Günter Baars E-Lern- und Lehrmedium: Quantenchemie und Chemie farbiger Stoffe Leitprogramm: Quantenchemie und chemische Bindung Übungen mit Lösungen

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2 Günter Baars E-Lern- und Lehrmedium: Quantenchemie und Chemie farbiger Stoffe Leitprogramm: Quantenchemie und chemische Bindung Übungen mit Lösungen Korrektorat: Dina Baars, Bern Illustrationen: Christoph Frei, Bern 1. Auflage 010 Alle Rechte vorbehalten Copyright Pädagogische Hochschule PHBern

3 Inhaltverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Übungen Wellen, Licht und Elektronen 4 1. Quantenchemie und chemische Bindung 11 Lösungen zu den Übungen 0.1 Wellen, Licht und Elektronen 0. Quantenchemie und chemische Bindung 30 3

4 1 Übungen 1 Übungen 1.1 Wellen, Licht und Elektronen 1.a Nennen Sie je ein Beispiel einer Transversal- und einer Longitudinalwelle. 1.b Wie sind die beiden unterschiedlichen Wellenarten definiert?. Ein Oszillator ist ein Massenpunkt eines Wellenträgers..a Was bedeutet für einen Oszillator die Periodendauer T und die Frequenz f?.b Wie verändert sich die Energie E eines Oszillators, wenn die Frequenz f halbiert und die maimale Auslenkung s ma verdoppelt wird? 1 E = m f s ma 3. Elektronenbeugung, leuchtendes Gas (Helium) und farbige Stoffe: diese drei Eperimente resp. Phänomene können nur erklärt werden, wenn man Elektronen im Wellenmodell betrachtet. Erläutern Sie bezüglich der Eperimente kurz das Vorgehen und die Beobachtungen und erklären Sie anschliessend, warum zur Erklärung dieser Eperimente die Verwendung des Wellenmodells für das Elektron zwingend ist. 4. Gegeben ist eine stehende Welle. Welche Aussagen lassen sich über einen Oszillator, der nicht in einem Knotenpunkt ist, hinsichtlich Amplitude, Energie und Frequenz machen (jeweils mit kurzer Begründung). 5. Fällt ein Lichtstrahl durch einen Spalt, so ist ein Beugungsmuster zu beobachten. 5.a Skizzieren Sie das Beugungsbild. 5.b Erklären Sie, wie dieses Beugungsbild zustande kommt. 6. Was versteht man unter einer elektromagnetischen Welle? 7. Definieren Sie (jeweils nur ein Satz!) - Welle - Oszillator - Frequenz - Wellenlänge (einer fortschreitenden Welle) 8.a Wie lässt sich mit einer Schraubenfeder konstruktive Interferenz eperimentell zeigen (Skizze, kurze Erklärung)? 8.b Wie lässt sich mit Laserlicht eperimentell Interferenz zeigen (Skizze, kurze Erklärung)? 9.a Was versteht man unter elektromagnetischen Wellen? 9.b Worin unterscheiden sich elektromagnetische Wellen von mechanischen Wellen? 4

5 1 Übungen 10. Interpretieren Sie die gegebene Abbildung (stehende Welle in verschiedenen Schwingungszuständen). 11. Was versteht man unter einer stehenden Welle (wodurch ist sie gekennzeichnet) und wie kommt sie zustande? Beantworten Sie diese Frage anhand der gegebenen Abbildung. Zeichnen Sie die Kurve ein, die die effektive Bewegung der Feder beschreibt. 5

6 1 Übungen 1.a Gegeben ist T für einen Oszillator: 1 T = 10s. Was bedeutet dies und wie gross ist die Frequenz des Oszillators? 1.b Gegeben ist die Wellenlänge einer fortlaufenden harmonischen Transversalwelle: 1 λ = 1000 m. Was bedeutet dies? 1.c Die Geschwindigkeit c, mit der sich eine Welle durch einen Wellenträger fortpflanzt, ist für einen bestimmten Wellenträger konstant. Welche Veränderung tritt ein, wenn die Frequenz f des Erregers (bei gleicher Amplitude) in Bezug auf die Wellenlänge λ und die Energie E der einzelnen Oszillatoren erhöht wird? 13. Wie lässt sich eperimentell zeigen, dass ein schwingungsfähiges System nur ganz bestimmte (diskrete) Schwingungszustände besitzen kann? Welcher Bedingung ist die Wellenlänge λ unterworfen? 14. Gegeben ist eine Feder, die an beiden Enden jeweils an einem Stativ befestigt ist. Mithilfe eines Ezenters wird die Feder in Schwingung versetzt. Interpretieren Sie die gegebene Abbildung und setzen Sie die Werte für λ ein. 15. Eine weiche Schraubenfeder wird an zwei Stativen befestigt (Abstand: L) und durch einen Ezenter zu harmonischen Schwingungen angeregt. 6

7 1 Übungen 15.a Welche Wellenart bildet sich aus und wodurch ist sie gekennzeichnet? 15.b Wie lässt sich das Zustandekommen dieser Wellenart erklären? 15.c Was lässt sich über die Energie der verschiedenen Oszillatoren dieser Wellenart aussagen? 15.d Wie ist die Wellenlänge von stehenden Wellen definiert? 16. Beugung ist eine Erscheinung, die sich mit dem Wellenmodell erklären lässt. 16.a Skizzieren Sie einen Versuch, mit dem sich Beugung eperimentell zeigen lässt. 16.b Erklären Sie das Zustandekommen des Beugungsmusters. 17. Definieren Sie die Begriffe - Welle - Schwingung - harmonische Welle - Oszillator 18. Elektronen besitzen Welleneigenschaften. Wie liesse sich diese Aussage eperimentell überprüfen (Art des Eperiments; Erklärung der zu beobachtenden Phänomene)? 19. Eine (kleine) Brücke kann durch äussere Einwirkung in Schwingung versetzt werden. Was lässt sich über die Art und die Entstehung der Welle aussagen, die die Brücke ausbildet? c 0. Interpretieren Sie die Formel f =. λ 1. Definieren Sie die Begriffe - Welle - Längswelle - Querwelle - Interferenz. Spielen zwei verschiedene Instrumente den gleichen Ton, so lassen sich die beiden Instrumente durch reines Hören unterscheiden. Begründen Sie diese Tatsache. 3. Lässt man einen Elektronenstrahl durch ein Loch fallen, so beobachtet man auf einem dahinterliegenden Leuchtschirm folgendes Bild: 7

