3 Das n-dimensionale Integral

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1 3 as n-dimensionale ntegral Ziel: Wir wollen die ntegrationstheorie für f : R n R entwickeln. Wir wollen den nhalt (beziehungsweise das Maß M einer Punktmenge des R n definieren für eine möglichst große Klasse von Teilmengen M R n. abei sollten die folgenden Eigenschaften vorliegen: ( Positivität: M. (2 Bewegungsinvarianz: M = M, wenn M und M kongruent sind (das heißt durch eine abstandserhaltende Transformation wie Verschiebung, rehung und Spiegelung des R n ineinander überführt werden können. (3 Normierung: W = wobei W = [, ] n der Einheitswürfel ist. (4 Additivität: M N = M N = M + N. Kann man jeder Menge M R n einen nhalt M mit diesen Eigenschaften ( (4 zuweisen? iese Frage wurde zu Beginn des 2. Jahrhunderts beantwortet: Nur im R und R 2 gibt es eine nhaltsfunktion für alle Teilmengen (Banach 923, hingegen ist dies im R n für n > 2 nicht möglich (Hausdorff nhaltsmessung von Mengen in R n Wir beginnen mit der efinition von n-dimensionalen (abgeschlossenen ntervallen (Rechtecke in R 2, Quader in R 3. Ein ntervall in R n ist gegeben als := n ( wobei i = [a i, b i ] für i =,..., n mit a i, b i R, a i b i. Für den nhalt solcher ntervalle gilt: := n (b i a i. (2 i= Zerlegungen solcher ntervalle erhält man durch Zerlegung der eindimensionalen ntervalle. i = i,, i,mi in Teilintervalle i,j und Bildung des kartesischen Produktes aus entsprechenden Teilintervallen. ie n-dimensionalen Teilintervalle von haben also die Form,k 2,k2 n,kn, mit k j m j, j n. ie endliche Vereinigung solcher ntervalle wird ntervallsumme genannt: S = k (3 k=,...,m S ist nicht überlappend, wenn die beteiligten ntervalle paarweise disjunktes nneres haben, d.h. k j = für k j. ( ( keine Überlappung (eindimensional efinition 3. (nhalt der ntervallsumme ie Menge aller ntervallsummen wird mit S bezeichnet. Für ntervallsummen S S mit einer nicht überlappenden arstellung S = k=,...,m k ist der nhalt gegeben durch S := m k (4 k=

2 ie efinition des nhaltes einer ntervallsumme ist unabhängig von der arstellung. S S S S S S S + S ; S S = S + S, falls S und S sich nicht überlappen. efinition 3.2 (Jordan-nhalt und Nullmengen ( Für beschränkte (nichtleere Mengen M R n sind der innere nhalt M i und der äußere nhalt M a definiert durch M i := M a := sup S (5 S S,S M inf S (6 S S,M S Für die leere Menge ist i = a =. m Fall M i = M a =: M heißt die Menge messbar (oder quadrierbar im Jordanschen Sinne mit dem sogenannten Jordan-nhalt M. (2 Mengen M R n mit M a = werden Nullmengen (Jordan-Nullmengen genannt. Man sagt, eine Funktion f habe eine Eigenschaft (z. B. Stetigkeit fast überall, wenn die Eigenschaft in allen Punkten bis auf die aus einer Nullmenge erfüllt ist. Eine beschränkte Menge ist gemäß dieser efinition genau dann quadrierbar, wenn für alle ɛ > ntervallsummen S ɛ, S ɛ S existieren mit S ɛ M S ɛ, S ɛ S ɛ < ɛ (7 efinition 3.3 ie Würfel in R n mit Eckpunkten p2 k (für p Z n, Kantenlänge 2 k und nhalt 2 nk bilden die Menge W k der Würfel k-ter Stufe. ie Würfel -ter Stufe sind gerade die Einheitswürfel mit Eckpunkten p Z n. ie Vereinigung solcher Würfel heißt Würfelsumme. Für beschränkte Mengen M R n setzen wir M k := {W W k : W M}, (8 M k := {W W k : W M }. (9 Wir bekommen M k M k+ M M k+ M k k N Lemma 3.4 Für beschränkte Mengen gilt Ein- und umbeschriebene Würfelsumme (in R 2 M i = lim k, k ( M a = lim. k ( 2

