelpunkt auf der x-achse in die x--ebene dreht (s. Weg von L Zu L in Bild 1d, der parallel zur Zeichenebene hinter bzw. vor ihr liegt), so erhält man Cassinische Lemniskaten (für = 90 die mit rechwinkliger Kreuzung, s. [1], S.41f und S.13). Ihre Gleichungen sind: (4) sin x sin(w) ; cos sin w sin cos sin w ; z = 0. Bild gibt einen Überblick über die entstehenden schönen Schwingformen. Die Kreuzungen liegen wieder hinten auf der Kugel. Wenn eine Lemniskate in der Zeichnung den Kreis berührt hat, geht sie auf deren Vorderseite über. Die Extremformen sind ein Punkt ( = 0 ) und der doppelt durchlaufene Grundkreis G ( = 180 ). Bild. Sphärischen Lemniskaten 3

4 Solche Bahnen kann ein künstlicher Satellit zeigen, der die Erde in einem Sterntag umkreist, wenn man ihn von der Erde aus verfolgt. Wenn der Satellit um 1 Uhr wahrer Ortszeit den Himmelsäquator quert, so verwandelt sich seine Bahn durch die tägliche Drehung des Himmelsgewölbes zu einer der gezeichneten Lemniskaten. Wenn er sich auf dem Himmelsäquator nach Osten bewegt ( = 0 ), so erscheint er stationär als Punkt, wenn er sich entsprechend nach Westen bewegt ( = 180 ), so durchläuft er (immer für den ruhenden Beobachter auf der Erde) den Äquator in einem Sterntag zweimal. Am besten einsehbar ist das bei Beobachtung vom Nordpol aus (wo allerdings die untere Hälfte der Lemniskaten unter dem Horizont liegt). Bild 3 zeigt nun, wie sich aus Grundkreisbewegung und Lemniskatenbahn die reale Bahn wieder zusammensetzt: Die Lemniskatenkreuzung durchläuft den waagrechten Kreis von hintersten Punkt der Kugel ausgehend nach links beginnend entsprechend dem Sonnenlauf.. Gleichzeitig durchwandert der Himmelskörper die Lemniskate (wobei das w aus den Gleichungen (3) der jeweils zurückgelegte Weg der Kreuzung ist ). Als Resultierende dieses lebendigen Schwingens und Kreisens, das auch als Eurthmiebewegung vorkommen könnte, ergibt sich der schräg liegende Kreis, den man insofern als Rotationslemniskate bezeichnen kann. Diesen Ausdruck verwendet Rudolf Steiner ja auch für die Planetenbahnen. (S. [3], Kap.15 bis 17.) Bild 3. Die reale Kreisbahn entsteht durch Rotation der Lemniskate Als reale Kreise kommen alle Planetenbahnen in Frage. Als Grundkreise die Bahn jeweils eines anderen Planeten oder der Himmelsäquator der Erde oder auch eines anderen Planeten, wenn man von ihm aus beobachtet. Das wichtigste Beispiel für die zweite Art ist die uns erscheinende jährliche Sonnenbewegung durch den Tierkreis bezogen auf den Himmelsäquator. Bild 3 ist dafür maßstäblich nicht richtig (der Kreuzungswinkel müsste etwa 3,5 sein), zeigt aber das Prinzip. Der schräge Kreis entspricht der Ekliptik (Tierkreis), der waagrechte dem Himmelsäquator. Die Lemniskatenkreuzung läuft genau in der Art, wie die Sonne durch den Tierkreis zieht, auf dem Himmelsäquator, und gleichzeitig wandert die Sonne in der angegebenen Weise durch die Die Umlaufszeit ist also. 4

