UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR HAMBURG FACHBEREICH MASCHINENBAU INSTITUT FÜR THERMODYNAMIK

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1 UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR HAMBURG FACHBEREICH MASCHINENBAU INSTITUT FÜR THERMODYNAMIK Manuskript zur Vorlesung Wärmeübertragung von Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Roetzel Bearbeitung: Dr.-Ing. B. Spang Reproduktion verboten. Alle Urheberrechte vorbehalten. 5. Auflage, 997

2 Inhalt Verwendete Formelzeichen III. Einführung. Das Fouriersche Gesetz der Wärmeleitung 3. Energiegleichung 5 3. Stationäre Wärmeleitung ohne innere Wärmequellen 3. Ebene Wand 3 3. Rohr, Kreiszylinder Kugelschale Stab mit Wärmeabgabe an die Umgebung 4. Anwendung des Wärmedurchgangskoeffizienten 7 4. Wärmeübertrager 7 4. Zeitlicher Temperaturausgleich geschlossener Systeme Instationäre Wärmeleitung ohne innere Wärmequellen Binder-Schmidtsches Differenzenverfahren Einseitig unendlich ausgedehnter Körper mit ebener Oberfläche 4 6. Konvektion Erhaltungssätze für Masse, Impuls und Energie Einführung von dimensionslosen Variablen und Kennzahlen bei 48 erzwungener Konvektion 6.3 Einführung von dimensionslosen Variablen und Kennzahlen bei 5 freier Konvektion 6.4 Laminare Kanalströmung Turbulente Rohrströmung Konvektion mit Phasenänderung 6 7. Nußeltsche Wasserhauttheorie Laminare und turbulente Filmkondensation (an senkrechten Wänden) Verdampfung 7 8. Wärmestrahlung Oberflächenstrahlung (Strahlung stark absorbierender Körper) Strahlungsaustausch zwischen zwei grauen Flächen in kleinem Abstand Strahlungsaustausch zwischen zwei sich umschließenden Flächen Richtungsverteilung der schwarzen Strahlung 83 (Lambertsches Cosinusgesetz) 8..4 Abweichungen vom Cosinusgesetz Einstrahlzahlen Allgemeine Methode zur Berechnung des Strahlungsaustausches 9 in umschlossenen Räumen 8. Strahlung schwach absorbierender Medien 95 (insbesondere Gasstrahlung) II

3 Vorlesung Wärmeübertragung Verwendete Formelzeichen Lateinische Buchstaben Zeichen Bedeutung SI-Einheit A Absorptionsverhältnis a Temperaturleitfähigkeit oder m /s Abstand m B Breite m C Wärmekapazitätsstrom W/K c spez. Wärmekapazität J/(kg K) c p spez. isobare Wärmekapazität J/(kg K) c s Strahlungskonstante W/(m K 4 ) D Durchmesser oder m Durchlassverhältnis E Strahlungsleistung, Energiestrom W e spezifische Ausstrahlung, Energiestromdichte W/m F Fläche oder m Kraft N f Fläche m g Fallbeschleunigung m/s H Enthalpie J h spez. Enthalpie oder J/kg Helligkeit W/m i Intensität W/(m sr) k Wärmedurchgangskoeffizient W/(m K) L Länge m m Masse kg m Massenstrom kg/s P Leistung W p Druck Pa Q Wärme J Q Wärmestrom W q Wärmestromdichte W/m R Wärmeleit- oder Wärmeübergangswiderstand oder K/W Radius oder m Reflexionsverhältnis r Radius oder radiale Koordinate m s spez. Entropie J/(kg K) T thermodynamische Temperatur K U innere Energie oder J Umfang m V Volumen m 3 v spez. Volumen m 3 /kg W Arbeit J w Geschwindigkeit m/s x, y, z Koordinaten m III

4 Griechische Buchstaben Zeichen Bedeutung SI-Einheit α Wärmeübergangskoeffizient W/(m K) β thermischer Ausdehnungskoeffizient /K δ Dicke m ε Emissionsverhältnis Φ Dissipationsfunktion /s φ Winkel oder rad Wärmeleitpotential W/m η dynamische Viskosität oder kg/(m s) dimensionslose Koordinate η R Rippenwirkungsgrad Θ dimensionslose Temperatur ϑ Temperatur K ϑ m mittlere Temperaturdifferenz K λ Wärmeleitfähigkeit oder W/(m K) Wellenlänge m ρ Dichte kg/m 3 σ Oberflächenspannung oder N/m Stefan-Boltzmann-Konstante W/(m K 4 ) ξ dimensionslose Koordinate oder Einstrahlzahl τ Zeit s Ψ dissipierte Energie J ψ volumetrische Dissipationsleistung W/m 3 ω Raumwinkel sr Indizes Zeichen n S φ Bedeutung Normalrichtung Schwarzer Körper in Richtung des Winkels φ Dimensionslose Kennzahlen 3 Gr gβ ϑl / υ Grashofzahl Nu αl/ λ Nußeltzahl Pe wl / a Pécletzahl Pr υ/a Prandtlzahl Re wl / υ Reynoldszahl IV

5 . Einführung Wärme ist Energie, die an der Grenze zwischen zwei Systemen auftritt und allein auf Grund des Temperaturunterschieds zwischen den Systemen übertragen wird, wenn diese über eine diatherme Wand in Wechselwirkung stehen. Zur Definition der Wärme wird der erste Hauptsatz der Thermodynamik verwendet. Die Wärme Q, die einem geschlossenen System während einer Zustandsänderung vom Zustand zum Zustand zugeführt wird, ist definiert durch die Energiebilanz: Q + W U - U (.) Die Energiebilanz für einen stationären Fließprozeß lautet mit dem Wärmestrom Q ( ) ( ) Q P m* h h * c c g* z z (.) Die Erfahrung lehrt, daß Wärme stets in Richtung fallender Temperaturen fließt. Dies steht im Einklang mit dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Als Einheit für die Wärme wird üblicherweise das Joule verwendet. [Q] J Entsprechend ist die Einheit des Wärmestroms das Watt. [ Q] W Man kennt drei Arten der Wärmeübertragung:. Die Wärmeleitung. Die Konvektion 3. Die Strahlung. Obwohl die Wärmeübertragungsvorgänge in der Natur und Technik oft durch alle drei Arten der Wärmeübertragung gleichzeitig erfolgen, können deren Anteile am Gesamtwärmestrom i. a. auch getrennt voneinander berechnet werden. Die Wärmeübertragung durch Wärmeleitung und Konvektion ist nur mittels Materie möglich. Die Übertragung von Wärme durch Strahlung ist dagegen nicht an Materie gebunden. Sie funktioniert im Vakuum besonders gut. Für alle Arten der Wärmeübertragung ist der Temperaturunterschied der Systeme eine notwendige Bedingung. Für die Temperatur als Zustandsgröße von Systemen werden folgende Bezeichnungen verwendet:. Die thermodynamische Temperatur T, definiert durch U T S Vm, (.3) Ihre Einheit ist das Kelvin, definiert durch die Tripelpunkttemperatur von Wasser: [ T] Kelvin K T Tr Die Celsiustemperatur t Die Celsiustemperatur hat eine Temperaturskala mit einem anderen Nullpunkt als die thermodynamische Temperatur. Die Celsiustemperatur ist definiert durch: (.4)

6 t T 73, 5K. (.5) Die Einheit der Celsiustemperatur ist das Kelvin. [t] K Daneben ist auch die Verwendung von C (Grad Celsius) als Einheit für die Celsiustemperatur gebräuchlich. Dabei gilt: C K. 3. Die Fahrenheit-Temperatur ϑf Sie wird in angelsächsischen Ländern häufig noch verwendet. Ihre Einheit ist das Grad Fahrenheit (auch Rankine R). Es gilt: 5 F R K. (.6) 9 Der Nullpunkt der Fahrenheit-Temperaturskala ist festgelegt durch die Gleichung ϑ F - 3 F T - 73,5 K t. (.7) Bei der Berechnung der Wärmeübertragung durch Wärmeleitung und Konvektion ist häufig nur der Temperaturunterschied der Systeme von Bedeutung. In diesen Fällen kann eine beliebige Temperatur verwendet werden, deren Einheit und Nullpunkt nicht festgelegt sein muß. ϑ beliebige Temperatur. Bei der Wärmeübertragung durch Strahlung ist jedoch nicht nur die Temperaturdifferenz der Systeme, sondern auch deren thermodynamische Temperatur maßgebend. Zur Berechnung der durch Strahlung übertragenen Wärme wird deshalb bevorzugt die Temperatur T verwendet.

