Darst. Geom. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS 2013

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1 Darst. Geom. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS 203 Geben Sie für die folgenden Konstruktionen jeweils in Worten eine ausführliche Beschreibung an, die die Schritte erläutert, die Sie zu der Lösung geführt haben.. Gegeben ist die Gerade g durch die Punkte A(5 0 2) und B(2 0 8) sowie der Punkt P(5 5 6). Bestimmen Sie die Spurgeraden der Ebene E durch P, die senkrecht zu g ist, und den Durchstoßpunkt von g durch E. 2. Gegeben ist die Ebene E durch ihre Spuren e G und e A, wobei e G mit x 2 den Winkel 60 und e A mit x 2 den Winkel 45 einschließt. Konstruieren Sie das gleichseitige Dreieck ABM in der Ebene E, dessen Grundseite AB in der Grundrißebene liegt und Länge 4 cm hat und dessen Spitze M über der Grundrißebene und 4 cm vor der Aufrißebene liegt. 3. Gegeben sind die Punkte A(4 4), B(7 5 6), C(2 7 ), U( 6 7), V(8 3 ) und W(2 2 6). Konstruieren Sie die Projektionen der Figur, die von den beiden Dreiecken ABC und UV W gebildet wird, und berücksichtigen Sie dabei, welche Teile der Kanten nicht sichtbar sind (gestrichelt zeichnen). 4. Für folgende Objekte soll der Schatten auf der Grund- bzw. Aufrißebene bestimmt werden, wenn die Lichtstrahlen parallele Strahlen sind, deren Grundriß und Aufriß jeweils mit der Rißachse einen Winkel von 45 einschließen. P P E H F G l l P x 2 l l Q x 2 P = Q l A D B C B l A E F x 2 (a) Punkt P (b) Strecke PQ D H C G (c) Quader ABCDEF GH

2 5. Gegeben seien zwei horizontale Ebenen E und E 2 der Höhe 82 m bzw. 74 m. Dazwischen liegt eine Hangebene E 3, die E in g und E 2 in g 2 schneidet. Ein Weg führt von E nach E 2. Konstruieren Sie die Wegböschungen! Steigung für die Auftragsböschung 2 : 3, für die Abtragsböschung :. g g 2 E 3 E 2 (74) 32 m 8 m E (82) 75 m 3 m 6. Gegeben seien drei Quader, deren Grundseite jeweils ein Quadrat mit Seitenlänge 20 in der Standebene ist, mit den Höhen 5, 25 und 50, und deren Grundriß im folgenden Bild dargestellt wird. Konstruieren Sie das perspektive Bild, wenn die Distanz 65 und die Aughöhe 35 ist e 60 O

3 . Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS 203. Sei a = (2,3, 5). Bestimmen Sie b = (x,y,0) und c = (x 2,,z 2 ) so, daß je zwei dieser Vektoren linear abhängig sind. 2. Untersuchen Sie, ob folgende Vektoren linear unabhängig sind: (a) a = (,2,3), b = (3,2,), c = (0,4,8), (b) a = (,3,3), b = (3,3,), c = (3,,3), (c) a = (0,,2), b = (,,), c = (0,4,8). 3. Bestimmen Sie a so, daß folgende Vektoren linear abhängig sind: (a) a = (2,, 3), b = (,a,3), c = (,,0), (b) a = (a,2a,7), b = (,3,5), c = (2,4,5), (c) a = (,a,3), b = (a,2,), c = (,2,a). 4. Zeigen Sie, daß a = (,,), b = (0,,), c = (,0,) eine Basis des IR 3 bilden. Ist sie orthogonal oder normiert? Stellen Sie folgende Vektoren als Linearkombination der Basisvektoren dar: (a) d = (6,6,6), (b) d = (3,5,5), (c) d = (4,3,6). 5. Vereinfachen Sie: (a) ( a 2 b) (3 a+ b), (b) ( a+ b) ( a b), (c) ( b+ c) ( a c)+ a ( b c) ( a b) ( b+ c). 6. Zeigen Sie: In einem Parallelogramm ist die Summe der Quadrate der Seitenlängen gleich der Summe der Quadrate der Diagonallängen. 7. Bestimmen Sie Volumen und Oberfläche des durch die Vektoren a = ( 3,5,7), b = (3,4,5), c = (0, 6,3) aufgespannten Spats.

4 2. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS Gegeben seien die Punkte P = 2, P 2 =, 5 P 3 = 3, 7 P 4 = 2, a P 5 = b Stellen Sie die Gleichung der Geraden g durch P und P 2 auf und untersuchen Sie, welche der Punkte P 3 und P 4 auf g liegt. Für welche Werte von a und b liegt P 5 auf G? 9. Gegeben seien die Punkte 2 a 4 P =, P 2 = 2, P 3 =, P 4 = 4, P 5 = b (a) Geben Sie die Parameterdarstellung der Ebene E durch P, P 2 und P 3 an. (b) Geben Sie die Gleichung der Geraden von g an. (c) Für welche Werte von a und b gilt i. g liegt in E, ii. g ist parallel zu E, iii. g schneidet E? Lösen Sie (c) mit Hilfe der Parameterdarstellung von E und mit Hilfe der Gleichungsdarstellung von E und bestimmen Sie für a =, b = den Schnittpunkt! 0. Bestimmen Sie die Gleichungen der Ebenen E und E 2 senkrecht zu n = (8,,4) durch P = (,5,5) bzw. P 2 = ( 3,0,6) und ihren Abstand. Geben Sie die Parameterdarstellungen der Ebenen an.. Zerlegen Sie den Vektor v = (,2,3) in eine Komponente senkrecht zu a = (2,,2) und eine Komponente senkrecht zur Ebene mit der Gleichung x+y +2z = Zerlegen Sie den Vektor v = (, 2, 3) in eine Komponente parallel zu a = (2,, 2) und eine Komponente parallel zur Ebene mit der Gleichung 4x 3y +5z = 27.

