Langfristiger Kompetenzaufbau im mathematischen Modellieren in den Sekundarstufen - ganz konkret! Konzepte Methoden Beispiele

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1 Langfristiger Kompetenzaufbau im mathematischen Modellieren in den Sekundarstufen - ganz konkret! Konzepte Methoden Beispiele Prof. Dr. Regina Bruder Technische Universität Darmstadt Fulda

2 Gliederung 1. Warum Mathematisches Modellieren im allgemeinbildenden MU?. Ziele, Inhalte und Konzepte für einen langfristigen Kompetenzaufbau im Mathematischen Modellieren 3. Verpackungsoptimierung: Mathematisch Modellieren lernen in verschiedenen Stufen

3 Vision für modernen MU: Was soll durch den Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. behalten und Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

4 Mathematisch modellieren können, das soll bedeuten AI - Vertraute und direkt erkennbare Modelle nutzen - Einfachen Erscheinungen aus der Erfahrungswelt mathematische Objekte zuordnen - Resultate am Kontext prüfen AII - Modellierungen, die mehrere Schritte erfordern, vornehmen - Ergebnisse einer Modellierung interpretieren und an der Ausgangssituation prüfen - einem mathematischen Modell passende Situationen zuordnen AIII - komplexe oder unvertraute Situationen modellieren - verwendete mathematische Modelle (wie Formeln, Gleichungen, Darstellungen von Zuordnungen, Zeichnungen, strukturiere Darstellungen, Ablaufpläne) reflektieren und kritisch beurteilen

5 Langfristiger Kompetenzaufbau bezüglich eines mathematischen Blickes in die Welt, kann heißen: a) Die Umwelt/Lebenswelt mit mathematischem/logischem Blick kritisch prüfen: Stimmt das? Kann das denn sein? Warum ist das so? b) Den Mehrwert von Mathematik erfahren: Wo kommt Mathematik vor wo ist Mathematik versteckt? Wie fragen Mathematiker? Was wissen wir jetzt besser/genauer mit Mathematik als vorher? Beispiele: - wir können Größen abschätzen - wir können Dinge, Sachverhalte, Anteile miteinander vergleichen - wir können unzugängliche Abstände bestimmen - wir können Verpackungen optimieren

6 a) Schätze das Volumen dieser Schachtel und beschreibe, wie du dabei vorgehst! b) Wenn das Volumen des Inhalts 70% (oder weniger) des Volumens der Verpackung beträgt, spricht man von einer Mogelpackung. Handelt es sich hier um eine Mogelpackung? Begründe deine Meinung rechnerisch.

7 Wo findet man Realität, die wirklich mathematisch betrachtet wird? Verpackungen kreieren und analysieren a)wie viel Prozent des Packungsvolumens enthält essbaren Inhalt? b)sind die Kriterien für eine Mogelpackung erfüllt? c)wie könnte man die 15 Pralinen noch anders verpacken? Konstruiere einen neuen Vorschlag!

8 Warum Modellieren als Ganzes im MU Platz finden soll - Es wird das von den SuS angewendet, was sie gerade aktuell im MU gelernt haben: Blick von der Mathematik in die Welt muss ergänzt werden durch den Blick auf die Realität mit der Mathebrille! - Es gibt bisher zu wenig Gelegenheit zu zeigen, was an mathematischen Begriffen, Zusammenhängen und Verfahren tatsächlich verfügbar ist (Kompetenz!) -Modellierungssituationen bieten diese Chance!

9 Gliederung 1. Warum Mathematisches Modellieren im allgemeinbildenden MU?. Ziele, Inhalte und Konzepte für einen langfristigen Kompetenzaufbau im Mathematischen Modellieren 3. Verpackungsoptimierung: Mathematisch Modellieren lernen in verschiedenen Stufen

10 Langfristiger mathematischer Kompetenzaufbau kann angelegt werden - innerhalb eines Schuljahres über verschiedene Unterrichtsthemen bzw. Leitideen hinweg in horizontaler Verknüpfung (z.b. Abschätzaufgaben in verschiedenen Kontexten) - innerhalb einer Leitidee, aber vertikal mit fachlicher Anreicherung angelegt über mehrere Klassenstufen. (Beispiel: Entfernungs- bzw. Abstandsbestimmungen, Anteilsbestimmungen) Benötigt wird ein lernförderliches unterrichtliches Umfeld.

11 Schätzen und Überschlagen von Größen (sinnhaft!!) und Annahmen machen Schaffen es die Luftballons bis über den nahe gelegenen Berg? Alternative Verpackungen finden Erfüllt die Konfektschachtel die Kriterien einer Mogelpackung? Wie viel Liter Wasser passen in diesen Fasswagen?