3 Bezeichnungen: M : nneres der Menge M M : Abschluss der Menge M M : Rand der Menge M M ɛ := {x R n dist(x, M < ɛ} : (offene ɛ-umgebung von M. Lemma 3.5 Für beschränkte Mengen M, N R n gilt ( M N M a N a M i N i (2 M a = M a M i = M i (3 M N a M a + N a (4 M N = M N i M i + N i (5 lim ɛ M ɛ a = M a Beispiel: Eine nicht quadrierbare Menge ist beispielsweise gegeben durch Wegen folgt aher ist diese Menge nicht quadrierbar. M := {x Q := [, ] 2 R 2 : x i Q, i =, 2} (2 M a = M a = [, ] 2 =, M i = M i = i = (3 Lemma 3.6 (Nullmengen Für Jordan-Nullmengen gilt: ( Jede Teilmenge einer Nullmenge ist Nullmenge. (2 Jede endliche Vereinigung von Nullmengen ist eine Nullmenge. M a M i. (4 (3 Jede in einem echten Untervektorraum von R n enthaltene beschränkte Menge M R n ist Nullmenge. (4 st M R n kompakt und f : M R eine stetige Funktion, so ist ihr Graph G(f := {(x, f(x R n+, x M} eine (n + -dimensionale Nullmenge. Endliche Mengen in R n sind Jordan-Nullmengen. Was kann man über abzählbare Mengen sagen? Zum Beispiel: Sei M = {x k, k N}, wobei (x k k N eine konvergente Folge ist, dann ist M eine Nullmenge. st hingegen M = Q n [, a] n, a > (diese Menge ist auch abzählbar, gilt M a = a n >, das heißt M ist keine Nullmenge. Wenn man bei der nhaltsdefinition auch abzählbar unendliche Vereinigungen von ntervallen zulässt, dann ist für jede abzählbare Menge M = {x i, i N} ihr äußerer nhalt M a = : Für alle ɛ > ist jeder Punkt x k in einem Würfel k mit k = ɛ2 nk M a k= k = k= ɛ2 nk = ɛ 2 n M a =. Wir haben damit eine Schwäche des Jordan-nhalts identifiziert. iese wird durch den allgemeineren Lebesgue-nhalt überwunden (vgl dazu auch Abschnitt.6. 3

4 Satz 3.7 Eine beschränkte Menge M R n ist genau dann quadrierbar, wenn ihr Rand M eine Nullmenge ist. Beweis: Wir zeigen, dass M i + M a = M a. Ein Würfel W M kann keinen Punkt von M enthalten. Jede Würfelsumme M k kann zerlegt werden in (M k und ( M k, sodass gilt: Also ist und für k bekommen wir M k = (M k ( M k und (M k ( M k =. (5 Korollar 3.8 Für quadrierbare Mengen M, N R n gilt:. M N M N (Monotonie 2. M N M + N (Subadditivität 3. M N = M N = M + N (Additivität 4. M N N \ M = N M (M k + ( M k = M k, (6 M i + M a = M a M a =. (7 Abbildungen von Mengen: Wir betrachten im Folgenden Abbildungen von quadrierbaren Mengen und fragen uns, wann deren Bilder auch quadrierbar sind. φ φ( Lemma 3.9 Sei R n (nichtleer beschränkt und φ : R n eine Lipschitz-stetige Abbildung mit Lipschitz-Konstante L. ann gilt für die Bildmenge φ( Beweis: φ( a α a α := (L n n (8 (i Für einen Würfel W (x mit Kantenlänge 2µ > und Mittelpunkt x gilt: φ(x φ(y 2 L x y 2 Lµ n y W (x (9 Also ist φ( W (x in einem achsenparallelen Würfel W mit Mittelpunkt φ(x, Kantenlänge 2µL n und nhalt W = α W (x enthalten. (ii st nun S = W i irgendeine Würfelsumme mit dem nhalt S. ann ist φ( in der Vereinigung von Würfeln W j mit einem nhalt enthalten. Also ist φ( a W j j W j α W j (2 W j α j W j = α S α = const > (2 ies impliziert φ( a α inf S = α a (22 S S, S 4

