Statistische Methoden der Qualitätssicherung

Transkript

1 Konrad Wälder Olga Wälder Statistische Methoden der Qualitätssicherung Praktische Anwendung mit MINITAB und JMP

2 Inhalt Vorwort... Inhalt... VII IX 1 Einleitung Der Qualitätsbegriff Einführung in das Qualitätsmanagement Statistische Grundlagen Deskriptive Statistik und explorative Datenanalyse Grundlegende Begriffe und statistische Kenngrößen Visualisierung von Daten Wichtige Verteilungen Der Wahrscheinlichkeitsbegriff Die Verteilungsfunktion Normalverteilung Exponentialverteilung Weibull-Verteilung Binomialverteilung Poissonverteilung Schließende Statistik Punktschätzung Konfidenzschätzung Statistische Tests ANOVA und Regression Regression Varianzanalyse (ANOVA) Methoden und Qualitätswerkzeuge Die sieben Qualitätswerkzeuge Quality Function Deployment (QFD) Messsystemanalyse und Prozessfähigkeit Anforderungen an Messmittel Messsystemanalyse C g -/C gk -Studie (Verfahren 1) R&R-Studie (Verfahren 2)... 91

3 X Inhalt Überprüfung der Linearität (Verfahren 4) Überprüfen der Stabilität (Verfahren 5) Prozessfähigkeit und Prozess fähigkeitsindizes Stichprobenpläne zur Annahmestichprobenprüfung (n,c) Stichprobenpläne Sequentielle Stichprobenpläne (n,k) Stichprobenpläne bei messender Prüfung Zuverlässigkeitsanalyse Einführung Berücksichtigung des Risikos Exponentiell verteilte Lebensdauern Zuverlässigkeit von Systemen aus N Komponenten Weibull verteilte Lebensdauern Zensierte und klassierte Daten Zuverlässigkeitsanalyse mit Minitab und JMP Nichtparametrische Verfahren Statistische Prozesslenkung (SPC) Einführung Regelkarten zur Überwachung von Mittelwert und Streuung Die Mittelwert Regelkarte ( Karte) Regelkarten für die Streuung Regelkarten für attributive Daten Multivariate Regelkarten Einführung in die statistische Versuchsplanung Motivation Vollfaktorielle Versuchspläne Teilfaktorielle Versuchspläne Anhang Literatur Stichwortverzeichnis Die Dateien zum Buch finden Sie auf fachbuch.de/. Geben Sie im Suchfeld Wälder ein. Auf der Buchsite klicken Sie auf > Mehr und dann auf den Reiter Extras.

4 2 Statistische Grundlagen Die Statistik lässt sich in zwei Teilgebiete aufgliedern. In der deskriptiven oder beschreibenden Statistik werden Kennzahlen ermittelt und Daten werden grafisch dargestellt. In den 1970er Jahren wurde die deskriptive Statistik von John W. Tukey zur Explorative Datenanalyse (EDA) weiterentwickelt, insbesondere zur Identifikation von Strukturen und zur Vorauswahl weiterführender statistischer Methoden. Das zweite Teilgebiet bildet die schließende oder analytische Statistik. Hier geht es um die Herleitung, Analyse und Modellierung von Strukturen und Zusammenhängen zwischen Variablen. 2.1 Deskriptive Statistik und explorative Datenanalyse Grundlage statistischer Methoden sind so genannte zufällige Merkmale, die auch Zufallsvariablen oder Zufallsgrößen genannt werden. Zunächst ist ein Merkmal eine kennzeichnende Eigenschaf t einer statistischen Einheit, des sogenannten Merkmalsträgers. In Abschnitt 1.1 wurden mit Qualitätsmerkmalen spezielle Merkmale eingeführt. Ist dieses Merkmal zufällig, so spricht man von einer Zufallsvariablen, einer Zufallsgröße oder einem zufälligen Merkmal. Ein konkreter Mess- oder Beobachtungswert einer Zufallsvariable heißt Realisierung. Mögliche Realisierungen, die auftreten können, nennt man Merkmalsausprägungen. Qualitätsmerkmale können in der Qualitätssicherung als zufällig angesehen werden, da beispielsweise aufgrund des Einflusses von Umweltbedingungen, Störgrößen und Messungenauigkeiten nicht alle betrachteten Einheiten identische Werte aufweisen. Ganz entscheidend für die Anwendung von statistischen Methoden sind der Typ und die Skalierung eines zufälligen Merkmals. Man unterscheidet zunächst zwei Typen von zufälligen Merkmalen: Qualitative Merkmale und ihre Ausprägungen können nicht direkt durch Zahlen ausgedrückt werden. Beispiele hierfür sind das Merkmal Geschlecht mit den Ausprägungen männlich und weiblich sowie das Qualitätsmerkmal Fehlerart bei der Qualitätskontrolle vor Auslieferung eines PKW. Mögliche Ausprägungen sind hier Lackfehler, zu große Spaltmaße und Klappergeräusche.

