Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe
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- Gottlob Engel
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1 Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe Janko Boehm Technische Universität Kaiserslautern 12. Juli 2017 Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
2 Singular-Arbeitsgruppe Vertiefungsgebiet: Algebra, Geometrie u. Computeralgebra Prof. Wolfram Decker Prof. Claus Fieker Prof. Mathias Schulze Dr. Christian Eder Dr. Hans Schönemann Prof. Gert-Martin Greuel Dr. Janko Boehm Prof. Gerhard Pfister Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
3 Singular Ist eines der führenden Open-Source Computeralgebrasysteme Anwendungen: Lösen von polynomialen Gleichungssytemen 2x 2 xy + 2y 2 2 = 0 2x 2 3xy + 3y 2 2 = 0 Kommutative Algebra Algebraische Geometrie Kryptographie, Computational Biology, Robotics,... Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
4 Fachpraktika Alle Themen als kurzes oder langes Fachpraktikum. Bachelorarbeit kann sich anschließen. Nützlich, aber keine Voraussetzung: Einführung in das symbolische Rechnen mit Praktikum Programmiersprachen: Singular C/C++ Julia Beispiele von abgeschlossenen/laufenden Fachpraktika: Erweiterung der Ausgabe von Singular (LaTeX, MathML). Bibliothek für Hyperebenenarrangements. Mengen in Singular. Zylindrische algebraische Zerlegung. Real root isolation in Singular. Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
5 1. Surf-Anbindung Surf ist ein Raytracing-Programm zur Visualisierung von - ebenen algebraischen Kurven in R 2 - algebraischen Flächen in R 3 Rudimenäre Singular-Anbindung existiert. Sprachen: Singular Surf-Script, siehe Surf Manual Ziele: Spezifikation von Bereich, Objekt- u. Hintergrundfarbe, Beleuchtung Mehrfachplots Animationen 3D-Output (.mpo) Hyperebenenschnitte von Flächen Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
6 1. Surf-Anbindung Mathematik: Markierung von Singularitäten Deformationen als Animationen Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
7 2. Surf mit grafischer Benutzeroberfläche Visualisierung von singulären Kurven, z.b. {x 2 (x + 1) y 2 = 0} 2 Maple: Surf: Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
8 2. Surf mit grafischer Benutzeroberfläche GUI existiert aber verwendet veraltete Grafik-Bibliothek GTK Ziel: GUI neu schreiben Erweiterung um 3D-Ausgabe für Flächen Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
9 3. Surface Tesselation Models Ziel: Design eines Algorithmus zur Erzeugung von Surface Tesselation 3d-Modellen algebraischer Flächen (.stl) {x 2 + y 2 z 2 = 0} Mathematik: Behandlung von Singularitäten Implementierung (Sprachwahl frei), Singular-Anbindung Verwendung für: Ausgabe über Grafikkarten 3d-Druck Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
10 4. Singular Online Tutorial: Plane Algebraic Curves für Plane Algebraic Curves, Prama: Symbolisches Rechnen. Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
11 5. Berechnung der Modalität von Singularitäten R = K [[x 1,..., x n ]] m = x 1,..., x n f, g m sind rechtsäquivalent, geschrieben f g, wenn es einen K-Algebraautomorphismus ϕ von R gibt, sodass ϕ(f ) = g. Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
12 5. Berechnung der Modalität von Singularitäten R = K [[x 1,..., x n ]] m = x 1,..., x n f, g m sind rechtsäquivalent, geschrieben f g, wenn es einen K-Algebraautomorphismus ϕ von R gibt, sodass ϕ(f ) = g. Funktionen f mit isolierten Singularitäten sind endlich determiniert, d.h. ist f g m k+1 für k groß genug, dann ist f g. Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
13 5. Berechnung der Modalität von Singularitäten R = K [[x 1,..., x n ]] m = x 1,..., x n f, g m sind rechtsäquivalent, geschrieben f g, wenn es einen K-Algebraautomorphismus ϕ von R gibt, sodass ϕ(f ) = g. Funktionen f mit isolierten Singularitäten sind endlich determiniert, d.h. ist f g m k+1 für k groß genug, dann ist f g. Durch Eliminieren von Monomen mittels geeignetem ϕ und Normieren von Koeffizienten zu 1 so weit wie möglich, bleiben nur endlich viele Modulparameter. Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