5 Satz 3. Sei R n nichtleer, offen und quadrierbar. ie Abbildung φ : R n sei Lipschitzstetig in und regulär in (das heißt stetig differenzierbar mit det(φ (x. ann gilt: (i ie Bildmenge φ( ist offen und quadrierbar, und φ( = φ( sowie φ( φ(. (ii st φ in injektiv, so gilt φ( = φ(, und für alle A ist φ(a auch quadrierbar. Lemma 3. Sei R n nicht leer und φ : R n eine Lipschitz-stetige Abbildung. ann besitzt φ eine Lipschitz-stetige Fortsetzung. φ : R n mit φ = φ (23 Satz 3.2 Es sei R n eine quadrierbare Menge und A R n n, b R n. ann ist die Bildmenge φ( R n mit φ(x := Ax + b (affin-lineare Abbildung quadrierbar und es gilt φ( = det A. (24 Korollar 3.3 er Jordan-nhalt ist bewegungsinvariant, das heißt jede affin-lineare Abbildung φ(x = Qx + b mit einer orthogonalen Matrix Q R n n und b R n führt quadrierbare Mengen in quadrierbare Mengen über und lässt die nhalte unverändert, weil det(q =. Beweis: Wegen Q T = Q folgt det Q = det Q T = det Q = det Q >, (25 und es gilt notwendig det Q =. Aus Satz 3.2 folgt φ(m = M. 3.2 Riemann-ntegrale in R n Sei R n eine beliebige (beschränkte, nichtleere quadrierbare Menge und f : R eine beschränkte Funktion. Wir betrachten endliche Zerlegungen Z = {B i, i =,..., n} der Menge, wobei die Teilmengen B i M quadrierbar und nicht überlappend sind, das heißt = n B i, Bi Bj = (i j (26 i= ie Feinheit der Zerlegung ist definiert als Z := max diam B i := max sup x x 2. Sei Z( B i Z B i Z x, x B i die Menge der Zerlegungen von. Eine Zerlegung Z = {B j } ist eine Verfeinerung von Z = {B i} (in Symbolen Z Z, wenn jedes B j Teilmenge eines B i ist. Für zwei Zerlegungen Z = {B i }, Z = { B j } in Z( bezeichen wir die durch Überlagerung entstehende gemeinsame Verfeinerung als Z Z := {B i B j }. Wir definieren: Untersumme: Obersumme: S Z (f := m i= inf x B i f(x B i S Z (f := n i= sup x B i f(x B i Zu den Punkten ξ i B i gehörige Riemann sche Summe: RS Z (f := n f(ξ i B i ξ i B i, i =,...m i= Unterintegral: Oberintegral: J(f = f(xdx := sup z Z( S Z J(f = f(xdx := inf z Z( S Z 5

