Kartographische Anamorphosen und andere nichtlineare Darstellungen

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1 Kartographische Bausteine, Band 19, TU Dresden 2001 Wolf-Dieter Rase, Bonn Kartographische Anamorphosen und andere nichtlineare Darstellungen Analog zu den Farb-Muster-Variablen können die beiden Dimensionen des Kartenblatts zur graphischen Transkribierung eines räumlich verteilten Sachverhalts genutzt werden. Eine häufige Anwendung der Nutzung der geometrischen Dimensionen als graphische Variablen sind kartographische Anamorphosen. Der zweidimensionale Raum wird lokal so verzerrt, dass zum Beispiel die Flächen von Raumeinheiten proportional zu einer absoluten Variablen dargestellt werden, unter Beibehaltung der topologischen Eigenschaften des Grenznetzwerks. Die Wirkung einer kartographischen Anamorphose beruht hauptsächlich auf dem Überraschungs- und Verfremdungseffekt, der durch die Abweichung von der normalen Gestalt der Karte entsteht. Eine weitere Anwendung von nichtlinearen Abbildungen auf das Kartenblatt sind neben kartographischen Karrikaturen die virtuellen Lupen zur interaktiven Inspektion von Karten und anderen komplexen Graphiken am Bildschirm. Die Dimensionen des Kartenblatts als visuelle Variablen Kartographische Karrikaturen nach dem Muster Die Sicht des x von der Welt findet man ab und zu auf Postern und Postkarten, in Zeitungen und Büchern. Die Variable x steht für eine bestimmte Person mit allgemein bekannten Eigenschaften (zum Beispiel Ronald Reagan) oder eine georeferenzierte Gruppe (Bochumer, Berliner, Bostonians). Diese Darstellungen haben die gemeinsame Eigenschaft, dass die nähere Umgebung ausführlich und differenziert, mit zunehmender Entfernung vom Referenzpunkt die raumbezogene Information aber vereinfacht, unvollständig oder verfälscht dargestellt ist. Der nicht der Gruppe angehörende Betrachter freut sich über die beschränkte Weltsicht des oder der x und seine eigene Überlegenheit. Die Gruppenmitglieder erfüllt der Stolz über die auf ihren eigenen Lebensmittelpunkt zentrierte Perspektive. Kartographische Karrikaturen werden intuitiv verstanden, zusätzliche Erklärungen sind nicht notwendig. Das intuitive Verständnis ist ein Hinweis darauf, dass jedem Menschen das Konzept der nichtlinearen Perzeption des Raumes (nahe und genau, fern und ungenau) durchaus geläufig ist, auch wenn er es nicht bewusst beschreiben kann. Hägerstrand war einer der ersten, der die mit der Entfernung abnehmende Genauigkeit in der Wahrnehmung des Raums in einer kartographischen Abbildung dargestellt hat (HÄGERSTRAND 1956). Die logarithmische Skala in der Darstellung von Hägerstrand ist natürlich ein Modell, das den Vorgang oder Zustand vereinfachend beschreibt, ohne den Anspruch der Übertragbarkeit auf den Einzelfall. Die generalisierte Form der nichtlinearen Perzeption ist im System der Graphischen Semiologie von BERTIN (1974) enthalten. Die Dimensionen des Kartenblatts werden als graphische oder visuelle Variablen betrachtet, die wie die Farb-Muster-Variablen zur Transkribierung eines thematischen Sachverhalts verwendet werden können. Bei einer nichtlinearen Abbildung der Bezugsebene lassen sich die Entfernungen nicht mehr abschätzen bzw. mit Hilfe einer Massstabsleiste bestimmen. Die Schätzung der Fläche wird schwieriger, die Form der Bezugseinheiten wird meistens verändert. Mit der Veränderung der Fläche und Form verringert sich der Wiederkennungswert von Bezugseinheiten, ein wichtiger Grund, warum die Dimensionen des Kartenblatts selten als visuelle Variablen genutzt werden. Es gibt jedoch einige Anwendungsfälle für den Einsatz von nichtlinearen Abbildungen, die nützlich für die Übermittlung der Botschaft in der Karte sind.