14 5. Berechnung der Modalität von Singularitäten R = K [[x 1,..., x n ]] m = x 1,..., x n f, g m sind rechtsäquivalent, geschrieben f g, wenn es einen K-Algebraautomorphismus ϕ von R gibt, sodass ϕ(f ) = g. Funktionen f mit isolierten Singularitäten sind endlich determiniert, d.h. ist f g m k+1 für k groß genug, dann ist f g. Durch Eliminieren von Monomen mittels geeignetem ϕ und Normieren von Koeffizienten zu 1 so weit wie möglich, bleiben nur endlich viele Modulparameter. Für eine bestimmte Klasse von Funktionen kann man die Anzahl der Modulparameter ablesen sobald alle Monome unter dem f zugeordneten Newtonpolygon eliminiert sind Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
15 5. Berechnung der Modalität von Singularitäten R = K [[x 1,..., x n ]] m = x 1,..., x n f, g m sind rechtsäquivalent, geschrieben f g, wenn es einen K-Algebraautomorphismus ϕ von R gibt, sodass ϕ(f ) = g. Funktionen f mit isolierten Singularitäten sind endlich determiniert, d.h. ist f g m k+1 für k groß genug, dann ist f g. Durch Eliminieren von Monomen mittels geeignetem ϕ und Normieren von Koeffizienten zu 1 so weit wie möglich, bleiben nur endlich viele Modulparameter. Für eine bestimmte Klasse von Funktionen kann man die Anzahl der Modulparameter ablesen sobald alle Monome unter dem f zugeordneten Newtonpolygon eliminiert sind Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
16 5. Berechnung der Modalität von Singularitäten R = K [[x 1,..., x n ]] m = x 1,..., x n f, g m sind rechtsäquivalent, geschrieben f g, wenn es einen K-Algebraautomorphismus ϕ von R gibt, sodass ϕ(f ) = g. Funktionen f mit isolierten Singularitäten sind endlich determiniert, d.h. ist f g m k+1 für k groß genug, dann ist f g. Durch Eliminieren von Monomen mittels geeignetem ϕ und Normieren von Koeffizienten zu 1 so weit wie möglich, bleiben nur endlich viele Modulparameter. Für eine bestimmte Klasse von Funktionen kann man die Anzahl der Modulparameter ablesen sobald alle Monome unter dem f zugeordneten Newtonpolygon eliminiert sind Ziel: Implementiere die Berechnung der Modalität Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
17 5. Berechnung der Modalität von Singularitäten R = K [[x 1,..., x n ]] m = x 1,..., x n f, g m sind rechtsäquivalent, geschrieben f g, wenn es einen K-Algebraautomorphismus ϕ von R gibt, sodass ϕ(f ) = g. Funktionen f mit isolierten Singularitäten sind endlich determiniert, d.h. ist f g m k+1 für k groß genug, dann ist f g. Durch Eliminieren von Monomen mittels geeignetem ϕ und Normieren von Koeffizienten zu 1 so weit wie möglich, bleiben nur endlich viele Modulparameter. Für eine bestimmte Klasse von Funktionen kann man die Anzahl der Modulparameter ablesen sobald alle Monome unter dem f zugeordneten Newtonpolygon eliminiert sind Ziel: Implementiere die Berechnung der Modalität. Sprache: Singular/Julia. Anwendung: Klassifikation von Singularitäten. Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
18 6. Divisonsfreie Berechnung von Determinanten Berechne über einem kommutativen Ring R für a 1,1... a 1,n A =.. R n n a n,1... a n,n die Determinante det(a) = σ S n sign(σ) a 1,σ(1)... a n,σ(n) Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
19 6. Divisonsfreie Berechnung von Determinanten Berechne über einem kommutativen Ring R für a 1,1... a 1,n A =.. R n n a n,1... a n,n die Determinante Ad-hoc Verfahren: det(a) = σ S n sign(σ) a 1,σ(1)... a n,σ(n) Gauß (benötigt Divisionen). Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