6 Mit diesen Begriffen gilt: J(f J(f J(f = J( f J(f sup x f(x efinition 3.4 Sei R n quadrierbar, f : R beschränkt. Sind die Ober- und Unterintegrale gleich, so heißt der gemeinsame Wert das Riemann-ntegral von f über : f(xdx := J(f = J(f = J(f. n diesem Fall heißt f Riemann-integrierbar. d Bezeichnungen: f R( heißt, dass f über Riemann- integrierbar ist. er Ausbau der Theorie des n-dimensionalen Riemann-ntegrals erfolgt weitgehend analog zum eindimensionalen Fall. Satz 3.5 (Riemann-ntegrabilitätskriterium Sei R n quadrierbar und f : R eine beschränkte Funktion. Es gilt f R( genau dann, wenn für alle ɛ > Zerlegungen Z ɛ Z( existieren mit S Zɛ (f S Zɛ (f < ɛ Lemma 3.6 Sei R n quadrierbar. as Riemann-ntegral über besitzt folgende Eigenschaften: (i Beziehung zwischen Riemann-ntegral und Jordan-nhalt. dx = (ii Ein f R( ist auch auf jeder quadrierbaren Teilmenge Riemann-integrierbar. (iii Linearität des ntegrals: (iv Monotonie: f, g R(, α, β R αf + βg R( J(αf + βg = αj(f + βj(g f, g R( : f(x g(xx J(f J(g (v st = 2, und sind, 2 quadrierbar, so folgt: 2 = J (f = J (f + J 2 (f Korollar 3.7 Seien A R n quadrierbar. ann ist die charakteristische Funktion χ A Riemann- ntegrierbar und es gilt: χ A (xdx = A Beweis: χ A ist integrierbar über A und \ A. A und \ A sind disjunkt. Lemma 3.6 liefert: χ A (xdx = χ A (xdx + χ A (xdx = dx = A A \A A 6

7 Lemma 3.8 Sei R n quadrierbar. st f R( mit m f(x M, x und φ : [m, M] R eine Lipschitz-stetige Funktion, so ist auch φ f Riemann-ntegrierbar. ies impliziert auch, dass mit f, g R( auch die Funktionen f, f +, f, fg, max{f, g}, min{f, g} R(. Falls inf x f(x > ist, ist ferner auch f R(. Zum Nachweis von fg R( und max{f, g}, min{f, g} R( verwenden wir die Beziehungen (wobei ϕ(x = x 2 auf [m, M] Lipschitz-stetig ist 4fg = ((f + g 2 + (f g 2, max{f, g} = f + (g f +, min{f, g} = f + (g f und die Linearität des Riemann-ntegrals. Lemma 3.9 (i Auf einer Jordan-Nullmenge N R n ist jede beschränkte Funktion f : N R Riemannintegrierbar mit f(xdx = N (ii Sei R n quadrierbar und f : R beschränkt. ann ist f entweder über allen drei Mengen Riemann-integrierbar oder über keiner von diesen. Falls f integrierbar ist, dann ist f(xdx = f(xdx = f(xdx. Satz 3.2 (Riemann-ntegral stetiger Funktionen Sei R n quadrierbar und f : R beschränkt und in fast überall stetig. ann ist f R(. Aus f C(, wobei C( die Menge der stetigen Funktionen ist, und sup x f(x < folgt die Riemann-ntegrierbarkeit von f. ie Aussage von Satz 3.2 lässt sich nicht herumdrehen, das heißt aus f R( folgt nicht notwendigerweise, dass die Unstetigkeitsmenge von f eine Jordan-Nullmenge ist. Analog zum eindimensionalen Fall folgt aber, dass N eine Nullmenge im schwächeren Lebesgue schen Sinne ist. Korollar 3.2 (reiecksungleichung Sei R n quadrierbar und f R(. Es gilt f(xdx f(x dx Beweis: ies folgt unmittelbar aus der Monotonie des Riemann-ntegrals. Satz 3.22 (Mittelwertsatz Sei R n quadrierbar und f R(. ann gibt es eine Zahl µ R mit inf x f(x µ sup x f(x, so dass f(xdx = µ. st darüber hinaus kompakt und zusammenhängend und f stetig, so gibt es ein ξ mit µ = f(ξ. Satz 3.23 (Vertauschung von Grenzprozessen Sei R n quadrierbar und (f k k N eine Folge von Funktionen f k R(, welche gleichmäßig gegen eine Funktion f : R konvergiert. ann ist auch f R( und es gilt: f(xdx = lim f k(xdx = lim f k (xdx k k 7