8 1 Übungen Welche Bedeutung hat dieses Eperiment hinsichtlich der Elektronen und wie lässt sich das Zustandekommen dieses Bildes erklären? 4. Von welchen Faktoren ist die Energie eines schwingenden Oszillators abhängig und worin besteht diese Abhängigkeit (keine Formeln; kurze Erklärung)? 5. Sichtbares Licht gehört zu den elektromagnetischen Wellen. Erklären Sie kurz, wie Licht zustande kommt. Worin unterscheidet sich "sichtbares" Licht von "ultraviolettem" Licht? 6. Die Welleneigenschaften von bewegten Körpern sind nur für Teilchen im atomaren h Bereich von Bedeutung. Begründung (de Broglie: λ = )? m v 7. Das Elektron im Wasserstoff-Atom lässt sich mit einer stehenden Welle vergleichen. Beschreiben Sie kurz den entsprechenden Versuch und interpretieren Sie die dabei beobachteten Phänomene. 8. Laserlicht und ein Elektronenstrahl zeigen Beugungsmuster. Was bedeutet diese Tatsache? 9. Ein Elektron lässt sich als dreidimensionale stehende Welle beschreiben. Welche Aussagen lassen sich mithilfe der entsprechenden Wellengleichung über das Elektron machen? 30. Auf welche Weise lässt sich die maimale kinetische Energie eines Fotoelektrons bestimmen (eventuell mit einer kleinen Skizze)? Beschreiben und interpretieren Sie Ihre Beobachtungen. 31. Ein Beugungsmuster lässt auf eine Wellennatur des zugrunde liegenden Phänomens schliessen. Erklären Sie diese Aussage. 3. Gegeben sei eine Lichtquelle, die rotes Licht ausstrahlt. Mit einem Dimmer lässt sich die Helligkeit des roten Lichts stufenlos verstellen. Beschreiben Sie mit dem Wellen- 8

9 1 Übungen bzw. dem Teilchenmodell, was mit dem roten Licht passiert, wenn die Helligkeit (Lichtintensität) vermindert wird. 33. Beim Eperiment zum Fotoelektrischen Effekt stellt man u.a. Folgendes fest: Unterhalb einer bestimmten Lichtfrequenz f werden keine Fotoelektronen freigesetzt, ganz egal, wie hoch die Intensität des Lichts gewählt wird. Interpretieren Sie dieses Resultat. Weshalb genügt das Wellenmodell des Lichts als Erklärung nicht? 34. Was versteht man unter den folgenden Begriffen? Wellenlänge Amplitude Elongation 35. Ein Oszillator ist ein Massenpunkt eines Wellenträgers. Wie verändert sich die Energie eines Oszillators, wenn die Frequenz halbiert und die Amplitude verdreifacht wird? 36. Gegeben ist ein Beugungsbild, das dadurch entstanden ist, dass Licht durch eine Öffnung geschickt wurde. Diese Öffnung hatte die folgende Form (richtige Antwort ankreuzen): o Loch o Senkrechter Spalt o Waagrechter Spalt 37. Warum sendet ein Gas in einer Leuchtstoffröhre Licht aus? Elektronen gehen in ein höheres Energieniveau über und nehmen die dazu notwendige Energie aus dem sichtbaren Licht auf. Elektronen fallen von einem höheren Schwingungszustand in einen tieferen und geben die dabei frei werdende Energie in Form von Licht ab. Elektronen gehen in einen höheren Schwingungszustand über und senden dabei Energie in Form von Licht aus. trifft zu trifft nicht zu weiss nicht 9

10 1 Übungen 38. Warum genügt das Teilchenmodell für Elektronen nicht, um die Linienspektren von leuchtendem Wasserstoffgas zu erklären? Die Elektronen könnten laut Teilchenmodell jede beliebige Energie annehmen. Die Elektronen würden laut Teilchenmodell Photonen jeder beliebigen Energie aussenden, es gäbe ein kontinuierliches Spektrum. Die Elektronen könnten sich laut Teilchenmodell nur in der K-Schale aufhalten. trifft zu trifft nicht zu weiss nicht 39. Welche der folgenden Eperimente eignen sich, um die Welleneigenschaften von Licht zu zeigen? Fotoelektrischer Effekt Elektronenbeugung Kathodenstrahlrohr Kerze durch eine enge Spalte beobachten Laserlicht durch ein enges Loch fallen lassen trifft zu trifft nicht zu weiss nicht 40. Welche der folgenden Eperimente eignen sich, um die Teilcheneigenschaften von Elektronen zu zeigen? Fotoelektrischer Effekt Elektronenbeugung Kathodenstrahlrohr Kerze durch eine enge Spalte beobachten Laserlicht durch ein enges Loch fallen lassen trifft zu trifft nicht zu weiss nicht 10

11 1 Übungen 1. Quantenchemie und chemische Bindung 1. Gegeben ist der Grundzustand des Wasserstoff-Atoms. Skizzieren Sie den Verlauf der Amplitude der Elektronenwelle, der Aufenthaltswahrscheinlichkeit und der radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeit..a Welche Beziehung besteht zwischen den beiden gegebenen Abbildungen?.b Zeichnen Sie den Verlauf der radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeit (ψ 3s 4πr dr) für diesen Schwingungszustand. 3.a Interpretieren Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Wasserstoff- Atom (Grundzustand). 3.b Skizzieren Sie die Wolkendarstellung der Elektronendichte. 4. Die grafische Abbildung gibt Ihnen den Verlauf der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im ersten angeregten Zustand des Wasserstoff-Atoms. Interpretieren Sie den Verlauf der Kurve. Weshalb lässt sich der Kurvenverlauf nicht ohne das Modell einer stehenden Materiewelle verstehen? 11

