Formale Logik. PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg. Wintersemester 16/17 Sitzung vom 21.

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1 Formale Logik PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg Wintersemester 16/17 Sitzung vom 21. Dezember 2016

2 Süddeutsche Zeitung, 8. Januar 2010 Prädikate L = lang sein G = groß sein B = breit sein Fehlschluss: x(bx Gx Lx) x(lx Gx) x(gx Lx) x(lx Gx) Solche Formeln drücken das Verhältnis zweier Prädikate zueinander aus und sind typische Sätze der Syllogistik.

3 Aristoteles Syllogistik Betrachtet wird das Verhältnis dreier Prädikate (universeller Termini) zueinander. Prämisse 1 beschreibt das Verhältnis zwischen 1. und 2. Prädikat. Prämisse 2 beschreibt das Verhältnis zwischen 2. und 3. Prädikat. Die Konklusion leitet ein Verhältnis zwischen 1. und 3. Prädikat ab. (Auch Obersatz Untersatz Schlussfolgerung) Aus Sicht von A: vier mögliche Grundaussagen zu B: Quantität (a/p): allgemeine alle A... oder partikulare einige A... Qualität (+/ ): positive... sind B oder negative... sind nicht B

4 Aristoteles Syllogistik: Grundaussagen traditionelle Schreibweise relativierte Quantoren Grundaussagen Prädikatenlogik a+. AaB x(ax Bx) x A : Bx x(ax Bx) a. AeB x(ax Bx) x A : Bx (Alle A sind nicht B.) x(ax Bx) p+ Einige A sind B. AiB x(ax Bx) x A : Bx p Einige A sind nicht B. AoB x(ax Bx) x A : Bx

5 Aristoteles Syllogistik: Existenz-Grundannahme Wenn ein Prädikat P in einer der vier Grundaussagen vorkommt, ist stets die Gültigkeit von x Px vorausgesetzt (Präsupposition). Nach heutigem prädikatenlogischem Verständnis ist die Aussage Alle Einhörner sind grünäugig allerdings wahr, im Alltagsverständnis: obwohl es keine Einhörner gibt im logischen Verständnis: weil es keine Einhörner gibt denn andernfalls müsste man ein Einhorn finden können, das keine grünen Augen hat. Aristoteles würde diese Aussage nicht treffen bzw. als falsch ansehen, da sie für ihn die Existenz von Einhörnern mit aussagt.

6 Aristoteles Syllogistik: Logisches Quadrat a f f i r m o allgemein partikular a i kontradiktorisch nicht beide wahr impliziert impliziert Negation nicht beide falsch e o n e g o positiv negativ

7 Aristoteles Syllogistik: Figuren 1. Figur 2. Figur 3. Figur 4. Figur A? B A? B A? B A? B C? A C? B A? C B? C C? B C? A C? B C? A fehlt z. B.: A? B B? C A? C Prämissen tauschen: B? C A? B A? C Prädikate umbenennen: A? B C? A C? B 1. Figur! Es gibt 256 Möglichkeiten, darunter 24 korrekte Syllogismen: 14 von Aristoteles ausgearbeitete Syllogismen 5 von Aristoteles angedeutete Syllogismen 5 subalterne (abgeleitete) Syllogismen

8 Aristoteles Syllogistik: Figuren Die ersten vier Konsonanten des Alphabets, B, C, D und F, bezeichnen vier Grundtypen der 1. Figur, auf die die anderen Syllogismen zurückgeführt werden können, deren Namen dann jeweils mit dem gleichen Buchstaben beginnen. Weitere Konsonanten im Namen geben Hinweise auf die Art der Rückführung. 1. Figur, Celarent Alle C sind A Kein C ist B tauschen m Alle C sind A Kein C ist B umdrehen abschwächen p umbenennen Kein B ist C Kein A ist C Kein C ist A 4. Figur, Calemop

9 Syllogismen: Erste Figur Barbara Alle C sind A Alle C sind B Celarent Alle C sind A Kein C ist B abgeleiteter Syllogismus: Barbari Alle C sind A Einige C sind B abgeleiteter Syllogismus: Celaront Alle C sind A Einige C sind nicht B Darii Einige C sind A Einige C sind B Ferio Einige C sind A Einige C sind nicht B

10 Syllogismen: Zweite Figur Cesare Alle C sind B Kein C ist A abgeleiteter Syllogismus: Cesaro Alle C sind B Camestres Kein C ist B Kein C ist A abgeleiteter Syllogismus: Camestrop Kein C ist B Festino Einige C sind B Baroco Einige C sind nicht B

11 Syllogismen: Dritte Figur Darapti Alle A sind C Einige C sind B Disamis Einige A sind B Alle A sind C Einige B sind C Felapton Alle A sind C Einige C sind nicht B Bocardo Einige A sind nicht B Alle A sind C Einige C sind nicht B Datisi Einige A sind C Einige B sind C Ferison Einige A sind C Einige B sind nicht C

12 Syllogismen: Vierte Figur Fresison Einige B sind C Bamalip Alle B sind C Einige C sind A Fesapo Alle B sind C Camenes Kein B ist C Kein C ist A Dimaris Einige A sind B Alle B sind C Einige C sind A abgeleiteter Syllogismus: Calemop Kein B ist C

13 Modus Calemop AaB: BeC: Kein B ist C CoA: x(ax Bx) x(bx Cx) x(cx Ax) Beweis / Ableitung: 1. x(ax Bx) 1. Prämisse 2. x(bx Cx) 2. Prämisse 3. x Cx Grundannahme 4. Ca -Elimination auf 3 (neue Konstante a) 5. (Aa Ba) -Elimination auf 1 6. (Ba Ca) -Elimination auf 2 7. (Aa Ca) Transitivität von auf 5 und 6 8. (Ca Aa) Kontraposition auf 7 9. Aa Modus Ponens auf 4 und (Ca Aa) -Einführung auf 4 und x(cx Ax) -Einführung auf 10

14 Syllogistik mit singulären Termini Vergleiche: Alle Menschen sind sterblich. Alle Griechen sind Menschen. Alle Griechen sind sterblich. Modus Barbara in Prädikatenlogik: x(mx Tx) x(gx Mx) x(gx Tx) mit dem Beispiel: Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Sokrates ist sterblich. kein traditioneller Syllogismus: Sokrates ist singulärer Terminus! x(mx Tx) Ms Ts

15 Syllogistik mit singulären Termini Zwei neue singuläre Grundaussagen: s+ c ist ein A Ac s c ist kein A Ac Im wesentlichen drei neue singuläre Modi: c ist ein A c ist ein B c ist kein B c ist kein A c ist ein A c ist kein B Quines Zurückführung singulärer Modi auf traditionelle Modi: Prädikat Sokratisieren, das nur von Sokrates erfüllt wird. Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Sokrates ist sterblich. Alle Menschen sind sterblich. Alle Sokratisierende sind Menschen. Alle Sokratisierende sind sterblich.