8 Beweis: Analog zum eindimensionalen Fall. Satz 3.24 (Satz von Fubini Seien x R n, y R m kompakte ntervalle mit dem kartesischen Produkt = x y R n+m und f R(. Ferner seien für jedes feste y y und x x die Funktionen f(, y bzw. f(x, Riemann-integrierbar über y bzw. x. ann sind auch die Funktionen F x (y := f(x, ydx x F y (x := f(x, ydy y Riemann-integrierbar über y bzw. x, und es gilt f(x, yd(x, y = Beispiel: Wir berechnen das ntegral J = J = 2 ( 4 3 y ( f(x, ydx dy = x x ( y f(x, ydy dx. (x+y 2 d(x, y auf dem Rechtecksgebiet := [, 2] [3, 4]: 2 (x + y 2 dy dx = = 2 ( 4 dx 3 x + y ( x + 3 x + 4 dx = (ln( x + 3 ln( x + 4 ( 25 = ln 24 Beweis: Wir betrachten die Zerlegungen Z x = { i } von x und Z y = {K j } von y, welche die Zerlegung Z = { i K y } von = x y erzeugen. Wir setzen 2 m ij := inf f, i K j M ij := sup i K y f. amit folgt m ij i f(x, ydx, i y K j und weiter m ij i i f(x, ydx = F x (y, x y K j ntegration in y-richtung über K j ergibt: ( m ij i K j F x (ydy = f(x, ydx dy, K j x i und Summation über j liefert S Z (f = m ij i K j i,j y K j ( f(x, ydx dy. x Analog für die Obersumme. S Z (f = i,j M ij i K j y ( f(x, ydx dy x 8

9 Gehen wir links zum Supremum und rechts zum nfimum bezüglich der Zerlegung Z über, so ergibt sich ( f(x, yd(x, y f(x, ydx dy y x ( f(x, ydx dy y x f(x, yd(x, y st nun f Riemann-integrierbar über = x y, so stimmen die linke und rechte Seite mit dem ntegral von f über überein und es folgt die Richtigkeit der Behauptung. Für die vertauschte ntegrationsfolge gehen wir analog vor. ie Aussage des Satzes von Fubini lässt sich verallgemeinern für f(x,..., x n auf = n. Transformation von ntegralen Wir rekapitulieren zunächst das Ergebnis für eine imension. ϕ sei dabei stetig differenzierbar. = [a, b] R, ϕ( = [α, β] R, ϕ >, und falls ϕ(a = α, ϕ(b = β β α f(ydy = ϕ(b ϕ(a f(ydy = b a f(ϕ(xϕ (xdx ϕ <, und falls ϕ(a = β, ϕ(b = α β α f(ydy = ϕ(a ϕ(b f(ydy = ϕ(b ϕ(a f(ydy = b a f(ϕ(x( ϕ (xdx n beiden Fällen gilt also für ϕ (x ϕ( f(ydy := β α f(ydy = b a f(ϕ(x ϕ (x dx =: f(ϕ(x ϕ (x dx as heißt: dy = ϕ (x dx Für ϕ(x = ax + b dy = a dx Wir wissen auch, dass für R n quadrierbar, φ(x = Ax + b: φ( = det A 9

10 Satz 3.25 ie Menge R n sei offen und quadrierbar und die Funktion φ : R n stetig differenzierbar, injektiv und Lipschitz-stetig. ann ist die Menge φ( quadrierbar, für jede Funktion f R(φ( ist die Funktion F := f(φ( det φ ( : R Riemann-integrierbar, und für jede quadrierbare Teilmenge M gilt die Substitutionsregel f(ydy = f(φ(x det φ (x dx φ(m Bei Setzung f folgt für die nhalte φ(m = Beispiel: (Ebene Polarkoordinaten φ(m M dy = M det φ (x dx y (x, y r θ x urch die auf der ganzen (r, θ-ebene definierte Abbildung (x, y = φ(r, θ := (r cos(θ, r sin(θ wird der offene Streifen S der (r, θ-ebene bijektiv auf die offene Menge B := φ(s der (x, y-ebene abgebildet, wobei S :={(r, θ : r R +, θ (, 2π} φ(s =R 2 \ {(x, : x } ie Abbildung φ ist auf S ein iffeomorphismus mit stetiger Jacobi-Matrix. ( cos θ r sin θ J θ (r, θ =, sin θ r cos θ det φ (r, θ = r >, (r, θ S. φ ist Lipschitz-stetig auf beschränkten Teilmengen von S φ(r, θ φ( r, θ 2 φ(r, θ φ( r, θ 2 + φ( r, θ φ( r, θ 2 = ( (r r cos(θ 2 + (r r sin(θ ( r(cos θ cos θ 2 + r(sin θ sin θ r r + 2 r θ θ 2 max{, r } (r r, θ }{{} θ 2 =:L ie beschränkte, offene Menge K r ( \ {(x,, x } S ist das Bild des offenen Rechtecks Q :={(r, θ, R 2 : < r < R, < θ < 2π} =(, R (, 2π