7 . Das Fouriersche Gesetz der Wärmeleitung Unter Wärmeleitung versteht man den Wärmetransport durch atomare und molekulare Wechselwirkungen. Das Fouriersche Gesetz der Wärmeleitung beschreibt empirisch das Phänomen der Wärmeleitung, ohne die Vorgänge im molekularen Bereich zu erklären. Das Gesetz erlaubt die Berechnung von Wärmeströmen aus vorgegebenen Temperaturverteilungen. Bei homogenen und isotropen Körpern, die zunächst vorausgesetzt werden sollen, genügt die Kenntnis von nur einer Stoffeigenschaft, der sogenannten Wärmeleitfähigkeit λ. Das Gesetz postuliert die Proportionalität von "Kräften" und "Strömen" und lautet: q λ gradϑ. (.) Der Vektor der Wärmestromdichte q ist dem Temperaturgradienten grad ϑ entgegengerichtet und dem Betrage nach proportional. Der Proportionalitätsfaktor ist die Wärmeleitfähigkeit λ. Die Wärmestromdichte ist der auf die Flächeneinheit bezogene Wärmestrom. Der Wärmestromdichtevektor und der negative Temperaturgradient zeigen in Richtung des größten Temperaturgefälles. Beide Vektoren stehen senkrecht auf den Isothermenflächen. (Bild.) In kartesischen Koordinaten gilt ϑ ϑ ϑ gradϑ ϑ x y z. (.) Durch Einsetzen in Gleichung (.) erkennt man, daß die Wärmestromdichten q x, q y und q z in den drei Koordinatenrichtungen aus dem jeweiligen Temperaturgefälle errechnet werden können. Dies gilt auch, wenn man es mit anisotropen Körpern zu tun hat, bei denen sich die Wärmeleitfähigkeiten λx, λ y, λz voneinander unterscheiden. Man erhält dann für den Wärmestromdichtevektor: 3

8 ϑ q λx λy ϑ λz ϑ x y z, (.3) der dem Temperaturgradienten nicht mehr genau entgegengesetzt ist, außer in dem Sonderfall λx λy λz λ. Die meisten technisch wichtigen Stoffe können als isotrop angesehen werden. Ein typisches anisotropes Material ist z. B. Holz. 4

9 . Energiegleichung Mit der Energiegleichung (auch Leistungsbilanz oder Energiebilanz) kann die Temperaturverteilung in Körpern in Abhängigkeit vom Ort, der Zeit und den Rand- bzw. Anfangsbedingungen beschrieben werden. Zur Herleitung einer geeigneten Form der Energiegleichung wird ein infinitesimal kleines Volumenelement betrachtet, das sich relativ zum (kartesischen) Raum mit dem Geschwindigkeitsvektor w bewegt. Die Masse des Volumenelements sei konstant, sein Volumen V und seine Oberfläche F dürfen jedoch veränderlich sein. Da das Volumenelement infinitesimal klein ist, hat es zu jeder Zeit eine einheitliche Temperatur und einen einheitlichen Druck. Druck und Temperatur des Raums, in dem es sich bewegt, können örtlich und zeitlich veränderlich sein. Das Volumenelement (Bild.) bildet ein geschlossenes System, dessen Energieänderung mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik beschrieben werden kann: dq + dw du + de + de. (.) Kin pot Energie, die als Arbeit die Systemgrenze überschreitet, kann das Systemvolumen ändern, im System dissipiert werden oder seine kinetische bzw. potentielle Energie ändern. v dw dekin + de pot + dw + dψ (.) Die Volumenänderungsarbeit ist: dw v p dv. (.3) Mit den Gleichungen (.) und (.3) wird Gleichung (.) umgeformt: dq + dψ du + p dv. (.4) Mit der Enthalpie H an Stelle der inneren Energie U lautet Gleichung (.4): dq + dψ dh V dp. (.5) Es zeigt sich also, daß die Änderungen der kinetischen und potentiellen Energie eliminiert werden. (Nicht vernachlässigt) Die Gleichungen (.4) und (.5) enthalten nur Energieformen, die die Entropie des Systems verändern, die Energiegleichung kann daher auch als Entropiebilanz bezeichnet werden. 5

10 Die Masse m des Systems ist konstant. Deshalb gilt: dh m dh V ρ dh. (.6) Diese Beziehung wird in Gleichung (.5) eingesetzt: dq + dψ V ρ dh V dp (.7) Das Volumenelement bewegt sich mit der Geschwindigkeit w durch den Raum, in dem Druck und Temperatur zeitlich und örtlich veränderlich sind. Im Volumenelement sind daher die Größen Dichte, Druck und Enthalpie, die in Gleichung (.7) enthalten sind, ebenfalls veränderlich. Ein mit dem Volumenelement mitbewegter Beobachter nimmt diese Änderungen nur als zeitliche Änderungen wahr: DH Dτ Dp Dρ,,. Dτ Dτ (Diese Ableitungen werden auch als substantielle Differentialquotienten bezeichnet.) Durch Einsetzen in Gleichung (.7) (unter Berücksichtigung: Masse Volumen * Dichte konst.) erhält man: dq d Dh V d d D V Dp τ + ψ ρ τ τ Dτ (.8) Die zeitlichen Änderungen, die der mitbewegte Beobachter wahrnimmt, können in den Koordinaten des ruhenden Systems beschrieben werden: Dh h h h w w w h x y z Dτ τ + x + y + z (.9) Dp p p p p + w x + wy + wz. (.) Dτ τ x y z In Vektorschreibweise (unabhängig vom jeweils verwendeten Koordinatensystem) lauten die letzten beiden Gleichungen: Dh h + w h. (.) Dτ τ Dp p + w p. (.) Dτ τ Die aus dem ersten Hauptsatz abgeleitete Gleichung (.8) wird nun weiter umgeformt. Es wird durch V dividiert und die beiden nachfolgenden Beziehungen werden eingesetzt. Das Ergebnis lautet: dq Q dτ (.3) dψ ψ (.4) V dτ Q Dh + ψ ρ V Dτ Dp Dτ. (.5) 6

11 In Gleichung (.5) ist der Wärmestrom enthalten, der die Systemgrenze überschreitet. Man kann ihn durch Integration der örtlichen Wärmestromdichte über die ganze Systemoberfläche berechnen (Bild.). Der differentielle Wärmestrom durch ein infinitesimal kleines Flächenelement wird wie folgt beschrieben: dq q df q df cos q df n. (.6) Die Integration der Wärmestromdichte über die gesamte Oberfläche kann bei Anwendung des Gaußschen Integralsatzes auch durch eine Integration der Divergenz des Wärmestromdichtevektors über dem gesamten Volumen ersetzt werden. Q F q df (.7) V Q q dv (.8) Für ein infinitesimal kleines Volumenelement erhält man durch Grenzwertbildung: Q lim lim V V V V q dv q V. (.9) Dieses Ergebnis wird nun in Gleichung (.5) eingesetzt. Nach Umstellen der Summanden ergibt sich die vollständige Form der Energiegleichung mit den Veränderlichen Druck und Enthalpie: ρ Dh τ + Dp q D Dτ +ψ. (.) Diese Form der Energiegleichung soll nun in eine Funktion der Veränderlichen Druck und Temperatur umgeformt werden. Bei realen Stoffen ist die Enthalpie eine Funktion von Druck und Temperatur. Ihr vollständiges Differential ist h h dh dt + dp. (.) T p p T Gleichung (.) wird in das definierende Differential der Entropie (Gl..) eingesetzt und man erhält Gl. (.3): ds dh v dp T (.) 7