12 Was ist wesentlich? Orientierung an der Curriculumspirale Abstände Figuren erkennen untersuchen erzeugen variieren berechnen Datensätze beschreiben darstellen strukturieren Algebraische Aspekte: Zahl Geometrische Aspekte: Raum Objekte (und Prozesse) optimieren - bei Verpackungen

13 Modellieren lernen Aufgaben für Teile UND Aufgaben für das Ganze. November 010 Fachbereich Mathematik AG Didaktik Ulrich Böhm 13

14 Modellieren lernen Mathematisieren Gelegenheiten zum Wählen geeigneter Mathematik. November 010 Fachbereich Mathematik AG Didaktik Ulrich Böhm 14

15 Prozess des mathematischen Modellierens Kompetenzaspekte: -Intelligentes Wissen -Handlungskompetenz - Probieren - Musterorientierung - Feldorientierung -Metakompetenz. November 010 Fachbereich Mathematik AG Didaktik Ulrich Böhm 15

16 Aufgabentypen zum Validieren Ist das richtig? Wer hat recht? Was stimmt nicht?. November 010 Fachbereich Mathematik AG Didaktik Ulrich Böhm 16

17 Klasse 5/6 U.Böhm, 010

18 Wie kann man mathematische Modellierungskompetenz langfristig aufbauen? Probierorientierung Lösen von Beispielaufgaben z.b. Wird man weniger nass, wenn man schneller läuft, wenn es regnet? Wie lang wird ein Zahnpastastreifen? Wie lange dauert der Wasserwechsel im Schwimmbad?

19 Wie kann man mathematische Modellierungskompetenz langfristig aufbauen? Probierorientierung S: Lösen von Beispielaufgaben (alle Formate) z.b. Wird man weniger nass, wenn man schneller läuft, wenn es regnet? Wie lang wird ein Zahnpastastreifen? Wie lange dauert der Wasserwechsel im Schwimmbad? Übergang zur L: Was war hilfreich, um diese Musterorientierung Fragen zu beantworten? S: Lösen weiterer Beispielaufgaben mit Feedback und Vergleich verschiedener Aufgaben bzgl. ähnlicher Vorgehensweisen L: Input: Modellierungskreislauf und Fokussierung der Teilhandlungen in den Kontexten Mathematik Realität Mathematisches Modell Realmodell 1 3 Realsituation 5 Mathematische Ergebnisse 4 Reale Ergebnisse

20 Wie kann man mathematische Modellierungskompetenz langfristig aufbauen? Probierorientierung Orientierung am Muster Mathematik Realität Mathematisches Modell Übergang zur Feldorientierung Realmodell 1 3 Realsituation 5 Mathematische Ergebnisse 4 Reale Ergebnisse S: Lösen von Beispielaufgaben mit Feedback und Vergleich verschiedener Aufgaben bzgl. ähnlicher Vorgehensweisen S: Lösen von Aufgaben zu den Teilhandlungen des Modellierens in wenig variierenden Kontexten mit schrittweiser Erweiterung L: Musterlösungen mit Kommentierung stehen zur Orientierungsbildung zur Verfügung Aufgabentyp: Weg und Ziel sind wichtig! S: Reflexion des Modellierungskreislaufes und der Teilhandlungen bzgl. Einsatz von Mathematik und von Strategien

21 Wie kann man mathematische Modellierungskompetenz langfristig aufbauen? Probierorientierung Orientierung am Muster Feldorientierung S: Lösen von Beispielaufgaben mit Feedback und Vergleich verschiedener Aufgaben bzgl. ähnlicher Vorgehensweisen S: Lösen von Aufgaben zu den Teilhandlungen des Modellierens S: Reflexion des Modellierungskreislaufes und der Teilhandlungen bzgl. Einsatz von Mathematik und von Strategien Mathematisches Modell Mathematik Realität 3 Mathematische Ergebnisse 4 S: Vergleichen von Modellierungsbeispielen und Herausarbeiten von Analogien mit Verallgemeinerung, die im Modellierungskreislauf verortet wird; Realmodell 1 5 Realsituation Reale Ergebnisse Transfer auf andere Kontexte Eigene Beispiele finden

22 Gliederung 1. Warum Mathematisches Modellieren im allgemeinbildenden MU?. Ziele, Inhalte und Konzepte für einen langfristigen Kompetenzaufbau im Mathematischen Modellieren 3. Verpackungsoptimierung: Mathematisch Modellieren lernen in verschiedenen Stufen