5 3. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS Die Gerade g gehe durch die Punkte P = (,,) und P 2 = (,3,2). Bestimmen Sie den Fußpunkt des Lotes von P 0 = ( 2,5,8) auf g, den Abstand von P 0 zu g und die Gleichung der Geraden h senkrecht zu g durch P Gegebenseien die Punkte P = (,0, ),P 2 = (2,, 3),P 3 = (,2,),P 4 = (0, 2,). Bestimmen Sie den Abstand von P 4 zur Ebene E durch P, P 2 und P 3. Geben Sie die Gleichungen der Parallelebenen E und E 2 zu E im Abstand 2 an. 5. Sei a = (,2, 5), b = (, 2, ). Berechnen Sie die Projektion von a auf b, den Winkel zwischen a und b, den Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms, die Gleichung der von a und b aufgespannten Ebene E durch den Nullpunkt und einen Einheitsvektor in E senkrecht zu a. 6. Gegebenseien die Punkte P = (,0, ),P 2 = (2,, 3),P 3 = (,2,),P 4 = (0, 2,). Bestimmen Sie (a) den Abstand von P 4 zur Geraden g durch P und P 2, (b) den Abstand der Geraden g zu der Geraden h durch P 3 und P Gegeben seien die Punkte P = (0,0,3), P 2 = (0,3,0), P 3 = (,,4) und die Ebene E : x+2y 3z = 4. Bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden g von E mit der Ebene E 2 durch P, P 2 und P 3 und die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen) von g. 8. Gegeben seien die Geraden 5 2 g : x = 0 +s, g 2 : x = 2 +t, g 3 : x = +u 3, g 4 : x = +v Welche Paare (g,g 2 ), (g,g 3 ), (g,g 4 ) von Geraden sind parallel, schneiden sich bzw. sind windschief. Bestimmen Sie den Schnittpunkt und die Abstände.

6 4. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS Eine Möbelfabrik hat noch Restkapazitäten frei: 225 Minuten der Sägemaschine, 400 Minuten der Polstermaschine und 300 qm Lagerraum. Zur Produktion eines Tisches braucht man 5 Minuten Sägezeit, 0 Minuten Polsterzeit und 0 qm Lagerraum, für einen Sessel 9 Minuten Sägezeit, 20 Minuten Polsterzeit und 3 qm Lagerraum. Wie viele Sessel bzw. Tische sollte man herstellen, um bei einem Verdienst von 25 Euro pro Tisch und 30 Euro pro Sessel möglichst hohen Gewinn zu erzielen? Stellen Sie das zugehörige lineare Optimierungsproblem auf und lösen Sie es grafisch! 20. Sie wollen im nächsten Semester einen Übungsschein im Fach Phrasologie bei dem bekannten Dialektiker Prof. Dr. Rudi Laberer erwerben. Dazu müssen Sie Leistungsnachweise im Umfang von mindestens 50 Punkten nachweisen, und für jede Hausarbeit erhalten Sie 5 Punkte, für jedes Referat 0 Punkte, allerdings werden höchstens 5 Referate angerechnet. Sie benötigen für die Hausarbeiten durchschnittlich 2 Stunden, für die Vorbereitung der Referate 5 Stunden und wollen maximal 30 Stunden investieren. Pro Hausaufgabe fallen Kosten von 4 Euro und je Referat von 6 Euro an, und mehr als 48 Euro sind in Ihrem knappen Budget für diesen Zweck nicht verfügbar. Wieviele Hausaufgaben und Referate sollten Sie übernehmen, um eine möglichst hohe Punktzahl zu erhalten? Stellen Sie das zugehörige Optimierungsproblem auf und lösen Sie es grafisch! 2. Zwei Getränke A und B enthalten unter anderem die Nährstoffe P, Q und R, und zwar das Getränk A in den Anteilen 4, 3 bzw. 0,5, das Getränk B in den Anteilen 2, 6 bzw. 3. Der wöchentliche Mindestbedarf an den Nährstoffen ist 20, 42 bzw. 5, A kostet,20 Euro, B 3,60 Euro jeweils pro Liter. Gesucht: Ein Einkauf der Getränke, der den Bedarf möglichst preiswert abdeckt. Stellen Sie das Optimierungsproblem auf und lösen Sie es grafisch. 22. In einer pharmazeutischen Fabrik werden die beiden Schlafmittel SLEEPYWELL und HEIAPOPEIA hergestellt. Die Herstellung erfolgt in getrennten Arbeitsgängen auf drei Maschinen I, II und III. Arbeitszeit in Stunden je kg, Gewinn in Euro je kg und maximale Betriebsstunden pro Tag gibt die folgende Tabelle an: Maschine SLEEPYWELL HEIAPOPEIA max.betriebsstd. I 7 II 2 0 III 6 Gewinn Formulieren Sie das zugehörige Optimierungsproblem zur Gewinnmaximierung und lösen Sie es mit dem Simplex-Verfahren.