12 8 ds h T dt h p v dp T p T +. (.3) Die Entropie ist eine Funktion von Druck und Temperatur. Ihr vollständiges Differential lautet: ds s T dt s p dp p T +. (.4) Das Gleichsetzen von Gl. (.3) und Gl. (.4) liefert bei einem Koeffizientenvergleich für dt und dp: T h T s T p p (.5) und T h p v s p T T. (.6) Nach dem Satz von Schwarz sind die gemischten Ableitungen der Entropie nach Temperaturen und Druck gleich: p s T T s p p T. (.7) Damit erhält man aus Gl. (.5) und (.6) die Gleichungen (.8) und (.9): p s T p T h T p p. (.8) T s p T h p v T T h p v T T T T +. (.9) Aus den Gleichungen (.7), (.8) und (.9) folgt nun: h p T v T v T +. (.3) Gleichung (.3) wird zunächst in Gleichung (.) eingesetzt: dh h T dt v T v T dp p +. (.3) Mit h T c p p (.3) ergibt sich durch Einsetzen von Gl. (.3) in Gleichung (.9): Dh D c DT D v T v T Dp D p τ τ τ + (.33) Gleichung (.33) wird in Gleichung (.) eingesetzt:

13 DT ρ c + ρ v Dp v Dp Dp p ρ T q + +ψ Dτ Dτ T Dτ Dτ. (.34) Mit β ρ (.35) und durch Einführen des thermischen Ausdehnungskoeffizienten v v (.36) erhält man aus Gleichung (.34): v T p DT ρ c q + β T Dp p +ψ Dτ Dτ. (.37) Mit dem Fourierschen Gesetz der Wärmeleitung kann der Wärmestromdichtevektor in Gl. (.37) durch Temperaturdifferentiale ausgedrückt werden. Bei isotropen Körpern ist ( T) q λ. (.38) Damit wird aus Gleichung (.37): DT Dp ρ c ( λ T) + β T +ψ p. (.39) Dτ Dτ Die Stoffwerte λ, ρ und c p und die Größe β in Gl. (.39) sind bei realen Stoffen von der Temperatur und vom Druck abhängig. Dennoch sind die folgenden Sonderfälle von Bedeutung. a) Sonderfall der konstanten Wärmeleitfähigkeit λ: (Bei vielen Stoffen ist λ nur schwach von der Temperatur und vom Druck abhängig. Innerhalb begrenzter Temperatur- und Druckbereiche kann dann mit guter Näherung mit einem konstanten Wert gerechnet werden.) In diesem Fall ist ( ) ( ) λ T λ T λ T. (.4) b) Sonderfall v const. (oder v unabhängig von T): In begrenzten Temperatur- und Druckbereichen ist das spezifische Volumen bei Festkörpern und Flüssigkeiten oft konstant. Dann ist β v v T und c c c. (.4) p v c) Sonderfall Ideales Gas: Bei idealen Gasen ist β T (.4), also β T Dp Dp Dτ Dτ. (.43) d) Sonderfall p const., woraus folgt: Dp. Die volumetrische Dissipationsleistung kann beispielsweise die Dissipation von Energie durch Reibung in der Flüssigkeit sein. Für Newtonsche Fluide kann dafür eine Gleichung angegeben werden. ψr η φ, φ Dissipationsfunktion (.44) η dynamische Viskosität 9

14 φ + + w x w y w z x y z w x w y w x w z w z w dy dw x w y w z y x z x y z x y z 3. (.45) Andere Fälle sind die Dissipation elektrischer Energie im Körper oder die Energieumwandlung bei chemischen Reaktionen oder radioaktivem Zerfall. Für die Anwendung der Energiegleichung bei praktischen Problemen der Wärmeübertragung sind die Fälle a), b), c) und der Fall vernachlässigbarer Dissipation durch Reibung besonders häufig gegeben. Die Energiegleichung vereinfacht sich dann erheblich. Für einige Fälle und einfache Rand- und Anfangsbedingungen lassen sich analytische Lösungen finden. Die folgende Übersicht beschreibt die geometrischen Zusammenhänge und enthält die Vektorschreibweise sowie die ausführliche Schreibweise der verwendeten Differentialoperatoren für verschiedene Koordinatensysteme am Beispiel der Zustandsgröße T. Kartesische Koordinaten Vektorschreibweise ausführliche Schreibweise T (grad T) T x T y T z T (Laplace T) T x T y T z + + D D w x w y w z x y z τ τ Zylinderkoordinaten

15 Vektorschreibweise ausführliche Schreibweise Kugelkoordinaten T T T T (grad T) τ r φ z T (Laplace T) T T T T r r r r φ z D w φ + w r + + w z D τ τ r r φ z Vektorschreibweise ausführliche Schreibweise T (grad T) T T T r rsinφ φ r ψ T (Laplace T) T T T T cot ψ T r r r r sin ψ φ r ψ r D wφ wψ + wr + + D τ τ r r sinφ φ r ψ ψ T

16 3. Stationäre Wärmeleitung ohne innere Wärmequellen Im Kapitel wurde die Energiegleichung als Differentialgleichung für das Temperaturfeld in Körpern hergeleitet. In diesem Kapitel werden Temperaturfelder für wichtige Anwendungsfälle aus der Energiegleichung und Randbedingungen berechnet. Folgende Annahmen werden getroffen:. Es handelt sich um einen stationären Wärmeleitungsvorgang, die zeitliche Ableitung der Zustandsgrößen ist Null.. Wärmeübertragung erfolgt nur durch Wärmeleitung. Die Materie des Körpers ist starr und raumbeständig; das spezifische Volumen ist konstant (v const., β, c p c) und der Geschwindigkeitsvektor ist Null (ruhendes System). 3. Wärmequellen oder Wärmesenken sind nicht vorhanden. ( ψ ) 4. Der Körper besteht aus isotropem Material. ( λx λy λz λ) Die Energiegleichung (Gl..39) vereinfacht sich dann zu ( λ ϑ ). (3.) (Es treten nur Terme mit Temperaturdifferentialen auf, daher kann die beliebige Temperatur ϑverwendet werden) Im Fall konstanter Wärmeleitfähigkeit λ ergibt sich aus Gl. (3.) λ ϑ λ ϑ, bzw. ϑ. (3.) Die Wärmeleitfähigkeit kann jedoch temperatur- und druckabhängig sein. Von praktischer Bedeutung ist meist nur die Temperaturabhängigkeit. Wenn man die Temperaturabhängigkeit nicht auch vernachlässigen kann, ist es zweckmäßig, mit dem Wärmeleitpotential φ zu rechnen. Das Wärmeleitpotential wird durch folgendes Differential definiert: dφ λ( ϑ ) dϑ. (3.3) Durch Integration erhält man das Wärmeleitpotential als temperaturabhängige Funktion: ϑ φϑ ( ) φ + λ( t) dt. (3.4) ϑ Durch Einsetzen von Gl. (3.3) in Gl. (3.) erhält man eine der Gl. (3.) entsprechende Gleichung φ φ (3.5) Die bisher vorausgesetzten Annahmen und Einschränkungen sind in vielen praktischen Fällen zulässig. Die Gleichungen (3.) und (3.5) können für bestimmte Körper analytisch gelöst werden.

17 3.. Ebene Wand Beim hier behandelten einfachen Beispiel der Wärmeleitung durch eine ebene Wand wird eine Oberfläche der Wand in die y, z Ebene gelegt. Auf beiden Oberflächen wird eine jeweils einheitliche, zeitlich konstante Temperatur angenommen. Dann sind alle Ebenen x const. Isothermenflächen und der Wärmestrom fließt nur in Richtung von x. Gleichung (3.5) lautet in kartesischen Koordinaten φ φ φ + +. (3..) x y z Die Temperaturen ändern sich wegen der Randbedingungen nicht in y- und z-richtung: φ φ. (3..) y z Man erhält somit folgende Gleichung als Differentialgleichung für das Wärmeleitpotential in der Wand: d φ. (3..3) dx Die Randbedingungen lauten hier x : ϑ ϑ ; φ φ und (3..4) x ϑ: ϑ ϑ ; φ φ. (3..5) Aus Gleichung (3..3) erhält man die Lösung für das Wärmeleitpotential φ durch Integration mit Berücksichtigung der Randbedingungen: φ φ φ δ x + φ (3..6) oder φ φ x φ φ δ. (3..7) Mit Gleichung (3..7) kann man zeigen, daß es oft günstig ist, mit dimensionslosen (normierten) Variablen zu rechnen. Bei geeigneter Transformation der Veränderlichen können die Differentialgleichungen oft übersichtlicher gelöst werden, und die Randbedingungen werden vereinfacht. φ Setzt man Θ φ x φ φ δ (3..8) und ξ x, (3..9) δ 3