11 und es gilt K R ( Für f erhalten wir f(x, yd(x, y T ransformation = K R ( := Beispiel: (Zylinder-Koordinaten K r( d(x, y = F ubini = f(r cos(θ, r sin(θrd(r, θ Q 2π R 2π R rdrdθ = f(r cos(θ, r sin(θrdrdθ 2π 2 R2 dθ = πr 2 (x, y, z (r, θ, z ie Abbildung φ(x, y, z := (r cos(θ, r sin(θ, z und die offene Menge Z := S R = {(r, θ, z : r R +, θ (, 2π, z R} wird bijektiv auf die Menge φ(z abgebildet, mit S R 2 wie im vorherigen Beispiel definiert. as Bild von Z ist der ganze R 3. ie Abbildung ist Lipschitz-stetig auf beschränkten Teilmengen und es gilt det(φ (r, θ, z = r > Für Z R,H ( = {(r, θ, z : r (, R, θ (, 2π, z (, H} Z gilt Z R,H ( f(x, y, zd(x, y, z = H 2π R f(r cos(θ, r sin(θ, zrdrdθdz amit erhalten wir Z R,H ( := d(x, y, z Z R,H( = = H 2π R H 2π =πr 2 H rdrdθdz 2 R2 dθdz er Kreiszylinder ist ein Spezialfall eines Rotationskörpers: Seien [a, b] R ein kompaktes ntervall, ϕ[a, b] R + eine stetige Funktion und ϕ := {(x, y, z R 2 [a, b] : x 2 + y 2 ϕ(z 2 } b 2π ϕ(z b 2π ϕ = d(x, y, z = rdrdθdz = ϕ a a 2 ϕ(z2 dθdz Korollar 3.26 as Volumen ϕ des Rotationskörpers in R 3 mit der Randkurve x = ϕ(z, z [a, b], ist bestimmt durch ϕ = π b a ϕ(z 2 dz

12 3.3 Uneigentliches Riemann-ntegral efinition 3.27 Für eine Menge M R n heißt eine monoton wachsende Folge (M k k N von quadrierbaren Teilmengen ausschöpfend, wenn für jede r-kugel gilt M M 2 M 3 M k M K r ( := {x R n : x 2 < r} lim (M K r( \ M k a = k ie Existenz einer ausschöpfenden Folge (M k k N für die Menge M impliziert die Quadrierbarkeit der Menge M K r (. m Fall M = R n bilden zum Beispiel die Kugeln K r ( ausschöpfende Folgen. st M quadrierbar und p M, so ist die Folge M k := M \ K (p ausschöpfend. k efinition 3.28 Sei R n eine beliebige Menge (nicht notwendigerweise beschränkt. Eine Funktion f : R heißt über uneigentlich Riemann-integrierbar, wenn gilt f(x dx < wobei Q f := {M : M quadrierbar, f R(M} sup M Q f M und wenn es eine bezüglich ausschöpfende Folge von Mengen k Q f gibt mit f(xdx := lim f(xdx. k k er Limes heißt dann das uneigentliche Riemann-ntegral von f über. Satz 3.29 Seien R n eine beliebige Menge und f : R uneigentlich Riemann-integrierbar. ann ist für jede ausschöpfende Folge ( k k N f(xdx = lim f(xdx, k k das heißt das uneigentliche Riemann-ntegral ist unabhängig von der gewählten ausschöpfenden Folge. Beispiel: M = [, ] 2, J = M x d(x, y ie Mengen M k := {(x, y M, x k } bilden eine ausschöpfende Folge von M. Für diese gilt nach dem Satz von Fubini: M k x d(x, y = ( k dx dy = x (2 x dy = 2 2 k k Für k erhalten wir M k x d(x, y 2 = M x d(x, y 2