12 1 Übungen 5. Nehmen Sie zu folgender Aussage Stellung: Das Elektron im Wasserstoff-Atom hält sich im ersten angeregten Zustand in der zweiten Elektronenschale, der L-Schale, auf. Was bedeutet in diesem Zusammenhang der Begriff Elektronenschale"? 6. Geben Sie die Verteilung der Elektronen eines Chlor-Atoms auf die verschiedenen Wellenfunktionen an. 7. Was versteht man unter der Wolkendarstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte? 8.a Welche Informationen lassen sich aus der grafischen Darstellung der Wellenfunktion ψs des Wasserstoff-Atoms gewinnen? 8.b Skizzieren Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des s-zustands. 9. Skizzieren Sie die Wolkendarstellung der Wahrscheinlichkeitsdichten für den 1s- und den s-zustand des Elektrons im Wasserstoff-Atom. Welche Unterschiede lassen sich zwischen den beiden Energiezuständen erkennen? 10. Worin liegt der Unterschied zwischen den beiden für das Wasserstoff-Atom verwendeten Elektronendichten? 11. Das Elektron im Wasserstoff-Atom kann in den verschiedenen Schwingungszuständen u.a. mit s- bzw. mit p-wellenfunktionen beschrieben werden. Worin unterscheiden sich diese beiden Funktionsarten? Welche Unterschiede weisen die s- bzw. p-funktionen in den verschiedenen Schwingungszuständen auf? 1. Interpretieren Sie die gegebenen Abbildungen (Wolkendarstellung der Elektronendichten p): 1

13 1 Übungen 13.a 13. Interpretieren Sie die gegebenen Abbildungen (Wellenfunktion ψp z in unterschiedlichen Winkeln zur z-achse): 13.b 13.c 13

14 1 Übungen 14. Skizzieren Sie die Graphen für die 3s-Wellenfunktion und die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit der 3s-Wellenfunktion. Interpretieren Sie kurz die grafischen Darstellungen. 15. Interpretieren Sie folgende grafische Darstellung: 16. Interpretieren Sie folgende Abbildung: 17. Interpretieren Sie die folgenden Abbildungen: 14

15 1 Übungen Interpretieren Sie die gegebenen Abbildungen: 19. Gegeben sind die Wellenfunktionen p. Welche Winkel sind zu wählen, wenn man nur Funktionswerte entlang der Achsen betrachtet? a e a a 1 3 cosφ sin θ 4π 3 r r ψp = a e a a 1 3 sin φ sin θ 4π 3 r y r ψp = a e a a 1 3 cosθ 4π 3 r z r ψp = 0. Beschriften Sie die Achsen des Koordinatensystems. Was bedeuten die gegebenen Graphen? Wie hängen diese Graphen zusammen?

16 1 Übungen 1. Wie muss die Beschriftung der y-achse in der folgenden Abbildung lauten? (Zutreffendes ankreuzen) 16

17 1 Übungen o Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Grundzustand des Wasserstoff- Atoms; ψ 1s dv o Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Grundzustand des Wasserstoff-Atoms; ψ 1s 4πr dr o Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im ersten angeregten Zustand des Wasserstoff-Atoms; ψ s dv o Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im ersten angeregten Zustand des Wasserstoff-Atoms; ψ s 4πr dr. Gegeben ist folgende Abbildung:.a Wie viele Knotenflächen hat die der Abbildung zugrunde liegende Funktion?.b Zu welchem Energiezustand gehört die Funktion? 3. Gesucht ist eine Erklärung für das Zustandekommen einer Atombindung (kovalente Bindung) mit dem Wellenmodell. Welche der folgenden Aussagen treffen zu? Zwei Elektronenwellenfunktionen überlagern sich konstruktiv. Die Elektronendichte zwischen zwei Atomrümpfen wird erhöht. Zwei Elektronen halten sich immer zwischen den Atomrümpfen auf. Ein Elektron geht von einem Atom auf ein anderes über. trifft zu trifft nicht zu weiss nicht 17

18 1 Übungen 4. Was geschieht, wenn einem Wasserstoff-Molekül so viel Energie zugeführt wird, dass ein Elektron in ein anderes Orbital übergehen kann? Ein Elektron geht von einem antibindenden Orbital in ein bindendes Orbital über. Ein Elektron geht von einem bindenden Orbital in ein antibindendes Orbital über. Die Bindungsordnung verändert sich. Das Molekül fällt auseinander. 5. Gegeben sind zwei Molekülorbitale A und B. trifft zu trifft nicht zu weiss nicht A B 5.a Aus welchen Atomorbitalen sind die beiden entstanden? (Zutreffendes ankreuzen) p + p p y + p y s + p 5.b Welches ist das energiereichere Molekülorbital? (Zutreffendes ankreuzen) o A o B 5.c Warum ist eines der Molekülorbitale energiereicher? 18

19 1 Übungen 6.a Füllen Sie das folgende Orbitalenergiediagramm für Sauerstoff aus. 6.b Welche Bindungsordnung hat das Sauerstoff-Molekül? 6.c Zeichnen Sie die Lewis-Formel eines Sauerstoff-Moleküls. 6.d Vergleichen Sie die Aussagen der Lewis-Formel mit den Aussagen des Orbitalenergiediagramms 19