7 23. Lösen Sie mit dem Simplexverfahren folgende Optimierungsprobleme: (a) x + x 2 + x 3 + x 4 2x 2 + x 3 8 x + x 4 5 2x + x 3 + x 4 8 x i 0, i 4, z = 2x +3x 2 +x 3 +x 4 max. (b) 4x + x 2 6 2x + 3x 2 8 x + 3x 2 5,5 x i 0, i 2, z = 4x +2x 2 min. 24. Eine Nahrungsmittelmischung besteht aus den Zutaten I, II, III und IV. In jeder Zutat befinden sich gewisse Mengen der Vitamine A, B, C und D (in ME = Mengeneinheiten). Bestimmen Sie mit dem Simplexverfahren, wie man die Nahrungsmittel möglichst kostengünstig kombiniert, um den Mindestgehalt an Vitaminen zu erfüllen. Zahl der ME je kg Mindestgehalt in Mischung I II III IV A B C 2 20 D 0 5 Kosten Gegeben sei das nebenstehende ausgeglichene Transportproblem. Ermitteln Sie eine Ausgangslösung mit Hilfe der Nord-West-Ecken-Regel und bestimmen Sie mit Hilfe der Potentialmethode die Optimallösung. Transportkosten und Verschiebekreise sind in jeder Stufe anzugeben. B B 2 B 3 Vorrat A A A 3 6 Bedarf An 4 verschiedenen Baustellen B, B 2, B 3, B 4 werden Lkw s benötigt, und zwar 6 in B, 3 in B 2, 4 in B 3 und 5 in B 4. Die Lkw s sind in 3 Garagen G, G 2 und G 3 stationiert sind, und zwar 4 in G, 6 in G 2 und 8 in G 3. Die Entfernungen der Garagen von den Baustellen sind in folgender Tabelle wiedergegeben. Ermitteln Sie einen Fahrplan so, daß die Kilometerleistung insgesamt minimal wird (mit Nachweis). B B 2 B 3 B 4 G G G

8 5. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS Skizzieren sie folgende Mengen, die in Polarkoordinaten beschrieben sind, in einem kartesischen Koordinatensystem: π (a) 0 φ < 2π, 0 r φ, (b) 2 < r < 4, 4 φ 3π 4, (c) 0 φ < 2π, 0 r cosφ. 28. Welche Mengen D IR 3 werden durch folgende Ungleichungen beschrieben? Ist D beschränkt, offen, abgeschlossen, oder weder offen noch abgeschlossen? (a) 3 x 4, y 2, 0 z x, (b) 0 x 2, 0 y x, 0 z x+y +, (c) 2 r 3, 0 φ < 2π, 0 θ π 2, (d) 0 r R, 0 φ < 2π, 0 z r 2 (Kugelkoord.) (Zylinderkoord.). 29. Durch Rotation der Normalparabel z = x 2, 0 x 2, um die z-achse entsteht ein Rotationsparaboloid. Skizzieren Sie diesen Körper und beschreiben Sie ihn mit Hilfe von (a)kartesischen Koordinaten (b)zylinder-koordinaten. 30. Die Grundfläche eines geraden Kreiskegelstumpf der Höhe h sei ein Kreis mit Radius r und die Deckfläche ein Kreis mit Radius r 2. Beschreiben Sie ihn mit Hilfe von Zylinderkoordinaten. 3. Ein Körper werde gebildet aus einer Halbkugel mit Radius r (äußerer Rand), einer konzentrischen Halbkugel mit Radius r 2 (innerer Rand) und einem Kreisring. Beschreiben Sie ihn mit Hilfe von Kugelkoordinaten. 32. Skizzieren Sie Höhenlinien und gegebenenfalls Schnitte mit anderen Ebenen und versuchen Sie, ein perspektives Bild der Fläche, die durch z = f(x,y) definiert ist, zu entwerfen. Untersuchen Sie, an welchen Stellen ihres Definitionsbereichs D die Funktion stetig ist. (a) f(x,y) = x 2 +4y 2, (b) f(x,y) = 3x+4y 7 x für (x,y) (0,0) (c) f(x,y) = x2 +y 2, 0 für (x,y) = (0,0) (d) f(x,y) = a x 2 +y 2, a Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit und berechnen Sie die partiellen Ableitungen.Ordnung, falls sie existieren: (a) f(x,y) = sin ( x y + y ), (b) f(x,y) = ln ( x 2 + xy ) x cos ( x 2 +y 2) für x > 0 e y für (x,y) (0,0) (c) f(x,y) =, (d) f(x,y) = x 2 +y 2 x 2 für x 0 0 für (x,y) = (0,0) (e) f(x,y) = x 2 y 4, (f) u(x,y) = e x xy (g) x = ue v2 + +sin 2( +u 4).