18 so wird aus Gleichung (3..3) d dξ Θ. (3..) Die transformierten Randbedingungen lauten dann: ξ : Θ, (3..) und ξ : Θ. (3..) Die Lösung der Differentialgleichung lautet dann in den dimensionslosen Größen entsprechend Gl. (3..7) Θξ. (3..3) Mit der gefundenen Lösung für das Wärmeleitpotential kann nach Fourier die Wärmestromdichte in der Wand berechnet werden: q λ ϑ φ. (3..4) Hier kommt nur der Wärmestrom in x-richtung vor, wodurch sich Gleichung (3..4) vereinfacht dφ φ q qx φ. (3..5) dx δ Der skalare Wärmestrom durch die gesamte Wandfläche F ist Q φ φ F δ, (3..6) oder ausgedrückt durch die Temperaturen Q F δ ϑ ϑ λϑ ( ) dϑ. (3..7) Man kann den Wärmestrom auch mit dem Ansatz F Q δ ( ) λ ϑ ϑ (3..8) angeben. Die Gln. (3..7) und (3..8) definieren dann die mittlere Wärmeleitfähigkeit λ ϑ λϑ ( ) d ϑ. (3..9) ϑ ϑ ϑ Dieser Mittelwert muß in Gl. (3..8) eingesetzt werden, um das richtige Ergebnis zu erhalten. In der Praxis ist die Funktion der Wärmeleitfähigkeit in Abhängigkeit von der Temperatur oft nicht explizit, sondern in Form von Tabellen gegeben. Man kann dann häufig mit genügender Genauigkeit den Mittelwert der Wärmeleitfähigkeit auch nach einfacheren Verfahren berechnen, z.b.: λ λ + λ (3..) oder λ λ ϑ + ϑ. (3..) Wärmestrom, Temperaturdifferenz und Wärmeleitfähigkeit können direkt mit elektrischem Strom, elektrischer Spannung und elektrischer Leitfähigkeit verglichen werden. Das Ohmsche Gesetz I U/R der Elektrizitätslehre entspricht formal der Gleichung Q ϑ / R in der Wärmeübertragung. Mit dem Wärmeleitungswiderstand R wird der Wärmestrom nach Gleichung (3..) berechnet: 4

19 Q ϑ ϑ R F λ ( ϑ ϑ ). (3..) δ Gleichung (3..) definiert somit den Wärmeleitungswiderstand R R λ δ F. (3..3) Der Wärmestrom wird hier positiv gezählt, wenn er in positive x-koordinatenrichtung fließt. Der Wärmedurchgang durch eine Wand aus mehreren Materialschichten unterschiedlicher Wärmeleitfähigkeit kann wie der elektrische Strom in einem Stromkreis mit mehreren hintereinandergeschalteten ohmschen Widerständen berechnet werden. Temperaturdifferenzen (Spannungen) addieren sich, der Wärmestrom (elektrische Strom) bleibt konstant. (Bild 3.) ϑ ϑ Q R 4 4 Q Q3 Q34 Q4 ; (3..4) R + R3 + R34 R4. (3..5) Neben dem Wärmeleitungswiderstand gibt es bei der Wärmeübertragung zwischen einem Fluid und einer Wand auch den Wärmeübergangswiderstand. Bild 3.3 verdeutlicht den Temperaturverlauf bei der Wärmeübertragung von einem Fluid auf eine Wand mit einem Wärmeübergangswiderstand. Das Fluid ist oft gut durchmischt und hat in einiger Entfernung von der Wand eine einheitliche Temperatur. In einer dünnen Grenzschicht an der Wandoberfläche fällt die Temperatur bis auf die Wandtemperatur ab. Weil der übertragene Wärmestrom näherungsweise der Temperaturdifferenz zwischen Fluid und Wandoberfläche proportional ist, führt man den Wärmeübergangskoeffizienten α als Proportionalitätsfaktor ein. Q q α ( ϑ F ϑ W) (3..6) F 5

20 Der Wärmeübergangskoeffizient α berücksichtigt sowohl die Wärmeleitfähigkeit der Grenzschicht, als auch deren Dicke, die von zahlreichen Einflußgrößen abhängt. Analog zum Wärmeleitungswiderstand ergibt sich der Wärmeübergangswiderstand aus dem Ansatz Q FW ϑ F ϑ R ü W ( ) α F ϑ ϑ (3..7) F W zu R ü α F (3..8) Einige Erfahrungswerte für die Größenordnung des Wärmeübergangskoeffizienten sind in der folgenden Tabelle enthalten. Fluid Wärmeübergangskoeffizient α in (W/m * K) Strömende Luft - Strömendes Wasser 5-5 Siedendes Wasser 5-6 Kondensierender Wasserdampf 5-5 Bei vielen Vorgängen der Wärmeübertragung kommen Wärmeübergangswiderstände und Wärmeleitungswiderstände hintereinander vor. Man spricht dann vom Wärmedurchgang. Rges Rü + RL+ RL3+ RL34 + R ü ; (3..9) Q ϑ. (3..3) Rges Bei wärmetechnischen Berechnungen ist der Wärmedurchgangswiderstand weniger gebräuchlich als der dem Wärmeübergangskoeffizienten entsprechende Wärmedurchgangskoeffizient k. Der Wärmestrom durch die Wand wird dann mit der Gleichung Q k F ϑ (3..3) berechnet. Der Wärmedurchgangskoeffizient hat die gleiche Einheit wie der Wärmeübergangskoeffizient. Üblicherweise wird die Einheit k α m W K (3..3) verwendet. 6

21 3.. Rohr, Kreiszylinder Jetzt wird der Fall betrachtet, bei dem Wärme nur in radialer Richtung durch eine kreiszylindrisch gekrümmte Wand fließt. Dieser Fall kommt in der Technik häufig bei der Wärmeleitung durch Rohrwände vor. Er ist dann gegeben, wenn die innere und äußere Rohroberfläche konzentrische Isothermenflächen sind, und das Rohr unendlich lang oder an den Stirnflächen adiabat ist. (Keine Wärmeleitung in axialer Richtung und in Umfangsrichtung.) Zusätzlich gelten die Annahmen, die schon beim Wärmedurchgang durch die ebene Wand galten. Man erhält aus der vollständigen Energiegleichung ( λ ϑ ) (3..), bzw. φ. (3..) Die Randbedingungen lauten jetzt für alle Winkel γ: r r : ϑ ϑ ; φ φ (3..3) r r : ϑ ϑ ; φ φ. (3..4) Gleichung (3..) lautet in Zylinderkoordinaten φ φ φ φ (3..5) r r r r γ z Die Ableitungen in axialer Richtung und in Umfangsrichtung verschwinden. Gleichung (3..5) vereinfacht sich zu d φ dφ +. (3..6) dr r dr Mit der Substitution u d φ (3..7) erhält man aus Gleichung (3..6) dr du dr + u. (3..8) r Gleichung (3..8) kann durch Trennen der Veränderlichen gelöst werden. Man erhält: u c. (3..9) r Gleichung (3..9) wird nach Resubstitution nochmals integriert. Die Lösung ist: 7

22 φ c ln( r)* c. (3..) Aus den Randbedingungen werden die Integrationskonstanten berechnet. Man erhält: φ φ φ φ φ ln( r) + φ r ln r ln r r ln( r ), (3..) r ln φ φ r oder. (3..) φ φ r ln r An Gleichung (3..) erkennt man, daß das Wärmeleitpotential in diesem Fall eine lineare Funktion der Veränderlichen ln(r) ist. Bild 3.7 zeigt, daß die Steigung der Funktion in Richtung zunehmender Radien kleiner wird. Bei konstantem Wärmestrom steht zur Wärmeleitung durch die Wand nach außen eine immer größere Fläche zur Verfügung. Nach dem Fourierschen Gesetz der Wärmeleitung ist daher ein immer kleineres Temperaturgefälle für den Energietransport ausreichend. Die Wärmestromdichte q ist mit dem Radius veränderlich: dφ φ q φ dr r r ln r q r. (3..3) Der Wärmestrom Q, der durch eine Mantelfläche hindurchtritt, ist jedoch konstant. Die Veränderliche r muß in der folgenden Gleichung herausfallen. φ φ π Lr. (3..4) r r ln r Q q r πlr Der Wärmestrom durch eine kreiszylindrische Wand kann auch mit dem gleichen Ansatz wie bei der ebenen Wand berechnet werden. Man setzt Q φ φ F δ (3..5) auch für den Fall der zylindrisch gekrümmten Wand an. Hierbei ist δ r - r die Wanddicke. Für die Fläche F muß ein Mittelwert eingesetzt werden, der durch die Gleichungen (3..4) und (3..5) definiert wird: 8