5 10 2 Statistische Grundlagen Quantitative Merkmale sind Merkmale, deren Ausprägungen in bestimmten Zahlen oder Maßeinheiten gemessen werden können. Ganz offensichtlich gehören alle Qualitätsmerkmale, die messtechnisch erfasst werden, zu diesem Typ. Qualitative Merkmale können quantifiziert werden. Jeder qualitativen Ausprägung wird dabei ein Zahlenwert zugewiesen, bei obigem Beispiel etwa dem Lackfehler die 0, den Spaltmaßen die 1, den Klappergeräuschen die 2, usw. Allerdings kann eine solche Quantifizierung zu Problemen führen; etwa wenn eine statistische Methode dann von einem quantitativen Merkmal ausgeht und Operationen durchführt, die sich nicht mehr interpretieren lassen. Im einfachsten Fall ist nach einer Quantifizierung eine Mittelwertbildung möglich, die aber ganz offensichtlich keinen Sinn macht, da es keine Fehlerart mit Kommawert wie z. B. 1,5 gibt. Um die verschiedenen Ausprägungen eines Merkmals nach einheitlichen Kriterien angeben, messen und skalieren zu können, muss eine Skalierung vorgenommen werden. Folgende Skalen sind möglich: Nominalskala: Nominal skalierte Merkmalsausprägungen werden verbal beschrieben. Im Allgemeinen gibt es keine Rangordnung unterschiedlicher Ausprägungen. Beispiele sind das Geschlecht, die Staatsangehörigkeit von Mitarbeitern oder die Schicht bei einem Mehrschichtbetrieb. Ordinalskala: Ordinal skalierte Merkmalsausprägungen werden verbal beschrieben. Allerdings gibt es eine Rangordnung unterschiedlicher Ausprägungen. Ein typisches Beispiel hier sind Schulnoten, da die Ausprägung sehr gut ganz offensichtlich besser ist als die Ausprägung ausreichend. Im Qualitätsmanagement spielt die Ordi nalskala bei der Bewertung von Kunden, Lieferanten und Mitarbeitern eine wichtige Rolle. Das Qualitätsmerkmale Lieferantenstatus mit den 3 Ausprägungen A-Lie ferant (höchste Zuverlässigkeit), B-Lieferant (akzeptable Zuverlässigkeit) und C-Lie ferant (Zuverlässigkeit nicht gegeben) wird sinngemäß in vielen Unternehmen verwendet. Nominal und ordinal skalierte Merkmale werden auch als kategoriale oder attributive Merkmale bezeichnet. Bei metrischen Skalen liegen Zahlen als Ausprägungen vor. Metrische Skalen sind die natürlichen Skalen quantitativer Merkmale. Eine Rangordnung ist immer definiert. Die Differenzbildung ist stets möglich. Die metrische Skalierung wird weiter unterteilt in die: Absolute Skalierung: Eine natürliche Einheit und ein natürlicher Nullpunkt sind hier gegeben. Anzahlen (Fehleranzahl pro Schicht, Fehltage eines Mitarbeiters, etc.) sind stets absolut skaliert. Verhältnis-Skalierung: Es gibt einen natürlichen Nullpunkt, aber keine natürliche Einheit. Merkmale, die sich auf Entfernungen, Längen und Geschwindigkeiten beziehen sind Verhältnis-skaliert. Das Qualitätsmerkmale Dicke der Lackschicht weist eine natürlich Null auf (keine Schicht vorhanden). Die Dicke der Schicht kann allerdings in m, mm, Inch oder einer beliebigen anderen Einheit angegeben werden.