9 6. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die durch f(x, y) gegebene Fläche im Punkt P 0 für: (a) f(x,y) = 3x 2 e x+y2 5 y 4, P 0 (,,z 0 ) (b) f(x,y) = x x+y, P 0 (,2,z 0 ). 35. Berechnen Sie die Richtungsableitungen der Funktion f im Punkt P 0 in Richtung a für (a) f(x,y) = x2 2 +xy, P 0 = (,2), a = (2,3),(3,2) bzw. (, 3), (b) f(x,y,z) = 2xy 3 yz 2, P 0 = (2,, ), a = (3,0,). In welcher Richtung ist die Richtungsableitung am größten und wie ist dann ihr Wert? Skizzieren Sie für die Funktion aus (a) Höhenlinien, insbesondere die durch P 0, und die Richtung mit maximaler Richtungsableitung. 36. Von einem Zylinder wurde der Durchmesser d = (4,84±0,0)cm, die Höhe h = (6,74± 0, 0)cm und durch Wägung die Masse m = (968, 5 ± 0, )g bestimmt. Mit welchem prozentualen Fehler läßt sich hieraus die Dichte ρ = 4m πd 2 h bestimmen? 37. Zur Bestimmung der Elastizität eines Stahldrahtes wurden dessen Länge l = (2473±3)mm und der Durchmesser d = (0, 292±0, 00)mm gemessen. Durch eine am Draht angreifende Kraft K = (±0,005)kp ergab sich eine Längenänderung von l = (,750±0,005)mm. Man bestimme den Elastizitätsmodul E = K l und seinen relativen und absoluten 4 d2 π l Maximalfehler. 38. Bestimmen Sie Lage und Art der Extremwerte der folgenden Funktionen: (a) f(x,y) := (x 2 4) 2 +(4+x 2 )y 2, (b) z = (x 2 +y 2 )e x2 y 2, (c) t = p 3 +p 2 q 2 p, (d) u = 3x 2 +3y 2 +3z 2 xz +yz 3x 3y, (e) f(x,y,z) := x 2 (y 2 +z 2 )+x y3 y +z 2 +4z 39. In den 8 Gemeinden eines ostfriesischen Kreises wurde die Anzahl der in jeder Gemeinde nistenden Störche und die Anzahl der Geburten im Jahr 972 gezählt. Wie jeder weiß, werden die Babys von den Störchen gebracht, und ein anderer als ein linearer Zusammenhang zwischen Anzahl von Geburten und Störchen würde die Ostfriesen überfordern. Geben Sie die zu folgender Tabelle gehörige Ausgleichsgerade an: Störche: Geburten:

10 40. Durch die Meßpunkte (a) (b) x i y i 0,8 0,3 0,4 0,62 0,74 0,87 0,93,0,0,9 soll eine Ausgleichsgerade y = a x+a 0 x i y i soll eine Ausgleichsparabel y = a 2 x 2 +a x+a 0 gelegt werden. Bestimmen Sie die Koeffizienten auf 2 Dezimalstellen.

11 7. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS Bestimmen Sie Art und Lage der Extrema der Funktion (a) f(x,y) := x 2 +y 2 +3 unter der Nebenbedingung x 2 +y 2 = 0, (b) f(x,y,z) := x 2y +2z unter der Nebenbedingung x 2 +y 2 +z 2 =. (c) f(x,y) := x 2 +y 2 +z 2 unter der Nebenbedingung 4x 2 +9y 2 +6z 2 = Bestimmen Sie die Länge der längsten Sehne der Ellipse x2 4 + y2 = durch den Punkt (0 ). 43. Bestimmen Sie Länge, Breite und Höhe des Quaders mit größtem Volumen, der einer Halbkugel mit Radius r einbeschrieben werden kann. 44. Die Funktion y = f(x), x > 0, sei gegeben durch die Gleichung 0 = F(x,y) = e x tany + y x 3(x2 ) π. Bestimmen Sie y für alle Punkte P(x,y) des Graphen von f(x) und speziell in P 0 ( π). 45. Welche Steigung hat die Kurve, die durch die Gleichung 2y 3 + 6x 2 24x + 6y = 0 beschrieben wird? 46. Durch z = f(x,y) = 24xy 0x 2 6y 2 wird eine Fläche im Raum beschrieben. Berechnen Sie den Anstieg der Isoquanten y = g(x) für z = 2 im Kurvenpunkt P(2 y 0 ) mit y 0 > (a) Es sei G das Dreieck in der (x,y)-ebene mit den Ecken (0 0), ( ), (0 3). Berechnen Sie G 2x2 ydydx. (b) Es sei G das Dreieck in der (x,y)-ebene mit den Ecken (0 0), (2 ), (0 ). Berechnen 2 Sie G (ex +siny)dydx. (c) Es sei G das Fünfeck in der (x,y)-ebene mit den Ecken ( ), (2 0), (3 0), (3 2), ( 2). Berechnen Sie G (x+y)dydx. 48. Das Gebiet G werde durch die Kurven y = x und y = 2 x 2 begrenzt. Zeichnen Sie G und berechnen Sie die Fläche von G mit Hilfe eines Doppelintegrals.