2 Kartographische Anamorphosen Die Entfernungen auf dem Kartenblatt werden aufgrund von thematischen Sachverhalten für die Bezugseinheiten lokal verändert, vergleichbar mit einem Gummituch, das über eine unebene Fläche gelegt und angespannt wird. Die Ausdehnung des Gummituchs ist an den Stellen mit den höchsten Erhebungen am größten, damit auch die Abweichungen in den Entfernungen, verglichen mit der linearen Projektion. BERTIN (1974) fasst diese Darstellungsformen unter dem Begriff kartographische Anamorphosen zusammen. Im angloamerikanischen Sprachbereich ist der Begriff cartogram gebräuchlich, nicht zu verwechseln mit dem Kartogramm, das in der deutschen kartographischen Nomenklatur mit einer anderen Bedeutung belegt ist. Gelegentlich findet man auch die Schreibweise Anamorphote, die vermutlich eine Rückübertragung aus dem Russischen ist. Anamorphosen für linienorientierte Netzwerke In einem Verkehrsnetz sind die zeitlichen Entfernungen zwischen den Knoten des Netzes meistens nicht proportional zur Entfernung in der euklidischen Ebene (Luftlinien-Entfernung). Natürliche Hindernisse wie Flüsse und Gebirge oder die wirtschaftlichen Aspekte bei der Streckenführung bewirken die Abweichungen in der linearen Proportionalität von Raum und Zeit. Eine kartographische Darstellung der Disproportionalität zwischen Raum und Zeit ist zum Beispiel für die Entscheidungsträger in Politik und Wirtschaft ein Hilfe zur Erkennung von generellen und lokalen Defiziten und zur Allokation von Verkehrsinvestitionen. SPIEKERMANN und WEGENER (1993) haben zur Visualisierung der Entwicklung in den europäischen Eisenbahnnetzen ein Verfahren entwickelt, das sie schrittweise multidimensionale Skalierung (SMDS) genannt haben. Ausgehend von dem statistischen Verfahren der multidimensionalen Skalierung wird versucht, die zeitlichen Entfernungen zwischen den Knoten des Netzes linear proportional in die Ebene des Kartenblatts abzubilden, ohne dass Falten entstehen. Die Topologie des Netzes, repräsentiert durch die Netzkanten mit den direkten Eisenbahnverbindungen zwischen den Knoten, muss erhalten bleiben. Die topographischen Objekte, etwa Grenzen oder das Gradnetz, werden in den Raum der zeitlichen Entfernungen projiziert. Die topographischen Elemente sind notwendig, um die Abweichung vom euklidischen Raum sichtbar und erfassbar zu machen. Das verzerrten Grenzen werden vom Betrachter intuitiv mit den korrekten Formen verglichen, die er in seinem Gedächtnis gespeichert hat oder die in unmittelbarer Nähe zur kartographischen Anamorphose abgebildet sind. Abb. 1 Entwicklung der Erreichbarkeit im Eisenbahnnetz von 1985 bis 2010 (aus SPIEKERMANN und WEGENER 1993)

3 In der Abbildung 1 ist die Schrumpfung der Zeitentfernungen im Eisenbahnnetz der Bundesrepublik Deutschland nach den Planungen für den Strecken- und Verbindungsausbau gut zu erkennen. Das Gradnetz und die Grenzen der Bundesländer sind die topographischen Anhaltspunkte für die visuelle Erfassung der lokalen Veränderungen in der Erreichbarkeit. Durch die Verbesserungen in der Verbindungsqualität von 1985 bis 2010 werden die Unterschiede in den Zeitentfernungen im westlichen und dem östlichen Teil der Bundesrepublik ausgeglichen. Die verbesserte Erreichbarkeit wird durch das scheinbare Schrumpfen der Bundesrepublik in den Jahren von 1985 bis 2010 sehr