23 F φφ φ φ r r r ln r πl. (3..6) Daraus folgt: F L r r π πl r r ln r. (3..7) In Gleichung (3..7) ist r ein mittlerer Radius. Dieser Mittelwert ist der logarithmische Mittelwert von r und r. Sein Grenzwert für den Fall annähernd oder genau gleicher Radien (Flächen) ist der arithmetische Mittelwert. Alle Gleichungen für die Wärmeleitung durch die zylindrisch gekrümmte Wand gelten sinngemäß auch für ein Segment einer solchen Wand, sofern keine Wärmeleitung in Umfangsrichtung stattfindet Kugelschale Bei der stationären Wärmeleitung durch eine Kugelschale lautet die Energiegleichung φ. (3.3.) Wärmeströme fließen nur in radialer Richtung, so daß man in Kugelkoordinaten folgende Gleichung erhält: d φ dφ +. (3.3.) dr r dr Die Randbedingungen lauten r r: ϑ ϑ ; φ φ (3.3.3) r r : ϑ ϑ ; φ φ. (3.3.4) Zweimalige Integration der Gleichung (3.3.) und die Randbedingungen liefern φ φ φ φ r r r r. (3.3.5) Der Wärmestrom kann auch hier mit der Gleichung λ Q F ( ϑ ϑ ) ( δ r r ) (3.3.6) δ berechnet werden. Für die Mittelwerte der Fläche F, oder des Radius r ergibt sich: r r r, (3.3.7) F F F, (3.3.8) F 4π r. (3.3.9) Die Gleichungen (3.3.) - (3.3.8) gelten auch für ein Kugelschalensegment, vorausgesetzt es findet nur Wärmeleitung in radiale Richtung statt. 9

24 3.4. Stab mit Wärmeabgabe an die Umgebung Bei den bisherigen Beispielen wurde angenommen, daß der Wärmestrom in Strömungsrichtung konstant bleibt. Diese Voraussetzung ist beim Stab mit Wärmeabgabe an die Umgebung nicht mehr gegeben. Bild 3.8 verdeutlicht die folgenden Ableitungen. Wir stellen uns den Stab (oder eine Platte) so dünn vor, daß Temperaturunterschiede in einem Querschnitt vernachlässigbar klein werden und deshalb Temperaturänderungen nur in x-richtung vorkommen (ϑ ϑ(x)). Im Inneren des Stabes wird in axialer Richtung ein Wärmestrom Q(x) durch Wärmeleitung transportiert. An der Oberfläche des Stabes wird Wärme an die Umgebung abgegeben. Der abfließende Wärmestrom vermindert den axialen Wärmestrom, der im Inneren transportiert wird. Für das differentielle Volumenelement dv im Bild 3.8 kann folgende Energiebilanz aufgestellt werden: Q( x + dx) Q( x) dq( x). (3.4.) (Wie in der Thermodynamik werden hier die Energieströme positiv gezählt, wenn sie dem System dv zugeführt werden. Bei der Berechnung von Q(x) und Q(x+dx) nach Fourier ist dagegen ein Wärmestrom positiv, wenn er in positive x-richtung fließt.) Der an der Oberfläche des Volumenelements konvektiv übertragene Wärmestrom ist dq α U dx ( ϑ ϑ ( x) ). (3.4.) U U hier negativ ist. Man kann sich ersatzweise eine im Volumenelement enthaltene negative volumetrische Wärmequelle ψ ( x ) < (Wärmesenke) vorstellen, die die gleiche Wirkung hat Er ist für das System dv negativ, wird also abgeführt, weil die Temperaturdifferenz ϑ ϑ( x) ( ) ( ) dq ( x) α U dx ϑ ϑ ( x) ψ x dv. (3.4.3) Mit dv F * dx erhält man und daraus U ( ) ψ( x) F dx α U dx ϑ ϑ ( x) (3.4.4) U α U ψ( x) ( ϑ ( x) ) ϑu). (3.4.5) F Dieser Ausdruck für die örtlich veränderliche volumetrische Wärmequelle wird in die Energiegleichung eingesetzt, die durch die anderen Annahmen in bereits bekannter Weise vereinfacht wurde. Man erhält somit

25 ( λ ϑ ) + ψ( x), (3.4.6) oder bei der Annahme konstanter Wärmeleitfähigkeit λ λ ϑ + ψ( x). (3.4.7) In den kartesischen Koordinaten des Bilds 3.8 lautet Gl. (3.4.7) oder d ϑ λ + ψ ( x), (3.4.8) dx d ϑ α U ( ϑ ( x) ϑ U ). (3.4.9) dx λ F Diese gewöhnliche lineare Differentialgleichung. Ordnung für die Temperatur in Abhängigkeit von x hat die folgenden Randbedingungen:. Temperatur an der Stirnfläche x : ϑ ϑ, (3.4.). Wärmeübergangsbedingung an der Stirnfläche x F ( ) F d ϑ : α ϑ ϑu λ x dx. (3.4.) Gleichung (3.4.9) läßt sich besonders übersichtlich lösen, wenn man dimensionslose Veränderliche einführt. Eine geeignete dimensionslose Temperatur ist Θ ϑ ϑu ϑ ϑ U. (3.4.) Die Differentiale der dimensionslosen Temperatur sind dθ dϑ ϑ ϑ U (3.4.3) und d d ϑ Θ ϑ ϑ U. (3.4.3) Als dimensionslose Ortskoordinate wird eingeführt: ξ x α U λ F (3.4.4) mit den Differentialen dξ dx α U λ F U und dξ α dx λ F. (3.4.5) Das Einsetzen dieser Veränderlichen in Gleichung (3.4.9) ergibt dann zunächst ( ϑ ϑ ) d Θ λ F dξ α U U α U Θ ( ϑ ϑ U ) (3.4.6) λ F

26 und nach Kürzen erhält man d dξ Θ Θ. (3.4.7) Die transformierten Randbedingungen lauten dθ ξ : Θ (3.4.8) und ξ : α dξ F α λ U. (3.4.9) Es ist bekannt, daß Exponentialfunktionen und deren Summen, wie z.b. die Funktionen sinh und cosh Lösungen der Gl. (3.4.7) sind. Wie sich durch Einsetzen überprüfen läßt, ist die Funktion Θ A * cosh(ξ) + B * sinh(ξ) eine allgemeine Lösung der Gl. (3.4.7). Die Konstanten A und B erhält man durch die Randbedingungen Gl. (3.4.8) und Gl. (3.4.9). Randbedingung : * A + * B A. (3.4.) Randbedingung : α F α λ U A + B B α F α λ U. (3.4.) Die spezielle Lösung für die Temperaturverteilung im Stab erhält man durch Einsetzen dieser Konstanten und Rücktransformation auf die ursprünglichen Veränderlichen: ϑ ϑ ϑ U ϑ U α U α α λ + F U cosh x sinh α λ x F U λ F. (3.4.) Mit dieser Gleichung kann die Stabtemperatur an jeder Stelle x berechnet werden, wenn die Stirnflächentemperatur ϑ und die Umgebungstemperatur ϑ U bekannt sind. Man kann z. B. die Temperatur des Stabes an der Stelle xl berechnen. Dies ist die Temperatur der Wand, in der der Stab befestigt ist. ϑ W ϑ ϑ ϑ U U α U F α U L α L λ F + cosh sinh α λ U λ F (3.4.3) Mit dieser Gleichung könnte man auch die Stirnflächentemperatur berechnen, wenn die Wandtemperatur ϑ W gegeben ist. Durch Division von Gl. (3.4.) und Gl. (3.4.3) ergibt sich folgende Gleichung ϑ ϑ U ϑ ϑ w U coshx coshl α U + α λ F α U + α λ F F sinhx α λ U F sinhl α λ U α U λ F α U λ F (3.4.4) Mit dieser Gleichung kann die Temperatur des Stabes an jeder Stelle x berechnet werden, wenn die Umgebungstemperatur und die Wandtemperatur gegeben sind, mit Gleichung (3.4.) in dem Fall, daß die Temperatur auf der Stirnfläche und Umgebungstemperatur gegeben sind. Gleichung (3.4.4) lautet mit dimensionslosen Veränderlichen: Θ cosh( ξ) + B sinh( ξ) cosh( ) sinh( ) Θ W ξ L + B ξ L. (3.4.5)

