Seminar Übergänge. Einstieg: Kartenaufgabe. Gliederung

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1 Einstieg: Kartenaufgabe Gegeben sind vier Karten. Jede Karte hat auf der einen Seite einen Buchstaben und auf der anderen Seite eine Zahl. Seminar Übergänge Thema: Logische Probleme Thomas Hellwig, Thomas Rutz 17. Mai 2010 Behauptung: Wenn eine Karte auf der einen Seite einen Vokal trägt, dann steht auf der Rückseite eine gerade Zahl. Aufgabe: Welche Karten muss man umdrehen, um die Behauptung zu testen? Es sind so wenig wie möglich, aber so viele wie nötig umzudrehen. E K 4 7 Gliederung Bezug zum Rahmenlehrplan 3. Logische Probleme selbst lösen 4. Schülerlösungen Logik (altgr. he logiké téchne, denkende Kunst,,Vorgehensweise ) Als Begründer der Logik gilt Aristoteles Ist die Lehre des vernünftigen (Schluss-) Folgerns Die Logik untersucht die Gültigkeit von Argumenten hinsichtlich ihrer Struktur unabhängig vom konkreten Inhalt der eigentlichen Aussagen Definitionsmöglichkeit Logik ist die Wissenschaft des Wörtchen also, d.h. die Wissenschaft, die zu systematisieren versucht, unter welchen Bedingungen die Behauptung einen gültigen Schluss hervorbringt. (Vgl. Strobach, Einführung in die Logik, S. 12) Verwendete Begriffe in der Logik: Prämisse (sind Sätze, welche wir annehmen oder voraussetzen) Konklusion (Schlussfolgerung) Junktoren (Satzverknüpfungen, Aussagenverknüpfer, logische Bindewörter, Verknüpfungszeichen) Quantoren (machen Aussagen darüber, auf wie viele Individuen das Prädikat zutrifft ) Humboldt Universität zu Berlin Fachdidaktisches Hauptseminar Mathematik / Forschungskolloquium "Übergänge gestalten" Folien zu dem Vortrag von Thomas Hellwig und Thomas Rutz

2 Aussagenlogik Aussagen sind deskriptive, also beschreibende Sätze, wie In Paris steht der Eifelturm Aussagen können wahr oder falsch sein Das Gesetz vom ausschließendem Dritten (Tertium non datur) Aussagenlogik Aus Wahrem folgt nur Wahres Aus Falschem folgt Beliebiges Je nach Quelle soll dies Russel oder Whitehead einem Freund erklärt haben, welcher daraufhin meinte: Dann beweis doch, dass, wenn 1+1=3 ist, du der Papst bist. 1+1=3. Davon ziehe ich eins ab, also ist 1=2. Zwei sind eins, der Papst und ich sind zwei, wir sind eins, demnach bin ich der Papst. Prädikatenlogik Erweiterung der Aussagenlogik Operiert mit Variablen, Konstanten, n-stellige Funktionen Für uns relevant sind Quantoren wie Für alle Es existiert ein Prädikatenlogik Beispiel für Formalisierung sprachlicher Äußerungen Ein Mann isst Pizza x: x ist ein Mann x isst Pizza. Rahmenlehrplan für die Grundschule Methodenkompetenz Sie können Annahmen begründen und überprüfen, Argumente erkennen, formulieren und beurteilen Sachkompetenz Schülerinnen und Schülern entdecken, beschreiben und beurteilen mathematische Zusammenhänge und verwenden sie beim Argumentieren und Begründen. Soziale Kompetenz In Diskursen über Problemstellungen weisen die Schülerinnen und Schüler ihre Fähigkeiten im Argumentieren zu mathematischen Sachverhalten nach. Damit werden Vorleistungen geschaffen, die in den folgenden Schuljahren zu Fähigkeiten, u. a. im Lösen von Beweisaufgaben, ausgebaut werden sollen.