20 6. Divisonsfreie Berechnung von Determinanten Berechne über einem kommutativen Ring R für a 1,1... a 1,n A =.. R n n a n,1... a n,n die Determinante Ad-hoc Verfahren: det(a) = σ S n sign(σ) a 1,σ(1)... a n,σ(n) Gauß (benötigt Divisionen). Determinantenentwicklung (langsam). Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
21 6. Divisonsfreie Berechnung von Determinanten Berechne über einem kommutativen Ring R für a 1,1... a 1,n A =.. R n n a n,1... a n,n die Determinante Ad-hoc Verfahren: det(a) = σ S n sign(σ) a 1,σ(1)... a n,σ(n) Gauß (benötigt Divisionen). Determinantenentwicklung (langsam). Definition (langsam). Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
22 6. Divisonsfreie Berechnung von Determinanten Berechne über einem kommutativen Ring R für a 1,1... a 1,n A =.. R n n a n,1... a n,n die Determinante Ad-hoc Verfahren: det(a) = σ S n sign(σ) a 1,σ(1)... a n,σ(n) Gauß (benötigt Divisionen). Determinantenentwicklung (langsam). Definition (langsam). Ziel: Implementiere effizientes Verfahren. Sprache: C/C++ Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
23 7. Gröbnerbasen über bewerteten Körpern Buchberger-Algorithmus zur Berechnung von Gröbnerbasen. Idee: Teile x 2 y 2 durch x 2 + y und xy + x x 2 y 2 = 1 (x 2 + y ) + ( y 2 y ) x 2 + y y 2 y Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
24 7. Gröbnerbasen über bewerteten Körpern Buchberger-Algorithmus zur Berechnung von Gröbnerbasen. Idee: Teile x 2 y 2 durch x 2 + y und xy + x x 2 y 2 = 1 (x 2 + y ) + ( y 2 y ) also Rest = 0, aber x 2 + y y 2 y x 2 y 2 = y ( x 2 + y ) + x (xy + x) I := x 2 + y, xy + x Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
25 7. Gröbnerbasen über bewerteten Körpern Buchberger-Algorithmus zur Berechnung von Gröbnerbasen. Idee: Teile x 2 y 2 durch x 2 + y und xy + x x 2 y 2 = 1 (x 2 + y ) + ( y 2 y ) also Rest = 0, aber x 2 + y y 2 y x 2 y 2 = y ( x 2 + y ) + x (xy + x) I := x 2 + y, xy + x Problem: Leitterme kürzen sich. Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
26 7. Gröbnerbasen über bewerteten Körpern Buchberger-Algorithmus zur Berechnung von Gröbnerbasen. Idee: Teile x 2 y 2 durch x 2 + y und xy + x x 2 y 2 = 1 (x 2 + y ) + ( y 2 y ) also Rest = 0, aber x 2 + y y 2 y x 2 y 2 = y ( x 2 + y ) + x (xy + x) I := x 2 + y, xy + x Problem: Leitterme kürzen sich. Lösung: Füge y 2 + y zur Teilermenge hinzu. Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
27 7. Gröbnerbasen über bewerteten Körpern Buchberger-Algorithmus zur Berechnung von Gröbnerbasen. Idee: Teile x 2 y 2 durch x 2 + y und xy + x x 2 y 2 = 1 (x 2 + y ) + ( y 2 y ) also Rest = 0, aber x 2 + y y 2 y x 2 y 2 = y ( x 2 + y ) + x (xy + x) I := x 2 + y, xy + x Problem: Leitterme kürzen sich. Lösung: Füge y 2 + y zur Teilermenge hinzu. Implementierung des Buchberger-Algorithmus über Q mit p-adischer Bewertung (z.b. Einführung einer Bewertungsvariable und Modifikation des Monomvergleichs). Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
28 7. Gröbnerbasen über bewerteten Körpern Buchberger-Algorithmus zur Berechnung von Gröbnerbasen. Idee: Teile x 2 y 2 durch x 2 + y und xy + x x 2 y 2 = 1 (x 2 + y ) + ( y 2 y ) also Rest = 0, aber x 2 + y y 2 y x 2 y 2 = y ( x 2 + y ) + x (xy + x) I := x 2 + y, xy + x Problem: Leitterme kürzen sich. Lösung: Füge y 2 + y zur Teilermenge hinzu. Implementierung des Buchberger-Algorithmus über Q mit p-adischer Bewertung (z.b. Einführung einer Bewertungsvariable und Modifikation des Monomvergleichs). Anwendung: Berechnung von tropischen Varietäten. Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
29 7. Gröbnerbasen über bewerteten Körpern Buchberger-Algorithmus zur Berechnung von Gröbnerbasen. Idee: Teile x 2 y 2 durch x 2 + y und xy + x x 2 y 2 = 1 (x 2 + y ) + ( y 2 y ) also Rest = 0, aber x 2 + y y 2 y x 2 y 2 = y ( x 2 + y ) + x (xy + x) I := x 2 + y, xy + x Problem: Leitterme kürzen sich. Lösung: Füge y 2 + y zur Teilermenge hinzu. Implementierung des Buchberger-Algorithmus über Q mit p-adischer Bewertung (z.b. Einführung einer Bewertungsvariable und Modifikation des Monomvergleichs). Anwendung: Berechnung von tropischen Varietäten. Sprache: Singular und C/C++ Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