20 Lösungen zu den Übungen Lösungen zu den Übungen.1 Wellen, Licht und Elektronen 1.a Transversalwelle: Wasserwellen; Longitudinalwelle: Schallwellen 1.b Bei Transversalwellen (Querwellen) steht die Bewegungsrichtung der Oszillatoren senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung. Bei Longitudinalwellen (Längswellen) sind Bewegungsrichtung der Oszillatoren und Fortpflanzungsrichtung parallel..a Schwingungsdauer T: Zeit, die ein Massenpunkt für eine volle Hin- und Herbewegung (volle Schwingung) benötigt. Die Frequenz gibt die Anzahl Schwingungen pro Sekunde an..b Die Gesamtenergie ändert sich nicht, da die Frequenz ein Viertel des ursprünglichen Werts annimmt und die maimale Auslenkung viermal so gross wird wie am Anfang. 3. Elektronenbeugung: Durchdringen Elektronen einen Kristall, so erzeugen sie auf einer Leuchtschicht eine Abfolge von hellen und dunklen konzentrischen Kreisen (Beugungsbild). Diese lassen sich nur dadurch erklären, dass sich die Elektronen von den kleinen Öffnungen des Kristalls bis zur Leuchtschicht wie Wellen verhalten, die sich entweder konstruktiv oder destruktiv überlagern (auslöschen bzw. verstärken). Zerlegt man das Licht leuchtender Gase, wie z.b. Helium, Wasserstoff oder Quecksilber mit einem Prisma, so lassen sich nur ganz bestimmte farbige Linien (Linienspektrum) erkennen. Beim Sonnenlicht hingegen erhält man ein kontinuierliches Spektrum. Werden die Gase angeregt, so gehen die Elektronen in einen höheren Energiezustand. Beim Zurückfallen geben sie die aufgenommene Energie in Form elektromagnetischer Wellen (Photonen) im sichtbaren Bereich ab. Da nur ganz bestimmte Farben, die bestimmten Energien entsprechen, zu sehen sind, bedeutet dies, dass für die Elektronen nur ganz bestimmte Energiezustände im Atom möglich sind. Dies lässt sich nur mit einem Wellenmodell erklären: Die Elektronen bilden stehende Wellen um den Atomkern, d.h. das Elektronensystem (Kern und Elektronen) verhält sich wie ein schwingungsfähiges System, das nur ganz bestimmte stehende Wellen (Energiezustände) einnehmen kann. Die Elektronen farbiger Stoffe absorbieren aus dem sichtbaren Licht (sehr oft) gerade die Wellenlänge, die nötig ist, um von einem Energiezustand in einen höheren überzugehen. Damit fehlt dem sichtbaren Licht eine bestimmte Farbe. Die Mischung der 0

21 Lösungen zu den Übungen Restfarben, die vom betreffenden Gegenstand reflektiert wird, nehmen wir als Substanzfarbe wahr. 4. Im Knoten selber findet keine Bewegung der Oszillatoren statt. Zwischen zwei Knoten werden die Massenpunkte unterschiedlich stark ausgelenkt. Bei gleicher Frequenz ist die Energie der Oszillatoren umso grösser, je stärker die Auslenkung ist. 5.a Helle und dunkle Stellen wechseln sich ab: 5.b Die beobachteten hellen und dunklen Stellen können nur dann entstehen, wenn sich Lichtwellen, die durch den Spalt fällen, verstärken oder auslöschen. Das Licht muss also bei diesem Eperiment mit einem Wellenmodell beschrieben werden. 6. Bei den elektromagnetischen Wellen handelt es sich um wandernde elektrische und magnetische Felder, deren Stärke periodisch ändert. Diese Felder stehen senkrecht aufeinander und pflanzen sich (im Vakuum) mit Lichtgeschwindigkeit (c =, m s -1 ) fort. 7. Als Welle bezeichnet man eine von einem Erreger wegwandernde Störung. Erreichen benachbarte Teilchen (Massenpunkte, Oszillatoren) nacheinander dieselbe Auslenkung, so entsteht der Eindruck einer sich ausbreitenden Welle, obwohl die Teilchen selbst nicht wandern. Oszillatoren sind die einzelnen Massenpunkte eines Wellenträgers (Seil, Feder, Wasser, Luft), die die Bewegung des Erregers nacheinander ausführen, Die Frequenz gibt die Anzahl Schwingungen pro Sekunde an. Als Wellenlänge wird der kürzeste Abstand zwischen zwei phasengleich schwingenden Oszillatoren bezeichnet (zwei Oszillatoren mit dem gleichen Schwingungszustand: gleiche Elongation s und gleiche Fortpflanzungsgeschwindigkeit c der Störung). 1

22 Lösungen zu den Übungen 8.a 8.b Bewegt man ein Seil an beiden Enden gleichzeitig und gleich weit waagrecht zum Wellenträger auf eine Seite und dann wieder zurück zu den Ausgangspunkten, so kommt es zu einer Überlagerung (Interferenz) der Wellen. Die beiden Störungen laufen aufeinander zu und durchdringen sich ungestört beim Aufeinandertreffen. Dabei addieren sich die Auslenkungen, die Amplituden verdoppeln sich. Anschliessend pflanzen sich die Störungen wieder mit der ursprünglichen Amplitude fort. Man lässt einen Laserstrahl durch einen schmalen Spalt auf einen dahinter liegenden Schirm fallen. Helle und dunkle Stellen wechseln sich ab, wobei die Helligkeit (Intensität) nach den Seiten zu abnimmt (Beugungsbild). 9.a Bei den elektromagnetischen Wellen handelt es sich um wandernde elektrische und magnetische Felder, deren Stärke periodisch ändert. Diese Felder stehen senkrecht aufeinander und pflanzen sich (im Vakuum) mit Lichtgeschwindigkeit (c =, m s -1 ) fort. 9.b Mechanische Wellen: benötigen einen Wellenträger; die Fortpflanzungsgeschwindigkeit ist von der Art des Wellenträgers abhängig. Elektromagnetische Wellen: Benötigen keinen Wellenträger; sie pflanzen sich mit Lichtgeschwindigkeit fort. 10. Mit einem Ezenter wurden auf einer Schraubenfeder stehende Wellen erzeugt. Dabei fällt auf, dass sich nur bei bestimmten Frequenzen des Ezenters stehende Wellen ausbilden. Daraus muss gefolgert werden, dass schwingungsfähige Systeme nur ganz