3 Rahmenlehrplan für die Grundschule Problemorientierte Aufgaben Rahmenlehrplan für die Grundschule Standards (am Ende von Klasse 4 u. 6) Die Schülerinnen und Schüler erkennen mathematische Zusammenhänge, beschreiben und begründen diese. Rahmenlehrplan für Sek I Der Mathematikunterricht hat die Pflicht/ Aufgabe folgende Kompetenzen zu fördern: Argumentieren (hinterfragen Argumentationen und Begründungen kritisch) Problem lösen (reflektieren Lösungswege und überprüfen die Plausibilität von Ergebnissen) Kommunizieren (erfassen und reflektieren mathematische Informationen) Rahmenlehrplan für Sek I P6 7/8: Konstruieren und mit ebenen Figuren argumentieren (**) Beweisen den Satz des Thales (**) Beweisen den Satz über die Winkelsumme im Dreieck Direkter Beweis Bei einem direkten Beweis wird die Behauptung durch Anwendung von bereits bewiesenen Aussagen und durch logische Folgerungen bewiesen Rahmenlehrplan für Sek I P1 9/10: Neue Zahlen entdecken (**) Beweisen die Irrationalität einer Quadratwurzeln 2

4 Indirekter Beweis Beim Beweis der Behauptung wird von einer Annahme ausgegangen, welche durch die Negation der Behauptung entsteht Von der Annahme wird solange, mit gültigen Schlussregeln geschlossen, bis ein Widerspruch zu einer Voraussetzung oder zur Annahme gefunden wird Eine Aussage und ihre Negation können nicht beide gleichzeitig wahr sein Kontraposition Unter der Kontraposition versteht man die Umkehrung der Implikation Aus A folgt B ist äquivalent zu Aus nicht B folgt nicht A Bsp.: Wenn gerade 2 n gerade, dann ist auch n Rahmenlehrplan der Sek II Kurs ma-z3 Logik Aussagen- und Prädikatenlogik Quantoren Logische Schlussformen In Zusatzkursen vertiefen die Schüler Fähigkeiten und Kenntnisse aus Grund- und Leistungskursen Aufgaben bitte in Einzelarbeit bearbeiten. Welche Unterschiede zwischen den Altersstufen sind zu erwarten? Kartenaufgabe Gegeben sind vier Karten. Jede Karte hat auf der einen Seite einen Buchstaben und auf der anderen Seite eine Zahl. Behauptung: Wenn eine Karte auf der einen Seite einen Vokal trägt, dann steht auf der Rückseite eine gerade Zahl. Aufgabe: Welche Karten muss man umdrehen, um die Behauptung zu testen? Es sind so wenig wie möglich, aber so viele wie nötig umzudrehen. Jeweils 4 SchülerInnen (2 Jungen, 2 Mädchen) aus einer 6. Klasse und einer 9. Klasse. E K 4 7

5 Überfahrt-Aufgabe Drei Wanderer kamen an einen Fluss, den sie überqueren wollten. Die Brücke war aber eingestürzt und der Fluss war tief. Was sollten sie tun? Da bemerkte ein Wanderer am Ufer zwei Jungen, die sich mit einem Boot vergnügten. Das Boot war aber so klein, dass damit nur ein Erwachsener oder zwei Jungen übergesetzt werden konnten. Dennoch wurden alle Erwachsenen mit diesem Boot über den Fluss gebracht. Wie war das möglich?

6 Aufgabe Volltreffer Wer von euch Halunken hat den Ball in mein Fenster geworfen? schreit der Mann voller Zorn. Zitternd stehen vier kleine Jungen vor ihm und sagen Folgendes: Marc: Ich war es nicht. Ergül: Stefan hat es getan. Anton: Ergül war es. Stefan: Anton lügt. Wer war der Übeltäter, wenn nur einer der Jungen die Wahrheit sagt? Stellen Sie sich vor, Sie überwachen Recht und Ordnung in einer amerikanischen Kneipe, wo bekanntlich junge Menschen erst ab 21 Jahren Alkohol trinken dürfen. An einem Tisch sitzen vier Personen, deren Alter Sie nicht kennen. Einer von ihnen trinkt Cola, ein anderer Bier. Leider haben beide ihre Ausweise mit der Vorderseite nach unten auf den Tisch gelegt, sodass Sie das Geburtsdatum nicht lesen können. Das Alter der beiden anderen können Sie aus den Papieren entnehmen: Einer ist älter als 21, der andere ist jünger als 21. Leider wissen Sie nicht, ob sie Limonade oder Wodka-Tonic trinken. Aufgabe: Welche Ausweise und welche Getränke müssen Sie näher inspizieren?

7 Literaturverzeichnis [1] Keith Devlin, Das Mathe-Gen, Deutscher Taschenbuch Verlag, 2003 [2] Niko Strobach, Einführung in die Logik, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 2005 [3] Paul Ruppen, Einstieg in die formale Logik, Europäischer Verlag der Wissenschaft, 1997 [4] Rahmenlehrplan Mathematik (2006/07), Sekundarstufe I,II Berlin [5] Rahmenlehrplan Mathematik (2004), Grundschule Berlin