30 8. Algorithmen für Moduln über Polynomringen Sei R = K [x 1,..., x n ], M ein endlich erzeugter R-Modul. Dann hat M hat eine Präsentation Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
31 8. Algorithmen für Moduln über Polynomringen Sei R = K [x 1,..., x n ], M ein endlich erzeugter R-Modul. Dann hat M hat eine Präsentation R r A R g M 0 d.h. M = coker A = R g / image A Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
32 8. Algorithmen für Moduln über Polynomringen Sei R = K [x 1,..., x n ], M ein endlich erzeugter R-Modul. Dann hat M hat eine Präsentation R r A R g M 0 d.h. M = coker A = R g / image A Bilder will man meist nicht durch eine Präsentation darstellen M = image G R g Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
33 8. Algorithmen für Moduln über Polynomringen Sei R = K [x 1,..., x n ], M ein endlich erzeugter R-Modul. Dann hat M hat eine Präsentation R r A R g M 0 d.h. M = coker A = R g / image A Bilder will man meist nicht durch eine Präsentation darstellen M = image G R g Subquotienten verallgemeinern Cokerne und Bilder! M = image G + image A image A Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
34 8. Algorithmen für Moduln über Polynomringen Sei R = K [x 1,..., x n ], M ein endlich erzeugter R-Modul. Dann hat M hat eine Präsentation R r A R g M 0 d.h. M = coker A = R g / image A Bilder will man meist nicht durch eine Präsentation darstellen M = image G R g Subquotienten verallgemeinern Cokerne und Bilder! M = image G + image A image A Ziel: Implementiere Toolbox für Subquotienten: Elementare Operationen +,,... Freie Auflösungen 0 R a r... R a 1 M 0 Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
35 8. Algorithmen für Moduln über Polynomringen Sei R = K [x 1,..., x n ], M ein endlich erzeugter R-Modul. Dann hat M hat eine Präsentation R r A R g M 0 d.h. M = coker A = R g / image A Bilder will man meist nicht durch eine Präsentation darstellen M = image G R g Subquotienten verallgemeinern Cokerne und Bilder! M = image G + image A image A Ziel: Implementiere Toolbox für Subquotienten: Elementare Operationen +,,... Freie Auflösungen 0 R a r... R a 1 M 0 Graduierte Moduln, Bettitabellen Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
36 8. Algorithmen für Moduln über Polynomringen Sei R = K [x 1,..., x n ], M ein endlich erzeugter R-Modul. Dann hat M hat eine Präsentation R r A R g M 0 d.h. M = coker A = R g / image A Bilder will man meist nicht durch eine Präsentation darstellen M = image G R g Subquotienten verallgemeinern Cokerne und Bilder! M = image G + image A image A Ziel: Implementiere Toolbox für Subquotienten: Elementare Operationen +,,... Freie Auflösungen 0 R a r... R a 1 M 0 Graduierte Moduln, Bettitabellen Hom, Ext, Tor Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
37 8. Algorithmen für Moduln über Polynomringen Sei R = K [x 1,..., x n ], M ein endlich erzeugter R-Modul. Dann hat M hat eine Präsentation R r A R g M 0 d.h. M = coker A = R g / image A Bilder will man meist nicht durch eine Präsentation darstellen M = image G R g Subquotienten verallgemeinern Cokerne und Bilder! M = image G + image A image A Ziel: Implementiere Toolbox für Subquotienten: Elementare Operationen +,,... Freie Auflösungen 0 R a r... R a 1 M 0 Graduierte Moduln, Bettitabellen Hom, Ext, Tor Sprache: Singular / Julia. Anwendung: Algebraische Geometrie. Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
38 9. Zahlkörper 1 Graphen von Teilstrukturen: Finde kürzesten Weg zwischen Körpererweiterungen (falls existiert). Q( 2 + 3, ) Q( 2, 3) Q( 2) Q( 3) Q Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