5 Lemniskate. Als Resultierende ersteht die Ekliptik. Die Lemniskate ist ein Bild für den Jahreslauf, der ja auch durch die Abweichung der Ekliptik vom Äquator zu verstehen ist. 3 Ganz entsprechend kann man (als Beispiel für die erste Art) die Bahn eines Planeten, zum Beispiel Saturns auf die Ekliptik beziehen. Hier ist die Ekliptik der Grundkreis, die Lemniskate hat nur einen Öffnungswinkel von,5, und die Saturnbahn weicht auch maximal nur um diesen Winkel von der Ekliptik ab. Genau auf diese Weise hat Eudoxos von Knidos die Abweichungen der Planetenbahnen erklärt. So schreibt Locher-Ernst über dessen Sstem, bei dem sich die Planeten gleichzeitig auf vier Sphären bewegen ([], S. 87): Durch die Bewegung der zwei innersten Sphären eines Planeten wurde eine Achterschleife erzeugt. Die zweitäußerste Bewegung zieht die Bewegung in dieser Schleife auf den Tierkreisgürtel auseinander. Die äußerste Sphäre gibt noch die tägliche Bewegung 4 Ich möchte hier genauer auf die Mondbewegung eingehen, wodurch alles bisherige verdeutlichen werden kann. Für die Mondbewegung ist ihre Abweichung von der Ekliptik charakteristisch. Es ist also sinnvoll, sie entsprechend aufzufassen, wie es bei der Saturnbahn geschildert wurde. Ihre Bahn ist also eine Lemniskate mit einem Kreuzungswinkel von etwa 5 und der sphärischen Gesamtlänge von 10, wobei die Kreuzung dieser Lemniskate in einem siderischen Monat die Ekliptik durchläuft. aufsteigender Mondknoten Ekliptik absteigender Mondknoten Bild 4. Mondbahn In Bild 4 stellt die große durchgezogene Ellipse die Mondbahn, wie sie gewöhnlich aufgefasst wird, dar, die Ekliptik ist punktiert eingezeichnet. Die Lemniskate ist so schmal, dass sie im Bild nur als Strecke erscheint. Rudolf Steiner führt über die Bahnen von Sonne und Mond folgendes aus ([3], S, 5): Es hilft uns nichts, eine bloß komparative Morphologie zu treiben, sondern wird müssen dasjenige, was wir in der Morphologie finden, dem ganzen Weltenall zuteilen, so daß wir also durchaus auch eine Andeutung bekommen werden darüber, wie Sonnenbahn und Mondbahn zueinander gelegen sein müssen, wenigstens zunächst perspektivisch gelegen sein müssen.... Sie müssen so gelegen sein, daß approximativ die eine Bahn auf der anderen senkrecht steht. 3 Einzelheiten und den Zusammenhang mit der Zeitgleichungslemniskate (Analemma) siehe [1], Kap. 3 und 5. 4 Merkwürdigerweise hat Locher -Ernst darin nicht den Schlüssel zum lemniskatischen Weltsstem Rudolf Steiners gesehen, sondern ein anderes Modell entwickelt (s. [4] S. 3). Der Grund dafür ist wohl, dass die Achsen der Drehbewegungen nicht überliefert sind, und wohl meist angenommen wurde, dass die Hauptachse der Lemniskate (Hippopede) in der Ekliptik liegt und nicht, wie ich hier dargestellt habe, rechtwinklig zu ihr. (s. z.b. Klaus Mainzer, Smmetrien der Natur, S. 55 bis 57) 5

6 Dies kann sich nicht auf die gewöhnliche Mondbahn beziehen, sondern nur auf die schmale Lemniskate, die Steiner offenbar als die individuelle Mondbahn betrachtet, und es wird perspektivisch, also von der Erde aus, beobachtet. Wenn der Mond die Ekliptik kreuzt, also einen seiner beiden Knoten durchläuft, so zieht er zugleich durch die Kreuzung der Lemniskate, was dem Wesen eines Knotens entspricht. Dann können auch Finsternisse stattfinden, die eine besondere Auseinandersetzung des Mondes mit der Sonne in bezug auf die Erde bedeuteten. Wenn sich der Mond in der oberen Lemniskatenschleife bewegt, so ist er z.b. bei Vollmond länger über dem Horizont, als wenn er die untere durchläuft. Man kann das so deuten, dass uns der erscheinende Mond im Verhältnis zur Sonne stärker oder schwächer ins Bewusstsein tritt. 5 Es ist unbefriedigend, dass Rotationszeit und Lemniskatendurchlaufung exakt gleichlang dauern. Man muss das man aber auch gar nicht annehmen. Die Mondknoten laufen ja in der Zeit von 18,6 Jahren rückläufig durch den Tierkreis. Man kann dies so deuten, dass die Lemniskatendurchlaufung (drakonitischer Monat) etwa ½ Stunden früher fertig ist als die Rotationszeit (siderischer Monat), wodurch die Kreuzung allmählich zurückläuft. Man erkennt daraus, dass man auch eine selbständige Bedeutung für die Lemniskatenschwingung finden kann. Die heutige Astronomie erklärt den Knotenumlauf durch eine zusätzliche Präzessionsbewegung der Mondbahn gegenüber der Ekliptik, die 18,6 Jahre dauert. Würde sie nur 5 Tage dauern, so würde uns eine fortlaufend Acht mit auseinandergezogenen Schleifen am Himmel erscheinen. Die räumlichen Entfernungen wurden bisher nicht berücksichtigt. Man kann sie wieder einführen. Sie zeigen in der Größe und den Phasen des Mondes Die elliptischen Bahn kann man als ein Atmen der Mondsphäre deuten. 6 Literatur [1] Bauer, Hermann Über die lemniskatischen Planetenbewegungen, Elemente einer Himmelsorganik, Stuttgart [] Locher-Ernst, Louis Mathematik als Vorschule zur Geisterkenntnis, Dornach 1973 [3] Steiner, Rudolf Das Verhältnis der verschiedenen naturwissenschaftlichen Gebiete zur Astronomie, Dornach 1983 [4] Mathematisch-Phsikalische Korrespondenz Nr. 11, Dornach Das gilt auch für die Südhalbkugel, allerdings nicht zur gleichen Zeit. Der Ort des Beobachters ist in diesem Weltbild eben ganz wesentlich. 6 Für die entsprechende Betrachtung der Planeten und die Auffassung der Planetenschleifen als metamorphosierte Lemniskaten siehe. [1], Kap. 7.1 und