27 Darin ist die Größe B : B α F α λ U. (3.4.6) Häufig sind Wärmeübergangskoeffizienten an Stirnfläche und Umfangsfläche des Stabes als gleich anzunehmen. Dann gilt mit α α : B α F λ U. (3.4.7) Die dimensionslose Kennzahl B dient auch der Beurteilung gerader Rippen, wie später gezeigt wird. Eingespannte Stäbe oder Platten werden auch als Rippen bezeichnet, wenn sie der Verbesserung des Wärmeaustauschs einer Wand mit der Umgebung dienen. (Motorzylinder mit Kühlrippen). Der von der Oberfläche der Rippe übertragene Wärmestrom läßt sich berechnen, wenn man den im Rippenfuß durch Wärmeleitung transportierten Wärmestrom Qx ( L) berechnet. Q F d ϑ λ dx ges x L (3.4.8) Aus Gl. (3.4.4) erhält man: cosh ϑ ( x) ϑu + ( ϑw ϑu) cosh ( ξ) + ( ξ) B sinh ( ξ ) + B sinh( ξ ) L L. (3.4.9) Die Ableitung der Temperatur an der Stelle x L lautet dϑ dx dϑ dξ ξ ξ. (3.4.3) dξ dx x L L x L Damit ergibt sich aus Gl. (3.4.9) sinh α λ ( ϑw ϑu ) cosh Q U F ( ξl) + B cosh( ξl) ( ξ ) + B sinh( ξ ) L L. (3.4.3) Ist die Kennzahl B, so verschwinden die Summanden mit dem Faktor B in Gleichung (3.4.3). Man erhält aus Gl. (3.4.9) die in der Praxis oft benutzte Gleichung: ( ) Q α U λ F ϑw ϑu tanh L α U λ F. (3.4.3) Interessant ist auch der Sonderfall B. In Gleichung (3.4.3) wird dann sinh cosh ( ξl) + B cosh( ξl) ( ξ ) + B sinh( ξ ) L L, (3.4.33) und der Wärmestrom ist unabhängig von dem Wert ξ L oder der Rippenlänge L. Man kann folglich eine Rippe mit der Kennzahl B sowohl weglassen (L ), als auch beliebig oder unendlich lang machen ( < L < ), ohne daß sich dadurch der Wärmeaustausch ändert. Bei ausgeführten Rippen sollte der Wert von B deutlich unter liegen, und etwa B <.45 betragen. 3

28 Die Wärmeabgabe von Rippen kann auch mit Hilfe eines Rippenwirkungsgrads berechnet werden. Der Rippenwirkungsgrad ist definiert durch die Gleichung ( ) Q α F R ϑ W ϑ U η R, (3.4.34) wobei α den einheitlichen Wärmeübergangskoeffizienten an der gesamten Rippenoberfläche bedeutet ( α α R α ). Zur Ableitung von Gleichungen für den Rippenwirkungsgrad wird jedoch die Wärmeabgabe an der Stirnfläche vernachlässigt (B ) und die wärmeabgebende Fläche ist F U L R. (3.4.35) Ein Vergleich von Gl. (3.4.3) und Gl. (3.4.34) liefert: η R L α U L ( ξl) α U λ F tanh ξ tanh L. (3.4.36) λ F Für Gl. (3.4.36) läßt sich eine Näherungsformel ableiten. Durch Umformung η R ( ξ ) ξ coth (3.4.37) L L und die Reihenentwicklung ξl coth ( ξl ) ξ 3 L (3.4.38) ergibt sich unter Verwendung der ersten beiden Glieder η R ξ L +. (3.4.39) 3 Für gerade Rippen mit Rechteckquerschnitt ergibt sich mit U * b + 4 * y ; F * y * b und y << b > U/F /y die Näherung ξ L L α (3.4.4) λ y und die einfache Berechnungsgleichung η R α + L 3 λ y (3.4.4) 4

29 Für anders geformte Rippen können entsprechende Näherungsgleichungen angegeben werden: Kreisrippe mit Rechteckquerschnitt: r α + a L η 3 r λ y R i (3.4.4) Gerade Dreiecksrippe: η R α + L (3.4.43) λ y Konische Nadeln: η R α U + 5. L (3.4.44) λ F Der Wärmestrom, der von einer berippten Fläche übertragen wird, setzt sich aus dem Wärmestrom der freien Wandflächen und dem Wärmestrom der Rippenflächen zusammen. An beiden Flächen wird der gleiche Wärmeübergangskoeffizient α angenommen. F R ist die Gesamtoberfläche der Rippe und η R der Näherungsweise für den Sonderfall B hergeleitete Rippenwirkungsgrad nach den oben angegebenen Gleichungen. Q Q ( ) α F ϑ ϑ (3.4.45) W W W U ( ) α F ϑ ϑ η. (3.4.46) R R W U R Der Gesamtwärmestrom beträgt Q Q + Q (3.4.47) W R 5

30 ( ) ( ) Q α ϑ ϑ F + η F. (3.4.48) W U W R R Der Wärmeübergangswiderstand einer berippten Wand ist also ϑ R W ϑu Q α F + F ( W ηr R). (3.4.49) 6

31 4. Anwendung des Wärmedurchgangskoeffizienten 4.. Wärmeübertrager Wärmeübertrager sind Apparate, mit denen Wärme von einem Stoff auf einen anderen Stoff übertragen werden soll. Eine Vielzahl von Klassifikationen ist möglich. Wärmeübertrager, die von beiden Stoffen gleichzeitig durchströmt werden, heißen Rekuperatoren. Die Fluide haben dann getrennte Strömungskanäle. Bei Regeneratoren dagegen sind die Stoffe nicht räumlich, sondern zeitlich voneinander getrennt, sie fließen abwechselnd im gleichen Strömungskanal durch den Apparat. Im Folgenden werden Rekuperatoren betrachtet. Ein wesentliches Unterscheidungsmerkmal dieser Apparate ist die Stromführung der beiden Stoffe. Bild 4. zeigt eine typische Wärmeübertragerkonstruktion und deren Bauteile. Die Wärmeübertragung kann Phasen- und Temperaturänderungen der Fluide bewirken. Die Berechnung der übertragenen Wärme und Temperaturänderungen der Stoffströme soll an den Beispielen von Gleich- und Gegenstromwärmeübertrager gezeigt werden. Bild 4. zeigt den schematischen Aufbau dieser Apparate aus zwei Strömungskanälen und einer Trennwand sowie mögliche Temperaturverläufe der beiden Stoffe über dem Strömungsweg. Es wird angenommen, daß ein stationärer Fließprozeß stattfindet und daß die Apparate nach außen adiabat sind. Im Folgenden wird zur Unterscheidung der wärmeaufnehmende Stoff mit dem Hochzeichen ' gekennzeichnet. Die Koordinate des Strömungswegs kann die Längenkoordinate x, die Flächenkoordinate f (überströmte Fläche) oder eine dimensionslose Koordinate sein: x ξ L f F. (4..) 7

32 Die Ortskoordinaten der beiden Enden des Wärmeübertragers werden mit den Indizes und gekennzeichnet. Der Wärmestrom, der im Beharrungszustand in einem differentiellen Flächenabschnitt des Apparats übertragen wird, ist: ( ') dq k df ϑ ϑ. (4..) ( ϑ ϑ ) ' örtliche Temperaturdifferenz k örtlicher Wärmedurchgangskoeffizient Werden die Änderungen der potentiellen und kinetischen Energie der Stoffströme im Apparat vernachlässigt, so gilt dq m dh, (4..3) dq m ' dh'. (4..4) Man vereinbart, daß der Wärmestrom positiv ist, wenn er vom Stoffstrom m zum Stoffstrom m' übertragen wird. Dann ist ϑ> ϑ' und ( ') dq k df ϑ ϑ >. (4..5) Aus den Gleichungen (4..) bis (4..4) erhält man bei Berücksichtigung der Strömungsrichtung: (siehe Bild 4.) oder zusammengefaßt dq m dh ± m' dh', (4..6) ( ) dq k df ϑ ϑ ' m dh ± m ' dh '. (4..7) (Bei ± gilt: positives Vorzeichen für Gleichstrom und negatives Vorzeichen für Gegenstrom) Die spezifische Enthalpie als Funktion von Druck und Temperatur hat das Differential v dh cp dt + v T * T p dp. (4..8) Dies soll in Gleichung (4..7) eingesetzt werden, wobei man drei Fälle unterscheidet: a) Das Fluid ist ein ideales Gas. Dann ist v v T und dh c p dt T p. (4..9) b) Das Fluid ist raumbeständig: > dv und c p c v c. (4..) In Wärmeübertragern gilt im allgemeinen v * dp << c * dt. (4..) und somit dh c * dt c * dϑ. (4..) c) reales Fluid: 8