39 9. Zahlkörper 1 Graphen von Teilstrukturen: Finde kürzesten Weg zwischen Körpererweiterungen (falls existiert). Q( 2 + 3, ) Q( 2, 3) Q( 2) Q( 3) Q 2 Relative Zahlkörper: Körpererweiterung K von Q sind von der Form K = Q[X ]/(f ), zum Beispiel K = Q( 2) = Q[X ]/(X 2 2). Da können wir effektiv rechnen. Wollen das gleiche auch für Erweiterungen L von K, zum Beispiel für L = Q( 2, 3) = K ( 3) = K [X ]/(X 2 3). Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
40 9. Zahlkörper 3 Erweiterungen von Q als Quotienten von Q[X 1,..., X n ]: Es ist Q( 2, 3, 5, 7, 11) = Q(θ) mit θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
41 9. Zahlkörper 3 Erweiterungen von Q als Quotienten von Q[X 1,..., X n ]: Es ist Q( 2, 3, 5, 7, 11) = Q(θ) mit θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 6 Sehr unhandlich! Nutze stattdessen θ θ Q( 2, 3, 5, 7, 11) = Q[x, y, z, w, s]/ x 2 2, y 2 3, z 2 5, w 2 7, s Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
42 9. Zahlkörper 3 Erweiterungen von Q als Quotienten von Q[X 1,..., X n ]: Es ist Q( 2, 3, 5, 7, 11) = Q(θ) mit θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 6 Sehr unhandlich! Nutze stattdessen θ θ Q( 2, 3, 5, 7, 11) = Q[x, y, z, w, s]/ x 2 2, y 2 3, z 2 5, w 2 7, s Diskrete Logarithmen: Ist G = g eine zyklische Gruppe und h G, wie kann man k Z 0 mit g k = h finden? Allgemein und auch für spezielle Gruppen wie F p oder F q. 5 Abelsche Gruppen: (alle) Untergruppen/Quotienten berechnen, Torsionsuntergruppe, Sylowgruppen und mehr. Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
43 9. Zahlkörper 3 Erweiterungen von Q als Quotienten von Q[X 1,..., X n ]: Es ist Q( 2, 3, 5, 7, 11) = Q(θ) mit θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 6 Sehr unhandlich! Nutze stattdessen θ θ Q( 2, 3, 5, 7, 11) = Q[x, y, z, w, s]/ x 2 2, y 2 3, z 2 5, w 2 7, s Diskrete Logarithmen: Ist G = g eine zyklische Gruppe und h G, wie kann man k Z 0 mit g k = h finden? Allgemein und auch für spezielle Gruppen wie F p oder F q. 5 Abelsche Gruppen: (alle) Untergruppen/Quotienten berechnen, Torsionsuntergruppe, Sylowgruppen und mehr. Sprache: julia (fast so schnell wie C, benutzerfreundlich wie Python oder Matlab) Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
44 The poset of elementary abelian subgroups of rank at least 2 Given a finite group G and a prime number p, an elementary abelian p-subgroup of G is an abelian subgroup E of G of exponent p, i.e. of the form E = C p C p. If the order of E is E = p a, then we call a the rank of E. The set of all the nontrivial elementary abelian p-subgroups of G of rank at least 2 is denoted E(G) 2. Inclusion of subgroups induces a partially ordered set structure on E(G) 2, of which we can consider connected components. Aim : Write a function in GAP4 to compute the number of connected components of E(G) juillet / 2
45 The class-breadth conjecture The class-breadth conjecture for groups with prime-power order was formulated by Leedham-Green, Neumann and Wiegold in They conjectured that, for a finite p-group G, the nilpotency class c(g) of G satisfies : c(g) b(g) + 1 where p b(g) is the size of the largest conjugacy class of G. Aim : Write a function in GAP4 (or MAGMA) to check this conjecture on the library of small groups. Can also be done using either group theory alone or using character theory. 12 juillet / 2
46 Zusammenfassung 1 Surf in Singular 2 Surf GUI 3 Surface tesselation 4 Singular online Tutorials 5 Berechnung der Modalität von Singularitäten 6 Divisonsfreie Berechnung von Determinanten 7 Gröbnerbasen über bewerteten Körpern 8 Algorithmen für Moduln über Polynomringen 9 Zahlkörper 10 und viele mehr. Janko Boehm (TU-KL) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe 12. Juli / 17
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Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe Janko Boehm boehm@mathematik.uni-kl.de Technische Universität Kaiserslautern 9. Juli 2018 Janko Boehm (TU Kaiserslautern) Fachpraktika in der Singular-Arbeitsgruppe
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