12 8. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS Das Gebiet G der (x,y)-ebene wird durch die Kurven y = x 2 und y = x begrenzt. G sei mit der Masse mit Massendichte m(x,y) = x+y belegt. Berechnen Sie die Gesamtmasse und die Schwerpunktkoordinaten von G. 50. Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes des Gebiets, das durch den parabolischen Zylinder z = 4 x 2 und die Ebenen z = 0, y = 0 und y = 6 begrenzt wird, wenn die Dichtefunktion konstant ist. 5. Gegeben ist das 3-dimensionale Gebiet G, das durch das Paraboloid z = 4 x 2 y 2 und die (x,y)-ebene begrenzt wird, mit der Massendichte m(x,y) =. (a) Berechnen Sie die Gesamtmasse des Gebietes. (b) Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes von G. (c) Berechnen Sie das Trägheitsmoment bezüglich der z-achse. 52. Berechnen Sie das Volumen des Gebietes, das durch das Paraboloid z = x 2 + y 2, die (x,y)-ebene und den Zylinder x 2 +y 2 = 4 begrenzt wird. 53. Von einer Kugel mit Radius R wird durch einen ebenen Schnitt eine Kugelhaube der Höhe h abgeschnitten. Bestimmen Sie Volumen und Schwerpunkt der Kugelhaube und des Restes der Kugel. 54. Berechnen Sie Realteil und Imaginärteil von (a) z = ( (+2i) 2 ) (b) z = (+ 3i) Bestimmen Sie die Lösungen folgender quadratischer Gleichungen in IC: (a) x 2 +0x+34 = 0 (b) x 2 +4ix 3 = 0 (c) ix 2 +8x 25i = Sei a IR, a 0. Zeigen Sie, daß die Gleichung x 2 +2ix a = 0 keine reelle Lösung besitzt. Für welche Werte von a sind die Lösungen rein imaginär? Geben Sie die Lösungen an! 57. Zeigen Sie, daß i eine Lösung der Gleichung z 4 3z 3 +2z 2 +2z 4 = 0 ist und bestimmen Sie alle anderen Lösungen. 58. Es sei z = i, z 2 = +i. Berechnen Sie z z 2 direkt, überführen Sie z und z 2 in Exponentialform und berechnen Sie nochmals z z 2.

13 9. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS Bestimmen Sie die Lösungen folgender exakter Differentialgleichungen: (a) (3x 2 y 2 +2y )dx+(2x 3 y +2x+2y)dy = 0, y(0) =, ( ) ( (b) xy +2x dx+ y 2 lnx ) dy = 0, y 2 (c) 2xy +x 2 tany x 2 + ( x 2 +y 2 + x cos 2 y (d) ( e y +y cos(xy) ) + ( xe y +x cos(xy) ) y = 0. ) y = 0, y() =, 60. Ermitteln Sie die Lösungen folgender Differentialgleichungen: (a) y = y, x (b) (y )dx (x )dy = 0, (c) y = 2x +x y, 2 (d) xyy = +y2 +x2, x,y > Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung (a) y = x 2 e y, x > 0, durch P 0 ( ), (b) y = xy y x2, x > 0, y() =. 62. Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung y +y tanx = tanx mit y(0) = Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems 64. Bestimmen Sie alle Lösungen von xy +y = 2 x, y() = 0, x > 0. (a) 2y +y = e x, (b) y 2 x y = x, (c) xy (x 2 +)y = x 2 e x2 /2, (d) 3x +x = 3t. 65. Zeigen Sie: Die Funktionen y = e x cos2x, y 2 = e x sin2x bilden ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung y +2y +5y = Ermitteln Sie die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen: (a) y 3y +3y y = x 2 e 2x, (b) y 2y +4y 8y = xe x +sin2x, (c) y (4) +8y +6y = sinx+sin2x.

14 0. Übung Mathematik 2 (Bauing.+Chem.) SS Die Messung der Druckfestigkeit von 20 Betonwürfeln erbrachte folgendes Ergebnis: 83,8,83,80,82,82,85,82,84,79, 82,84,80,8,79,80,82,80,8,83. Bestimmen Sie die absoluten, relativen und prozentualen Häufigkeiten sowie die entsprechenden kumulierten Häufigkeiten und stellen Sie beides grafisch dar. Welcher Anteil der Betonwürfel hat eine Druckfestigkeit von höchstens 82? Geben Sie an, welche Druckfestigkeit 5% der Betonwürfel mindestens haben. Bestimmen Sie das arithmetische Mittel, den Median, die Varianz, die Standardabweichung, die Spannweite und den Quartilsabstand. 68. Die Monatsgehälter x i der Beschäftigten einer Firma haben das arithmetische Mittel x = 5000 Euro und die Standardabweichung ist s x = 000 Euro. Wie verändern sich x, s x, der Variationskoeffizient ν x, der Zentralwert Z und die Spannweite, wenn man jedes Gehalt (a) um 00 Euro erhöht (b) um 2% erhöht. 69. Für die Ausgaben für Werbung von Unternehmen im Siegerland hat sich einer Stichprobe folgende Klasseneinteilung ergeben: Ausgaben in T Euro (0,0] (0,50] (50,00] (00,230] Anzahl Ermitteln Sie ein Histogramm, d.h. den Graph der Dichtefunktion f(x) := f i x i für x i x < x i+, f(x) = 0 sonst. Zeichnen Sie das Bild der zugehörigen Häufigkeitsverteilungsfunktion F(x) := x f(x)dx. Welcher Anteil der Unternehmen gibt höchstens 40 T Euro für Werbung aus? Geben Sie die Obergrenze für Werbeausgaben an, die 60 % der Unternehmen nicht überschreiten! 70. Bestimmen Sie für die Verteilung der vorigen Aufgabe das arithmetische Mittel, den Median, die Varianz, die Standardabweichung, die Spannweite und den Quartilsabstand. 7. Teilen Sie die Punkteverteilung aus Beispiel in die Klassen [0,0],(0,5],(5,20],(20,30],(30,35],(35,42],(42,50],(50,60],>60 ein. Erstellen Sie das zugehörige Histogramm und die Häufigkeitsverteilungsfunktion und stellen Sie diese grafisch dar. Wie viele Klausuren haben mehr als 20, aber nicht mehr als 40 Punkte? Bei welcher Mindestpunktzahl haben 60 % der Teilnehmer bestanden?