33 Auch bei realen Fluiden gilt v v T p dp c dt <<, (4..3) und man kann mit guter Näherung dh c p * dϑ annehmen (4..4) So erhält man aus Gleichung (4..7): ( ) dq k df ϑ ϑ ' m c dϑ ± m' c ' dϑ '. (4..5) Man führt den Begriff der Wärmekapazitätsströme ein: p p C m c p (4..6) ' C' m ' c p. (4..7) In Gleichung (4..5) eingesetzt erhält man: dq C dϑ ± C ' dϑ '. (4..8) Die Integration der Gleichung (4..8) liefert den gesamten Wärmestrom, der im Apparat übertragen wird. Bei konstanten Wärmekapazitätsströmen erhält man ( ) ( ) Q C ϑ ϑ ± C ' ϑ ' ϑ '. (4..9) Bei veränderlichen Werten von c und c' müssen in dieser Gleichung die integralen Mittelwerte zwischen den Endtemperaturen eingesetzt werden. Gleichung (4..5) beschreibt auch den Zusammenhang zwischen den örtlichen Temperaturänderungen und der örtlichen Änderung der Temperaturdifferenz. Man führt in Gleichung (4..5) die Temperaturdifferenz als neue Veränderliche ein, und formt damit die Terme mit den örtlichen Temperaturen um. Nach den Differentiationsregeln für Summen erhält man: ( ) d ϑ ϑ ' dϑ dϑ '. (4..) Der Zusammenhang zwischen den Temperaturen lautet woraus folgt: Daraus erhält man: bzw.: C dϑ ± C ' dϑ ', (4..) C d ϑ' C dϑ. (4..) ± ' C d( ϑ ϑ ') dϑ dϑ ' dϑ ± (4..3) C ' 9

34 dϑ d ( ϑ ϑ ') C ± C '. (4..4) Gleichung (4..4) wird in Gl. (4..5) eingesetzt. Nach Umformen ergibt sich: ( ϑ ϑ ') d k F dξ ( ϑ ϑ ') ± C C '. (4..5) In dieser Gleichung dürfen k, C und C ' noch veränderlich sein. Zur einfachen Integration wird jetzt die Annahme getroffen, daß sowohl C und C ' als auch k konstant sind. Nach Trennung der Veränderlichen und Integration zwischen () und () erhält man: ( ϑ ϑ ') ( ϑ ϑ ') k F ± ln C C '. (4..6) Setzt man Gleichung (4..6) in Gl. (4..8) ein, so erhält man: dq d ( ϑ ϑ ' ) ± C C '. (4..7) Die Integration dieser Gleichung ergibt den insgesamt übertragenen Wärmestrom entsprechend Gl. (4..9) Q ( ϑ ϑ ') ( ϑ ϑ ') ± C C '. (4..8) Mit Gleichung (4..8) können die Wärmekapazitätsströme in Gl. (4..6) eliminiert werden. Das Ergebnis lautet: Q k F ( ϑ ϑ ') ( ϑ ϑ ') ( ϑ ϑ ') ln ( ϑ ϑ '). (4..9) Der Bruch in Gl. (4..9) ist der logarithmische Mittelwert der Temperaturdifferenzen an beiden Enden (, ) des Wärmeübertragers. Zur Berechnung der übertragenen Wärme (auch bei Wärmeübertragern mit anderen Stromführungen) führt man den Begriff der mittleren Temperaturdifferenz ein, entsprechend der Definitionsgleichung Q k F ϑ M, (4..3) wobei jetzt bei Q der Index weggelassen werden soll. Ein Vergleich mit Gl. (4..9) zeigt, daß die mittlere Temperaturdifferenz bei Apparaten mit Gleich- und Gegenstromführung durch folgende Gleichung gegeben ist: ( ϑ ϑ ') ( ϑ ϑ ') ( ϑ ϑ ') ln ( ϑ ϑ ') ϑ M ϑ ϑ ϑ ln ϑ. (4..3) 3

35 In Gleichung (4..3) sind nur noch die Temperaturdifferenzen der Stoffströme an den beiden Enden der Apparate enthalten. Diese Gleichung wird auch oft bei anderen Stromführungen angewendet und dann mit einem Korrekturfaktor < versehen. Die Gl. (4..3) bereitet Schwierigkeiten im Grenzfall ϑ ϑ. Aus Grenzwertbetrachtungen erhält man ϑ lim ϑ ϑm ( ϑ + ϑ ). (4..3) Der Temperaturverlauf der beiden Stoffströme über der Ortskoordinate ist durch die Ein- und Austrittstemperaturen der Stoffströme und deren Wärmekapazitätsverhältnis festgelegt. Bild 4.3 zeigt die möglichen Fälle. 3

36 3

37 4.. Zeitlicher Temperaturausgleich geschlossener Systeme Die zeitliche Temperaturänderung zweier geschlossener Systeme mit konstantem Volumen, die über eine diatherme Wand miteinander in Wechselwirkung stehen, soll beschrieben werden. Beide Systeme bilden zusammen ein abgeschlossenes System. (Bild 4.4) Beide Systeme sollen zu jeder Zeit eine jeweils einheitliche Temperatur haben. Außerdem soll gelten: ϑ ( τ ) > ϑ '( τ ). (4..) Der zeitlich veränderliche Wärmestrom, der zwischen den Systemen übertragen wird, beträgt ( ) Q ( τ ) k F ϑ ( τ ) ϑ '( τ ). (4..) Entsprechend dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik für ruhende geschlossene Systeme bewirkt der übertragene Wärmestrom eine zeitliche Änderung der inneren Energie beider Systeme du du ' Q ( τ ) dτ dτ. (4..3) Bei konstantem Volumen gilt du m c dϑ ; du ' m c ' dϑ '. (4..4) Mit C m * c v und C' m' * c r ' erhält man: v v ' Q ( ) C d ϑ C' d ϑ τ. (4..5) dτ dτ Bei raumbeständigen Festkörpern ist c v c bzw. c v ' c'. In einem differentiellen Zeitabschnitt wird die Wärmemenge dq Q ( τ ) dτ (4..6) übertragen. Die im Gesamtzeitraum von der Zeit bis zur Zeit übertragene Wärme kann durch Integration berechnet werden: ( ϑ ϑ ) ( ϑ ϑ ) Q C C' ' '. (4..7) Wie beim Gleich- und Gegenstromwärmeübertrager wird als Veränderliche die Temperaturdifferenz ϑ - ϑ' eingeführt. Man erhält dann wie beim Gleichstrom 33

38 Q ( τ ) + C C' d ( ϑ ϑ ') dτ (4..8) und d( ϑ ϑ ' ) dq + C C'. (4..9) Wenn die Wärmekapazitäten konstant sind, ergibt sich durch Integration die im Zeitraum bis übertragene Wärme zu Q ( ϑ ϑ ' ) ( ϑ ϑ ' ) + C C'. (4..) Aus Gleichung (4..) und (4..8) erhält man die Differentialgleichung für die zeitlich veränderliche Temperaturdifferenz: ( ϑ ϑ ') K F d + C C' ( ϑ. ϑ ') dτ. (4..) Der folgende Rechengang entspricht der Vorgehensweise bei der Berechnung der Wärmeübertragung im Gleichstromwärmeübertrager. Statt örtlich veränderlicher Temperaturen werden jetzt zeitliche Änderungen betrachtet. Führt man die dimensionslose Zeitkoordinate τ ξ τ (4..) ein, ergibt sich aus Gleichung (4..): ( ϑ ϑ ') k F C + C d d τ ξ ' ϑ ϑ '. (4..3) Nach Integration erhält man k F τ + ln C C' ( ϑ ϑ ') ( ϑ ϑ ). (4..4) Die Wärmekapazitäten in Gleichung (4..4) werden eliminiert entsprechend ( ϑ ϑ ') ( ϑ ϑ ') + C C' Q (4..5) und das Ergebnis lautet Q k F ϑ M τ (4..6) mit ϑ M ϑ ϑ ϑ ln ϑ. (4..7) 34