23 Lösungen zu den Übungen bestimmte stehende Wellen ausbilden können. Im Falle der Schraubenfeder gilt die L Beziehung λ =. n 11. Zwei gegeneinanderlaufende, gleichartige (Frequenz, Amplitude) harmonische Wellen bilden aufgrund der Interferenz eine stehende harmonische Welle aus. Die Orte, an denen die Oszillatoren zu keinem Zeitpunkt ausgelenkt werden, nennt man Schwingungsknoten. Zwischen zwei Knoten schwingen Oszillatoren gleichphasig, aber mit unterschiedlichen Amplituden. Die Bereiche zwischen den Schwingungsknoten heissen Schwingungsbäuche. 1.a Für eine volle Bewegung benötigt der Oszillator 0,1 s. Damit führt er 10 Schwingungen pro Sekunde aus: f = 10 s b Der kürzeste Abstand zwischen zwei phasengleich schwingenden Oszillatoren (gleiche Elongation s und gleiche Fortpflanzungsgeschwindigkeit c der Störung) beträgt 0,001 m. 3

24 Lösungen zu den Übungen 1.c Gemäss der Gleichung E Oszillator = 1 m f s ma [J] nimmt die Energie bei Erhöhung der Frequenz zu. Ausserdem wird die Wellenlänge λ kleiner, da die Anzahl Wellen pro Wegstrecke auf dem Wellenträger zunimmt. 13. Man erzeugt mithilfe eines Ezenters auf einer Schraubenfeder stehende Wellen. Diese bilden sich nur bei ganz bestimmten Frequenzen des Oszillators aus. Für λ gilt: λ = L. (L: Länge der Feder; n: Nummer des Schwingungszustands). n 14. Die Feder kann als schwingungsfähiges System nur ganz bestimmte stehende Wellen ausbilden, wobei n der Nummer des jeweiligen Schwingungszustands entspricht. Je höher die Energie des Systems (entsprechend der Zunahme von n), desto grösser ist die Anzahl der Knoten. Dabei gilt: Knotenzahl = n 1. 15a. Es bilden sich bei bestimmten Frequenzen des Ezenters stehende Wellen aus, die durch Schwingungsknoten und Schwingungsbäuche gekennzeichnet sind. 15.b Die vom Ezenter erzeugte Störung wird am gegenüberliegenden Stativ reflektiert. Die beiden nun entgegengesetzt laufenden Wellen überlagern sich konstruktiv und destruktiv, wodurch sich stehende Wellen ausbilden. 15.c Die Energie in den Schwingungsknoten ist null. In der Mitte zwischen zwei Knoten ist die Auslenkung, und damit die Energie der Oszillatoren, am grössten. Von diesem Punkt ausgehend bis zu den Knoten nimmt die Auslenkung und damit die Energie der Oszillatoren ab. 15.d Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Knoten entspricht der halben Wellenlänge. 4

25 Lösungen zu den Übungen 16.a 16.b Beugung des Lichts kommt dadurch zustande, dass an jedem Punkt einer kleinen Öffnung neue Wellen (sogenannte Elementarwellen) entstehen. Sie breiten sich mit der gleichen Geschwindigkeit aus wie die ursprünglichen Wellen. Entsprechend dem Beugungswinkel muss das Licht bis zum Auftreffpunkt unterschiedlich lange Strecken zurücklegen. Haben zwei Wellen sich genau um eine Wellenlänge λ oder das n-fache davon verschoben, dann überlagern sich zwei Wellenberge oder zwei Wellentäler. Es entsteht ein Intensitätsmaimum. Der Auftreffpunkt liegt im Bereich eines hellen Streifens. Haben die beiden Wellen sich um eine halbe Wellenlänge λ/ oder das n- fache (n = 3, 5, 7,...) gegeneinander verschoben, so überlagern sich Wellenberg und Wellental. Es entsteht ein Intensitätsminimum. 17. Als Welle bezeichnet man eine von einem Erreger wegwandernde Störung. Erreichen benachbarte Teilchen (Massenpunkte, Oszillatoren) nacheinander dieselbe Auslenkung, so entsteht der Eindruck einer sich ausbreitenden Welle, obwohl die Teilchen selbst nicht wandern. Eine Schwingung ist eine Bewegung, die in periodischer Folge um die Gleichgewichtslage (Ruhelage) eines Oszillators erfolgt. Ist die Bewegung des Erregers zeitlich und räumlich gleichmässig (harmonische Schwingung), so entsteht eine harmonische Welle. Oszillatoren sind die einzelnen Massenpunkte eines Wellenträgers (Seil, Feder, Wasser, Luft), die die Bewegung des Erregers nacheinander ausführen, 18. In einer Elektronenbeugungsröhre schickt man einen Elektronenstrahl durch eine dünne Grafitfolie. Am gegenüberliegenden Röhrenende erscheinen auf dem Leuchtschirm helle und dunkle konzentrische Kreise. Das so gebildete Beugungsmuster lässt sich nur dadurch erklären, dass sich die Elektronen wie Wellen verhalten, die an den Öffnungen der Grafitfolie neue Elementarwellen bilden, die sich konstruktiv (helle Stellen) und destruktiv (dunkle Stellen) überlagern. 5

26 Lösungen zu den Übungen 19. Erreicht man, z.b. durch ein gleichmässiges Marschieren, die Eigenfrequenz der Brücke, so bildet sich eine stehende Welle aus. 0. Die Frequenz f eines Oszillators erhält man aus dem Quotienten von Ausbreitungsgeschwindigkeit c und Wellenlänge λ einer fortlaufenden harmonischen Welle. Bei konstanter Ausbreitungsgeschwindigkeit ist die Frequenz umso grösser, je kleiner die Wellenlänge ist. 1. Als Welle bezeichnet man eine von einem Erreger wegwandernde Störung. Erreichen benachbarte Teilchen (Massenpunkte, Oszillatoren) nacheinander dieselbe Auslenkung, so entsteht der Eindruck einer sich ausbreitenden Welle, obwohl die Teilchen selbst nicht wandern. Bei Längswellen (Longitudinalwellen) sind Bewegungsrichtung der Oszillatoren und Fortpflanzungsrichtung parallel. Bei Querwellen (Transversalwellen) steht die Bewegungsrichtung der Oszillatoren senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung. Interferenz bedeutet eine Überlagerung von Wellen. Bei konstruktiver Interferenz verstärken sich die Auslenkungen, während es bei destruktiver Interferenz bei gleicher Amplitude zu einer Auslöschung kommt.. Neben der Grundschwingung (Grundton) ertönen auf den Instrumenten gleichzeitig, wenn auch sehr sehr leise, die Töne einiger höherer Schwingungen (Obertöne). Diese sind je nach Instrument verschieden. Aufgrund dieser unterschiedlichen Klangfarben lassen sich die Instrumente auseinanderhalten. 3. Das von dem Elektronenstrahl erzeugte Beugungsmuster weist darauf hin, dass sich die Elektronen wie Wellen verhalten. Diese überlagern sich konstruktiv (helle Stellen im Beugungsbild) und destruktiv (dunkle Stellen). 4. Die Energie eines schwingenden Oszillators ist von seiner Masse (m), der Anzahl Schwingungen pro Zeiteinheit (Frequenz, f) sowie der maimalen Auslenkung (Amplitude s ma ) abhängig. Frequenz und Auslenkung gehen im Quadrat in die Rechnung ein. 6