gut verdeutlicht. Anamorphosen mit flächenhaften Bezugseinheiten Die am häufigsten genutzten Bezugseinheiten in der Raumordnung, Raumplanung und Regionalanalyse sind flächenhafte Bezugseinheiten wie Gemeinden, Kreise oder andere Typen von Regionen. Auch mit Flächen kann eine Anamorphose erzeugt werden. Die Flächeninhalte der Polygone werden proportional zu den thematischen Inhalten durch Verschieben der Grenzen vergrößert oder verkleinert. Die topologischen Beziehungen im Grenznetzwerk, also welche Region der unmittelbare Nachbar einer anderen Region ist, bleiben erhalten. Das Ergebnis ist eine Karte gleicher Dichte. Werden zum Beispiel als Variable die Anzahl der Einwohner verwendet, erhält man eine isodemographische Karte, also eine Karte gleicher Bevölkerungsdichte für alle Regionen. Die Flächeninhalte der Polygone sind proportional zur Einwohnerzahl. Die Abbildung 2 ist ein Beispiel für eine isodemographische Karte. Die Flächensignatur repräsentiert eine zweite Variable, die Veränderungsrate der Einwohner von 1990 bis 1998, in einer geordneten Reihe von Werteklassen. Flächenfarben wären noch etwas besser lesbar als die monochromen Signaturen, etwa durch Kennzeichnung der Abnahme mit Blautönen und der Zunahme in einer Abfolge von roten Farbwerten. Der Restfehler ist ein relatives Maß für die Abweichung vom angestrebten Sollzustand, der exakten Proportionalität von Einwohnerzahlen und Flächeninhalten. Da die Topologie des Grenznetzwerks erhalten bleiben muss, ist die proportionale Vergrößerung und Verkleinerung nicht für alle Flächen vollständig durchführbar. In der Anamorphose von Abb. 2 ist ein Restfehler von etwa einem Prozent enthalten. Das bedeutet, dass bei einigen Flächen in der Regel sind das die kleineren Polygone an der Peripherie Abweichungen vom Sollwert vorhanden sind, deren Summe in Relation zur Gesamtfläche den Restfehler ergibt. Algorithmen für die Konstruktion von Flächen-Anamorphosen Die kartographischen, mathematischen und algorithmischen Grundlagen für die rechnergestützte Konstruktion von Anamorphosen mit Polygonen und auch die ersten Programme wurden von TOBLER entwickelt (TOBLER 1963, 1973, 1976). Für die Konstruktion der Anamorphose in Abbildung 2 wurde der Algorithmus von DOUGENIK, CHRISMAN und NIEMEYER (1985) verwendet, der dem Verfahren von Tobler sehr ähnlich ist und wahrscheinlich auf diesen Vorarbeiten basiert. Die Anpassung der Polygonflächen an den Sollwert erfolgt iterativ in mehreren Iterationsschritten. Die Punkte in den Grenzlinien der Polygone werden in jedem Schritt radial um einen kleinen Betrag verschoben, bis die vorgegebene Anzahl der Iterationszyklen oder ein Schwellenwert für den Restfehler erreicht ist. Man kann sich das Verfahren wie eine Menge von zweidimensionalen Luftballons vorstellen, die an der gemeinsamen Grenze miteinander verklebt sind. Die Ballons werden in jedem Iterationsschritt etwas aufgeblasen oder leergesaugt, bis der Flächeninhalt proportional zur Anzahl der Einwohner ist, mit Berücksichtigung des Restfehlers. Die Luftballons bleiben mit ihren Nachbarn verbunden, so dass sich die Topologie nicht verändert. In dieser Implementierung des Algorithmus beansprucht die Konstruktion der Anamorphose in Abbildung 2 etwa 40 sec Rechenzeit (474 Polygone, Workstation mit Alpha-Prozessor und einer Taktfrequenz von 500 MHz).