15 72. In deutschen Texten treten die Vokale mit folgenden Wahrscheinlichkeiten auf: Vokal e i a u o p 0,47 0,064 0,043 0,032 0,08. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Buchstabe kein e? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Buchstabe kein Vokal? 73. Für die Konfektionsgrößen von 2000 repräsentativen Kunden wurden empirisch folgende Häufigkeiten ermittelt: Größe S M L XL Anzahl Geben Sie an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Kunde Größe L hat! Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Kunde Größe S oder XL? 74. Zwei (ideale) Würfel mit Augenzahlen bis 6 werden geworfen. Die Augenzahl des ersten Würfels sei X, die des zweiten Y. Dann sei A := X = Y, B := X +Y > 9, C := X +Y = 7, D := X +Y gerade. (a) Welche dieser Ereignisse sind paarweise disjunkt? (b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten von A, B, C, D und A B, A B, A C, A C. 75. Ein bestimmter Schütze trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0, 2 ins Schwarze einer Scheibe. Berechnen Sie (unter der Annahme, daß die Schüsse unabhängig sind,) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß (a) er dreimal hintereinander ins Schwarze trifft, (b) er bei drei Schüssen genau zweimal ins Schwarze trifft, (c) er bei drei Schüssen mindestens zweimal ins Schwarze trifft. (d) Wie oft muß er schießen, damit die Wahrscheinlichkeit, wenigstens einmal ins Schwarze zu treffen, größer als 0,95 wird? 76. Ein Bäcker backt jeden Morgen für einen Kunden frische Brötchen. Die gewünschte Anzahl X der Bestellung ist zufällig und wir durch folgende Verteilung beschrieben: für x für 00 x p(x) =. für 40 x sonst (a) Zeigen Sie, daß durch p(x) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben wird.

16 (b) Der Bäcker kann maximal 500 Brötchen herstellen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Bestellmenge diese Kapazität übersteigt? 0 für x < 77. (a) Gegeben sei die Dichtefunktion f(x) = c x 2 für x 5. 0 für 5 < x Bestimmen Sie c und geben Sie die zugehörige Verteilungsfunktion an! (b) Gegeben ist die Verteilungsfunktion 0 für x < 0 (x 3) F(x) = 3 + für 0 x für 3 < x Bestimmen Sie zugehörige Dichtefunktion! 78. Gegeben ist folgende Verteilungsfunktion: Welche der folgenden Aussagen ist wahr? (a) P(X 4) = 0,9 (b) P(X ) = 0,8 (c) P( < X < ) = 0 F(x),0 0,9 (d) P( X < 0) = 0 (e) P(X = 3) = 0,4 (f) P(X < oder X > 2) = 0,8 (g) P(X [2,3]) = 0,6 (h) P(X (3,5)) = 0, 0,5 0,3 0, x 79. Die Zufallsvariable X sei N(, 8; 2)-verteilt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten (a) P(X 2,44) (b) P(X,6) (c) P(X ) (d) P(2 X 0) 80. X sei N( 2; 0, 5)-verteilt. Bestimmen Sie c mit (a) P(X c) = 0,05 (b) P( c X ) = 0,5 8. In einer Flaschenfüllanlage mit Sollwert 000 ml ist die tatsächliche Füllmenge einer Flasche eine normalverteilte zufällige Variable mit Standardabweichung σ = 3 ml. Eine Stichprobe vom Umfang n = 50 ergab das Stichprobenmittel x = 999 ml. Konstruieren Sie ein Konfidenzintervall für den wahren Mittelwert µ der Anlage mit Wahrscheinlichkeit 95%.KannmanausdemErgebnisschließen, daßdiemaschineimmittel zuwenigabfüllt?

17 82. Ein Intelligenztest ergab bei 00 Versuchspersonen einer bestimmten Bevölkerungsgruppe einen mittleren Intelligenzquotienten von 05 bei einer Standardabweichung von 2. Berechnen Sie ein 92%-Vertrauensintervall für den mittleren IQ µ dieser Bevölkerungsgruppe! Wie sieht ein 75%-Vertrauensintervall aus? Wie sieht ein 92%-Vertrauensintervall aus, wenn die Stichprobe 400 Personen umfaßt? Standard-Normalverteilung Tabelliert sind die Werte der Verteilungsfunktion Φ(z) = 2π z Für z < 0 ist die Formel Φ(z) = Φ( z) anzuwenden. Beispiel: Φ( 0.2) = Φ(0.2) = = e x2 /2 dx. z z