13 2 M = R 2, J = R 2 e x 2 2 dx K k ( e x 2 2 dx = 2π = k 2π e r2 rdrdθ ( = π( e k2 π k 2 e r2 k dθ 3.4 Parameterabhängige ntegrale Wir betrachten F (x := y f(x, ydy J = lim k π( e k2 = π x x, x R m, y R n Satz 3.3 Seien x R m, y R n quadrierbar und y kompakt. ann gilt (i st f in x y stetig, so ist F in x stetig. (ii st x offen und sind f und x f stetig in x y, so ist F in x stetig partiell differenzierbar, und es gilt: F (x = x f(x, ydy x x y (iii st x offen und ist f in x y k-mal stetig differenzierbar bezüglich x, so ist F k-mal stetig partiell differenzierbar in x Beispiel: F (x = y x dy = yx+ x + y= y= = x + f(x, y = y x ist stetig auf R + [, ] und erfüllt die Voraussetzungen des Satzes 3.3. Also kann nach x abgeleitet werden. Wir nutzen das, um y x ln(ydy zu berechnen. Weil y x = e x ln(y d, dx yx = e x ln(y ln(y = y x ln(y, gilt dann: y x ln(ydy = ( d dx yx dy = Satz3.3 d dx y x dy = F (x = (x + 2 Korollar 3.3 Eine auf einer offenen Kugel B R 3 stetig differenzierbare Vektorfunktion v : B R 3 ist genau dann Gradient einer stetig differenzierbaren Funktion f : B R (das heißt v = f, wenn v = gilt. Beweis: 3

14 ( Wenn auf der Kugel eine Funktion f C n (B existiert mit v = f i v j = i j f = j i f = j v j, i, j =,..., 3 das heißt v = ( 2 v 3 3 v 2, 3 v v 3, v 2 2 v = ( Sei nun v = auf B = B r ( das heißt j v i = i v j. Wir definieren für x B eine Funktion n ( f(x := v i (txdt x i j= Nach Satz 3.3 ist f : B R stetig differenzierbar und Bei Berechnung von für festes x B folgt das heißt j f(x = = 3.5 Aufgaben zu Kapitel 3 n ( j i= ( t v i (txdt x i + n ( v i (txdt j x i i= n ( j v i (txx i + v j (tx dt i= d dt (tv j(tx = v j (tx + t d dt v j(tx n = v j (tx + t ( i v j (txx i = v j (tx + t i= n ( j v i (txx i i= d j f(x = dt (tv j(tx dt = tv j (tx t= t= = v j (x f(x = v(x. Aufgabe (Berechnung von ntegralen a Sei := [; ] 2 ein Rechteck und f : R gegeben durch f(x = x x 2. Berechnen Sie f(x dx zunächst mithilfe der Approximation durch Ober- und Untersummen, d. h. ohne Verwendung des Satzes von Fubini. Berechnen Sie dann das ntegral erneut mit dem Satz von Fubini. b Sei := [ ; ] 3 ein Quader und g : R, gegeben durch g(x = sin(x 2 x 2 cos(x 2 x 2 3e x x 3, eine stetige Funktion auf diesem Quader. Berechnen Sie g(x dx. (Tipp: Untersuchen Sie Teile des ntegranden auf Symmetrieeigenschaften und nutzen Sie diese geschickt. 4