4 Abb. 2 Isodemographische Karte mit Veränderungsraten Wie man in Abbildung 2 an einigen Stellen deutlich sehen kann, hat der Algorithmus von DOU- GENIK, CHRISMAN und NIEMEYER den Nachteil, dass sich bei der Vergrößerung die Form des Polygons fortschreitend der Kreisform annähert (2D-Luftballons!). Der Gefahr der Faltenbildung oder des Überschlags von Linien muss durch Einsetzen von zusätzlichen Punkten vorgebeugt werden. GUSEIN-ZADE und TIKUNOV (1993) verwenden ein anderes mathematisches Verfahren, das weniger Iterationsschritte, aber insgesamt nicht weniger Rechenzeit für die Erreichung des annähernd gleichen Restfehlers benötigt. Auch bei diesem Algorithmus ist die Neigung zur Kreisbildung vorhanden. Die Erhaltung der Form ist ein wichtiges Kriterium für die Wiedererkennung der Bezugseinheiten in der Karte, einmal für die topographische Verortung bei der visuellen Erfassung, zum anderen für den Vergleich mit der ursprünglichen graphischen Konfiguration. Deshalb wird beim Verfahren von KOCMOUD (1997) neben der Anpassung der Flächeninhalte an den Sollwert die Formerhaltung als weiteres Ziel einbezogen. Die für die Formerkennung wichtigen Punkte der Polygone werden identifiziert. Nach Möglichkeit werden die Proportionen der Abstände bei der Flächenveränderung eingehalten und die Punkte nicht einfach radial verschoben. Das Verfahren nähert sich ebenfalls iterativ der Endkonfiguration mit einem Restfehler. Der visuelle Eindruck der Anamorphosen aus diesem Verfahren ist im Vergleich mit den Ergebnissen von anderen Algorithmen erheblich besser, weil sich die Formen weniger verändern. Die Rechenzeit für eine Anamorphose mit den Staaten der USA betrug nach den Angaben von KOCMOUD 16 bis 18 Stunden (Intel-Notebook mit 133 MHz Taktfrequenz). Das ist unter Berück-

5 sichtigung der Prozessorgeschwindigkeit und der Anzahl der Polygone und Koordinaten mehr als zwei Größenordnungen höher als beim Algorithmus von DOUGENIK et al. Durch die weiter zunehmende Geschwindigkeit der Rechner wird aber der Kostenfaktor Rechenzeit an Bedeutung verlieren. Die Algorithmen von MERRILL, SELVIN und MOHR (1991), EDELSBRUNNER und WAUPOTISCH (1995) oder DORLING (1995) verfolgen völlig andere Ansätze für die Konstruktion der Anamorphosen als die bisher vorgestellten Verfahren. MERRILL et al haben eine Lösung mit Methoden der mathematischen Optimierung entwickelt, die ohne Iteration auskommt. Die Rechenzeiten für diesen Algorithmus sind allerdings um mehrere Größenordnungen höher als die iterativen Verfahren, was diesen Ansatz als nicht sehr praktikabel erscheinen lässt, auch bei noch schnelleren Rechnern. EDELSBRUNNER und WAUPOTISCH verwenden kombinatorische Methoden aus der algorithmischen Geometrie. Der visuelle Eindruck der Ergebnisse ist allerdings wenig überzeugend. Das gleiche gilt für die Anamorphosen mit den Algorithmus von DORLING, in dem Konzepte für zelluläre Automaten angewendet werden. Anamorphosen beziehen ihre visuelle Wirkung aus dem Überraschungseffekt, den die Abweichung von der normalen Darstellung auslöst. Die Verfremdung wirkt aber nur, wenn dem Kartenleser die übliche graphische Konfiguration bekannt ist oder eine Vergleichsmöglichkeit in unmittelbarer Nähe besteht. In Abbildung 1 ist die gewohnte Karte der Bundesrepublik Deutschland als Vergleich enthalten. Bei Abbildung 2 fallen dem Experten für die Bevölkerungsverteilung, aber auch dem politisch interessierten Bürger mit Kenntnissen zur Raumstruktur die erheblich vergrößerten Flächen der großen Städte und der Agglomerationsregionen