18 Lösung Übung 0 Mathematik 2 (Bauing./Chem.) SS arithm. Mittel: ( ) = 8, Median: 7 Würfel kleiner als 82, 5 gleich 82, 6 größer. Hälfte von 20 ist 0, und der 0. und. Würfel haben Festigkeit 82, d.h. der Median ist 82. Wert a i abs.häuf. h i a i h i a i x (a i x) 2 h i () 2 79, ,00 2,65 7,02 4,05 80, ,00,65 2,72 0,89 8, ,00 0,65 0,42,27 82, ,00 0,35 0,2 0,6 83, ,00,35,82 5,47 84, , 00 2, 35 5, 52, 04 85, 00 85, 00 3, 35, 22, 22 Summe , 55 Varianz: s 2 = 2,87, Standard-Abweichung s =,6944. Spannweite = 6. Quartilsabstand: 25% von 20 Würfeln sind 5 Würfel. Herausnahme der 5 Würfel mit der kleinsten Festigkeit bzw. der 5 mit der größten Festigkeit ergibt = 3. 5% = 3 Würfel haben Festigkeit mindestens (a) Erhöhung um 00: arithm. Mittel x neu = n (x i +00) = 500. n i= Standardabweichung: s neu = n ( (xi +00) (x+00) ) 2 = s. n i= Median: Auch der Mitarbeiter mit dem mittleren Einkommen bekommt 00 mehr, d.h. z neu = z +00. Spannweite: ( (größter Lohn+00) (kleinster Lohn+00) ) bleibt gleich. (b) prozentuale Erhöhung: arithm. Mittel x neu = n,02 x i =, = 500. n i= Standardabweichung: s neu = n (,02 xi,02 x )2 =,02 s. n i= Median: Relative Einkommensstaffelung ändert sich nicht, d.h. z neu =,02 z. Spannweite: ( (größter Lohn,02) (kleinster Lohn,02) ) =,02 alte Spannweite.

19 69. Wert a i Kl.-breite h i fi f(x) Mitte a i a i h i a i x (a i x ) 2 h i ()2 (, 0] (0, 0] , 2 0, (0, 50] , 3 0, (50, 00] , 25 0, , (00, 230] , 25 0, , (230, ) Summe f(x) 0, 02 Histogramm 0,0 0, , T Euro 0 x 0 0,02x 0 x 0 0,2+0,075(x 0) 0 x 50 F(x) = 0,5+0,005(x 50) 50 x 00 0,75+0,009(x 00) 00 x x F(x),0 0,75 0,5 0, T Euro Anteil mit höchstens 40 T Euro : F(40) = 0,2+0,0075 (40 0) = 0,425. Sei x die Obergrenze für 60%, d.h. x = F(0,6). 0,6 = 0,5+0,005(x 50) = x = arithm. Mittel x = 70. Varianz: s 2 = s = 59,93. Median: Z = 50 (Rand von 2 Klassen). Spannweite = 230. = 359, 09, Standard-Abweichung

20 F (0,25) liegt im Bereich 0 x 50: 0,25 = 0,2+0,0075(x 0) = x 25% = 6,67. F (0,75) = 00 = x 75%. Damit Quartilsabstand x 75% x 25% = 83, Intervall Häuf. h i proz.häuf. f i δx i Höhe [0,0) , 6 [0,5) [5,20) 4 8 5, 6 [20, 30) , 6 [30,35) , 6 [35,42) 6 2 7, 7 [42,50) , 25 [50,60) 8 6 0, 6 [60,00) , 5 0 x 0 0,006 x 0 x 0 0,02 (x 0)+0,06 0 x 5 0,06 (x 5)+0,6 5 x 20 0,006 (x 20)+0,24 20 x 30 F(x) = 0,036 (x 30)+0,3 30 x 35 0,07 (x 35)+0,48 35 x 42 0,0225 (x 42)+0,6 42 x 50 0,06 (x 50)+0,78 50 x 60 0,005 (x 60)+0,94 60 x x Relativer Anteil mit mehr als 20 und höchstens 40 Punkten: F(40) F(20) = 0,07 5+0,48 0,24 = 0,3255. Absolut 6 Klausuren. Wenn 60% bestehen, haben 40% weniger als x Punkte: F(x) = 40 = 30 x 35. 0,4 = 0,036 (x 30)+0,3 = x = 32.

21 72. Wahrscheinlichkeit für e ist p(e) = 0,47. Gesamtwahrscheinlichkeit ist, d.h. die Wahrscheinlichkeit, daß der Buchstabe kein e ist, ist p(nicht e) = 0,47 = 0,853. Wahrscheinlichkeit für einen Vokal ist p(a oder e oder i oder o oder u) = 0,043+0,47+0,064+0,08+0,032 = 0,304, d.h. p(konsonant) = 0,304 = 0, Sei X die Größe des Kunden. p(x = L ) = = 34,%. p(x = S oder X = XL ) = = 40,65%. 74. (a) Disjunkt sind A und C, B und C bzw. C und D, d.h. diese Ereignisse schließen sich gegenseitig aus. A und B möglich mit X = 5 oder X = 6, B und D möglich mit X +Y = 0 oder X +Y = 2, und wenn A gilt, gilt immer auch D. (b) Es gibt 36 mögliche Wurf- Konstellationen und jede ist gleich wahrscheinlich, d.h. jede hat Wahrscheinlichkeit p = 36 : In jeweils 6 Fällen gilt A bzw. B bzw. C, d.h. p(a) = p(b) = p(c) = 6, in 8, d.h. 36 der Hälfte der Fälle D, d.h. p(d) = 2. Analogp(A B) = 2 0,p(A B) = 36 36,p(A C) = 0undp(A C) = p(a)+p(c) = Jeweils Binomialverteilung, d.h. die Wahrscheinlichkeit von k Treffern bei n Schüssen ist (mit p = 0,2) ( ) n p(x = k) = p k ( p) n k. k (a) Für n = 3, k = 3 folgt p(x = 3) = 0,2 3 = 0,008. (b) Für n = 3, k = 2 folgt p(x = 2) = 3 0,2 2 0,8 = 0,096.