6 2.1 Deskriptive Statistik und explorative Datenanalyse 11 Intervall-Skalierung: Hier sind weder ein natürlicher Nullpunkt noch eine natürliche Einheit gegeben. Im Gegensatz zur Verhältnis Skalierung ist Quotientenbildung hier sinnlos. Betrachtet man beispielsweise das Merkmal Temperatur in C so ist die Aussage, 2 C sind doppelt so warm wie 1 C, relativ sinnlos. Vor jeder Visualisierung von Daten, d. h. den Realisierungen von Merkmalen, müssen die entsprechenden Skalierungen festgelegt werden Grundlegende Begriffe und statistische Kenngrößen Wir betrachten ein beliebiges Merkmal X, beispielsweise sei X ein Qualitätsmerkmal und beschreibe die Länge einer Schraube in mm. Grundgesamtheit Stichprobe ABBILDUNG 2-1 Grundgesamtheit und Stichprobe Möglicherweise können aufgrund der Vielzahl der produzierten Schrauben nicht alle gemessen werden. Alle Schrauben bilden die so genannte Grundgesamtheit oder Population. Aus dieser wird eine Auswahl getroffen, die so genannte Stichprobe. Wir nehmen an, dass die Stichprobe n Werte umfasst. n heißt dann Stichprobenumfang. Die Werte werden mit bezeichnet. Statistische Methoden beruhen auf der Stichprobe. Ziel ist es allerdings, Aussagen für die Grundgesamtheit zu treffen, vgl. Abbildung 2 1. Lagemaße Zunächst betrachten wir so genannte Lageparameter oder Lagemaße. Hierzu gehört zunächst der arithmetische Mittelwert (Xbar im Englischen) mit (2 1) Der arithmetische Mittelwert ist normalerweise eine gute Kenngröße für die mittlere Prozesslage. Allerdings hängt von so genannten Ausreißern, d. h. Merkmalswerten ab, die aus welchen Gründen auch immer nicht zu den anderen Werten passen.

7 12 2 Statistische Grundlagen Beispiel 2-1: Wir betrachten das Qualitätsmerkmal Länge einer Schraube in mm. Die Stichprobe sei durch i ,1 33,2 32,8 33,0 32,9 gegeben. Ganz offensichtlich ergibt sich hier. Wird durch eine Unaufmerksamkeit der letzte Wert zu 329 mm verfälscht, so ergibt sich, was natürlich die mittlere Prozesslage nicht beschreibt. Die Ausreißerfrage ist meistens nicht so offensichtlich zu beantworten wie im obigen Beispiel. Man benötigt daher so genannte robuste Kenngrößen, die nicht oder nur in geringem Ausmaß auf Ausreißer reagieren. Ein robustes Maß für die mittlere Prozesslage stellt der Median dar. Der Median entspricht demjenigen Wert, unter dem 50 % aller Werte liegen. Er wird daher auch als 50 % Quantil bzw. ½ Quantil bezeichnet. Um den Median zu bestimmen, müssen die Werte der Stichprobe der Größe nach sortiert werden; dies führt zu der geordneten Stichprobe. ABBILDUNG 2-2 Median bei ungeradem (oben) und geradem Stichprobenumfang (unten) Bei einem ungeraden Stichprobenumfang ist der Median durch den Wert gegeben. In Abbildung 2 2 ergibt sich für n = 5. Ist der Stichprobenumfang gerade, so ergibt sich der Median als Mittelwert aus dem (n/2) ten und (n+1)/2 ten Wert der geordneten Stichprobe. (2 2)

8 2.1 Deskriptive Statistik und explorative Datenanalyse 13 Für die Werte aus Beispiel 2 1 mit n = 5 und i ,8 32,9 33,0 33,1 33,2 gilt. Im Falle des Tippfehlers ergibt sich i ,8 33,0 33,1 33,2 329 mit. Es kommt also nur zu einer minimalen Veränderung des Medians. Wie oben ausgeführt, wird der Median auch als 50 % Quantil oder ½ Quantil bezeichnet. Es lässt sich nun auch allgemeiner ein Quantil definieren, das demjenigen Wert entspricht, unter dem der Werte liegen. Bei der Berechnung von muss zunächst eine ganze Zahl k als Hilfsgröße berechnet werden. Hierbei ist die folgende Fallunterscheidung zu beachten: nicht ganzzahlig: k entspricht der auf folgenden ganzen Zahl. ganzzahlig: Nun gilt: (2 3) Neben dem Median sind das 25 % und 75 % Quantil von besonderer Bedeutung, sie werden als unteres bzw. oberes Quartil oder als unterer bzw. oberer Viertelwert bezeichnet: : unteres Quartil, unterer Viertelwert : oberes Quartil, oberer Viertelwert : Median Beispiel 2-2: Berechnung der Quartile Die Werte aus Beispiel 2 1 werden wieder verwendet. Das untere und obere Quartil sollen berechnet werden. Unteres Quartil: Oberes Quartil: