Aufgabe 1: Schräger Schuss und Rollen

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1 E1-04. Feb ECTS - S. 2 Name: Aufgabe 1: Schräger Schuss und Rollen Eine Kanone steht l = 8 m von einer h = 4 m hohen Mauer entfernt. Der Lauf der Kanone hat eine Neigung von ϑ = 45 und feuert eine Kugel mit einem Gewicht von 10 kg ab. Die Kanone selbst wiegt kg. a) Finden Sie die Austrittsgeschwindigkeit v 0 der Kugel, welche nötig ist um die Oberkante der Mauer zu treffen. (Nähern Sie ausnahmsweise g 9 m s 2, falls nötig) b) Welche maximale Höhe gegenüber des Abschusspunktes erreicht die Kugel vor dem Auftreffen auf die Mauer? c) Berechnen Sie die Anfangsgeschwindigkeit der Kanone nach dem Schuss und ob ein Schütze, der 1 m hinter der Kanone steht, von dieser überrollt wird. (Die Kanone kann auf dem Boden mit einem Gleitreibungskoeffizienten von c R = 10 2 gleiten).

2 E1-04. Feb ECTS - S. 4 Name: Aufgabe 2: Gasballon Ein Ballon wird auf Meereshöhe h 0 mit einem idealen einatomigen Gas der Dichte ρ 0Gas < ρ 0Luft bis zum Volumen V 0 < V max gefüllt und fest verschlossen (d.h. kein Gas kann mit der Umgebung ausgetauscht werden). Die Temperatur T des Gases im Ballon und der Atmosphäre sollen als konstant angenommen werden. a) Leiten Sie die Prallhöhe des Ballons her, also die Höhe, bei der das maximal mögliche Ausdehnungsvolumen V max des Ballons erreicht wird. b) Welche Steighöhe h max kann der Ballon maximal erreichen, wenn die Masse der Ballonhülle m B und die Nutzlast m N betragen? Während der Ballon noch auf Meereshöhe h 0 ist haben die Atome im Ballon folgende Geschwindigkeitsverteilung: f(v) = 4 ( m π 2k B T ) 3 2 v 2 e mv2 2k B T c) Berechnen Sie die am häufigsten auftretende Geschwindigkeit v der Gasatome im Ballon? d) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit v h0 der Gasatome im Ballon? (verwenden Sie hierzu: 0 v 3 e av2 dv = a 2 2 ) ) e) Wie ist das Verhältnis der mittleren Geschwindigkeiten v h0 /v hmax der Gasteilchen im Ballon vor dem Start (h 0 ) und beim Erreichen der Maximalhöhe h max?

3 E1-04. Feb ECTS - S. 6 Name: Aufgabe 3: Träges Pendel unter Wasser (15 Punkte) Ein Fadenpendel bestehe aus einem masselosen Faden der Länge l und einer homogenen Silberkugel mit Masse m und Radius R. Diese Pendel soll nun unter Wasser mit der Dichte ρ W schwingen. Die Länge l wird dabei vom Aufhängungspunkt bis zum Mittelpunkt der Kugel gemessen. Für die Dichte von Silber gilt ρ Ag > ρ W. Das gesamte Pendel hat das Trägheitsmoment I bezüglich des Aufhängungspunkts. a) Stellen Sie die Differentialgleichung für den Auslenkungswinkel φ (t) des Fadenpendels in Kleinwinkelnäherung auf. Gehen Sie von einer linearen Reibungskraft auf die Kugel von der Form F R = bẋ aus. Ihr Ergebnis sollte die Form φ + 2γ φ + ω0 2 φ = 0 haben. Zeigen Sie, dass ω 2 0 = mgl ( 1 ρ W I ρag ) gilt und geben Sie einen Ausdruck für γ an! b) Machen Sie den Ansatz φ (t) = φ 0 exp (λt) um die allgemeine Lösung der Differentialgleichung zu bestimmen. Verwenden Sie hierzu für die Differenzialgleichung das angebenene Zwischenergebnis aus a). c) Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf von φ (t) für den Fall schwacher Dämpfung (ω 0 > γ) über mehrere Perioden. Kennzeichnen Sie dabei insbesondere den Einfluss der Dämpfung γ. Wie verhält sich die Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung im Vergleich zum ungedämpften Fall. Kreuzen Sie an! Die Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung ist größer als im ungedämpften Fall. Die Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung ist kleiner als im ungedämpften Fall. Die Kreisfrequenzen der gedämpften Schwingung und ungedämpften Schwingung sind gleich. d) Berechnen Sie explizit das Trägheitsmoment der Kugel I S bei Rotation durch ihren Schwerpunkt durch Integration. Wie lautet das Trägheitsmoment des gesamten Pendels I bezüglich des Aufhängungspunktes? e) Unter Wasser wirkt die Stokes sche Reibungskraft. Geben Sie einen Ausdruck für das Dichteverhältnis ρ W ρk von Wasser und der Kugel, sodass der aperiodische Grenzfall eintritt. Φ m

4 E1-04. Feb ECTS - S. 8 Name: Aufgabe 4: Druck und Stro mung Eine Hebebu hne habe einen großen Zylinder mit einem Durchmesser von d1 = 16 cm und einen kleinen Zylinder mit einem Durchmesser von d2 = 4 cm. An dem großen Zylinder sei, wie dargestellt, ein masseloser Arm angebracht. Die Distanz vom Gelenk zur kleinen Zylinderscheibe sei L = 1m. Eine Masse m = 400 kg wird auf den gro ßeren Zylinder gelegt. Beide Zylinder sind durch eine inkompressible Flu ssigkeit unter einem Druck p = const. verbunden. Na hern Sie die Erdbeschleunigung als g = 10 m s 2. m d1 F0 L x d2 a) Wie groß ist die Kraft die auf die kleinere Zylinderscheibe mit Durchmesser d2 wirkt? b) Wie lang muss die Strecke x vom Zylindergelenk bis zum Ende des Hebels sein, damit eine hier anliegende Kraft F0 = 100N ausreicht um die Masse m bewegungsfrei zu halten? Wir betrachten nun ein horizontal ausgerichtetes Rohr durch das inkompressibles, laminar fließendes Wasser stro me. Der Durchmesser des Rohres verdoppele sich nun vom Durchmesser d1 auf den Durchmesser d2. c) Ist der statische Druck im engeren Teil mit Durchmesser d1 gro ßer, kleiner oder gleich verglichen mit dem Druck im breiteren Abschnitt mit Durchmesser d2? Kreuzen Sie an! Der statische Druck im engeren Abschnitt ist gro ßer als im breiteren. Der statische Druck im engeren Abschnitt ist kleiner als im breiteren. Die statischen Dru cke im engeren und breiteren Abschnitt sind gleich. d) Wir messen die Fließgeschwindigkeit im breiteren Abschnitt als v2 = 1m s 1. Wie groß ist der Unterschied des statischen Drucks zwischen dem breiteren Abschnitt und dem engeren Abschnitt? Vernachla ssigen Sie den Atmospha rendruck.

5 E1-04. Feb ECTS - S. 10 Name: Aufgabe 5: Verständnisfragen (13 Punkte) a) Bei der Erklärung des akustischen Doppler-Effekts ist zu unterscheiden, ob sich die Schallquelle oder der Beobachter bewegt. Warum? b) Skizzieren Sie die Präzession eines Kreisels mit Darstellung der Vektoren für Drehimpuls L, Winkelgeschwindigkeit ω, Gewichtskraft F und Drehmoment D. Das System zeige keine Nutation. c) Können Sie sich auf einer reibungsfrei gelagerten Schaukel eigenständig in eine Schwingung versetzen? Begründen Sie Ihre Antwort! d) Sie befinden sich im Zentrum eines reibungsfrei gelagerten Stuhls, können Sie den Stuhl eigenständig in Rotation versetzen? Begründen Sie Ihre Antwort! e) Was unterscheidet einen elastischen von einem inelastischen Stoß? Welche Größen sind dabei erhalten? f) Betrachten Sie einen dezentralen, elastischen Stoß mit gleichen Massen der Stoßpartner. Weiter soll einer der Stoßpartner vor dem Stoß ruhen. Was können Sie über den Ablenkwinkel ϑ aussagen? Begründen sie. g) Betrachten Sie zwei hook sche Federn mit Federkonstanten k 1 und k 2. Diese werden einmal aneinander gehängt und einmal parallel belastet. Berechnen Sie jeweils die Gesamtfederkonstante k eff für die beiden Fälle.

6 E1-04. Feb ECTS - S. 12 Name: Aufgabe 6: Umlaufbahn und Corioliskraft Eine Raumstation umrunde die Erde auf einer Kreisbahn. a) Leiten Sie einen Ausdruck für die Umlaufzeit T der Raumstation her. b) Ein Besatzungsmitglied werfe einen Ball mit Geschwindigkeit v innerhalb der Raumstation entgegen der Bewegungsrichtung der Raumstation. In welche Richtung wirkt die Corioliskraft auf den Ball? Geben sie den Betrag der Corioliskraft als eine Funktion der Umlaufsdauer T und der Geschwindigkeit des Balls an. c) Von einer am Äquator gelegenen Startrampe soll ein Satellit von einer Rakete in eine geostationäre Umlaufbahn gebracht werden. Er soll hierzu einen kreisförmigen Orbit mit Bahnradius r Geo erhalten. Leiten sie einen Ausdruck für den Betrag des Drehimpulses her, der dem Satellit zugeführt werden muss. d) Ein stabförmiger Astronaut homogener Masseverteilung vollführe einen gestreckten Salto (Arme angelegt, Beine gestreckt) im Schwerpunkt der ebenfalls stabförmigen Raumstation indem er sich an deren Wänden abstößt. Wie verhalten sich die Winkelgeschwindigkeiten von Raumstation und Astronaut zu deren Längen? Was geschieht qualitativ wenn der Astronaut den Salto nicht im Massenschwerpunkt, sondern an einem Ende der Raumstation vollführt? Die Längsachse des Astronauten liege dabei in der resultierenden Rotationsebene der Raumstation.

7 E1-04. Feb ECTS - S. 14 Name: Aufgabe 7: Relativitätstheorie Ein Raumschiff fliege zu einem 3 Lichtjahre (LJ) entfernten Planeten mit der durchschnittlichen Geschwindigkeit v = 0.6c (60% der Lichtgeschwindigkeit). Dort verweile es 1 Jahr und kehre danach mit gleicher Geschwindigkeit wieder zur Erde zurück. a) Wieviel Zeit t E vergeht aus der Sicht eines ruhenden Beobachters auf der Erde bis das Raumschiff am Zielplaneten ankommt? b) Wieviel Zeitgewinn haben die Besatzungsmitglieder nach der Rückkehr gegenüber herkömmlichen Erdbewohnern? c) Zeigen Sie, dass aus der relativistischen Gesamtenergie E = E kin +m 0 c 2 = γm 0 c 2 1 mit γ = 1 v2 c 2 und der Näherung v c die bekannte Beziehung E kin = 1 2 mv2 für die klassische kinetische Energie hervorgeht. d) Skizzieren Sie in EINEM Minkowski-Diagramm mit ct bzw. ct als Zeitachsen: i) ein ruhendes Inertialsystem I(x, t) und ein bewegtes Inertialsystem I (x, t ). ii) die Konzepte von Zukunft und Vergangenheit, sowie die Lichtlinien iii) das Konzept der Gleichzeitigkeit für die beiden Systeme bezüglich eines Ereignisses E1 mit ct > 0 und x = 0 iv) die Weltlinien eines an der Koordinate E1 startenden Teilchens m 1, das bezüglich I eine beliebige Beschleunigung erfährt sowie eines am selben Ort startenden, aber bezüglich I ruhenden Teilchens m 2.