22 (c) Für n = 3, k 2 folgt p(x 2) = (d) Für beliebiges n ist 2 k=0 ( ) 3 0,2 k 0,8 3 k = p(x = 3) = 0,008 = 0,992. k p(x ) = p(x = 0) = ( ) n 0,2 0 0,8 n 0 = 0,8 n. 0 0,8 3 = 0,055, 0,8 4 = 0,044, d.h. kleinstes n mit 0,8 n > 0,95 ist n = (a) p(x = 0 und p(x)dx = =, d.h. p(x) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (b) Sei x die Bestellmenge. Die zugehörige Verteilungsfunktion ist 0 für x 0 x für x F(x) = (x 000)+0, für 00 x 400. Damit folgt 500 (x 400)+0,9 für 40 x sonst p(x > 500) = p(x 500) = F(500) = ( 00 +0,9) = 0,96 = 0,083 = 8,3% (a) Mit = f(x)dx = cx 2 dx = c 3 x3 5 = 24c folgt c = x 3 Verteilungsfunktion: F(x) = 0 für x, F(x) = 24 t2 dt für x 5 und F(x) = für x 5. (b) f(x) = 0 für x < 0 und für x > 3. Für 0 x 3 gilt f(x) = F (x) = (x 3) (a) p(x 4) = F(4) = 0,9, d.h. wahr. (b) p(x ) = 0,8 p(x < ) = 0,8 = 0,2. Es gilt p(x < ) = 0 also falsch. (c) p( < X < ) = p(x < ) p(x ) = 0,2 0,2 = 0, d.h. wahr. (d) p( X < ) = p(x < ) p(x < ) = 0,2 0 = 0,2, d.h. falsch. (e) p(x = 3) = p(x 3) p(x < 3) = 0,9 0,5 = 0,4, d.h. wahr.

23 (f) X < und X > 2 disjunkt, d.h. p(x < oder X > 2) = p(x < )+p(x > 2) = p(x < )+ p(x 2) = 0,2+ 0,5 = 0,7, d.h. falsch. (g) p(2 X 3) = p(x 3) p(x < 2) = 0,9 0,3 = 0,6, d.h. wahr. (h) p(3 < X < 5) = p(x < 5) p(x 32) = 0,9 0,9 = 0, d.h. falsch. 79. (a) p(x 2,44) = F(2,44) = Φ( 2,44,8 ) = Φ(0,32) = 0, (b) p(x,6) = F(,6) = Φ(,6,8 ) = Φ(,7) = Φ(,7) = 0,9554 = 2 0, (c) p(x ) = p(x ) = F() = Φ(,8 ) = Φ( 0,4) = 2 ( Φ(0,4) = Φ(0,4) = 0,6554. (d) p(2 X 0) = F(0) F(2) = Φ( 0,8 ) Φ( 2,8 ) = Φ(4,) Φ(0,) = 2 2 0,5398 = 0, Sei µ = 2, σ := 0,5. (a) p(x c) = 0,05 F(c) = 0,05 Φ( c µ ) = 0,05 = 0,95 σ Φ( c µ c µ ) = 0,95 =,645 c = σ (,645) + µ = 0,5 σ σ (,645)+( 2) = 2,8225. (b) p( c X ) = F( ) F( c) = 0,5 Φ( ( 2) ) Φ( c µ ) = 0,5 σ Φ(2) Φ( c µ ) = 0,9772 Φ( c µ ) = 0,5 Φ( c µ ) = 0,4772 = σ σ σ 0,5228 c+µ = 0,057 c = σ 0,057 µ = 0,5 0,057+2= 2,0285. σ 8. Konfidenzniveau p = 0,95, σ = 3, n = 50, x = 999. Zu bestimmen z mit Φ(z) = +p = +0,95 = 0,975. Tabelle ergibt z =, Mit := z σ =,96 3 = 0,83ergibtsichdasIntervall[x ;x+ ] = [998,7;999,83]. n 50 Sollwert 000 nicht im Intervall, d.h. die Maschine füllt im Mittel zu wenig ab. 82. (a) p = 0,92, σ = 2, n = 00, x = 05. Zu bestimmen z mit Φ(z) = +p = +0,92 = 0,96. Tabelle ergibt mit Interpolation z =, Mit := z σ =,75 2 = 2,0 ergibt sich das Intervall [x ;x + ] = n 00 [02,9;07,]. (b) p = 0,75, σ = 2, n = 00, x = 05. Zu bestimmen z mit Φ(z) = +p = +0,75 = 0, 875. Tabelle ergibt mit Interpolation z = 2 2,50.

24 Mit := z σ n =, =,38 ergibt sich das Intervall [x ;x + ] = [03, 62; 06, 38]. (c) p = 0,92, σ = 2, n = 400, x = 05. Mit := z σ =,75 2 =,05 ergibt sich das Intervall [x ;x + ] = n 400 [03, 95; 06, 05].