15 Aufgabe 2 (Rotationskörper im R 3 a Sei r : [a; b] R eine stetige Funktion. ndem man die Fläche {(x, y, z R 3 a x b, y =, z r(x} um die x-achse rotieren lässt, entsteht ein Körper K. Zeigen Sie, dass für dessen Volumen gilt: V (K = π b a r(x 2 dx. b Berechnen Sie mithilfe der Formel aus Aufgabenteil a folgende Volumina: (i as Volumen einer Kugel mit Radius R um den Koordinatenursprung. (ii as Volumen eines Kreiskegels mit Höhe h und Grundkreisradius R, dessen Spitze im Koordinatenursprung und dessen Achse in der positiven x-achse liegt. Aufgabe 3 (Jordan-Nullmengen Sei R n ein n-dimensionales (abgeschlossenes ntervall, und seien f, g : R Riemannintegrierbare Funktionen. Zeigen Sie: a st f(x = g(x für alle x mit einer dichten Teilmenge, so folgt f(x dx = g(x dx. b st B eine Menge vom Volumen und gilt f(x = g(x für alle x \ B, so folgt f(x dx = g(x dx. Aufgabe 4 (ntegrabilität von Funktionen Seien R n ein n-dimensionales (abgeschlossenes ntervall und R( der Vektorraum der Riemannintegrierbaren Funktionen auf. Zeigen Sie: a st f R( mit m f(x M für alle x sowie ϕ : [m; M] R Lipschitz-stetig, so ist auch ϕ f R(. b st ε > und f R( mit f(x ε für alle x, so ist f R(. c st f R(, so ist auch f 2 R(. Aufgabe 5 (er betrügerische Schokoladenfabrikant Einem betrügerischen Nikolaushersteller, der Nikoläuse aus Schokolade mit kegelförmigem Rumpf { R Nik := x = (x, x 2, x 3 R 3 ( x 3, x 2 + x 2 2 x } und Pappkopf anfertigt, ist es nach jahrelanger intensiver Forschung gelungen, die Produktionskosten durch Beimischung von Mehl zur Schokolade deutlich zu verringern. Genialerweise fällt der Mehlanteil m an der Schokolade nach außen hin exponentiell ab, d. h. ( m : R Nik R, x = (x, x 2, x 3 exp x 2 + x2 2. adurch verheißt der Anblick der Nikoläuse weiterhin ungetrübte Gaumenfreude. Berechnen Sie nun die Minderung der tatsächlichen Gaumenfreude, d. h. die Volumenprozent Mehl im Schokorumpf R Nik, also m(x dx. R Nik R Nik 5

16 Aufgabe 6 (Polarkoordinaten a Zeigen Sie, dass die Einheitskugel K (n ( := {x R n x 2 < } des R n quadrierbar ist. (Tipp: Argumentieren Sie mit Lemma 3.6 und Satz 3.7 (Aussagen über Nullmengen aus der Vorlesung. b Zeigen Sie, dass für die dreidimensionale Kugel K (3 R ( mit Hilfe der folgenden Abbildung Φ (sog. räumliche Polarkoordinaten (x, x 2, x 3 = Φ(r, ϑ, ϕ := (r cos(ϑ sin(ϕ, r sin(ϑ sin(ϕ, r cos(ϕ für eine Riemann-integrierbare Funktion f : R 3 R gilt: K (3 R ( f(x, x 2, x 3 d(x, x 2, x 3 = π 2π R f(φ(r, ϑ, ϕr 2 sin(ϕ d(r, ϑ, ϕ. c Berechnen Sie in mehreren Teilschritten unter Angabe aller verwendeten Sätze das uneigentliche ntegral K (3 ( x α dx R { } 2 in Abhängigkeit von α R. Aufgabe 7 (Berechnung von ntegralen a Sie wissen aus der Vorlesung: R 2 e x 2 2 dx = π. Zeigen Sie damit: e x2 dx = π. b Sei A R n n eine symmetrische, positiv definite Matrix. Berechnen Sie: lim e Ax,x dx. a [ a;a] n Hier ist, das Standard-Skalarprodukt des R n. (Tipp: Argumentieren Sie mit Mitteln der linearen Algebra. c Berechnen Sie das Volumen des Ellipsoids E = {x R 3 Ax, x }. 6