39 Die zeitlichen Temperaturänderungen bei unterschiedlichen Verhältnissen der Wärmekapazitäten kann man aus Bild 4.3 entnehmen, wenn man ' C C, C C ; Q Q τ τ τ setzt. Betrachtet man anstelle von zwei Systemen konstanten Volumens Systeme veränderlichen Volumens und konstanten Druckes, so ergibt die Anwendung des ersten Hauptsatzes, daß man bei der Berechnung der betreffenden Kapazität C oder C' die spezifischen isobaren Wärmekapazitäten c p bzw. c p ' verwenden muß. 35

40 5. Instationäre Wärmeleitung ohne Wärmequellen In den bisher behandelten Wärmeleitungsaufgaben wurden zeitlich unveränderliche Temperaturfelder angenommen. Jetzt soll der eindimensionale, instationäre Wärmeleitungsfall behandelt werden. Für das eindimensionale Temperaturfeld in einer ebenen Wand erhält man aus der Energiegleichung die Differentialgleichung ϑ ϑ a. (5.) x τ Darin ist die Temperaturleitzahl a ein Stoffwert, der in diesem Fall als konstant angenommen wird. Wenn die zeitliche Ableitung zu Null wird, liegt stationäre Wärmeleitung vor. Für den Sonderfall ϑ τ const. ψ kann die DGL wie in Kap. 3 beschrieben gelöst werden. (Lösung ist Parabel. Ordnung) Der allgemeine Fall der instationären Wärmeleitung ohne Wärmequellen betrachtet zeitliche Temperaturänderungen bei einer beliebigen, bekannten Anfangstemperaturverteilung und beliebigen Randbedingungen (Bild 5.). Gleichung (5.) beschreibt die zeitlichen und örtlichen Temperaturänderungen für den allgemeinen Fall. Mit Hilfe der Anfangstemperaturverteilung können die Temperaturen zu jedem späteren Zeitpunkt an jeder Stelle in der Wand berechnet werden, wenn die Randbedingungen bekannt sind. Es gibt mehrere Verfahren, um die Differentialgleichung analytisch zu lösen. Oft führt ein Produktansatz ϑ ( x, τ ) ϑ ( x) ϑ ( τ ) zum Ziel. Ein für die Praxis gut geeignetes numerisches Lösungsverfahren ist das Binder-Schmidtsche Differenzenverfahren. 36

41 5. Binder-Schmidtsches Differenzenverfahren Das Verfahren wurde 94 veröffentlicht. Es ermöglicht numerische oder graphische Lösungen und ist besonders einfach programmierbar. Das Verfahren besteht darin, die Wand gedanklich in Abschnitte mit endlicher Dicke zu zerlegen und die Temperaturen nur an den Grenzflächen dieser "Schichten" zu berechnen (Stützstellen). Die Differentialgleichung wird durch eine Differenzengleichung ersetzt. Bild 5. zeigt einen derart unterteilten Abschnitt einer ebenen Wand. Wenn die Temperaturverteilung zu einer bestimmten Zeit j gegeben ist, kann man folgende Taylor- Entwicklungen (an der Stelle i und zur Zeit j) für die Punkte i- und i+ anschreiben: ϑ ϑ ϑ ϑ x 3 ϑ 3 x ϑ + x+ + i j +...,, 3 i, j x x x 6 i+, j i, j i, j ϑ ϑ ϑ x+ x x i, j i, j i, j x 3 ϑ 3 x...., 3 i, j x 6 i j (5..) (5..) Eine Addition der Gleichungen (5..) und (5..) ergibt: ϑ ϑi+ j + ϑ i j ϑ i j +,,, i j x +,... x. (5..3) Aus Gleichung (5..3) erhält man: ϑ ϑ + + ϑ ϑ x x i, j i. j i, j i, j. (5..4) Die zeitliche Ableitung der Temperatur ersetzt man ebenfalls näherungsweise durch Differenzen: ϑ ϑ i, j+ ϑ i, j (5..5) τ τ i, j Die Gleichungen (5..4) und (5..5) werden in Gleichung (5.) eingesetzt, so daß man eine Differenzengleichung anstelle einer Differentialgleichung erhält. ϑ + + ϑ ϑ ϑ + ϑ a x τ i, j i, j ij, ij, ij,. (5..6) 37

42 Gleichung (5..6) ermöglicht die Berechnung der Temperatur an einem Punkt i zu einem späteren Zeitpunkt j+, wenn zum Zeitpunkt j die Temperaturen in den Punkten i, i+ und i- bekannt sind. Die Orts- und Zeitschritte x bzw. τ können noch unabhängig voneinander gewählt werden. Die Berechnungen vereinfachen sich jedoch, wenn man die Zeit- und Ortsdifferenzen so wählt, daß a τ x (5..7) wird. Jetzt kann nur noch eine der Differenzen frei gewählt werden. Um numerische Stabilität zu gewährleisten muß gelten: a < τ x. (5..8) Mit den so gewählten Zeit- und Ortsdifferenzen vereinfacht sich Gleichung (5..6) zu ϑ + ϑ i+, j i, j ϑij, +. (5..9) Man kann jetzt die Temperatur an der Stelle i zur Zeit j+ aus dem gegebenen Verlauf zur Zeit j auch gemäß Bild 5.3 graphisch konstruieren. Die Berechnung bzw. zeichnerische Ermittlung des neuen Temperaturverlaufs kann durch das Einführen einer Temperaturdifferenz als neue Veränderliche verallgemeinert werden. Θ ϑ ϑ stationär (5..) Die ursprüngliche Differentialgleichung ϑ ϑ (5..) x a τ verändert sich mit den neuen Veränderlichen nicht Θ Θ, (5..) x a τ und die Randbedingungen x x:ϑ ϑ w (5..3) x x :ϑ ϑ w (5..4) gehen über in x x:θ, (5..5) x x :Θ. (5..6) 38

43 Bild 5.4 zeigt die graphische Konstruktion der Temperaturverläufe in den neuen Koordinaten. Beispiel: Eine Betonwand von m Dicke mit der Temperaturleitzahl a. m²/h ist in fünf Schichten von je cm Dicke unterteilt. Die Gleichung (5..7) liefert dann ein Zeitintervall von Stunden zwischen j und j+. In der Praxis liegt der Fall zeitlich konstanter Oberflächentemperaturen selten vor. Statt dessen sind die Umgebungstemperaturen konstant und zwischen Umgebungsmedium und Wandoberfläche(n) ist ein Wärmeübergangskoeffizient zu berücksichtigen. (Beispiel: Eine heiße Metallplatte kühlt sich in einem Raum mit konstanter Lufttemperatur ab.) Auch diesen Wärmeleitungsfall löst man mit der gleichen Methode: Man ergänzt die Wand durch eine zusätzliche "Schicht" mit der Wärmeleitfähigkeit der Wand, jedoch ohne Wärmekapazität. Um die Dicke s dieser Zusatzschicht zu berechnen, betrachtet man den Wärmestrom an der Wandoberfläche: Es muß gelten q λ ϑ α ϑ ϑ x ( ) x U w τ. (5..7) Weil angenommen wird, daß die Wärmekapazität der Zusatzschicht Null ist, ist der Temperaturverlauf in ihr zu jeder Zeit linear. Die Steigung der Temperaturkurven in der Schicht s und in der Wand, unmittelbar an der Wandoberfläche, sind gleich: ϑ ϑ x x, τ U s ϑ w. (5..8) Damit erhält man s λ. (5..9) α Bild (5.5) zeigt einen Anfangstemperaturverlauf und die Konstruktion des stationären Temperaturverlaufs, wenn Stoffwerte, Umgebungstemperaturen und Wärmeübergangskoeffizienten gegeben sind. 39