einerseits und die bevölkerungsarmen Regionen andererseits dem Experten für die Bevölkerungsverteilung sofort ins Auge. Systematische Untersuchungen zur Perzeption von Anamorphosen wurden unter anderem durchgeführt von DENT (1975) und in neuerer Zeit von ASCHWANDER (1995). Kartographische Lupen In der Abbildung 3 ist das Gebiet, das ungefähr die östlichen Bundesländer umfasst, mit einer nichtlinearen Projektion abgebildet. Zusammen mit dem Kartentitel wird mehr oder weniger intuitiv vermittelt, dass dieses Gebiet ein aktueller Schwerpunkt für die Raumordnungspolitik ist und sich besonderer Aufmerksamkeit der Bundesregierung erfreut, nicht zuletzt aufgrund der offensichtlichen visuellen Analogie mit einer Lupe. Wie bei den Anamorphosen wird der Verfremdungseffekt der nichtlinearen Projektion genutzt, um den Zuhörern eines Vortrags die Botschaft ohne viele Erklärungen zu vermitteln. Dieser Typ der nichtlinearen Projektion, auch Fischauge-Projektion in Analogie zum einem Superweitwinkel-Objektiv genannt, wird auch in anderen Anwendungsfeldern der Computergraphik eingesetzt, um durch lokale und temporäre Vergrößerung komplexe Graphiken besser zugänglich zu machen. Die virtuelle Lupe unterscheidet sich von einer normalen Lupe dadurch, dass der Vergrößerungsfaktor variabel ist. In der Mitte der Lupe ist der Faktor am größten. Je mehr man sich dem Rand der virtuellen Lupe nähert, umso kleiner wird der Abbildungsfaktor. Damit der vergrößerte Bereich nahtlos an den unvergrößerten Bereich angeschlossen werden kann, muss der lokale Abbildungsfaktor in der Nähe des Randes kleiner sein als der Vergrößerungsfaktor für den Rest des Bildes. Es entsteht der Eindruck, als ob ein Teil der ebenen Fläche auf eine Halbkugel oder ein Ellipsoid projiziert wäre. Der Vorteil dieser Lupe mit variablem Abbildungsfaktor ist der Erhalt des topologischen Zusammenhangs in der Karte. Der vergrößerte und der nicht vergrößerte Bereich des Bildes gehen nahtlos ineinander über, ohne Unstetigkeit oder Verdeckung von nicht vergrößerten Bereichen und mit allen Nachbarschaftsbeziehungen. Die visuelle Verbindung des vergrößerten mit dem unvergrößerten Bereich der Karte bleibt erhalten.

6 Für die Konstruktion der Abbildung 3 wurden die Transformationsfunktionen von SARKAR und BROWN (1994) benutzt. Als Variablen gehen in die Formel der maximale Vergrößerungsfaktor und der Durchmesser der Lupe ein. Die Radialtransformation mit einer kreisförmigen Lupe ist für kartographische Anwendungen vorzuziehen. Die Projektionsformeln erlauben aber auch eine kissenförmige Projektion, die aber eher für Graphiken mit geometrischen Elementen parallel zu den Achsen geeignet ist, zum Beispiel für elektronische Schaltkreise. Fischauge-Projektionen werden auch für perspektivische Darstellungen von 3D-Objekten angewendet, um dichte visuelle Konfigurationen lokal und temporär aufzulösen und dadurch besser erfassbar zu machen (CARPENDALE, COWPERTHWAITE und FRACCHIA 1995). Abb. 3 Nichtlineare Projektion zur Hervorhebung eines bestimmten Gebietes Die Nutzung der Fischauge-Projektionen als Aufmerksamkeitserreger (Abbildung 3) ist eher selten. Das hauptsächliche Anwendungsfeld der virtuellen Lupen ist die interaktive Inspektion von Karten und anderen komplexen Graphiken auf dem Bildschirm. Die Abbildung 4 soll diese Art der Anwendung durch die drei Karten der Bevölkerungsdichte mit unterschiedlichen Lupenparametern und Mittelpunkten repräsentieren. Die Legende mit dem Gitternetz ist eine zusätzliche Hilfe zur Beurteilung der Transformation.