23 . Verpackungsoptimierung: Mathematisch Modellieren in verschiedenen Stufen Was ist an Verpackungen von Bedeutung? (relevante Fragen stellen lernen) Schutzfunktion Schutz des Füllguts über die gesamte Lieferund Gebrauchskette Transportierbarkeit Schutz vor Veränderung der Produktqualität Schutz vor Füllgutverlusten Informationsträger Verpackung als System: Verkaufs-, Um- und Transportverpackung Art des Materials Form Handhabbarkeit Herstellungsverfahren

24 Die öffentliche Diskussion hat sich in den vergangenen Jahren von der Nachhaltigkeit (Rio) über die Klimadiskussion auf eine Kohlenstoff-Fußabdrucks-Diskussion in der Öffentlichkeit zugespitzt Verschiedene Hersteller auf europäischer Ebene wollen auf Produkten bzw. Verpackungen zukünftig freiwillig über die erzeugten CO - Emissionen informieren.

25 In Deutschland sind Politik und Wirtschaft von der Wirkung einer quantitativen CO -Kennzeichnung nicht überzeugt. (Ergebnisbericht PCF-Projekt, Januar 009)

26 - Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Rundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik in Verpackungen versteckt? Vergleichen verschiedener Verpackungen miteinander Frage: Welche Mathematik wird wofür benötigt? Art des Materials Form Handhabbarkeit Herstellungsverfahren Ökologische Aspekte

27 Vergleichen verschiedener Verpackungen miteinander nach Art des Materials mit Optimierungsideen allerdings in Abhängigkeit von der Art der Herstellung

28 Vergleichen verschiedener Verpackungen miteinander nach der Form der Verpackung in Verbindung mit dem Herstellungsverfahren und der Optimierung des Materialverbrauchs

29 Mathematisch Optimieren am Beispiel von Verpackungen Ein Volumen von 1 Liter/1 dm³ soll verpackt werden! Es sind Bedingungen für eine minimale Oberfläche bei verschiedenen gegebenen Körperformen zu finden! Mögliche Körperformen: Mögliche Kugel, Zylinder, Körperformen: Würfel, Kreiskegel, Kugel, Prisma Zylinder, mit gleichseitigem Würfel, Kreiskegel, Dreieck als Prisma Grundfläche, mit gleichseitigem Dreieck als Grundfläche, Pyramide mit quadratischer Pyramide Grundfläche, mit quadratischer Grundfläche, Tetraeder Tetraeder

30 Ein Volumen von 1 Liter/1dm³ soll verpackt werden! Körper Optimale Verpackung Kugel A = 4 πr r = 3 V 3 4 π A = 483,60 cm Zylinder A = πr + V V r r = 3 V 3 π A = 553,58 cm Würfel A = 6 a a = 3 V A = 600cm Kreiskegel A 9 V 4 6 πr + + r r = A = 609,30cm = π r 9 V 8 π

31 Prisma mit gleichseitigem Dreieck als Grundfläche A = a V a 3 a = 3 4 V A = 654,57cm Pyramide mit quadratischer A = a + a V a A = 660,39 cm Grundfläche Tetraeder A = a 3 a 1 V = 3 A = 70,56cm

32 - Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Rundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik in Verpackungen versteckt? Vergleichen verschiedener Verpackungen miteinander Frage: Welche Mathematik wird wofür benötigt? Art des Materials Form Handhabbarkeit Herstellungsverfahren Ökologische Aspekte

33 Fallbeispiel: Bier in Glasflasche oder Alu-Dose Die ökologischen Stellschrauben innerhalb eines Produktlebenswegs sind je nach Umweltproblemfeld an unterschiedlichen Stellen zu finden. Entsorgung + Recycling Distribution g PO4-Äquivalente pro l Füllgut Abfüllung UBC-Recycling 1 Sekundäre- 5 und tertiäre Verpackung 0 Kunststoff-Herstellung. Etikettherstellung Verschlussherstellung Getränkebehälterherstellung kg CO-Äquivalente pro 1000 l Bier Fallbeispiel 1: Regionaler Vertrieb Treibhauseffekt Distribution k g C O -Ä quiv alente pro 1000 l B ier Treibhauseffekt Fallbeispiel : Deutschland weiter Vertrieb Prozessschrottaufbereitung 0 0 Dosenbandherstellung Primär-Aluminium-Herstellung, Blechherstellung für Kronkorken 0. Glas T100 UZ5 4. Alu T100 Glas MW Alu-Dos 0 5. Glas T Alu T680 UZ11 MW EW Quelle: IntJLCA (Basis: IFEU-Studie im Auftrag der GDA)