27 Lösungen zu den Übungen 5. Führt man Metalldämpfen oder Gasen, wie z.b. Wasserstoff oder Helium, Energie zu, so gehen die Elektronen in einen höheren Energiezustand über, der jedoch nicht stabil ist. Die Elektronen fallen deshalb in ein energieärmeres Niveau zurück und geben dabei die aufgenommene Energie in Form von Photonen (Licht) ab. Sichtbares Licht: Wellenlänge zwischen 400 und 800 nm Ultraviolettes Licht: Wellenlänge kleiner als von sichtbarem Licht und damit eine höhere Frequenz und Energie. 6. Je grösser die Masse eines Teilchens, desto kleiner ist die Wellenlänge λ. Der Wellencharakter von Teilchen spielt deshalb nur in atomaren Bereichen eine nennenswerte Rolle. 7. Zerlegt man das Licht von leuchtendem Wasserstoffgas, so stellt man fest, dass das Licht nur ganz bestimmte farbige Linien enthält (Linienspektrum). Die angeregten Elektronen der Wasserstoff-Atome geben bei ihrem Übergang in einen energieärmeren Zustand nur ganz bestimmte Energien (Farben) in Form von Photonen (Licht) ab. Dies bedeutet, dass die Elektronen im Wasserstoff-Atom nur ganz bestimmte Energiezustände einnehmen können. Als Erklärung betrachtet man das System Proton/ Elektron als ein schwingungsfähiges System, das nur bestimmte Energiezustände (stehende Wellen des Elektrons) einnehmen kann. 8. Da ein Beugungsmuster durch konstruktive und destruktive Interferenz von Wellen zustande kommt, muss man das Laserlicht und die Elektronen bei diesen Eperimenten mit einem Wellenmodell beschreiben. 9. Mit der Wellengleichung, die ein Elektron in einem Elektronensystem beschreibt, lässt sich die Grösse der Amplitude an irgendeinem Ort berechnen. Aus der Wellen- und Schrödinger-Gleichung erhält man die Gesamtenergie sowie die potentielle und die kinetische Energie des Systems. Das Quadrat der Wellengleichung liefert die Elektronendichte, die radiale Elektronendichte, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons. 7

28 Lösungen zu den Übungen 30. Der UV-Anteil des Lichts löst Elektronen aus dem Metall. Ist ihre kinetische Energie genügend gross, so können sie die negative Punktladung kompensieren und als Strom im Messgerät wahrgenommen werden. Wird die negative Ladung, und damit die Spannung, erhöht, so gelingt es nur den energiereichsten Elektronen, die abstossende Kraft der Kathode zu überwinden. Auf diese Weise lässt sich die maimale Spannung U 0 ermitteln, bei der keine Fotoelektronen die Kathode erreichen. Mithilfe dieser Spannung kann man die maimale kinetische Energie T ma der Fotoelektronen bestimmen, da das Produkt aus Spannung und Elektronenladung gleich der kinetischen Energie der Elektronen ist. 31. Ein Beugungsmuster lässt sich mit konstruktiver und destruktiver Interferenz von Wellen erklären. Das zugrunde liegende Phänomen (Licht, Elektronen) muss deshalb mit einem Wellenmodell beschrieben werden. 3. Wellenmodell: Bei gleichbleibender Frequenz (Wellenlänge) wird die Amplitude der Lichtwelle verringert. Teilchenmodell: Die Anzahl der Photonen wird vermindert. 33. Würde man das Licht bei diesem Eperiment mit einem Wellenmodell beschreiben, so müssten nach einer mehr oder weniger langen Zeit Fotoelektronen freigesetzt werden, da die Lichtwellen, die auf das Metall treffen, die Elektronen in immer stärkere Schwingungen versetzen würden. Anscheinend ist aber eine minimale Frequenz des Lichts nötig, die der Mindestenergie der Photonen entspricht (E = h f). Zunahme der Intensität des Lichts (der Amplitude) sollte noch stärkere Schwingungen der Elektronen erzeugen. Sie müssten dann mit einer noch grösseren Wahrscheinlichkeit (nach kürzerer Zeit) das Metall verlassen können. Dies lässt sich jedoch nicht beobachten. 8

29 Lösungen zu den Übungen 34. Als Wellenlänge wird der kürzeste Abstand zwischen zwei phasengleich schwingenden Oszillatoren bezeichnet (zwei Oszillatoren mit dem gleichen Schwingungszustand: gleiche Elongation s und gleiche Fortpflanzungsgeschwindigkeit c der Störung). Amplitude: maimale Auslenkung eines Massenpunkts (s ma ) Elongation: momentane Auslenkung eines Massenpunkts (s) 35. Die Frequenz wird viermal kleiner, die Amplitude neunmal grösser. Die Energie steigt damit um 1 (E Oszillator = o Loch o Senkrechter Spalt Waagrechter Spalt 1 m f s ma ) 37. trifft zu trifft nicht zu Elektronen gehen in ein höheres Energieniveau über und nehmen die dazu notwendige Energie aus dem sichtbaren Licht auf. Elektronen fallen von einem höheren Schwingungszustand in einen tieferen und geben die dabei frei werdende Energie in Form von Licht ab. Elektronen gehen in einen höheren Schwingungszustand über und senden dabei Energie in Form von Licht aus. weiss nicht 38. trifft zu trifft nicht zu Die Elektronen könnten laut Teilchenmodell jede beliebige Energie annehmen. Die Elektronen würden laut Teilchenmodell Photonen von jeder beliebigen Energie aussenden, es gäbe ein kontinuierliches Spektrum. Die Elektronen könnten sich laut Teilchenmodell nur in der K-Schale aufhalten. weiss nicht 9