7 Abb. 4 Lokale Vergrößerung in einer Karte der Bevölkerungsdichte (Signaturlegende und Text weggelassen) Bezüglich der technischen Realisierung wäre eine Maus mit zwei Rändelrändern das ideale Interaktionswerkzeug für diesen Zweck. Der Mauszeiger definiert wie gewohnt den Mittelpunkt der Lupe. Mit dem einem Rändelrad wird der Abbildungsfaktor gewählt, mit dem anderen Rad der Durchmesser der Lupe. Auf diese Weise kann man sich mit beliebigen lokalen Vergrößerungen durch eine Karte auf dem Bildschirm bewegen, ohne dass der Bezug zum Gesamtbild verloren geht. Denkbar wäre auch eine Veränderung der Detailgenauigkeit und der Auflösung (VLOD, variable level of detail) in Abhängigkeit von den Variablen der Lupe. Die Implementierung dieses Konzepts ist für die allgemeine Anwendung nicht ganz trivial, weil die am häufigsten verwendeten Rechnerumgebungen wenig Unterstützung für Echtzeit-Transformationen von Vektordaten bieten. Für Raster-Darstellungen sind die ersten Implementierungen von nichtlinearen Projektionen in Echtzeit veröffentlicht, mit denen dieses Konzept und sein Nutzen für die interaktive Inspektion von Karten und anderen Graphiken experimentell überprüft werden kann (RAUSCHEN- BACH, WEINKAUF und SCHUMANN 2000). Literatur ASCHWANDER, C. (1995) Kognitionsstudien mit Flächenkartogrammen. Diplomarbeit, Geographisches Institut, Universität Zürich BERTIN, Jacques (1974), Graphische Semiologie. De Gruyter CARPENDALE, M. S. T., COWPERTHWAITE, D. J., FRACCHIA, F. D. (1995), 3-Dimensional pliable surfaces: for the effective presentation of visual information. Proceedings of the ACM Symposium on User Interface and Technology UIST '95, DENT, B. D. (1975) Communication aspects of value-by-area cartograms. The American Cartographer 2.2, DORLING, D. (1995) Area cartograms: their use and creation. Department of Geography, University of Newcastle upon Tyne, UK, August 1995 DOUGENIK, J. A., CHRISMAN, N. R., NIEMEYER, D. M. (1985) An algorithm to construct continuous area cartograms. Professional Geographer, 37(1), 1985, EDELSBRUNNER, H., WAUPOTISCH, R. (1995) A combinatorial approach to cartograms. Proceedings of the 11 th Annual Symposium on Computational Geometry. ACM Press, HÄGERSTRAND, T. (1957) Migration and area. In: Migration in Sweden, Lund Studies in Geography, Ser. B, Human Geography, No. 13, 1957, KOCMOUD, C. J. (1997) Constructing continuous cartograms: a constraint-based approach. MA thesis, Texas A&M University KOCMOUD, C. J., HOUSE D. H. (1998) A constraint-based approach to constructing continuous cartograms. Proceedings 8 th International Symposium on Spatial Data Handling, Vancouver 1998

8 MERRILL, D. M., SELVIN, S., MOHR, M. S. (1991) Analyzing geographic clustered response. Proceedings of the 1991 Joint Statistical Meeting of the American Statistical Association. Langfassung: Lawrence Berkeley Laboratory Report No , June 1991 RAUSCHENBACH, U., WEINKAUF, T., SCHUMANN, H. (2000) Interactive focus and context display of large raster images. Proceedings WSCG 2000, Plzen, Tschechien. SPIEKERMANN, K., WEGENER, M. (1993) Zeitkarten für die Raumplanung. Informationen zur Raumentwicklung , RASE, W.-D. (1997) Fischauge-Projektionen als kartographische Lupen. Salzburger Geographische Materialien, Heft 25, Salzburg 1997, SARKAR, M., BROWN, M. H. (1994) Graphical fisheye views. Communications of the ACM, Vol. 37, No. 12, December 1994, TOBLER, W. R. (1963) Geographical area and map projections. The Geographical Review VIII 1, TOBLER, W. R (1973) Cartogram programs. Cartography Laboratory Report No. 3, Department of Geography, University of Michigan, Ann Arbor, USA TOBLER, W. R. (1976) Cartograms and cartosplines. Proceedings Workshop on Automated Cartography and Epidemiology, National Center for Health Statistics, Washington, D. C., 53-58