34 Beispiele für Analysen von Verpackungen Ist die Tetrapak-Milchtüte materialoptimal? Ansatz 1 Der erste Ansatz berücksichtigt ausschließlich die Materialminimalität der 1-Liter-Milchtüte mit quadratischer Grundfläche. Aspekte wie Stabilität, Handlichkeit und Öffne- und Wiederverschließmöglichkeit, die in der realen Herstellung beachtet werden müssen, spielen keine Rolle. Wollen Sie Ihre CDs in der Hülle verschicken, empfehlen wir Ihnen den Jewelcase Versandbrief. Auch er ist selbstklebend und portooptimiert. Prüfe das nach!

35 - Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Rundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik in Verpackungen versteckt? Vergleichen und Analysieren von Verpackungen Frage: Welche Mathematik wird wofür benötigt? Realsituationen mathematisch beschreiben: Material- und Kostenoptimierung bei der Herstellung von Verpackungen unter Berücksichtigung von Nutzerfreundlichkeit Schutz und Haltbarkeit des Verpackungsinhalts ökologischer Aspekte Frage: Wie kann man solche Situationen/Zusammenhänge mathematisch beschreiben? Welche Vorteile, welchen Mehrwert kann eine mathematische Beschreibung bieten?

36 Realsituationen mathematisch beschreiben: 1.) Optimierung der Verpackung auf der Palette unter Berücksichtigung von Schachtelbauarten, Schachtelabmessungen, Materialverbrauch, der Qualitätsbestimmung einzusetzender Wellpappe für die Versandverpackung und der Geometrie der Produktverpackung;.) Optimierung des Verpackungsspektrums, d.h. Reduzierung der Verpackungsvielfalt durch optimales Packen der Artikel in der Verpackung und optimale Stapelung der Packungen auf der Palette, sowie durch Verpackungsauswahl und statistische Auswertung der Packergebnisse Quelle:

37 Realsituationen mathematisch beschreiben: Wie gelingt hier eine materialsparende Herstellung? Dosenoptimierung unter dem Gesichtspunkt der Nutzerfreundlichkeit

38 Innehalten und Orientieren : Mathematikbrille aufsetzen zur Reflexion Welches sind typische Fragen, die Mathematiker stellen und auch zu beantworten versuchen? -etwas optimieren -etwas schrittweise verfeinern, annähern -einen Algorithmus finden (eine Formel ) für einen Zusammenhang -Mathematische Modelle für Realsituationen finden, Simulationen Wenn man eine Lösung für ein Problem gefunden hat: - Ist das die einzige Lösung? Kann man das beweisen? - Kann man diese spezielle Lösung auch verallgemeinern?

39 Verpackungen machen in Deutschland ca. 1% in der CO-Gesamtemission aus. Durchschnittbilanz Tonnen CO pro Jahr Durchschnittliche CO - Emission pro Kopf in Privathaushalten Heizen und Warmwasser 1,97 Elektrogeräte 0,75 Energieverbrauch gesamt,7 Verbrauch der Allgemeinheit 11% Heizen und Warmwasser 18% Privatfahrzeuge 1,56 Offentliche Verkehrsmittel 0,11 Flugreisen 0,85 Mobilität gesamt,5 Ernährung 1,65 Persönlicher Konsum,75 Verbrauch der Allgemeinheit 1,4 Konsum gesamt 5,64 Gesamt 10,88 Persönlicher Konsum 6% Ernährung 15% Elektrogeräte 7% Offentliche Verkehrsmittel 1% Flugreisen 8% Privatfahrzeuge 14% Quelle: Umweltbundesamt

40 Wie kann man mathematische Modellierungskompetenz langfristig aufbauen? Wo starten Sie? Probierorientierung Orientierung am Muster Feldorientierung S: Lösen von Beispielaufgaben mit Feedback und Vergleich verschiedener Aufgaben bzgl. ähnlicher Vorgehensweisen S: Lösen von Aufgaben zu den Teilhandlungen des Modellierens (Mathematisieren, Interpretieren, S: Reflexion des Modellierungskreislaufes und der Teilhandlungen bzgl. Einsatz von Mathematik und von Strategien Mathematisches Modell Mathematik Realität 3 Mathematische Ergebnisse 4 S: Vergleichen von Modellierungsbeispielen und Herausarbeiten von Analogien mit Verallgemeinerung, die im Modellierungskreislauf verortet wird; Realmodell 1 5 Realsituation Reale Ergebnisse Transfer auf andere Kontexte Eigene Beispiele finden

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