30 Lösungen zu den Übungen 39. trifft zu trifft nicht zu Fotoelektrischer Effekt Elektronenbeugung Kathodenstrahlrohr Kerze durch eine enge Spalte beobachten Laserlicht durch ein enges Loch fallen lassen 40. trifft zu trifft nicht zu Fotoelektrischer Effekt Elektronenbeugung Kathodenstrahlrohr Kerze durch eine enge Spalte beobachten Laserlicht durch ein enges Loch fallen lassen weiss nicht weiss nicht. Quantenchemie und chemische Bindung 1. Amplitude Aufenthaltswahrscheinlichkeit radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit.a Die Funktion ψ3s besitzt einen Wert für ψ, der fünfmal (±) vorkommt (nahe bei null). Damit eistieren fünf Kugeloberflächen mit dem Funktionswert ±ψ, drei mit positivem (rote Farbe) und zwei mit negativem (blaue Farbe) Vorzeichen..b 30

31 Lösungen zu den Übungen 3.a Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einem Raumvolumen dv anzutreffen, ist in der Nähe des Atomkerns gross, wird rasch kleiner und geht im Unendlichen gegen null. 3.b 4. Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einem Raumvolumen dv anzutreffen, ist in der Nähe des Atomkerns gross, geht dann zurück auf null, steigt anschliessend auf ein kleines Maimum an, wird wieder kleiner und geht im Unendlichen gegen null. Würde man das Elektron als Teilchen betrachten, dann wäre es nicht verständlich, wie es aus der Nähe des Atomkerns zu dem kleinen Maimum gelangen könnte, weil dazwischen die Aufenthaltswahrscheinlichkeit null ist. In diesem Fall muss die Vorstellung einer stehenden Materiewelle herangezogen werden, die eine Nullfläche (eine Knotenfläche) besitzt. 5. Die Elektronenschale L entspricht in der Quantenchemie einer Kugelschale, in der die Wahrscheinlichkeit, das Elektron anzutreffen, ein Maimum ist Cl: 1s s p 6 3s 3p 3p 1 y 3p z 7. Die Visualisierung der Elektronendichte erfolgt oft durch die sogenannte Wolkendarstellung. Dabei betrachtet man das Elektron als Teilchen (Teilchenmodell), von dem viele Momentaufnahmen übereinander projiziert wurden. Je grösser die Anzahl der Punkte pro Flächeneinheit, desto grösser ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron dort anzutreffen. 8.a Die Werte (die Amplituden) der Funktion ψs (. Energiezustand) sind in der Nähe des Atomkerns hoch, sinken dann auf null ab, werden negativ, erreichen ein Minimum, steigen dann wieder an und gehen im Unendlichen gegen null. 31

32 Lösungen zu den Übungen 8.b 9. Aufenthaltswahrscheinlichkeit radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit Elektronendichte ψ 1s dv Elektronendichte ψ s dv Die Elektronendichte 1s ist in der Nähe des Kerns gross und wird mit zunehmendem Abstand immer kleiner. Im ersten angeregten Zustand des Wasserstoff-Atoms ist die Elektronendichte in der Nähe des Kerns ebenfalls gross, sinkt aber dann rasch auf null ab. Anschliessend erreicht sie wieder einen grösseren Wert, der mit zunehmender Entfernung vom Kern immer kleiner wird. 10. Die Elektronendichte vergleicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons in gleichen Volumenteilen dv, wenn diese verschiedene Abstände vom Atomkern auf- dw weisen: dv 1 = ψ 1s = πa 3 0 e r a o Radiale Elektronendichte: Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons eines Wasserstoff-Atoms in einer Kugelschale mit dem Durchmesser dr in Bezug auf das Volumen einer Kugelschale V = 4πr dr in unterschiedlichen Abständen vom Atomkern: dw 1 = ψ 1s = 4πr dr πa 3 0 e r a o 11. s-wellenfunktionen: Die Grössen der Amplituden der s-wellenfunktionen sind nur vom Abstand r zum Atomkern abhängig. Ab dem. Energiezustand weisen die Funktionen Nullstellen (Knotenflächen) und damit auch negative Werte auf. Gleiche Funktionswerte liegen auf Oberflächen von Kugeln (geometrische Örter) mit dem Atom- 3

33 Lösungen zu den Übungen kern als Zentrum. Jeder Energiezustand (jede Elektronenschale) besitzt eine s-wellenfunktion. p-wellenfunktionen: Neben den Abständen zum Atomkern ist die Grösse der Amplituden von p-wellenfunktionen auch durch die Winkel θ und ϕ bestimmt. Alle p- Funktionen haben positive und negative Werte sowie eine Nullstelle (Knotenfläche) durch den Atomkern, zu der weitere Nullstellen bei den höheren Hauptquantenzahlen hinzukommen. p-funktionen gibt es erst ab dem. Energiezustand. Der geometrische Ort aller Punkte mit dem gleichen Funktionswert ψ ist die Oberfläche von hantelförmigen Körpern, die sich symmetrisch um eine Koordinatenachse ausrichten. Ab dem zweiten Energiezustand gibt es jeweils drei p-funktionen pro Elektronenschale. W d 1. Wolkendarstellung der Elektronendichte = ψ p : Die Elektronendichte ist im dv Atomkern null (r = 0), steigt mit zunehmendem Abstand vom Kern auf ein Maimum an und geht im Unendlichen gegen null. Mit zunehmenden Winkeln θ und ϕ werden die Werte kleiner, bis sie in den entsprechenden Koordinatenebenen null sind (Knotenflächen: y-ebene für ψ p z ; yz-ebene für ψ p ; z-ebene für ψ p y ). 13.a Verlauf der Funktionswerte ψp z auf der z-achse in Abhängigkeit von r und den Winkeln θ = 0 und θ = b Verlauf der Funktionswerte ψp z, 30 bzw. 10 von der z-achse entfernt und damit in Abhängigkeit von r und den Winkeln θ = 30 und θ = c Verlauf der Funktionswerte ψp z, 60 bzw. 40 von der z-achse entfernt und damit in Abhängigkeit von r und den Winkeln θ = 60 und θ = Die Kurven zeigen den (gewohnten) Verlauf der ψp z -Wellenfunktion. Je grösser der Abstand von der z-achse, desto kleiner werden, entsprechend dem Kosinus, die Funktionswerte ψ. 3s-Wellenfunktion radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit 33

34 Lösungen zu den Übungen 3s-Wellenfunktion: Die Amplitude ist in der Nähe des Atomkerns gross, geht zurück auf null, erhält ein negatives Vorzeichen, erreicht ein Minimum, wird null und geht nach einem kleinen Maimum im Unendlichen gegen null. Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in Kugelschalen der Dicke dr anzutreffen, ist im Atomkern null, geht auf ein kleines Maimum, wird wieder null, anschliessend erscheint ein grösseres Maimum und nach einem nochmaligen Wert null erreicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeit das grösste Maimum (3. Elektronenschale), bevor sie im Unendlichen gegen null geht. 15. Die Abbildung zeigt die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im. Energiezustand des Wasserstoff-Atoms (ausgehend von einer p-wellenfunktion). Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Kugelschalen der Dicke dr nimmt vom Atomkern ausgehend auf ein Maimum zu, wird anschliessend kleiner und geht im Unendlichen gegen null. 16. Es handelt sich um die Wolkendarstellung der Elektronendichte einer p-wellenfunktion. Mit zunehmendem Abstand auf bzw. von der Koordinatenachse weg nimmt die Elektronendichte ab. Die beiden darüber gelegten Kugelschalen deuten die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im. Energiezustand an. 17. In den drei Abbildungen ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit (ψ p z dv) des Elektrons dargestellt. Je grösser der Abstand zur z-achse, desto kleiner werden die Werte für ψ. 18. Die drei Abbildungen zeigen den geometrischen Ort aller Punkte mit einem bestimmten Funktionswert ±ψ (rot: positiv, blau: negativ) Achse: Die -Achse liegt in der y-ebene, also 90 von der z-achse entfernt; dies bedeutet: θ = 90, ϕ: 0 bzw Damit vereinfacht sich die Winkelfunktion ψp, da der Sinus von und der Kosinus von 0 bzw. 180 ±1 beträgt r a0 ψp = ()( 1 ± 1) e 4π 3 a 0 a 0 y-achse: Die y-achse liegt ebenfalls in der y-ebene. Der positive Achsenabschnitt bildet mit der positiven -Achse einen Winkel von 90, der negative Teil einen von 70 ; dies bedeutet: θ = 90, ϕ = 90 bzw. 70. Der Sinus dieser beiden Winkel beträgt ±1. Folglich gilt für die Winkelfunktion ψp y auf der y-achse: ψp y = 3 4π a a0 ()( 1 ± 1) e 0 3 r a 34 0 r r

35 Lösungen zu den Übungen z-achse: Für die z-achse ist nur der Winkel θ massgebend, der 0 bzw. 180 beträgt. Folglich müssen für den Ausdruck sin 0 bzw. sin 180 die Werte ±1 eingesetzt werden: r a0 ψpz = ( ± 1) e 4π 3 a 0 a 0 0. Die drei Abbildungen zeigen die Wellenfunktion ψs, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ψ s dv sowie die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit ψ s 4πr dr des Elektrons im. Energiezustand des Wasserstoff-Atoms. r Wellenfunktion s Aufenthaltswahrscheinlichkeit s radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit s 35

36 Lösungen zu den Übungen 1. o Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Grundzustand des Wasserstoff- Atoms: ψ 1s dv o Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Grundzustand des Wasserstoff-Atoms: ψ 1s 4πr dr o Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im ersten angeregten Zustand des Wasserstoff-Atoms: ψ s dv Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im ersten angeregten Zustand des Wasserstoff-Atoms: ψ s 4πr dr.a Es sind zwei Knotenflächen erkennbar, da das Vorzeichen zweimal wechselt..b Es handelt sich um den dritten Energiezustand des Wasserstoff-Atoms, dargestellt durch die ψ3s-wellenfunktion. 3. trifft zu Zwei Elektronenwellenfunktionen überlagern sich konstruktiv. Die Elektronendichte zwischen zwei Atomrümpfen wird erhöht. Zwei Elektronen halten sich immer zwischen den Atomrümpfen auf. Ein Elektron geht von einem Atom auf ein anderes über. trifft nicht zu weiss nicht 4. trifft zu Ein Elektron geht von einem antibindenden Orbital in ein bindendes Orbital über. Ein Elektron geht von einem bindenden Orbital in ein antibindendes Orbital über. Die Bindungsordnung verändert sich. Das Molekül fällt auseinander. trifft nicht zu weiss nicht 36

37 Lösungen zu den Übungen 5.a p + p p y + p y s + p 5.b o A B 5.c Das MO B weist drei Knotenflächen auf, im Gegensatz zu A, das nur zwei Knotenflächen besitzt. 6.a) 6.b BO: 6.c O O 6.d Das Sauerstoff-Molekül ist ein Diradikal. Die Molekülorbitale ψπ*p y und ψπ*p z sind nur mit je einem Elektron besetzt. Eperimentelle Untersuchungen haben ergeben, dass Sauerstoff eine spezielle Eigenschaft besitzt, den Paramagnetismus (Sauerstoff wird von einem inhomogenen magnetischen Feld angezogen), der auf diesen Radikalcharakter hinweist. Aus der Lewis-Formel des Sauerstoff-Moleküls, die ausschliesslich doppelt besetzte Wolken enthält, ist diese Stoffeigenschaft nicht erkennbar. 37